結(jié)構(gòu)動力學(xué)應(yīng)用中若干基本概念的研究

張開銀, 孫 齊, 熊駟東, 蔣紫玲

(武漢理工大學(xué) 船海與能源動力工程學(xué)院,武漢 430063)

隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展,各種工程結(jié)構(gòu)和供應(yīng)產(chǎn)品向大型、高速、高性能、高精度和輕結(jié)構(gòu)方向發(fā)展,動力學(xué)問題也越來越備受重視。在現(xiàn)代工程和結(jié)構(gòu)設(shè)計中,必須進(jìn)行結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析和動態(tài)設(shè)計,同時,結(jié)構(gòu)動力學(xué)也是結(jié)構(gòu)振動控制、結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化設(shè)計、結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計、結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測和結(jié)構(gòu)計算機(jī)輔助設(shè)計等學(xué)科的基礎(chǔ)。由此應(yīng)用而涉及到的一些動力學(xué)基本概念理解的問題凸顯出來。本文就結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)與第一階固有頻率的關(guān)系、結(jié)構(gòu)各階位移模態(tài)的貢獻(xiàn)與模態(tài)應(yīng)變能的關(guān)系、單自由度系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)共振的概念及區(qū)別、多自由度系統(tǒng)共振內(nèi)涵之辨析、結(jié)構(gòu)共振之工程應(yīng)用等問題進(jìn)行了深入分析與辨析。

1 各階位移模態(tài)與模態(tài)應(yīng)變能

用諧波分析的方法將周期為T的激振力按照傅里葉級數(shù)展開,即

(1)

式中:ω為基頻,ωi=iω稱為倍頻;利用上式可以將一周期激振力分解為一系列頻率為iω的簡諧激振力,由于線性系統(tǒng)服從疊加原理,因此激振力f(t)總的響應(yīng)等于各簡諧激振力響應(yīng)之和。

工程上習(xí)慣性地稱第一階固有頻率為基頻[1-2]。由振型疊加原理可知,結(jié)構(gòu)的響應(yīng)按結(jié)構(gòu)模態(tài)振型展開,理論上各階模態(tài)的地位是等同的,其對位移響應(yīng)的貢獻(xiàn)取決于模態(tài)參與因子。結(jié)構(gòu)的其他階固有頻率與第一階固有頻率一般不存在倍數(shù)的關(guān)系;因此,直接地將第一階固有頻率稱為基頻是不合適的,夸大了第一階模態(tài)在結(jié)構(gòu)動力分析中的地位,強(qiáng)化了“第一階模態(tài)貢獻(xiàn)較大而高階模態(tài)貢獻(xiàn)較小”的概念[3]。以至于在工程實際中分析結(jié)構(gòu)動力特性時,往往偏重于第一階模態(tài)的分析,而輕視了高階模態(tài)。

根據(jù)振型疊加原理,結(jié)構(gòu)的響應(yīng)可視為各階模態(tài)分量加權(quán)之和[4]

u=Φξ

(2)

式中:u為物理坐標(biāo)陣;Φ為模態(tài)矩陣;ξ為主坐標(biāo)陣。

各階模態(tài)對結(jié)構(gòu)的影響程度分析有待進(jìn)一步推進(jìn),為了更深入了解各階模態(tài)響應(yīng)與模態(tài)應(yīng)變的關(guān)系,現(xiàn)以一橫向振動的勻質(zhì)等截面簡支梁為例進(jìn)行討論。假定梁的第j階模態(tài)所對應(yīng)的響應(yīng)為

(3)

根據(jù)初等梁理論,第j階模態(tài)對應(yīng)的應(yīng)變能為

(4)

式中:l為梁長;EI為梁的抗彎剛度。

根據(jù)式(4),若結(jié)構(gòu)第n階模態(tài)與第m階模態(tài)具有相同應(yīng)變能時,對應(yīng)的最大振幅比為

(5)

同理,根據(jù)式(4),若梁結(jié)構(gòu)第n階模態(tài)與第m階模態(tài)具有相同的振幅時,對應(yīng)的應(yīng)變能為

(6)

為了說明各階模態(tài)對結(jié)構(gòu)的影響,給某簡支梁一特定激勵,假定其響應(yīng)僅由第一階模態(tài)與第二階模態(tài)所構(gòu)成,根據(jù)式(4),當(dāng)結(jié)構(gòu)的第一階模態(tài)與第二階模態(tài)具有相同應(yīng)變能(∏1max=∏2max)時,結(jié)構(gòu)的第一階模態(tài)對應(yīng)的最大振幅是第二階模態(tài)的對應(yīng)的最大振幅的四倍,即(ξ1max=4ξ2max)。往往也是如此,結(jié)構(gòu)第一階模態(tài)的最大振幅比高階模態(tài)的振幅更大,詮釋了為什么第一階模態(tài)更容易被觀察到也更受重視。而當(dāng)結(jié)構(gòu)第一階模態(tài)對應(yīng)的最大振幅與第二階模態(tài)對應(yīng)的最大振幅相等時(ξ1max=ξ2max),結(jié)構(gòu)第一階模態(tài)對應(yīng)的應(yīng)變能僅是第二階模態(tài)對應(yīng)的應(yīng)變能1/16(∏1max=1/16∏2max)。所以,低階模態(tài)具有較大的位移,并不一定具有較大的應(yīng)變能,在進(jìn)行結(jié)構(gòu)動力特性分析時,不能過分偏重低階模態(tài)而輕視高階模態(tài)。

2 多自由度系統(tǒng)的模態(tài)疊加計算

2.1 模態(tài)位移法

如圖1所示,四個自由度結(jié)構(gòu)的抗剪模型,其剪切剛度系數(shù)及樓板質(zhì)量均表示在圖1中,在頂層受一水平力pcos(Ωt)。

圖1 四自由度結(jié)構(gòu)抗剪模型

計算分析系統(tǒng)的固有頻率,模態(tài)矩陣,模態(tài)質(zhì)量,模態(tài)剛度,模態(tài)力,以及系統(tǒng)在不同的激振頻率下用不同的截斷(即N=1,N=2,N=3,N=4)方法的響應(yīng)振幅。選各層的水平位移u1,u2,u3,u4為廣義坐標(biāo),根據(jù)達(dá)朗貝爾原理可列出系統(tǒng)的運動方程為

式中:m為各樓板質(zhì)量;k為剪切剛度系數(shù);u為各層的水平位移;M為質(zhì)量矩陣;K為剛度矩陣;F為荷載向量。其固有頻率即模態(tài)矩陣可用后面的求廣義特征值和特征向量的方法獲得

其各階振型如圖2所示。

圖2 各階主振型

求得模態(tài)質(zhì)量,模態(tài)剛度和模態(tài)力為

模態(tài)剛度可以從上式求得,也可用更簡單的方法求得,即

其余的模態(tài)質(zhì)量,模態(tài)剛度可用相似的方法求得,即

模態(tài)力

因系統(tǒng)是單點簡諧激勵。而且要求u1的穩(wěn)定響應(yīng)幅值,可直接用公式,并表明各階模態(tài)的影響,有

對Ω=0.5ω1,Ω=1.3ω3,其u1的幅值(pcos(Ωt)的系數(shù))計算結(jié)果如表1所示。

表1 u1幅值計算結(jié)果

從上述結(jié)果可以看出,只取第一階模態(tài)在3個激振頻率下都是不精確的,誤差太大。取前3個模態(tài)在激振頻率為0或0.5ω1時,其響應(yīng)已足夠精確,但是對Ω=1.3ω3,誤差仍然較大,其原因是此時的激振頻率幾乎等于ω4,那么對u1的響應(yīng)貢獻(xiàn)最大者應(yīng)是第四階主模態(tài),所以此時不能截斷第四階模態(tài)。

2.2 模態(tài)加速度法

因ζ=0可得

于此得

于是

分別給出Ω=0,Ω=0.5ω1,Ω=1.3ω3的情況下,取不同階數(shù)時對u1的振幅影響,如表2所示。

從上述結(jié)果可看出:

(1)當(dāng)Ω=0時,不需要各階模態(tài)的貢獻(xiàn),就可以得到精確的靜態(tài)解。

(2)在低頻激勵時,如Ω=0.5ω1,即使取一階模態(tài)就已足夠精確,模態(tài)加速度法取前兩階模態(tài)就和模態(tài)位移法的取三階相當(dāng)。

(3)當(dāng)激勵頻率Ω=1.3ω3時,因為在ω3和ω4之間,在這種情況下,模態(tài)位移法和模態(tài)加速度法的任何截斷都會有較大誤差,都需要取四階模態(tài)。

3 單自由度系統(tǒng)與多自由度系統(tǒng)共振分析

多自由度系統(tǒng)或彈性結(jié)構(gòu)的共振,是結(jié)構(gòu)振動理論中一個最基本且十分重要的概念,相關(guān)教科書及文獻(xiàn)資料中尚未給出完整準(zhǔn)確的定義。對于單自由度系統(tǒng)而言,當(dāng)激勵力頻率接近或等于系統(tǒng)固有頻率時,其位移響應(yīng)將迅速增大,這種現(xiàn)象被稱為單自由度系統(tǒng)的共振[5](教科書中有明確定義)。這一共振概念現(xiàn)已被結(jié)構(gòu)工程界普遍接受,可謂是根深蒂固。如果將單自由度系統(tǒng)共振的概念,不假思索而無條件地拓展到多自由度系統(tǒng)或彈性結(jié)構(gòu)中(即當(dāng)激勵力頻率接近或等于系統(tǒng)的某階固有頻率時,結(jié)構(gòu)振幅過大的現(xiàn)象稱為結(jié)構(gòu)共振),其科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性尚值得商榷。

3.1 單自由度系統(tǒng)共振

對于有阻尼單自由度系統(tǒng),激勵力作用下的振動微分方程為

(7)

系統(tǒng)則以激勵頻率Ω振動,其穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)為

y(t)=Ysin(Ωt-α)

(8)

將式(8)代入式(7)得

(9)

(10)

將動力放大系數(shù)定義為

(11)

3.2 多自由度系統(tǒng)共振

對于具有比例阻尼[C]=α[M]+β[K](α、β為結(jié)構(gòu)實測資料識別的系數(shù))的n自由度系統(tǒng),簡諧激勵力作用下的振動微分方程為

作坐標(biāo)變換

{y(t)}=[Φ]{ξ(t)}

(13)

式中:[Φ]=[{φ}1,{φ}2,…,{φ}n]為模態(tài)矩陣;{ξ}={ξ1,ξ2,…,ξn}T為模態(tài)坐標(biāo)(或模態(tài)參與因子)。

將式(13)代入式(12)可得到n個模態(tài)坐標(biāo)解耦的微分方程

由式(14)可知:其類似于有阻尼單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動微分方程,且有

(15)

(16)

式中:ωi為系統(tǒng)第i階無阻尼固有頻率;ζi為系統(tǒng)第i階模態(tài)阻尼比。

由式(15)和式(16),對式(14)作歸一化處理可得

對于式(17),若初位移與初速度均為零,運用Duhamel積分,則各階模態(tài)坐標(biāo)為

將式(18)代入式(13),則多自由度系統(tǒng)的位移響應(yīng)可表示為

(i=1,2,…,n)

(19)

由式(18)和式(19),若模態(tài)荷載Fi(t)≠0而Fj(t)=0(j≠i)時,模態(tài)參與因子ξi(t)≠0,ξj(t)=0(j≠i)則系統(tǒng)呈現(xiàn)為第i階模態(tài),即所謂的純模態(tài)。

那么由模態(tài)的正交性,若{P0}=[M]{φ}i,則有

(20)

同理,若{P0}=[K]{φ}i,則有

(21)

由式(20)和式(21)作進(jìn)一步拓展,若激勵力滿足

{P0}=(a[M]+b[K]){φ}i(a,b為任意常數(shù))

(22)

則系統(tǒng)呈現(xiàn)為第i階純模態(tài)振動。

4 多自由度系統(tǒng)共振之內(nèi)涵

實現(xiàn)多自由度系統(tǒng)的共振,在滿足激勵力頻率等于系統(tǒng)某階固有頻率的同時,還要對結(jié)構(gòu)的多點激勵進(jìn)行合理的調(diào)制,以保證系統(tǒng)的響應(yīng)呈現(xiàn)出相應(yīng)的單一模態(tài)。多自由度系統(tǒng)共振之內(nèi)涵,可以從數(shù)學(xué)與力學(xué)兩個方面來準(zhǔn)確理解。

(23)

(24)

鑒于多自由度系統(tǒng)各階模態(tài)關(guān)于剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的加權(quán)正交,各模態(tài)間的模態(tài)能量不能夠相互傳遞或轉(zhuǎn)移。那么,由激勵力輸入給系統(tǒng)的各階模態(tài)能量一部分被模態(tài)阻尼所耗散,而另一部分用于維持該階模態(tài)的振動。由于系統(tǒng)各階模態(tài)的存在(取決于模態(tài)參與因子ξj(t)≠0),結(jié)構(gòu)任一處的響應(yīng)都將受到各階模態(tài)的相互牽連與制約,有些部位的位移響應(yīng)得到加強(qiáng),而有些部位的位移響應(yīng)受到削弱,從而限制了結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的進(jìn)一步增大。而對于呈現(xiàn)純模態(tài)的多自由度系統(tǒng),各點的響應(yīng)彼此協(xié)調(diào),類似于一單自由度系統(tǒng)的振動。

通過上述分析,單自由度系統(tǒng)共振與多自由度系統(tǒng)共振之區(qū)別在于:單自由度系統(tǒng)共振僅僅依賴于激勵頻率——激勵頻率等于系統(tǒng)固有頻率(沒有振型的概念);而多自由度系統(tǒng)共振不僅有賴于激勵頻率——激勵頻率等于系統(tǒng)某階固有頻率,更重要的是實現(xiàn)多個激勵力分布的合理調(diào)整,使其響應(yīng)表現(xiàn)出純模態(tài)(對結(jié)構(gòu)振型有限制)。正是由于絕大多數(shù)結(jié)構(gòu)工程技術(shù)人員缺乏對結(jié)構(gòu)動力學(xué)基本概念的準(zhǔn)確理解,將單自由度系統(tǒng)共振之概念無條件地拓展到了多自由度系統(tǒng)與連續(xù)體的振動中。通過對結(jié)構(gòu)共振概念的辨析與討論,以保證其科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性。

5 結(jié)構(gòu)共振之工程應(yīng)用

多自由度系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)共振概念的辨析,不僅在于準(zhǔn)確理解結(jié)構(gòu)動力學(xué)的基本概念;同時,在結(jié)構(gòu)試驗?zāi)B(tài)分析中,結(jié)構(gòu)共振(純模態(tài))狀態(tài)對于模態(tài)參數(shù)的識別有著十分重要的工程實用價值[7-9]。

目前,結(jié)構(gòu)試驗?zāi)B(tài)分析中結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的識別主要分為頻率域識別法和時間域識別法,其對結(jié)構(gòu)試驗工程技術(shù)人員的理論儲備和專業(yè)素質(zhì)要求相對較高。如果在結(jié)構(gòu)模態(tài)試驗時,通過合理調(diào)節(jié)多個激振的分布和大小來補償結(jié)構(gòu)的內(nèi)部阻尼,以便激勵出結(jié)構(gòu)的等效無阻尼固有模態(tài)。當(dāng)結(jié)構(gòu)處于純模態(tài)狀態(tài)振動時,可通過物理測試直接高精度識別出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)(如結(jié)構(gòu)固有頻率、位移模態(tài)、模態(tài)阻尼比等)[10],從而可取得事半功倍的效果。參數(shù)同步優(yōu)化隨機(jī)共振方法可以有效地從強(qiáng)背景噪聲中檢測出微弱故障信號[11]。在周期荷載作用下,小的外部激勵可以激發(fā)框架結(jié)構(gòu)的大振幅自參數(shù)共振[12]。

在結(jié)構(gòu)試驗?zāi)B(tài)分析中,“共振法”相對于常用的頻率域識別法或時間域識別法而言,具有物理概念清晰、模態(tài)參數(shù)識別精度高等優(yōu)點。同時,若僅當(dāng)激勵力頻率等于結(jié)構(gòu)的某階固有頻率時也被視為結(jié)構(gòu)的“共振”,任一結(jié)構(gòu)的“共振”將會呈現(xiàn)出多種形態(tài)(有賴于激勵方式而非唯一性),所識別模態(tài)參數(shù)的精度也有賴于其它模態(tài)參與的程度。

6 結(jié) 論

(1)根據(jù)模態(tài)疊加原理,系統(tǒng)的響應(yīng)由多階模態(tài)的貢獻(xiàn)所構(gòu)成,當(dāng)激勵頻率不同時,各階模態(tài)對應(yīng)系統(tǒng)位移響應(yīng)的貢獻(xiàn)也不同。

(2)多自由度系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的共振,在保證結(jié)構(gòu)振動頻率(為某階固有頻率)等于激勵頻率的同時,其位移響應(yīng)還應(yīng)呈現(xiàn)出相應(yīng)的純模態(tài)。

(3)實現(xiàn)多自由度系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)純模態(tài)共振,可用于精確識別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)(如結(jié)構(gòu)固有頻率、位移模態(tài)、模態(tài)阻尼比等)。