基于高考“數(shù)列”專題 探究解題技巧

江曉潔

(福建省詔安第一中學,福建 漳州 363500)

縱觀近五年數(shù)學高考題目,數(shù)列部分著重對數(shù)列的通項、求和等知識點進行考查.常與函數(shù)、不等式等知識整合到一起,對學生的數(shù)學綜合素養(yǎng)進行考查.

1 數(shù)列概念類題目解題分析

縱觀最近五年數(shù)列考查題目,存在大量的基礎性問題.通常,這一類型問題難度系數(shù)比較低,主要圍繞等差、等比數(shù)列的概念展開考查,學生只要掌握深刻理解概念即可完成解答.

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件;

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件;

C.甲是乙的充要條件;

D.甲既不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件

綜上得知,{an}是等差數(shù)列,即選項C是正確答案.

2 數(shù)列通項公式解題分析

在高考題目中,求數(shù)列通項公式這一類型的題目比較常見,其難度系數(shù)屬于中等水平,并常常出現(xiàn)在選擇題、填空題、解答題目中的第一個小問題.在這一類型的題目中,常見的形式主要包括:由遞推公式、已知前n項和、已知前n項及第n項關系式求通項公式.通常,在解答這一問題時,可結合不同的題目類型,選擇不同的解題方法[1].

例2記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知a2=1,2Sn=nan,求{an}通項公式.

解析該題目是2023年全國甲卷理科17題中的第一問,本題目中主要對數(shù)列的通項公式進行考查,題目難度系數(shù)比較低.通常,針對已知明確數(shù)列類型的題目,可直接運用等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義進行求解.

已知2Sn=nan,當n=1時,2a1=a1,即a1=0,

當n=3時,2(1+a3)=3a3,即a3=1,

當n≥2時,2Sn-1=(n-1)an-1,

即2(Sn-Sn-1)=nan-(n-1)an-1=2an,

對其進行化簡得出(n-2)an=(n-1)an-1,

即an=n-1.

綜上分析得出an=n-1(n∈N*).

例3已知{an}滿足a1=3,an+1=3an-4n,計算a2、a3,猜想{an}通項公式并證明.

解析該題目是2020年高考全國Ⅲ卷理科17題,在本題目中給出了數(shù)列{an}的首項,以及前一項和后一項的關系式.本題目意思相對比較清晰明了,根據(jù)題目中的已知條件和所求的問題,解題的關鍵在于利用首項和關系式這兩個條件.通常,在解決這一類型數(shù)列問題的時候,學生可從構造法、歸納法兩個角度進行探索.

解根據(jù)an+1=3an-4n以及a1=3這兩個條件,可直接求出a2=5,a3=7,由此猜想出an=2n+1,n∈N*.

證明:根據(jù)題目已知條件得出an+1-(2n+3)=3[an-(2n+1)],則有bn=an-(2n+1),因此bn+1=3bn,且b1=b2=0,即bn=0.因此,猜想an=2n+1,n∈N*成立.

3 數(shù)列求和類題目解題分析

在高中數(shù)學數(shù)列考查題目中,數(shù)列求和尤為重要,常見于一些綜合性題目.通常,在解決這一類型問題時,學生不僅僅要熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式,還應掌握一定的解題技巧,包括錯位相減法裂項求和法、分組求和法、倒序相加法等.

解析本題目是2020年某地高考模擬試題中的一道填空題.就本題目而言,難度系數(shù)相對比較低,學生只要認真觀察題目的特點和已知條件,即可采用裂項法進行求和,將數(shù)列{an}的每一項進行分解,最終通過依次項抵消、間隔項抵消等方式進行解答.

4 基于數(shù)列高考題目特點的教學啟示

根據(jù)高考數(shù)列題目分析發(fā)現(xiàn),近幾年關于數(shù)列題目的考查,方式相對比較穩(wěn)定,并且考查內容全面,突出了數(shù)學思想、關鍵能力的考查.同時,在新課標視域下,考查的形式也隨之更加新穎,將其蘊含到實際生活情境中.例如,2022年全國新高考Ⅱ卷中的題目中,以中國古代建筑作為背景;在2023年北京卷中,滲透了一定的數(shù)學文化;另外,在數(shù)學高考題目中,數(shù)列題目還常常與函數(shù)、不等式、概率等問題結合到一起.面對這一全新的考查特點,教師在日常教學中,必須關注以下幾個方面.

首先,重視基礎教學.教材是新課標的具體體現(xiàn),也是教師開展課堂教學的重要依據(jù).正所謂“萬變不離其宗”,教材上的基礎知識是學生解答數(shù)列問題的根基.因此,教師在組織課堂教學時,必須認真研讀教材內容,并基于教學目標和學生的實際情況,科學運用多種方法開展基礎教學,使學生深入理解概念、性質、公式等;同時,教師還應關注基礎題目教學,力求通過變式訓練等方式,使學生在少而精的題目訓練中,逐漸提升自身的邏輯思維能力.

其次,關注數(shù)列性質,加強知識聯(lián)系.縱觀當前高考中的數(shù)列題目,多數(shù)都是以數(shù)列的性質作為依據(jù),學生需要根據(jù)數(shù)列的性質分析題目、解決問題.

再次,強化數(shù)列的綜合應用.根據(jù)新課標下的數(shù)列考查方向和趨勢,教師在日常教學中,還必須堅持理論聯(lián)系實際的原則,將數(shù)列知識和實際生產和生活聯(lián)系起來,使學生在實際問題中,抽象出數(shù)列模型,并運用數(shù)列的相關知識進行解答.

最后,積累解題經驗,提煉數(shù)學思想.鑒于新高考下的數(shù)列題目考查特點,教師在開展課堂教學時,必須摒除“機械化刷題”的教學模式,引領學生對所做的題目、錯題進行反思和分析.使學生在總結、分析、歸納的過程中,掌握一定的解題規(guī)律和方法,并從解題中將數(shù)學思想提煉出來,讓學生在日常學習中逐漸提升自身的解題素養(yǎng)[4].

5 結束語

教師應熟悉新高考的考查要求,結合數(shù)列高考試題進行教學實踐,及時調整和優(yōu)化課堂教學方案,不斷提升數(shù)列解題教學效果.