高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型和解題教學(xué)

姜 辣

(南京市建鄴高級(jí)中學(xué),江蘇 南京 210000)

在高中數(shù)學(xué)中,不等式不僅僅是一個(gè)獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn),還深深嵌入在代數(shù)、幾何、函數(shù),甚至是概率統(tǒng)計(jì)等多個(gè)數(shù)學(xué)分支之中.因此,正確應(yīng)用不等式,是學(xué)生在整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中不可或缺的能力[1].然而,在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn),許多學(xué)生會(huì)因?yàn)檎`解不等式性質(zhì)、疏忽計(jì)算過程、選擇不當(dāng)?shù)慕忸}策略等原因,在處理不等式題目時(shí)陷入困境,甚至犯下錯(cuò)誤.這些錯(cuò)誤不僅直接影響了他們的答題正確率,還導(dǎo)致他們對(duì)整個(gè)不等式知識(shí)體系的理解出現(xiàn)偏差,進(jìn)而影響到他們?cè)谄渌嚓P(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)和理解.因此,本文將重點(diǎn)針對(duì)這些常見的易錯(cuò)題型進(jìn)行分析,通過探討原因并提供相應(yīng)的解題策略,幫助學(xué)生避免和糾正這些錯(cuò)誤,從而更好地掌握和運(yùn)用不等式知識(shí),提高他們的數(shù)學(xué)解題能力.

1 易錯(cuò)題型分析

1.1 不等式組及其解題方法

不等式的解集和不等式組的解集是不同的,常見的易錯(cuò)點(diǎn)包括對(duì)于不等式的聯(lián)立方程和求解方法不理解,對(duì)于解的范圍和形式的產(chǎn)生誤解.對(duì)于單個(gè)不等式,解集通常由半開區(qū)間或閉區(qū)間構(gòu)成,要注意考慮限制條件和特殊情況,正確求解不等式[2].而對(duì)于不等式組,解集通常由各個(gè)不等式解集的交集或并集構(gòu)成,要注意聯(lián)立的方式和解的數(shù)量,正確求解不等式組.

所以-3

所以不等式的解集為{x|-3

點(diǎn)評(píng)學(xué)生要加強(qiáng)對(duì)不等式的解法和解的表現(xiàn)形式的理解,多進(jìn)行實(shí)戰(zhàn)演練和推導(dǎo)計(jì)算,并注意題目中的一些特別提示和隱含條件,以便正確地求解不等式和不等式組,提高解題的準(zhǔn)確度和效率.

1.2 絕對(duì)值不等式及解題方法

在求解絕對(duì)值不等式時(shí),我們需要根據(jù)符號(hào)的不同分類討論,將不等式拆分成多個(gè)情況求解,并驗(yàn)證解是否符合原不等式.這類問題的易錯(cuò)點(diǎn)常常因?qū)W生不能正確理解絕對(duì)值符號(hào)含義而出現(xiàn).學(xué)生在求解過程中,會(huì)忽略實(shí)際情況下的取值,導(dǎo)致在“去絕對(duì)值”符號(hào)求解時(shí),出現(xiàn)細(xì)節(jié)性的錯(cuò)誤.

例2 已知函數(shù)f(x)=|x-a|+|x+3|.

(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥6的解集;

(2)若f(x)>-a,求a的取值范圍．

解(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x-1|+|x+3|,

即求|x-1|+|x+3|≥6的解集,

當(dāng)x≥1時(shí),原不等式可化為2x+2≥6,得x≥2;

當(dāng)-3

當(dāng)x≤-3時(shí),原不等式可化為-2x-2≥6,得x≤-4.

綜上,不等式f(x)≥6的解集為

{x|x≤-4或x≥2}．

(2)f(x)=|x-a|+|x+3|≥|(x-a)-(x+3)|=|a+3|,

當(dāng)且僅當(dāng)(x-a)(x+3)≤0時(shí),等號(hào)成立．

所以f(x)min=|a+3|>-a,

當(dāng)a<-3時(shí),原不等式可化為-a-3>-a,無解;

當(dāng)a≥-3時(shí),原不等式可化為a+3>-a,

點(diǎn)評(píng)對(duì)于絕對(duì)值不等式,有三種求解方法:(1)利用分類討論法“去絕對(duì)值”符號(hào),將絕對(duì)值不等式問題變?yōu)槠胀ǖ牟坏仁絾栴};(2)當(dāng)不等式兩端均為正數(shù)時(shí),可以對(duì)兩邊分別平方,將其轉(zhuǎn)化為普通不等式求解;(3)根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解.學(xué)生在解決絕對(duì)值不等式問題時(shí),需要仔細(xì)理解符號(hào)含義、進(jìn)行明確分析、加強(qiáng)細(xì)節(jié)注意.

1.3 一元二次不等式及解題方法

一元二次不等式是不等式中的常見問題之一,常常涉及二元一次方程組、二次函數(shù)等概念,常見的易錯(cuò)點(diǎn)包括忽略不等式的限制條件.比如分母不能為零、公式運(yùn)用錯(cuò)誤、平方根法則,未充分了解不等式的形式和解的數(shù)量導(dǎo)致求解錯(cuò)誤,等等.

即不等式qx2+px+1>0的解集為{x|-2

點(diǎn)評(píng)求解步驟:

第一步:審結(jié)論——明確解題方向

如要解qx2+px+1>0,最好能確定p,q的值．

第二步:審條件——挖掘題目信息

利用一元二次方程的根與一元二次不等式的解集的關(guān)系列出關(guān)于p,q的方程組.

第三步:建聯(lián)系——找解題突破口

由給定不等式的解集形式→確定關(guān)于p,q的方程組→求得p,q→代入所求不等式→求解qx2+px+1>0的解集[3]．

1.4 線性規(guī)劃及其解題方法

線性規(guī)劃問題是高考數(shù)學(xué)考試中的熱門考點(diǎn),通常以選擇題、填空題的題型呈現(xiàn).這類問題的難度一般不大,但需要學(xué)生熟練掌握線性不等式的基本概念和解題方法.學(xué)生在求解該類題型時(shí),常見的錯(cuò)誤有:對(duì)約束條件的理解不準(zhǔn)確、忽略約束條件的實(shí)際情況、利用代交點(diǎn)法直接求解、認(rèn)為目標(biāo)函數(shù)的最大值對(duì)應(yīng)的情況是截距最大等.

圖1 例4題解析示意圖

點(diǎn)評(píng)線性規(guī)劃問題有三種常見題型:一是求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題;二是求解所形成的區(qū)域面積;三是求解目標(biāo)函數(shù)的取值范圍.解決該類問題,數(shù)形結(jié)合思想必不可少.為了避免解題過程出現(xiàn)錯(cuò)誤,要嚴(yán)格按照“畫”“移”“求”“答”四個(gè)步驟進(jìn)行.“畫”即畫圖確定可行域;“移”即根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合圖象,找到目標(biāo)函數(shù)的最值對(duì)應(yīng)的點(diǎn);“求”即將對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中;“答”即回答對(duì)應(yīng)問題.

2 解題教學(xué)策略

以下是一些解決高中數(shù)學(xué)中不等式易錯(cuò)題目的解題教學(xué)策略.

一是建立完整的知識(shí)體系.不等式成立與否的判定和解題方法,本質(zhì)上要依賴于運(yùn)算規(guī)律和不等式性質(zhì).因此,在學(xué)習(xí)不等式的時(shí)候,需要先建立完整的不等式知識(shí)體系.包括理解不等式的含義、不等式的基本性質(zhì)、不等式的基本運(yùn)算及其法則等方面,以及需要熟練應(yīng)用這些知識(shí)進(jìn)行解題.

二是掌握不等式的基本性質(zhì).不等式的基本性質(zhì)包括加減同項(xiàng)、乘除同因、同向性等,是解決不等式問題的基礎(chǔ).學(xué)生需要熟練掌握這些不等式的基本性質(zhì),并且在解題過程中正確運(yùn)用,從而避免因運(yùn)算錯(cuò)誤而導(dǎo)致的答案錯(cuò)誤.

三是學(xué)會(huì)使用變形和替換技巧.在解決不等式問題中,變形和替換是非常重要的技巧.學(xué)生需要掌握常見的變形和替換技巧,例如平方兩邊、提取公因數(shù)、配方等.在運(yùn)用這些技巧的時(shí)候,學(xué)生需要注意是否改變了不等式的大小關(guān)系,避免由于運(yùn)算錯(cuò)誤而導(dǎo)致的答案錯(cuò)誤.

四是掌握一些常見的不等式套路題目.不等式套路題目包括均值不等式、柯西不等式等.學(xué)生需要熟悉這些不等式套路題目的應(yīng)用場景,并且學(xué)會(huì)根據(jù)題目的要求選擇合適的不等式套路,從而解決問題.

五是要注重?cái)?shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用.數(shù)學(xué)歸納法在解決不等式問題時(shí)是非常有效的方法.通過數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的正確性可以增加學(xué)生解決不等式問題的信心,同時(shí)也有助于提高學(xué)生的系統(tǒng)性思考和證明能力[4].

3 結(jié)束語

通過上面的討論,可以發(fā)現(xiàn)不等式問題的常見錯(cuò)誤類型,以及避免這些問題的相應(yīng)教學(xué)策略,希望給一線教師提供參考.