帶有最優(yōu)流量信息中斷期望影響的一類新格子模型

劉麗梅，化存才

(1.云南民族大學(xué) 預(yù)科教育學(xué)院，云南 昆明 650504；2.云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

隨著經(jīng)濟(jì)的迅速增長以及社會(huì)現(xiàn)代化的不斷發(fā)展，道路上的車輛數(shù)量逐年攀升，這也導(dǎo)致交通擁堵和交通事故日益頻發(fā).為緩解日趨復(fù)雜的交通問題，眾多學(xué)者對(duì)交通流模型進(jìn)行研究，交通流模型可分為宏觀的交通流模型和微觀的交通流模型[1-7].1998 年，Nagatani 提出涉及交通流的宏觀格子流體動(dòng)力學(xué)模型[8]，這對(duì)研究交通流具有里程碑的意義.此后，學(xué)者們?cè)诖嘶A(chǔ)上對(duì)模型進(jìn)行了改進(jìn)，提出了許多考慮不同因素的格子流體力學(xué)模型，如李志鵬等[9]在Nagatani's 模型的基礎(chǔ)上考慮流量差的影響，并驗(yàn)證考慮流量差的影響能提高交通流的穩(wěn)定性.田鈞方等考慮密度差影響的格子流體力學(xué)模型，這對(duì)抑制交通擁堵起到積極的作用[10].在現(xiàn)實(shí)生活中，駕駛員的個(gè)體特征也是影響交通流穩(wěn)定性的重要因素之一，彭光含等在Nagatani's 模型的基礎(chǔ)上考慮駕駛員預(yù)估效應(yīng)的影響[11].Kang 等[12]提出考慮駕駛員反應(yīng)延遲影響的格子流體力學(xué)模型.之后，考慮駕駛員急性、膽量等特征的交通流模型也被學(xué)者研究.隨著道路交通量的逐漸增多，道路交通環(huán)境也時(shí)常影響交通流的穩(wěn)定性.特別的，由行人、事故等因素造成的交通中斷是導(dǎo)致交通擁堵的一個(gè)重要原因.任何行駛的車輛均有可能出現(xiàn)中斷，而交通中斷往往是以不確定的概率發(fā)生.唐鐵橋等[13]，提出考慮前車速度中斷影響的車輛跟馳模型.之后，孫棣華等[14]在變道的2 車道格子流體力學(xué)模型中加入中斷概率，發(fā)現(xiàn)變道可以平均各車道的交通量，但當(dāng)前格子流量中斷會(huì)使得交通狀況惡化.Jiang等[15]考慮后視以及中斷共同影響的格子流體力學(xué)模型，結(jié)果表明2 個(gè)因素都能提高交通流的穩(wěn)定性.彭光含等[16-18]考慮j+2格子最優(yōu)流量中斷的格子流體力學(xué)模型.

這些考慮中斷影響的模型均能改善交通流的穩(wěn)定性.在實(shí)際交通流中，交通中斷概率是駕駛員對(duì)可能發(fā)生交通中斷的預(yù)期行為.j+1格子最優(yōu)流量可看成是駕駛員在行駛過程中根據(jù)運(yùn)行狀況預(yù)估得到的優(yōu)化流量，預(yù)估中斷發(fā)生時(shí)最優(yōu)流量變?yōu)?，而以往的模型并未考慮j+1格子最優(yōu)流量中斷的期望行為.為此，本文在Nagatani's 格子流體力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，考慮j+1格子最優(yōu)流量信息中斷的期望行為，提出一類新的格子流體力學(xué)模型；利用線性穩(wěn)定和非線性穩(wěn)定分析方法，得到模型的穩(wěn)定性條件和對(duì)應(yīng)的mKdV 方程；通過求解mKdV 方程，分析交通密度波傳播演變的過程；最后，通過數(shù)值仿真驗(yàn)證理論分析的正確性.

1 模型的建立

在1998 年，Nagatani[8]提出最早的格子流體力學(xué)模型，其模型方程如下：

式中：ρ0為 平均密度，ρj，vj分別表示在第j格點(diǎn)t時(shí)刻的瞬時(shí)密度和瞬時(shí)速度，a為駕駛員的敏感系數(shù).ρ0V(ρj+1) 表示最優(yōu)流量，V(ρj+1)為駕駛員根據(jù)交通狀況預(yù)估得到的最優(yōu)速度，其形式為：

其中：ρc表示安全密度，ρ0表 示平均密度，vmax表示最大行駛速度.

在實(shí)際的交通中，交通中斷概率是駕駛員對(duì)可能發(fā)生交通中斷的預(yù)估行為，為揭示j+1格子最優(yōu)流量信息中斷的期望行為對(duì)交通流穩(wěn)定性的影響，本文在(2)式中添加最優(yōu)流量中斷的概率，提出新的格子流體力學(xué)演化方程，模型方程如下：

式中：pj+1表 示優(yōu)化流量在第j+1格 子中斷的概率，為簡化計(jì)算將中斷概率pj+1看成常數(shù)p.因此，方程(4)可以寫成如下形式：

2 線性穩(wěn)定分析

對(duì)提出的格子流體力學(xué)模型(5)進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析，研究優(yōu)化流量中斷概率的期望行為對(duì)交通擁堵演變的影響.在穩(wěn)定狀態(tài)下，假設(shè)交通流的穩(wěn)定密度為 ρ0，最優(yōu)速度為V(ρ0)，得到穩(wěn)定狀態(tài)的密度和速度分別為：

假定yj(t)表示格點(diǎn)j上穩(wěn)定狀態(tài)密度的小擾動(dòng)量，此時(shí)密度變?yōu)椋?/p>

將(7)式代入(5) 式得

通過展開yj(t)=Aeikj+zt，方程(8)變?yōu)椋?/p>

將z=z1ik+z2(ik)2+···代 入方程(9)，可得到關(guān)于 ik的1 階、2 階項(xiàng)的系數(shù)

當(dāng)z2>0,交通流是穩(wěn)定的，但當(dāng)z2<0時(shí)交通流將演化為非穩(wěn)態(tài)流.由此，可得到交通流中性穩(wěn)定曲線

均勻流的穩(wěn)定條件可表示為：當(dāng)p=0時(shí)，上述穩(wěn)定條件變成Nagatani's 模型的穩(wěn)定條件.

根據(jù)(12)式可知，最優(yōu)流量中斷的概率p對(duì)交通流的穩(wěn)定性具有重要的影響.由(11)式可畫出擾動(dòng)中斷概率p在取不同值（0，0.1，0.2，0.3）時(shí)的中性穩(wěn)定曲線，如圖1 中的實(shí)線.圖1 中虛線為共存曲線，由后續(xù)的非線性分析導(dǎo)出.每條中性穩(wěn)定曲線都存在一個(gè)最高點(diǎn)，被稱為臨界點(diǎn) (ρc,ac).在中性穩(wěn)定線上方的區(qū)域交通流是穩(wěn)定的，而在中性穩(wěn)定線下方的區(qū)域交通流是非穩(wěn)定的.當(dāng)p=0，即不存在擾動(dòng)中斷情況時(shí)，交通流的中性穩(wěn)定曲線同Nagatani's 模型，穩(wěn)定區(qū)域的面積最小.之后，隨著p的逐漸變大，交通流的臨界穩(wěn)定點(diǎn)和中性穩(wěn)定線逐漸降低，交通流穩(wěn)定區(qū)域的面積擴(kuò)大，交通流越穩(wěn)定.由此說明添加最優(yōu)流量中斷期望影響的格子模型比Nagatani's 模型更穩(wěn)定.同時(shí)增大最優(yōu)流量擾動(dòng)中斷的概率p能提高交通流的穩(wěn)定性.

圖1 不同擾動(dòng)中斷概率p 下密度與靈敏度的相圖Fig.1 The phase diagram of the density and the sensitivity under different interruption probabilities p

3 非線性穩(wěn)定分析

為研究交通流密度波的傳播演變行為，本文將采用還原擾動(dòng)法在臨界點(diǎn) (ρc,ac)附近導(dǎo)出mKdV 方程分析交通演變的非線性現(xiàn)象.現(xiàn)對(duì)空間變量x和時(shí)間變量t引入緩慢變量X和T，即

式中：0<ε ?1，b為待定參數(shù).并且密度為：

將方程(13)～(14)代入到方程(5)中，并對(duì)方程(5)進(jìn)行Taylor 展開至 ε5項(xiàng)，得到如下方程

式中：C表示扭結(jié)-反扭結(jié)解的傳播速度，滿足以下可解性條件

M[R0′]=M[R′]，扭結(jié)-反扭結(jié)解的傳播速度C為：

由此，mKdV 方程關(guān)于密度的扭結(jié)-反扭結(jié)孤子解為：

扭結(jié)-反扭結(jié)孤立波解代表低密度時(shí)的自由相和高密度時(shí)的擁堵相，共存曲線是由 ρj=ρc±A推導(dǎo)出來的，其中從圖1 中可以發(fā)現(xiàn)，中性穩(wěn)定曲線(實(shí)線)和共存曲線(虛線)將交通流分成穩(wěn)定、亞穩(wěn)定、不穩(wěn)定3 個(gè)區(qū)域.隨著參數(shù)p的逐漸變大，交通流的臨界點(diǎn)逐漸變小，共存曲線逐漸降低，交通流不穩(wěn)定區(qū)域的面積逐漸變小，交通流越穩(wěn)定.即考慮最優(yōu)流量中斷的期望行為對(duì)改善交通流的穩(wěn)定性起著積極的作用.

4 仿真模擬

數(shù)值模擬用來驗(yàn)證理論分析的正確性，本節(jié)采用周期邊界條件，初始條件選取如下[18].

式中：N=100，ρc=ρ0=0.25，a=2.3，vmax=2.

圖2 為1 04時(shí)間步長之后，擾動(dòng)中斷概率p分別取不同值下的密度波隨時(shí)間的演變圖，圖2(a)～(d)分別對(duì)應(yīng)不同的中斷概率p=0、0.1、0.2、0.3. 從圖2 中可發(fā)現(xiàn)當(dāng)p=0時(shí)模型變成Nagatani's 模型，此時(shí)，密度波的振幅波動(dòng)較大交通流極不穩(wěn)定.但從圖2(b)～(d)，隨著p逐漸增大，交通流的密度波的振幅逐漸減小，交通流越來越穩(wěn)定.并且p=0.1、0.2、0.3時(shí)的密度波的振幅均低于Nagatani's 模型的振幅，即考慮最優(yōu)流量信息中斷的期望影響的格子模型比Nagatani's 模型更穩(wěn)定.當(dāng)p=0.3，滿足穩(wěn)定條件(12)，即使在初始條件下加入小擾動(dòng)，但隨著時(shí)間的推移，交通密度波的振幅最終消失，交通流趨于穩(wěn)定.因此，考慮最優(yōu)流量中斷的概率能提高交通流的穩(wěn)定性.

圖2 不同擾動(dòng)中斷概率p 下密度波隨時(shí)間的演化情況Fig.2 The spatiotemporal evolution of density waves for different interruption probability p

為更直觀地研究最優(yōu)流量中斷的概率p對(duì)交通流密度波的影響，圖3 畫出了p分別取0、0.1、0.2、0.3不 同參數(shù)下：(a)在t=10 300時(shí)間步長的瞬時(shí)密度分布情況和(b)遲滯回環(huán)曲線.圖3(a)更能直觀地顯示，隨著最優(yōu)流量中斷的概率p變大，交通流密度波的振幅逐漸變小.同時(shí)p=0.1,0.2,0.3曲線的振幅均低于p=0 即Nagatani's 模型的振幅.特別，當(dāng)p=0.3時(shí)，滿足穩(wěn)定條件(12)時(shí)，此時(shí)交通密度波的振幅保持穩(wěn)定狀態(tài).圖3(b)繪制了交通密度與流量關(guān)系的遲滯回環(huán)圖，當(dāng)遲滯回環(huán)區(qū)域變小，流量波動(dòng)的幅度小，交通流穩(wěn)定.反之，遲滯回環(huán)區(qū)域大，則流量波動(dòng)的幅度大，交通流不穩(wěn)定.當(dāng)p=0時(shí)模型變?yōu)镹agatani's 模型，遲滯回環(huán)的區(qū)域最大，此時(shí)交通流極其不穩(wěn)定.但隨著參數(shù)p的逐漸增大，遲滯回環(huán)的區(qū)域變小，交通流量波動(dòng)的幅度越來越小，交通流越穩(wěn)定.當(dāng)p=0.3時(shí)，遲滯回環(huán)曲線變成一個(gè)點(diǎn)，流量保持不變，交通流最穩(wěn)定.因此，考慮最優(yōu)流量中斷的概率能提高交通流的穩(wěn)定性.

圖3 瞬時(shí)密度分布和遲滯回環(huán)曲線圖Fig.3 The density profile of the density wave and hysteresis loop curve graph

5 結(jié)論

交通中斷可看成駕駛員對(duì)未發(fā)生的交通狀況的預(yù)估行為，為分析最優(yōu)流量中斷的期望行為對(duì)交通流穩(wěn)定性的影響，本文提出了一類擴(kuò)展的Nagatani's 模型.首先，通過線性穩(wěn)定分析方法，得到關(guān)于最優(yōu)流量中斷概率p影響下的穩(wěn)定條件，由相圖得到，隨著p的不斷增大，交通穩(wěn)定區(qū)域逐漸增大，并發(fā)現(xiàn)含有參數(shù)p的格子模型穩(wěn)定區(qū)域比Nagatani's 模型大.其次，采用非線性分析方法，在臨界穩(wěn)定點(diǎn)附近導(dǎo)出mKdV 方程，通過求解方程得到的扭結(jié)-反扭結(jié)解描述交通密度波的演變過程，并畫出共存曲線，進(jìn)一步驗(yàn)證引入最優(yōu)流量中斷概率p對(duì)改善交通擁堵是有效的.最后，利用仿真算例驗(yàn)證了理論分析結(jié)果，進(jìn)一步證明了含有參數(shù)p的格子流體力學(xué)模型比Nagatani's 模型更能有效地抑制交通擁堵，即考慮最優(yōu)流量中斷的期望行為對(duì)提高交通流的穩(wěn)定性具有積極的影響.

本文探討添加最優(yōu)流量中斷期望影響的格子模型對(duì)交通流穩(wěn)定性的影響，后續(xù)可結(jié)合能耗和心理特征等方面，收集與實(shí)際相關(guān)的多交通信息研究多車道交通流，為仿真和控制提供更多的理論基礎(chǔ).