含預(yù)緊彈簧碰撞系統(tǒng)的兩參數(shù)動力學(xué)

呂小紅, 王繼培, 張錦濤

(蘭州交通大學(xué) 機電工程學(xué)院,蘭州 730070)

近年來,非光滑動力系統(tǒng)以其在日常生活中的普遍性和在實際工程領(lǐng)域的重要性,引起了諸多學(xué)者和工程技術(shù)人員的關(guān)注。碰撞系統(tǒng)作為非光滑動力系統(tǒng)的典型代表,廣泛存在于機械工程領(lǐng)域。由于碰撞、黏滯和擦邊等因素引起的非線性和奇異性問題使碰撞系統(tǒng)呈現(xiàn)復(fù)雜的動力學(xué)行為[1-2],并對系統(tǒng)的使用效率和性能等產(chǎn)生重要的影響。因此,碰撞系統(tǒng)的動力學(xué)研究具有重要的工程應(yīng)用價值。

Floquet理論是研究周期運動穩(wěn)定性的理論基礎(chǔ)。Poincaré映射是非光滑動力系統(tǒng)周期運動分岔研究的主要手段。通過構(gòu)建Poincaré映射,周期運動的求解可轉(zhuǎn)化為Poincaré映射的不動點問題。因此,碰撞系統(tǒng)周期運動穩(wěn)定性分析的關(guān)鍵是計算Poincaré映射的Jacobi矩陣的特征值,即Floquet乘子。但是,間隙和約束等非光滑力學(xué)因素的存在給碰撞系統(tǒng)Floquet乘子的計算增添了較大的難度。金俐等[3]推導(dǎo)了碰撞系統(tǒng)軌線在定相位面與碰撞面之間切換的局部映射的Jacobi矩陣,構(gòu)建由四類局部映射復(fù)合而成的Poincaré映射,得到Floquet乘子計算的解析方法和數(shù)值方法。徐慧東等[4]推導(dǎo)了彈性碰撞系統(tǒng)在非光滑界面處的跳躍矩陣, 然后與各子區(qū)域的連續(xù)基解矩陣合成,得到Poincaré映射的Jacobi矩陣。擦邊接觸對碰撞系統(tǒng)周期吸引子的演化及常規(guī)分岔的產(chǎn)生與中斷具有重要的影響。Yin等[5]推導(dǎo)了描述擦邊碰撞的局部零時間不連續(xù)映射及其和光滑流映射組成的復(fù)合Poincaré映射。打靶法是計算周期吸引子(包括穩(wěn)定和不穩(wěn)定)的常用方法。基于Floquet理論和Poincaré映射,結(jié)合打靶法和延續(xù)法能夠系統(tǒng)地探究參數(shù)大范圍變化時,非光滑動力系統(tǒng)周期吸引子的穩(wěn)定性與分岔[6-8]。

碰撞系統(tǒng)存在大量的多吸引子共存現(xiàn)象,包括多周期、周期與混沌以及混沌與混沌的共存。此時,系統(tǒng)全局動力學(xué)的研究顯得至關(guān)重要。應(yīng)用胞映射法可揭示非光滑動力系統(tǒng)共存吸引子的吸引域及其演化過程[9]。當混沌吸引子與其它吸引子共存時,激變是一種常見的全局現(xiàn)象[10-12]。

兩參數(shù)動力學(xué)更能揭示碰撞系統(tǒng)的動力學(xué)與系統(tǒng)參數(shù)的耦合關(guān)系。呂小紅等[13-14]應(yīng)用數(shù)值仿真方法研究了兩自由度碰撞系統(tǒng)的兩參數(shù)動力學(xué),揭示了碰撞系統(tǒng)周期吸引子模式的多樣性和規(guī)律特征及兩參數(shù)發(fā)生域,發(fā)現(xiàn)在相鄰基本周期運動的兩參數(shù)轉(zhuǎn)遷過程中存在兩種特殊轉(zhuǎn)遷域: 遲滯域和亞諧包含域。由于協(xié)同仿真方法不能精確計算分岔點信息和不穩(wěn)定吸引子,以及對共存吸引子的全局動力學(xué)以及混沌轉(zhuǎn)遷考慮較少,因此,一些吸引子信息可能被隱藏,遲滯域和亞諧包含域的形成機理及其內(nèi)部的動力學(xué)沒有被完全揭示。本文結(jié)合Runge-Kutta法、打靶法、延續(xù)法和胞映射法研究含預(yù)緊彈簧碰撞系統(tǒng)在兩參數(shù)平面的穩(wěn)定性與演化規(guī)律,試圖發(fā)現(xiàn)一些易隱藏的由不連續(xù)性誘導(dǎo)的分岔行為,討論不穩(wěn)定吸引子在相鄰吸引子轉(zhuǎn)遷過程中的重要作用,揭示遲滯域和亞諧包含域的形成機理。

1 力學(xué)模型

圖1 含預(yù)緊彈簧機構(gòu)和力學(xué)模型

(1)

(2)

2 數(shù)值方法

碰撞系統(tǒng)周期吸引子分岔分析的常用數(shù)值方法有兩種:應(yīng)用Runge-Kutta法直接求解系統(tǒng)運動微分方程的數(shù)值仿真,以及Runge-Kutta法、打靶法和延續(xù)法結(jié)合的數(shù)值延拓。數(shù)值仿真方法只能得到穩(wěn)定周期解和混沌解,而不穩(wěn)定周期吸引子在分岔和混沌轉(zhuǎn)遷中具有很重要的作用。因此,我們借助基于Poincaré映射的打靶法求解系統(tǒng)的不穩(wěn)定周期吸引子以幫助解釋分岔與混沌轉(zhuǎn)遷。

碰撞系統(tǒng)的周期吸引子模式具有多樣性和復(fù)雜性特征,因此對于預(yù)先給定的正整數(shù)n, 取Π0={(u,t)∈2×S|mod(t,2nπ/ω)=0}為映射截面構(gòu)建Poincaré映射P:Π0→Π0。由于式(2)為分段光滑系統(tǒng),定義系統(tǒng)在各子區(qū)域的光滑流映射

Pi:Πi0→Πi1,ui0ui1,i=1,2

(3)

式中:ui為子區(qū)域Gi中的狀態(tài)變量;ui0和ui1分別為光滑流的起點和終點,對應(yīng)的時刻分別為ti0和ti1。映射Pi的Jacobi矩陣DPi為

(4)

DPi可由矩陣微分式(5)聯(lián)立式(1)借助Runge-Kutta法從ti0到ti1進行數(shù)值積分求?ui(t)/?ui0的解。

(5)

在t11和t21時刻,系統(tǒng)軌線經(jīng)非光滑界面在G1和G2區(qū)域之間切換。非光滑分界面的法向量hu=[1,0]T,引入不連續(xù)映射及其Jacobi矩陣

P12:Π11→Π20,u11u20

(6)

P21:Π21→Π10,u21u10

(7)

(8)

(9)

用n-m表示穩(wěn)定周期吸引子模式,其中n和m分別表示一個振動周期內(nèi)的力周期數(shù)和軌線進入G2區(qū)域的次數(shù)。不穩(wěn)定的n-m吸引子用Un-m區(qū)分。由u10點出發(fā)的n-m或Un-m吸引子的Poincaré映射及其Jacobi矩陣分別為

(10)

(11)

周期吸引子的邊值條件為

u(0)=u(nT)

(12)

式中,T=2π/ω。應(yīng)用打靶法求解時,邊值條件要求Poincaré截面上的初值u0滿足

Q(u0)=u(nT;u0)-u(0;u0)=P(u0)-u0=0

(13)

采用Newton-Raphson法構(gòu)成迭代式

(14)

式中,i為迭代次數(shù)。給定u0,然后根據(jù)式(14)進行修正,直到滿足Q(u0)=‖P(u0)-u0‖<ε(ε為預(yù)先給定的小量)時,便得到一個周期n吸引子,所得u0為映射P的不動點。令z:=(b,0)T,δ(u)=‖u-z‖,在數(shù)值求解P(u0)過程中,計數(shù)軌線進入G2區(qū)域的次數(shù)m,并計算δ(u)的最小值δ(u)min。因此,得到u0的同時,根據(jù)計數(shù)的m值及DP(u0)的特征值便可確定吸引子模式及其穩(wěn)定性。若δ(u)min<ε,則系統(tǒng)軌線存在擦邊碰撞,此時的參數(shù)值為擦邊分岔點。

設(shè)分岔參數(shù)為v, 應(yīng)用打靶法求得v=v0時的周期吸引子u0后,希望能利用該吸引子信息求得v1=v0+Δv時的周期吸引子,進而求得參數(shù)v大范圍變化的分岔曲線。為此需要應(yīng)用延續(xù)法在Poincaré截面上沿切線方向預(yù)估v=v1時的初值向量,然后用打靶法修正。預(yù)估值為

(15)

式中,Q(v0,u0)=P(v0,u0)-u0, ?Q(v0,u0)/?u=DP(v0,u0)-I。?Q(v0,u0)/?v可由式(16)以[u0,0]可由式(16)以為初值積分n個力周期T得到。

(16)

為了研究系統(tǒng)的全局動力學(xué),本文首先選擇一個初值考察區(qū)域H,并對其進行網(wǎng)格劃分;然后以每個網(wǎng)格中心點的值作為初值向量,應(yīng)用打靶法求解周期吸引子及其穩(wěn)定性。待所有網(wǎng)格中心點考察完畢,便可得到系統(tǒng)的共存吸引子;最后數(shù)值延拓每個共存吸引子的分岔演化,應(yīng)用胞映射法計算吸引域。

3 兩參數(shù)分岔分析

為了研究系統(tǒng)周期1吸引子的分岔特征,揭示遲滯域和亞諧包含域的形成機理,取參數(shù)(1):k=9,ξ=0.08,d=0.1,數(shù)值仿真系統(tǒng)在ω-b參數(shù)平面(0.1≤ω≤0.8,0.1≤b≤1.3)的動力學(xué)響應(yīng)如圖2(a)所示。圖2中,各種類型周期吸引子的參數(shù)域標注有相應(yīng)的符號。在圖2(a)所示兩參數(shù)區(qū)域內(nèi),系統(tǒng)的主要響應(yīng)為1-m(m≥0)吸引子。在相鄰1-m吸引子的臨界線上,可觀察到若干系統(tǒng)響應(yīng)為亞諧周期n(n≥2)吸引子及混沌吸引子、可稱為亞諧包含域的參數(shù)島。因此,相鄰1-m吸引子的參數(shù)域之間存在兩類特殊轉(zhuǎn)遷域:遲滯域和亞諧包含域。為了方便分析,1-m與1-(m+1)吸引子之間的亞諧包含域用SIRm表示。需要指出,圖2(a)僅識別了1-m(m=1, 2, …, 8)吸引子以及SIRm內(nèi)的周期2和周期3吸引子,其余1-m(m>8)吸引子統(tǒng)一用深灰色表示,亞諧周期n(n>2)及混沌吸引子用淺灰色表示。可見,分岔參數(shù)越小,1-m吸引子的m值越大,對應(yīng)的ω-b區(qū)域越窄。1-m(m≥1)吸引子的兩參數(shù)下邊界線表現(xiàn)為具有下降趨勢的波浪線。增大ω,波浪線的波長和波高增大,鄰近波峰位置的SIRm面積增加。同時,周期吸引子模式逐漸增多以及混沌吸引子的參數(shù)域面積增大使得SIRm(m≥2)形狀發(fā)生改變,動力學(xué)行為更加復(fù)雜。我們把位于末次波峰位置的結(jié)構(gòu)嚴重變形的亞諧包含域稱為非標準型,其它的稱為標準型。標準型和非標準型亞諧包含域用SIRm-S和SIRm-N區(qū)分(SIR0和SIR1只有標準型)。圖2(b)～圖2(d)描述了SIR0-S和SIR2-N內(nèi)的詳細動力學(xué)?？梢?SIRm內(nèi)的亞諧周期吸引子模式具有一定的規(guī)律性,主要表現(xiàn)為k-(km+1) (k=2, 3, 4, …)以及2-2(m+1)。但是,在SIR2-N內(nèi),2-6和混沌吸引子的參數(shù)域面積明顯增大,以及2-4、3-8和4-12等模式周期吸引子的出現(xiàn)導(dǎo)致相鄰1-2與1-3吸引子經(jīng)SIR2-N的轉(zhuǎn)遷路徑更加多樣和復(fù)雜。由于相鄰1-m吸引子經(jīng)標準型和非標準型亞諧包含域的轉(zhuǎn)遷路徑有明顯區(qū)別,下面以圖2(b)和圖2(d)所示SIR0-S和SIR2-N為對象進行單參數(shù)延拓分析,揭示相鄰1-m吸引子的轉(zhuǎn)遷特征以及兩類特殊轉(zhuǎn)遷域的形成機理。圖2中標有HD的淺色區(qū)域為遲滯域。

圖2 兩參數(shù)動力學(xué)

3.1 標準型亞諧包含域內(nèi)的不連續(xù)分岔

為了揭示相鄰1-m與1-(m+1)吸引子經(jīng)遲滯域和標準型亞諧包含域轉(zhuǎn)遷的特征規(guī)律,應(yīng)用數(shù)值仿真和數(shù)值延拓兩種方法計算的單參數(shù)分岔圖如圖3所示。圖3中,實線表示穩(wěn)定周期吸引子,虛線表示不穩(wěn)定周期吸引子。擦邊、周期倍化和鞍結(jié)分岔點用圓點表示,并分別標注G、P和S。

圖3 1-0與1-1運動的轉(zhuǎn)遷

圖3(a)取b=1.5,描述了1-0與1-1吸引子轉(zhuǎn)遷過程中的不連續(xù)擦邊分岔和鞍結(jié)分岔。U1-1吸引子分支連接兩個穩(wěn)定吸引子分支,形成遲滯區(qū)。

在SIR0-S內(nèi),2-1吸引子的參數(shù)域面積最大,因此,圖3(b)用來描述1-0與 1-1吸引子經(jīng)2-1吸引子轉(zhuǎn)遷的路徑。減小ω當ω=0.832 828 37 (P)時,Floquet乘子λ1=-1.000 000和λ2=-0.289 059,系統(tǒng)發(fā)生周期倍化分岔導(dǎo)致1-1吸引子跳躍為2-1吸引子,周期倍化分岔表現(xiàn)出亞臨界特征。為了詳細揭示亞臨界周期倍化分岔響應(yīng),減小分岔參數(shù)ω變化的步長(取Δω=1×10-8),由P點開始數(shù)值延拓周期2吸引子的存在性與穩(wěn)定性。發(fā)現(xiàn)在P點,系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)定的2-2吸引子。但是,該2-2吸引子持續(xù)的ω長度僅為2×10-7。當ω=0.832 828 35時,Floquet乘子λ1=0.999 996和λ2=0.089 894,2-2吸引子經(jīng)鞍結(jié)分岔失去穩(wěn)定性,產(chǎn)生向后彎曲的U2-2吸引子分支。此后,增大ω,U2-2吸引子分支與2-1吸引子分支在G2點相遇?？梢?在P點的微小鄰域內(nèi),鞍結(jié)分岔S2使系統(tǒng)終態(tài)發(fā)生跳躍,周期倍化分岔才表現(xiàn)出亞臨界特征,我們把這一分岔過程稱為鞍結(jié)型周期倍化分岔(P-S2)。在G1點,1-0吸引子的不連續(xù)擦邊分岔產(chǎn)生向前持續(xù)的U1-1吸引子分支,同時產(chǎn)生向后彎曲的U2-1吸引子分支。圖3(a)和圖3(b)中U1-1吸引子的Floquet 乘子分別如圖4(a)和圖4(b)所示。

圖4 U1-1吸引子的 Floquet 乘子

b=2.7時,1-0與1-1吸引子經(jīng)SIR0-S的轉(zhuǎn)遷如圖3(c)所示。圖3(c)中省略的2-1、U1-1吸引子與1-1吸引子之間的分岔與圖3(b)相同。圖3(c)描述的動力學(xué)主要表現(xiàn)在:①在G1點,1-0吸引子的不連續(xù)擦邊分岔產(chǎn)生四個不穩(wěn)定吸引子分支,分別是向前持續(xù)的U1-1、U2-1和U3-2以及向后彎曲的U3-1。U1-1和U2-1吸引子經(jīng)周期倍化分岔獲得穩(wěn)定(參見圖3(b)和(c)),而U3-1和U3-2吸引子分支分別連接3-1吸引子的邊界點S和G2。由于1-0吸引子的擦邊分岔可產(chǎn)生Uk-1(k=1, 2, 3,…)吸引子序列,因此,SIR0-S內(nèi)周期吸引子的主要模式為k-1(k=2, 3,…);②減小b, 2-1吸引子經(jīng)亞臨界周期倍化分岔產(chǎn)生混沌,然后與U3-2吸引子碰撞經(jīng)邊界激變消失;③不連續(xù)擦邊分岔和鞍結(jié)型周期倍化分岔引起的多吸引子共存使1-0與1-1吸引子之間的轉(zhuǎn)遷更加復(fù)雜。

圖3(d)取ω=0.71,描述了1-0與1-1吸引子轉(zhuǎn)遷過程中的周期吸引子模式多樣性以及鞍結(jié)型和亞臨界周期倍化分岔、擦邊分岔和邊界激變等不連續(xù)分岔行為。4-3、6-4、8-5等2k-(k+1) (k=2, 3, 4, …)模式序列的出現(xiàn)使SIR0-S內(nèi)的吸引子模式多樣性和規(guī)律性特征更加明顯。1-1吸引子的周期倍化分岔P1是超臨界的,2-2吸引子的周期倍化分岔P2為鞍結(jié)型(P2-S),2k-(k+1)吸引子的周期倍化分岔是亞臨界的。P2-S產(chǎn)生的U4-4吸引子最終與4-3吸引子相遇,導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生擦邊分岔G1。圖5為6-4和混沌吸引子共存時的吸引域,分別用白色和灰色表示。由于混沌吸引子包含兩部分且都很小,圖5(a)和圖5(b)的右側(cè)圖為左側(cè)圖中一部分混沌吸引子的放大。增大ω,6-4吸引子的吸引域逐漸增大,吸引域邊界及位于邊界上的U6-5吸引子向混沌吸引子逐漸靠近,直至碰撞,系統(tǒng)發(fā)生邊界激變導(dǎo)致混沌吸引子突然消失。而當ω減小時,6-4吸引子終止于擦邊分岔。

圖5 吸引域

由圖3可知,周期吸引子的鞍結(jié)型周期倍化分岔使系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)出亞臨界特征。為了進一步揭示周期倍化分岔鄰域內(nèi)的動力學(xué)隨系統(tǒng)參數(shù)的演化,并確定SIR0-S下邊界線的分岔類型,分別取ω=0.75、078、0.79和0.81,數(shù)值延拓1-1與2-1吸引子之間的轉(zhuǎn)遷,結(jié)果如圖6所示。ω=0.75時,1-1吸引子的周期倍化分岔P是超臨界的。2-1與2-2吸引子經(jīng)不連續(xù)擦邊分岔G和鞍結(jié)分岔S互相轉(zhuǎn)遷。分岔點G和S之間的距離即U2-2吸引子持續(xù)的ω長度為0.000 964 78。增大ω,G點逐漸遠離S點,但P點向S點迅速靠近,2-2吸引子的區(qū)間明顯變窄。當ω=0.81時,分岔點G和S之間的距離擴大至0.098 497 91,但是分岔點P和S之間的距離縮短為1×10-8。因此,S演變?yōu)镻誘導(dǎo)的鞍結(jié)分岔,使P表現(xiàn)出亞臨界特征。

圖6 周期倍化分岔的演化

結(jié)合圖2(b)、圖3和圖6可知,標準型亞諧包含域SIRm-S的上邊界為1-m吸引子的不連續(xù)擦邊分岔線,而下邊界為1-(m+1)吸引子的超臨界和鞍結(jié)型周期倍化分岔線。相鄰不連續(xù)擦邊分岔線的節(jié)點為退化擦邊分岔點。由圖2(c)可知,節(jié)點‘+’為1-0吸引子的退化擦邊分岔點和1-1吸引子的余維二分岔點,連接1-0與1-1吸引子之間以及1-0與2-1吸引子之間由不連續(xù)擦邊分岔線和鞍結(jié)分岔線形成的兩個窄遲滯域,以及1-1吸引子的超臨界周期倍化分岔線。

3.2 非標準型亞諧包含域內(nèi)的動力學(xué)

圖2(d)描述了非標準型亞諧包含域SIR2-N的兩參數(shù)動力學(xué)。與標準型亞諧包含域相比較,由于混沌區(qū)域和周期吸引子模式增多,SIR2-N內(nèi)的動力學(xué)更加復(fù)雜。在SIRm-S內(nèi),系統(tǒng)的主要響應(yīng)為k-(km+1)吸引子,但是在SIR2-N內(nèi),系統(tǒng)的主要響應(yīng)為2-5、2-6和混沌吸引子。

取ω=0.412,1-2與1-3吸引子經(jīng)SIR2-N的轉(zhuǎn)遷如圖7(a)所示。1-2吸引子的周期倍化分岔P1是超臨界的。1-3和2-5吸引子的周期倍化分岔為鞍結(jié)型(P-S),由此產(chǎn)生的U2-6和U4-10吸引子分別終止于擦邊分岔點G1和G2。此外,不穩(wěn)定吸引子的擦邊分岔G4將U1-2和U1-3吸引子聯(lián)系起來。如圖7(b)所示,增大ω當ω=0.43時,1-3吸引子的周期倍化分岔由鞍結(jié)型變?yōu)槌R界,1-2吸引子的分岔由周期倍化分岔變?yōu)椴贿B續(xù)擦邊分岔產(chǎn)生向前持續(xù)的U1-3和向后彎曲的U2-5。U2-5吸引子在S1點獲得穩(wěn)定,同時恢復(fù)b減小的變化方向。2-5吸引子在G2點經(jīng)不連續(xù)擦邊分岔產(chǎn)生向后彎曲的U4-11,然后在S2點獲得穩(wěn)定。圖7(c)描述了1-2吸引子經(jīng)不連續(xù)擦邊分岔演化為3-7吸引子的過程。由前面的分析可知,1-m吸引子的不連續(xù)擦邊分岔可產(chǎn)生Uk-(km+1)吸引子序列,從而在1-m與1-(m+1)吸引子的轉(zhuǎn)遷過程中出現(xiàn)主要響應(yīng)為k-(km+1)吸引子序列的亞諧包含域。

圖7 1-2與1-3吸引子的轉(zhuǎn)遷

取b=0.65,1-2吸引子及SIR2-N內(nèi)k-(2k+1)吸引子的分岔如圖7(d)所示。1-2吸引子的擦邊分岔G1使系統(tǒng)終態(tài)直接表現(xiàn)為混沌吸引子。特別強調(diào)的是,系統(tǒng)在G1點之前發(fā)生了擦邊誘導(dǎo)的鞍結(jié)分岔,并形成遲滯區(qū)。因此,遲滯區(qū)內(nèi)的不穩(wěn)定吸引子為U1-2,而不是U1-3,該分支連接兩個不同的1-2吸引子分支。2-5、3-7等k-(2k+1)吸引子的周期倍化分岔是超臨界的。k-(2k+1) (k≥3) 吸引子與混沌吸引子在一定參數(shù)區(qū)間共存。增大ω,混沌吸引子經(jīng)邊界激變消失,而當ω減小時,k-(2k+1)吸引子終止于擦邊分岔。

取b=0.56,系統(tǒng)響應(yīng)經(jīng)SIR2-N的分岔如圖7(e)所示。G1～G3均為不連續(xù)擦邊分岔,分別產(chǎn)生的U1-3、U2-6和U4-11吸引子經(jīng)鞍結(jié)分岔獲得穩(wěn)定。P1～P4均為超臨界周期倍化分岔。減小ω,在G1點,系統(tǒng)終態(tài)由1-3直接跳躍為2-6,隨后經(jīng)周期倍化序列通向混沌。增大ω,2-5吸引子的周期倍化序列被不連續(xù)擦邊分岔G3中斷,系統(tǒng)終態(tài)最終經(jīng)4-11吸引子的周期倍化序列通向混沌。

4 預(yù)壓量對系統(tǒng)動力學(xué)的影響

數(shù)值結(jié)果表明,預(yù)壓量d對系統(tǒng)的兩參數(shù)動力學(xué),尤其是遲滯域和亞諧包含域的形成機理有著較大的影響。取d=0.05、0.02和0,其余參數(shù)與參數(shù)(1)相同,數(shù)值仿真系統(tǒng)在ω-b參數(shù)平面的動力學(xué)響應(yīng)分別如圖8(a)、圖8(b)和圖8(c)所示。圖8(d)為圖8(c)的局部放大。對比圖2和圖8可知,減小d,亞諧包含域的數(shù)量和面積以及周期1吸引子模式明顯減少。當d=0時,非標準型亞諧包含域消失。SIRm出現(xiàn)在緊鄰兩參數(shù)邊界線的1-(m+1)吸引子的參數(shù)域內(nèi),使得亞諧包含域的形成機理發(fā)生改變。亞諧包含域內(nèi)的周期吸引子模式減少,混沌吸引子消失,動力學(xué)變得相對簡單。圖9為1-2與1-3吸引子之間轉(zhuǎn)遷的單參數(shù)分岔圖。

圖8 兩參數(shù)動力學(xué)

圖9 1-2與1-3吸引子的轉(zhuǎn)遷

圖9(a)表明,當d=0時,相鄰1-m與1-(m+1)吸引子可以經(jīng)連續(xù)擦邊分岔互相轉(zhuǎn)遷。圖9(b)揭示了遲滯域的形成機理。在擦邊分岔G附近,鞍結(jié)分岔S1使1-3吸引子失去穩(wěn)定性,從而使系統(tǒng)終態(tài)跳躍為另一個1-3吸引子。U1-3吸引子連接兩個鞍結(jié)分岔點S1和S2。分岔點G和S1之間的距離為0.000 115 88,因此,S1為G誘導(dǎo)的分岔,使G表現(xiàn)出不連續(xù)特征,從而引起遲滯現(xiàn)象。

如圖8(d)所示,系統(tǒng)在SIR2內(nèi)的主要響應(yīng)為2-5和2-6吸引子。取0.43,1-2與1-3吸引子經(jīng)SIR2的轉(zhuǎn)遷如圖9(c)所示。減小ω,周期1吸引子的分岔過程為:1-2→G1→1-3→P1→U1-3→P2→1-3。產(chǎn)生于擦邊分岔G1點的1-3吸引子持續(xù)的ω長度僅為0.000 162 01,隨后在周期倍化分岔P1點失去穩(wěn)定性。因此,P1為G1誘導(dǎo)的分岔,使系統(tǒng)響應(yīng)進入SIR2。U1-3吸引子在P2點恢復(fù)穩(wěn)定,系統(tǒng)響應(yīng)退出SIR2表現(xiàn)為1-3吸引子。2-5與2-6吸引子之間經(jīng)連續(xù)擦邊分岔互相轉(zhuǎn)遷。

當參數(shù)d由0.1減小為0時,遲滯域和亞諧包含域的形成機理發(fā)生本質(zhì)的變化。ω-b參數(shù)平面內(nèi),當d=0.1時,1-m吸引子的不連續(xù)擦邊分岔可產(chǎn)生Uk-(km+1)吸引子,從而在相鄰1-m吸引子的轉(zhuǎn)遷過程中形成特殊轉(zhuǎn)遷域。當k只等于1時形成遲滯域,否則形成亞諧包含域。1-m吸引子的擦邊分岔僅在相鄰特殊轉(zhuǎn)遷域的連接點是連續(xù)的。當d=0時,1-m吸引子的擦邊分岔是連續(xù)的,但是擦邊誘導(dǎo)的鞍結(jié)分岔或周期倍化分岔使1-(m+1)吸引子失去穩(wěn)定性,從而在相鄰1-m吸引子的轉(zhuǎn)遷過程中形成遲滯域或亞諧包含域。U1-(m+1)吸引子存在于整個遲滯域和亞諧包含域內(nèi)。然后,同類型的分岔使U1-(m+1)吸引子獲得穩(wěn)定,1-m吸引子經(jīng)遲滯域或亞諧包含域轉(zhuǎn)遷為1-(m+1)吸引子。

取b=0.564,圖9(d)用來描述SIR2內(nèi)的穩(wěn)定周期吸引子模式和分岔。ω減小時的分岔過程為:1-2→G→1-3→P→2-6→SubP→4-11→P→8-22→P→4-11→G→4-10→P→2-5。2-6吸引子的周期倍化分岔是亞臨界的,其余周期倍化分岔都是超臨界的。當ω=0.445 393 38時,2-6吸引子失去穩(wěn)定性,同時產(chǎn)生向后彎曲的U4-12吸引子。隨后,系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定吸引子的擦邊分岔產(chǎn)生U4-11吸引子,與4-11吸引子在鞍結(jié)分岔點相遇。

減小ξ可使亞諧包含域的面積增大、亞諧周期吸引子模式增多。因此,為了深化揭示d=0時亞諧包含域內(nèi)的動力學(xué),ξ由0.08減小至0.06時的動力學(xué)響應(yīng)如圖10(a)所示。對比圖8(c)和圖10(a)可知,減小ξ,周期1吸引子的模式增多,亞諧包含域的數(shù)量和面積明顯增大,且SIRm(m≥2)出現(xiàn)非標準型。但是,需要指出的是,ξ的變化沒有改變擦邊分岔特征以及SIRm-S的形成機理。由圖2和圖10(a)可見,在兩組參數(shù)條件下,系統(tǒng)在SIR2-N內(nèi)具有相似的動力學(xué)行為,但是SIRm-S內(nèi)的動力學(xué)明顯不同,主要體現(xiàn)在兩個方面:(1) SIRm-S內(nèi)的亞諧周期吸引子模式改變。圖10(a)所示SIRm-S內(nèi)沒有k-(km+1)吸引子序列; (2) SIRm-S的形成機理以及SIRm-S內(nèi)周期吸引子的分岔發(fā)生改變。

圖10 兩參數(shù)動力學(xué), d=0, ξ=0.06

圖10(b)為1-1與1-2吸引子的兩參數(shù)分岔線,進一步驗證了d=0時遲滯域和亞諧包含域的形成機理。圖10中,擦邊和周期倍化分岔線分別用細實線和粗實線表示,鞍結(jié)分岔線用虛線表示。周期倍化和鞍結(jié)分岔線都是閉合曲線,分別形成亞諧包含域和遲滯域。部分周期倍化和鞍結(jié)分岔線緊貼擦邊分岔線,構(gòu)成擦邊誘導(dǎo)的分岔線。在該部分分岔線上,由擦邊分岔產(chǎn)生的1-2吸引子失穩(wěn),系統(tǒng)響應(yīng)嵌入特殊轉(zhuǎn)遷域。

5 結(jié) 論

本文考慮工程實際中存在的含預(yù)緊彈簧機械碰撞系統(tǒng)的簡化力學(xué)模型,構(gòu)建由光滑流映射和不連續(xù)映射復(fù)合的Poincaré映射,給出Floquet乘子計算的數(shù)值方法。數(shù)值仿真了系統(tǒng)在兩參數(shù)平面的周期吸引子模式及其參數(shù)域,結(jié)合Runge-Kutta法、打靶法、延續(xù)法和胞映射法研究了周期1吸引子的穩(wěn)定性與演化規(guī)律以及不連續(xù)擦邊分岔、擦邊誘導(dǎo)的分岔、鞍結(jié)型和亞臨界周期倍化分岔、激變等不連續(xù)分岔行為,揭示了遲滯域和亞諧包含域的形成機理。

當d不等于0時,1-m吸引子的不連續(xù)擦邊分岔可產(chǎn)生Uk-(km+1)吸引子序列,從而在相鄰1-m與1-(m+1)吸引子的轉(zhuǎn)遷過程中產(chǎn)生遲滯域和亞諧包含域,亞諧包含域內(nèi)周期吸引子的主要模式為k-(km+1)。

當d=0時,1-m吸引子的擦邊分岔是連續(xù)的,但是擦邊誘導(dǎo)的鞍結(jié)分岔或周期倍化分岔在相鄰1-m吸引子的轉(zhuǎn)遷過程中形成遲滯域或亞諧包含域。亞諧包含域SIRm內(nèi)亞諧周期吸引子的主要模式為2-(2m+1)和2-2(m+1)。

在周期倍化分岔的微小鄰域內(nèi),鞍結(jié)分岔使系統(tǒng)終態(tài)發(fā)生跳躍,周期倍化分岔表現(xiàn)出亞臨界特征,我們把這一分岔過程稱為鞍結(jié)型周期倍化分岔。不連續(xù)擦邊分岔、亞臨界周期倍化分岔和鞍結(jié)型周期倍化分岔在相鄰吸引子的轉(zhuǎn)遷中引起多吸引子共存。當周期吸引子與混沌共存時,混沌吸引子經(jīng)邊界激變消失。

本文以新的視角發(fā)現(xiàn)了許多復(fù)雜的新現(xiàn)象,如擦邊和周期倍化誘導(dǎo)的分岔、不穩(wěn)定吸引子的擦邊分岔等。鞍結(jié)型周期倍化分岔的發(fā)現(xiàn)和定義將進一步豐富非光滑系統(tǒng)的動力學(xué)。研究結(jié)果能夠為工程實際含預(yù)緊彈簧機械碰撞系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計與選擇提供參考。通過兩參數(shù)動力學(xué)以及共存吸引子的全局動力學(xué)分析可以實現(xiàn)系統(tǒng)的動態(tài)優(yōu)化設(shè)計,使系統(tǒng)在更大的參數(shù)空間呈現(xiàn)期望的吸引子模式。