變截面鋼桁腹混凝土組合梁-鋼腹桿剪應(yīng)力計算

劉亞琴，楊霞林

（蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070）

0 引言

鋼桁腹-混凝土組合梁橋采用鋼腹桿取代傳統(tǒng)混凝土箱梁中的混凝土腹板，通過節(jié)點(diǎn)與混凝土頂、底板進(jìn)行有效連接，并形成一個共同受力體系。鋼桁腹-混凝土組合梁示意圖1 所示，因其具有輕巧美觀、通透性好、跨越能力強(qiáng)及能較好改善混凝土腹板易開裂問題等優(yōu)點(diǎn)，在大跨徑橋梁中具有一定的實(shí)用性、經(jīng)濟(jì)性和競爭性[1-2]。對于鋼桁腹-混凝土組合梁橋，國際上已有不少工程實(shí)例[3]，國外學(xué)者針對該類橋型節(jié)點(diǎn)部位在不同連接方式下的受力特性等展開了一系列設(shè)計計算及試驗(yàn)研究工作[4-6]。目前國內(nèi)關(guān)于鋼桁腹-混凝土組合梁的研究主要集中在剪力滯效應(yīng)[7]、節(jié)點(diǎn)受力特性[8]、受彎性能[9]等方面。王彤等[2]人提出了利用抗剪等效的原則將鋼桁腹-混凝土組合梁換算為薄壁箱梁的計算理論，張巖[10]、于小芹[11]等人基于此等效原則展開了對該橋型的撓度計算及扭轉(zhuǎn)性能研究。

圖1 鋼桁腹-混凝土組合梁示意圖

在等截面鋼桁腹-混凝土組合梁的抗剪計算中，一般認(rèn)為剪力僅由鋼腹桿承擔(dān)[3]；與等截面梁不同的是，變截面梁由于附加剪應(yīng)力的存在使得應(yīng)力重分布，導(dǎo)致混凝土板承剪不可忽略[12]。若在分析變截面鋼桁腹-混凝土組合梁的鋼腹桿的剪應(yīng)力問題時，只考慮由剪力產(chǎn)生的剪應(yīng)力，這與實(shí)際抗力組成存在一定差異，故需要對變截面鋼桁腹-混凝土組合梁的剪應(yīng)力計算方法進(jìn)行優(yōu)化。

本文主要探討鋼腹桿在變截面鋼桁腹-混凝土組合梁中的抗剪性能，鋼腹桿的抗剪能力主要表現(xiàn)為腹桿軸力的豎向分量，由于鋼腹桿為離散桿件，平截面假定不再適用，無法建立適用的微分方程，故首先按照剪切變形一致的原則，將鋼桁腹組合梁轉(zhuǎn)換為連續(xù)體系的等效組合梁[2-3]，考慮混凝土頂、底板參與抗剪，計入軸力、彎矩、梁高等影響因素，基于變截面波形鋼腹板組合箱梁剪應(yīng)力計算理論[13-15]，在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)變截面鋼桁腹-混凝土組合梁鋼腹桿的剪應(yīng)力計算公式、鋼腹桿的剪應(yīng)力沿縱橋向變化規(guī)律及剪力分配率；同時結(jié)合算例和有限元進(jìn)行分析，驗(yàn)證本文計算方法的合理性，為鋼桁腹-混凝土組合梁的設(shè)計提供參考依據(jù)。

1 等截面梁剪應(yīng)力計算理論

對于斜鋼腹桿，由于腹桿的不連續(xù)性，在進(jìn)行計算時需根據(jù)剪切變形相等的原則，參考文獻(xiàn)[2]的換算方法，將斜鋼腹桿轉(zhuǎn)換為具有等效厚度的平鋼腹板，假設(shè)等效鋼腹板的厚度為te，則：

式中，E為鋼材彈性模量；G為鋼材剪切模量；b、h分別為斜鋼腹桿的水平和豎向投影長度；d為斜鋼腹桿的長度；As為斜鋼腹桿的橫截面積。

1.1 忽略混凝土板承剪的剪應(yīng)力計算理論

若認(rèn)為截面剪力僅由鋼腹桿承擔(dān)，假設(shè)截面剪應(yīng)力沿梁高方向均勻分布，各個桿件的受力符合小變形假定且均在彈性范圍內(nèi)，則此時鋼腹桿的豎向剪應(yīng)力τs計算公式為：

式中，V為截面豎向剪力；Ae為斜鋼腹桿的抗剪面積；n為橫截面上腹板數(shù)量；b為鋼腹桿截面總寬度，即b=n?te。

1.2 考慮混凝土板承剪的剪應(yīng)力計算理論

在結(jié)構(gòu)處于線彈性狀態(tài)下，若在等截面梁剪應(yīng)力計算中，考慮混凝土頂、底板承擔(dān)部分剪力，基于材料力學(xué)等截面梁剪應(yīng)力計算公式，則此時斜鋼腹桿的剪應(yīng)力計算公式為：

式中，S為截面靜矩，計算時忽略鋼腹桿的截面靜距；I為截面抗彎慣性矩，計算時忽略鋼腹桿縱向抗彎慣性矩，

2 變截面梁剪應(yīng)力計算理論

如圖2 所示，將變截面鋼桁腹-混凝土組合梁橫截面等效為矩形箱梁，取變截面鋼桁腹-混凝土組合梁一個微元段dx進(jìn)行分析，該微元段示意圖如圖3 所示，該微元段在豎向剪力V、軸力N 及彎矩M 共同作用下，變截面鋼桁腹-混凝土組合梁的剪應(yīng)力τ為：

圖2 組合梁等效截面

圖3 變截面梁微元段受力

如圖3 所示，微元體處于平衡，以微元段左側(cè)截面為研究對象，對右側(cè)截面形心點(diǎn)處取矩，可得：

式中，θ為微元段縱截面形心連線與水平線的夾角。

由材料力學(xué)公式可得，任意計算截面正應(yīng)力σ計算公式為：

式中，A為混凝土頂、底板截面面積之和，A=b1t1+b2t2;ys為截面形心距截面上緣的距離。

為計算橫截面任意計算位置處的剪應(yīng)力τ，選取微元段水平線a-a’以上隔離體作為研究對象，隔離體沿水平方向合力為0，可得：

式中，F(xiàn) x為計算點(diǎn)以上區(qū)域內(nèi)水平力合力，因y≤ys，可將隔離體Fx的作用點(diǎn)取在頂板形心處，則：

根據(jù)式（8）—（9），當(dāng)忽略軸力N 在微元段內(nèi)的變化，即dN/dx=0，此時等效鋼腹板的剪應(yīng)力計算公式為：

將式（6）代入式（10），整理得變截面梁剪應(yīng)力計算一般公式為：

將式（11）與式（6）聯(lián)立，即可得到分別由豎向剪力V、軸力N 及彎矩M 產(chǎn)生的剪應(yīng)力數(shù)值。

若式（11）中的微分項和截面傾角均為0，即梁高、底板厚度均不沿梁的跨徑方向變化，則該式就轉(zhuǎn)換為等截面梁剪應(yīng)力的計算公式（3）。與計算等截面梁剪應(yīng)力不同的是，變截面梁剪應(yīng)力除計算由剪力V 產(chǎn)生的剪應(yīng)力外，還需考慮軸力N 和彎矩M引起的附加剪應(yīng)力的疊加，后兩者僅存在于變截面梁的剪應(yīng)力計算中。本文基于等效組合梁來研究鋼腹桿的剪應(yīng)力，則剪應(yīng)力計算點(diǎn)應(yīng)選取在等效鋼腹板上，即t1＜y≤H?t2，忽略等效鋼腹板截面面積時，其計算點(diǎn)位置應(yīng)位于混凝土頂板與等效鋼腹板相交處，即y=t1、A1=Aa、S1=Sa，此時式（11）中各微分項表達(dá)式為：

根據(jù)形心軸的定義，即截面形心軸上下區(qū)域?qū)π涡妮S的靜距在數(shù)值上恒等，即S1=S2，所以式（15）可簡化為：

其中：

式中，b1、b2、t1、t2為混凝土頂?shù)装宓膶挾群秃穸?；A1為混凝土頂板的截面面積；S1、S2分別為混凝土頂、底板對形心軸的截面靜矩；y x為截面形心距截面下緣的距離；tanα、tanβ分別表示底板厚度和梁高沿梁跨徑方向的變化率。

將式（12）—（17）代入式（11），得到不考慮等效鋼腹板面積時變截面鋼桁腹-混凝土組合梁剪應(yīng)力計算表達(dá)式為：

分析式（19）和式（20），可得到k N＜ 0、k M＜ 0，則可知由軸力和彎矩產(chǎn)生的附加剪應(yīng)力與剪力產(chǎn)生的剪應(yīng)力方向相反；對于同一截面尺寸和同一材料的等截面梁和變截面梁，經(jīng)計算得到的剪應(yīng)力值變截面梁小于等截面梁。

3 算例驗(yàn)證

本文結(jié)合一座實(shí)橋算例驗(yàn)證，選取變截面鋼桁腹-混凝土組合梁一個邊跨為例，截面尺寸圖如圖4、圖5 所示，該梁頂、底板寬度及厚度均不沿跨徑方向變化，僅梁的高度沿跨徑方向變化，梁底沿跨徑方向呈拋物線變化。主梁為單箱單室截面，頂板和底板寬分別為5.5 m 和3.4 m，懸臂梁端部梁高為2 m，根部梁高為3.5 m，跨徑為29.92 m。混凝土頂?shù)装宀捎肅50，其中彈性模量和泊松比分別為3.45×104MPa 和0.2；鋼腹桿采用方形鋼管，其中彈性模量和泊松比分別為2.06×105MPa 和0.3。本文在變截面鋼桁腹懸臂梁端部作用一豎向集中荷載P=1 000 kN，分析變截面鋼桁腹-混凝土組合梁鋼腹桿剪應(yīng)力問題。

圖4 懸臂梁端部和根部橫截面尺寸圖（單位：mm）

圖5 懸臂梁縱截面尺寸圖（單位：mm）

3.1 截面參數(shù)計算

為使計算結(jié)果精確化，如圖5 所示，本文選取距懸臂梁端部28.52 m、21.62 m、15.12 m、9.12 m、3.12 m 處的5 個橫截面作為計算截面，分別記作A-A′、B-B′、C-C′、D-D′、E-E′截面。

本文為簡化計算，將圖4 所示變截面鋼桁腹組合梁橫截面按以下條件轉(zhuǎn)換：混凝土頂板厚度取頂板跨中厚度、底板厚度按照等面積換算，按式（1）計算等效鋼腹板的厚度，變截面鋼桁腹-混凝土懸臂梁端部及根部橫截面計算簡圖如圖6 所示。由式（11）可知，該式的實(shí)際計算較為繁瑣，因此可先求出計算截面的I、Sa、Aa等其他參數(shù)具體值，再計算相鄰截面的對應(yīng)參數(shù)變化率，作為該參數(shù)在計算截面的微分值，以此類推，得到計算截面A-A′、B-B′、C-C′、D-D′、E-E′的相關(guān)幾何參數(shù)，如表1所示。

表1 計算截面主要參數(shù)

圖6 懸臂梁端部和根部橫截面計算簡圖（單位：mm）

3.2 鋼腹桿剪應(yīng)力及承剪比

一般認(rèn)為，鋼-混組合梁中主要為混凝土板受彎，鋼腹板受剪，但這種忽略混凝土頂、底板承剪能力的設(shè)計計算方法偏于保守，故在此計算混凝土板參與抗剪時鋼腹桿的承剪比例。對于變截面鋼桁腹組合梁的鋼腹桿承剪比，可通過下式計算：

式中，Vs為等效鋼腹板或鋼腹桿所承擔(dān)的剪力；Vc為混凝土板所承擔(dān)的剪力。

根據(jù)式（2）計算忽略混凝土板承剪時等效鋼腹板剪應(yīng)力記作τ1；按照式（3）和式（21）計算考慮混凝土板承剪時等截面梁等效鋼腹板剪應(yīng)力及承剪比，分別記作τ2、η f1，如表2 所示。

表2 等截面梁等效鋼腹板剪應(yīng)力及承剪比

按照式（18）和式（21）計算考慮混凝土板承剪時等效鋼腹板剪應(yīng)力及承剪比，如表3 所示。

表3 考慮混凝土板承剪的變截面梁等效鋼腹板剪應(yīng)力及承剪比

由表2 和表3 可知，在集中荷載作用下，越靠近懸臂梁根部負(fù)彎矩越大，等截面梁與變截面梁等效鋼腹板承剪比相差越大，差值占比約79.75%；對變截面梁來說，懸臂梁端部鋼腹桿承擔(dān)約81.48%的剪力，而懸臂梁根部混凝土板承擔(dān)約89.10%的剪力，故在變截面鋼桁腹-混凝土組合梁的抗剪計算中混凝土板承剪不可忽略。

4 解析法和有限元對比分析

4.1 有限元模型

為驗(yàn)證上述理論計算方法的合理性與適用性，利用ANSYS 有限元軟件進(jìn)行模擬，其中混凝土板采用Solid185 單元，鋼腹桿采用beam188 單元，有限元模型如圖7 所示?；炷梁弯摬木暈槭歉飨蛲圆牧?，在建模時混凝土頂、底板與鋼腹桿的接觸部位采用共節(jié)點(diǎn)耦合連接，變截面鋼桁腹-混凝土懸臂梁根部采用固端約束，端部為自由度無約束，在懸臂梁端部施加一豎向集中荷載P=1 000 kN。

圖7 有限元模型示意圖

4.2 對比分析

由表4 分析可知，由于鋼腹桿的不連續(xù)性、鋼腹桿的等效方法存在的差異性，導(dǎo)致截面B-B′的計算結(jié)果相對誤差較大，其余截面的理論值與有限元值總體上吻合良好，故本文的計算方法具有一定的合理性。

表4 變截面梁鋼腹桿剪應(yīng)力解析法與有限元法對比

由圖8 和圖9可知：

圖8 鋼腹桿剪應(yīng)力變化圖

圖9 等效鋼腹板剪應(yīng)力分配比

1）變截面鋼桁腹-混凝土組合梁在集中荷載作用下，從懸臂梁端部到根部，鋼腹桿的剪應(yīng)力呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢，不同計算方法得到的剪應(yīng)力變化趨勢基本相同；在計算變截面鋼桁腹-混凝土組合梁的鋼腹桿剪應(yīng)力時，忽略混凝土板抗剪和變截面效應(yīng)的影響，會使最終結(jié)果產(chǎn)生較大誤差。

2）變截面鋼桁腹-混凝土組合梁鋼腹桿的總剪應(yīng)力值小于由剪力產(chǎn)生的剪應(yīng)力值，越靠近懸臂梁根部，彎矩產(chǎn)生的附加剪應(yīng)力越是逐漸增大，鋼腹桿的剪應(yīng)力逐漸減小，且根據(jù)表3 可知，從懸臂梁端部到根部，鋼腹桿的承剪比例在減小。

5 結(jié)論

1）由于鋼腹桿的穩(wěn)定性較好，因此在等截面鋼桁腹混凝土-組合梁的抗剪計算中，可忽略混凝土頂?shù)装宓目辜裟芰?；變截面鋼桁?混凝土組合梁抗剪計算中需考慮由軸力和彎矩產(chǎn)生的附加剪應(yīng)力，且該部分附加剪應(yīng)力的方向與由剪力產(chǎn)生的剪應(yīng)力方向相反。

2）對于變截面鋼桁腹懸臂梁，從梁端部到根部，負(fù)彎矩逐漸增大，鋼腹桿的承剪比例逐漸下降；在懸臂梁的根部截面，混凝土板的承剪比例達(dá)到最大，表明在設(shè)計計算時混凝土板的抗剪作用不可忽略。

3）在變截面鋼桁腹-混凝土組合梁設(shè)計時，若忽略頂?shù)装宓某屑裟芰沟糜嬎憬Y(jié)果過于保守，在考慮經(jīng)濟(jì)方面后這種設(shè)計方法欠妥，因此在進(jìn)行精細(xì)化設(shè)計時應(yīng)優(yōu)化設(shè)計方法。

4）本文關(guān)于變截面鋼桁腹-混凝土組合梁的剪應(yīng)力計算公式僅考慮了線彈性狀態(tài)下的受力階段，在初步設(shè)計時具有一定的參考意義，但組合梁構(gòu)件在實(shí)際工作中會存在材料和幾何非線性問題，故仍需在后續(xù)設(shè)計中進(jìn)一步研究。