凍結(jié)重塑黏土分?jǐn)?shù)階蠕變本構(gòu)模型分析

姚兆明,蹇膨遠(yuǎn),孔宏水,李 南

(1.安徽理工大學(xué) 土木建筑學(xué)院,安徽 淮南 232001; 2.礦山地下工程教育部工程研究中心,安徽 淮南 232001)

凍土強(qiáng)度是其最重要的力學(xué)指標(biāo)之一,也是凍土工程領(lǐng)域最重要的研究課題之一[1]。自二十世紀(jì)二三十年代蘇聯(lián)科學(xué)家率先對(duì)凍土的各種性質(zhì)進(jìn)行研究,并逐步建立起凍土的強(qiáng)度理論和蠕變理論。研究發(fā)現(xiàn),土體在負(fù)溫條件下的強(qiáng)度值遠(yuǎn)大于自然狀態(tài)下的強(qiáng)度值,且土體所處的環(huán)境溫度越低,抗壓強(qiáng)度越大。主要原因是土體中未凍水隨著溫度的降低凍結(jié)成冰,使土體本身內(nèi)部的冰含量增加,冰的強(qiáng)度遠(yuǎn)大于水的強(qiáng)度,且冰的膠結(jié)作用增強(qiáng)了土壤顆粒之間的摩擦力和黏聚力,進(jìn)而使凍土的強(qiáng)度提高[2-3]。學(xué)者開(kāi)展了大量的室內(nèi)外凍土強(qiáng)度組成性質(zhì)試驗(yàn)研究,Goughnour等[4]研究發(fā)現(xiàn),多數(shù)情況下凍土強(qiáng)度大于其自然狀態(tài)下的強(qiáng)度與冰的強(qiáng)度之和,土體干重度的增大也會(huì)增大凍土強(qiáng)度。Ting等[5]對(duì)負(fù)溫環(huán)境下的砂土開(kāi)展單軸壓縮試驗(yàn),從土壤顆粒強(qiáng)度、冰的強(qiáng)度及結(jié)構(gòu)三方面分析凍土的影響機(jī)理與強(qiáng)度組成。凍土的蠕變特性是凍土在施加恒定加載應(yīng)力后,應(yīng)變隨著時(shí)間的變化增大,直至土體本身失去穩(wěn)定最終達(dá)到破壞的過(guò)程[6]。學(xué)者通過(guò)構(gòu)建諸多蠕變模型來(lái)模擬凍土的蠕變行為,可分為經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?、流變模型和黏彈塑性模型等三類。曹虎生等[7]在開(kāi)爾文模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn),并對(duì)優(yōu)化后的參數(shù)與溫度線性回歸,得到了考慮溫度的凍土蠕變模型。姚兆明等[8]建立了考慮溫度效應(yīng)的凍結(jié)黏土內(nèi)變量蠕變模型,利用智能算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行計(jì)算和修正,并用不同加載等級(jí)的蠕變?cè)囼?yàn)對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證,結(jié)果表明該模型可較好地模擬凍土蠕變行為。

上述模型均為整數(shù)階蠕變模型,其對(duì)于巖土蠕變中介于理想固體與理想液體之間的力學(xué)性質(zhì)不能夠準(zhǔn)確描述。因此,將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)引入巖土蠕變模型建構(gòu)中能描述這種勾兌特性,并發(fā)揮其參數(shù)少、形式簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)。近年來(lái),巖土工程領(lǐng)域越來(lái)越多地引用分?jǐn)?shù)階微積分理論來(lái)描述不同巖土材料的力學(xué)特性。殷德順等[9]將Hollomon提出的金屬塑性拉伸變形方程式引入巖土工程中,并在分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)上給出了恒應(yīng)變率加載情況下的土應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。Hou等[10]考慮應(yīng)力引起的強(qiáng)弱化效應(yīng)對(duì)凍土蠕變的影響,提出了一種分?jǐn)?shù)階蠕變本構(gòu)模型。此外,一些學(xué)者還將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)理論應(yīng)用于元件模型中[11-14],得出了相關(guān)的分?jǐn)?shù)階蠕變模型。

分析西安某煤礦黏土在不同溫度、不同含水率及加載應(yīng)力下的單軸蠕變?cè)囼?yàn)曲線,得到其對(duì)凍結(jié)重塑黏土蠕變特性的影響規(guī)律。在經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷幕A(chǔ)上引入分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)理論,建立凍結(jié)溫度、含水率和加載應(yīng)力相互影響的人工凍結(jié)重塑黏土分?jǐn)?shù)階蠕變模型。

1 人工凍土力學(xué)試驗(yàn)

1.1 人工凍土單軸抗壓、蠕變?cè)囼?yàn)

所用土樣取自西安某煤礦黏土,取樣深度為10～20 m,將土樣加工成高度100 mm、直徑50 mm的圓柱體試樣(見(jiàn)圖1),用WDT-100型微機(jī)控制電液伺服凍土試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行單軸抗壓試驗(yàn)和單軸蠕變?cè)囼?yàn)[15]。試驗(yàn)土樣物理性質(zhì)指標(biāo)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 試樣物理性質(zhì)指標(biāo)參數(shù)

(a)試驗(yàn)前

(b)試驗(yàn)后

1.2 試驗(yàn)結(jié)果與分析

根據(jù)單軸抗壓強(qiáng)度試驗(yàn),得到凍結(jié)重塑黏土在3個(gè)含水率及不同溫度水平下的單軸抗壓強(qiáng)度,如表2所示。

表2 凍結(jié)重塑黏土單軸抗壓強(qiáng)度

凍結(jié)重塑黏土從加載到破壞的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系主要經(jīng)歷彈性階段,塑性階段和屈服破壞階段。彈性階段,隨著軸向應(yīng)力的增大,使得土體密實(shí)度增加,土樣的承載能力提高,此階段的應(yīng)力-應(yīng)變曲線基本呈線性增長(zhǎng);塑性階段,隨著軸向應(yīng)力的進(jìn)一步增大,土體發(fā)生不可逆變形,曲線呈非線性增長(zhǎng)趨勢(shì),應(yīng)力達(dá)到頂峰,土體內(nèi)部產(chǎn)生裂隙,冰結(jié)晶與圖顆粒開(kāi)始破壞;屈服破壞階段,應(yīng)力達(dá)到頂峰后繼續(xù)加載,試樣承載能力降低,試樣進(jìn)入軟化階段,且試樣隨凍結(jié)溫度的降低,單軸抗壓強(qiáng)度逐漸增大,結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同條件下凍結(jié)重塑黏土應(yīng)力-應(yīng)變曲線

如圖3所示,凍結(jié)重塑黏土含水率分別為12%、16%和20%以及溫度為-5 ℃、-10 ℃和-15 ℃的條件下開(kāi)展無(wú)側(cè)限單軸抗壓強(qiáng)度試驗(yàn),得到抗壓強(qiáng)度與含水率、凍結(jié)溫度間的關(guān)系圖,溫度、含水率和抗壓強(qiáng)度滿足

圖3 抗壓強(qiáng)度與含水率、凍結(jié)溫度關(guān)系

σs=-20-0.35T-760ω2+255ω,R2=0.98

(1)

隨著凍結(jié)重塑黏土含水率的增加,其強(qiáng)度呈先增大后降低趨勢(shì),含水率約16%時(shí)強(qiáng)度達(dá)到最大。原因是在含水率處于較低水平時(shí),含冰量的多少?zèng)Q定凍土的強(qiáng)度,同等溫度下,含水率增加導(dǎo)致含冰量相應(yīng)增大,凍結(jié)重塑黏土顆粒間冰膠結(jié)力增大,內(nèi)聚力增強(qiáng),從而導(dǎo)致強(qiáng)度增大。當(dāng)含水量達(dá)到最優(yōu)含水率后,隨著水分含量增加,內(nèi)部未凍水含量增多產(chǎn)生潤(rùn)滑作用,導(dǎo)致黏土顆粒間摩阻力降低,強(qiáng)度下降。

2 人工凍土分?jǐn)?shù)階蠕變模型

2.1 分?jǐn)?shù)階微積分的定義

β是一個(gè)正實(shí)數(shù),令n-1<β≤n,一個(gè)定義在[a,b]區(qū)間上的函數(shù)f(t)的β階分?jǐn)?shù)階積分的定義是

(2)

它的另一個(gè)表達(dá)形式為

(3)

其中Γ(z)表示通常的Gamma函數(shù),即

(4)

關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分有很多定義,其中Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分算子理論對(duì)函數(shù)f(t)的β階分?jǐn)?shù)階積分的定義為

(5)

對(duì)于函數(shù)f(x)=zx,z為常數(shù),其分?jǐn)?shù)階微分為

(6)

當(dāng)取t=v0τ時(shí),其中v0為常數(shù),則

(7)

(8)

2.2 分?jǐn)?shù)階蠕變模型的建立及參數(shù)確定

根據(jù)《人工凍土物理力學(xué)性能試驗(yàn)》[16]可知,以冪函數(shù)的組合形式能夠描述人工凍土蠕變特性,建立經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

(9)

式中:ε為軸向應(yīng)變;T為凍結(jié)溫度,單位為℃;t為時(shí)間,單位為h;A、k、b、c均為模型參數(shù),k、b、c分別反映了凍土變形發(fā)展受溫度、加載應(yīng)力、時(shí)間影響的敏感性;σ=ησs;η為蠕變加載系數(shù),為0.3或0.5;σs為單軸抗壓強(qiáng)度。

凍結(jié)重塑黏土的應(yīng)力應(yīng)變特性是介于理想固體和理想流體之間的某種關(guān)系,式(9)未能反映該種特性,而分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)能夠準(zhǔn)確描述該種關(guān)系,對(duì)式(9)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微分得到

(10)

(11)

分別將各含水率、溫度和加載等級(jí)下的應(yīng)變與時(shí)間取對(duì)數(shù),發(fā)現(xiàn)在同一含水率和加載等級(jí)下,不同凍結(jié)溫度條件下的應(yīng)變與時(shí)間取對(duì)數(shù)時(shí)具有線性關(guān)系,因此將各含水率下不同加載系數(shù)及不同溫度的試驗(yàn)值分別代入建立的模型中,聯(lián)立方程組對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行求解。對(duì)式(11)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)有

lgε=lgB+blgσ+βlg v0-lg Γ(2-β)+(1-β)lgt

(12)

圖4為對(duì)各含水率和不同溫度下的試樣進(jìn)行加載,加載等級(jí)為0.3σs和0.5σs的lgε-lgt擬合關(guān)系?？梢园l(fā)現(xiàn):

(1) 在圖4中,-5 ℃、-10 ℃、-15 ℃三個(gè)溫度下的lgε-lgt擬合曲線斜率近似平行,試樣蠕變變形值lgε隨著溫度的降低而減小。這是由于土中未凍水的含量逐漸減少,其抵抗變形的能力逐漸增大,蠕變變形值逐漸降低。

(2) 由圖4(b)、圖4(c)可以發(fā)現(xiàn),加載系數(shù)不同而擬合曲線斜率同樣近似平行,相同含水率和溫度下,擬合曲線截距隨加載系數(shù)的增大而增大。

綜上,凍結(jié)重塑黏土蠕變的lgε-lgt擬合曲線斜率均近似相等,其截距的值與含水率、加載系數(shù)及溫度有關(guān)。

(a)含水率 12%,加載系數(shù)0.5

(c)含水率16%,加載系數(shù)0.5

(d)含水率20%,加載系數(shù)0.5

2.2.1 參數(shù)β的確定

含水率為12%時(shí),加載系數(shù)0.3σs下,溫度分別為-5 ℃、-10 ℃、-15 ℃的線性表達(dá)式為

(13)

含水率為12%時(shí),加載系數(shù)0.5σs下,溫度分別為-5 ℃、-10 ℃、-15 ℃的線性表達(dá)式為

(14)

2.2.2 參數(shù)B和b的確定

lgB1+b1lg 0.3σs-lg Γ(2-β)=0.42

(15)

lgB1+b1lg 0.5σs-lg Γ(2-β)=0.75

(16)

計(jì)算出含水率為12%時(shí),T=-5 ℃的參數(shù)B1、b1的值,B1=8.86,b1=1.49。

同理求出不同的含水率與加載系數(shù)對(duì)應(yīng)的B和b的值(見(jiàn)表3)。

由表3及圖5、圖6可知,溫度與含水率對(duì)凍結(jié)重塑黏土蠕變特性均有較大影響。蠕變模型參數(shù)B的值隨著溫度的降低不斷減小,而b值變化不大。溫度-5 ℃時(shí)參數(shù)B在20%含水率下所得的值要小于在16%含水率下的值,表明在同種溫度條件下,接近最優(yōu)含水率的凍結(jié)重塑黏土延性更大,達(dá)到破壞所需時(shí)間增加,導(dǎo)致蠕變推遲。大于最優(yōu)含水率的凍結(jié)重塑黏土延性降低,達(dá)到破壞所需時(shí)間減少,加速蠕變提前。

表3 不同溫度、含水率條件下參數(shù)B和b的值

圖5 凍結(jié)重塑黏土參數(shù)B與溫度關(guān)系曲線

圖6 參數(shù)b(T,ω)三維擬合圖

由上述整理得,溫度T和含水率ω與B和b擬合關(guān)系式為

(17)

b=0.009 6T+12.96ω-0.068

(18)

將參數(shù)B和b代入式(11),得出與溫度和含水率有關(guān)的分?jǐn)?shù)階凍結(jié)重塑黏土蠕變模型為

(19)

根據(jù)推導(dǎo)出的分?jǐn)?shù)階凍結(jié)重塑黏土蠕變模型計(jì)算出該重塑黏土凍結(jié)狀態(tài)下的蠕變值,將計(jì)算得出的結(jié)果與試驗(yàn)值對(duì)比,結(jié)果如圖7所示。

(a)溫度-5 ℃,含水率12%

(b)溫度-15 ℃,含水率12%

(c)溫度-15 ℃,含水率16%

(d)溫度-5 ℃,含水率20%

(e)溫度-10 ℃,含水率20%

由圖7可知,總體上該經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ陀?jì)算值與試驗(yàn)值吻合程度較高,對(duì)不同含水率、不同溫度及加載等級(jí)下凍結(jié)重塑黏土蠕變值模擬結(jié)果較為準(zhǔn)確。其中圖7(e)和圖7(f)在0.5σs荷載等級(jí)下的試驗(yàn)值與計(jì)算值出現(xiàn)偏差,分析原因可能是含水率較高,試樣內(nèi)冰結(jié)晶的分布不均,且溫度越低,使得試樣中的冰結(jié)晶強(qiáng)度越大,造成單軸強(qiáng)度偏差越大,導(dǎo)致蠕變加載應(yīng)力偏差越大,以致試驗(yàn)值較計(jì)算值偏差越大。

3 結(jié)論與展望

鑒于以冪函數(shù)組合形式建立的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ驮诿枋鋈斯鐾寥渥兲匦院痛_定模型參數(shù)等方面的不足,基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)理論,建立能在不同溫度、不同含水率及加載強(qiáng)度條件下的凍結(jié)重塑黏土分?jǐn)?shù)階蠕變模型。所建模型具體結(jié)論如下:

(1) 通過(guò)在常見(jiàn)的蠕變模型中引入分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),能夠很好地反映凍結(jié)黏土蠕變介于理性固體和理想流體之間的某種勾兌特性。

(2) 建立的凍結(jié)重塑黏土分?jǐn)?shù)階蠕變模型參數(shù)在不同凍結(jié)溫度和含水率下,對(duì)不同加載應(yīng)力產(chǎn)生的蠕變與時(shí)間取對(duì)數(shù)聯(lián)立方程均具有物理意義且易于確定,便于工程應(yīng)用。

(3)所建凍結(jié)重塑黏土分?jǐn)?shù)階蠕變模型計(jì)算結(jié)果曲線與試驗(yàn)曲線吻合度較高,表明該模型能夠較好地描述凍結(jié)重塑黏土在單軸壓縮狀態(tài)下不同溫度和不同含水率的力學(xué)行為。

針對(duì)個(gè)別組分?jǐn)?shù)階蠕變模型計(jì)算值和試驗(yàn)值偏差較大的現(xiàn)象,將進(jìn)一步完善試驗(yàn)方案,如在蠕變?cè)囼?yàn)中增加0.7荷載等級(jí)加載和增加凍結(jié)溫度為-20 ℃的試驗(yàn),加大試驗(yàn)量為下一步優(yōu)化模型參數(shù)積累試驗(yàn)數(shù)據(jù)。凍結(jié)重塑黏土蠕變特性除了受凍結(jié)溫度、含水率和加載應(yīng)力影響外,還受損傷、固結(jié)壓力及應(yīng)力歷史等因素的影響。因此,建立考慮凍結(jié)重塑黏土主要因素影響的分?jǐn)?shù)階蠕變模型是下一步的研究目標(biāo),以便研究結(jié)果更好地服務(wù)實(shí)際工程。