β衰變型自給能堆芯中子探測器靈敏度K因子研究（第一篇：理論分析、計算模型及計算結果）

于稼駟

（中華人民共和國生態(tài)環(huán)境部，北京 100006）

中子靈敏度是自給能探測器的核心參數(shù)，國內(nèi)外很多文獻對β衰變型自給能探測器中子靈敏度進行了探討、分析、研究［1-6］。其中參考文獻［4］ ～［6］引用了美國原子能委員會出版的《核動力堆儀表系統(tǒng)手冊》［7］提供的自給能探測器中子靈敏度K 因子，并以此為基礎，對自給能中子銠、釩探測器靈敏度進行了分析、研究、計算。

中子靈敏度K 因子研究是靈敏度研究的基礎。許多文獻［1，2，7］在研究探測器靈敏度時，也都涉及一些靈敏度K 因子的研究。但這些文獻提供的K 因子研究存在不足：（1）只涉及熱中子靈敏度K 因子，未考慮超熱中子對銠探測器靈敏度的貢獻及其相關K 因子，未涉及中子場全譜中子K 因子；（2）只涉及部分靈敏度K 因子研究，而非全面、系統(tǒng)的研究。本文試圖對靈敏度K 因子進行全面、深入、系統(tǒng)的研究。

β衰變型自給能探測器主要指銠和釩自給能探測器。本文重點分析銠自給能中子探測器K 因子。釩的中子俘獲截面符合1/v 率，釩自給能中子探測器（以下簡稱釩探測器）的靈敏度K因子計算模型與銠自給能中子探測器（以下簡稱銠探測器）的熱中子靈敏度K 因子計算模型相同。

1 探測器靈敏度和靈敏度K 因子

1.1 靈敏度

靈敏度是本論文的核心概念，為了便于論述，現(xiàn)定義兩個靈敏度術語如下：

探測器靈敏度：整個探測器單位中子注量率輸出電流。

探測器單位長發(fā)射體靈敏度：與單位長（1 cm，下同）發(fā)射體相對應的那部分探測器靈敏度的簡稱。如果探測器靈敏度為I，探測器發(fā)射體長度為L，那么，探測器單位長發(fā)射體靈敏度為I/L。

1.2 靈敏度K 因子

把自給能中子探測器放在穩(wěn)定的典型熱堆中子場中，在平衡狀態(tài)，發(fā)射體單位時間放出的β粒子數(shù)等于其俘獲的中子數(shù)，本文稱這樣的狀態(tài)為“穩(wěn)定平衡態(tài)”。發(fā)射體放出的β粒子在穿越發(fā)射體過程中損失能量，以一定的概率逃脫發(fā)射體。逃脫發(fā)射體的β粒子，只有穿越絕緣區(qū)空間電荷電勢峰才能對探測器靈敏度有貢獻［1，8］。因此，所謂探測器靈敏度K 因子研究，就是研究影響探測器靈敏度的各種因素，如中子自屏因子、中子注量率降低因子，中子誘發(fā)的β粒子逃脫發(fā)射體的概率，逃脫發(fā)射體的β粒子穿越絕緣體空間電荷電勢峰的概率，以及中子誘發(fā)的β粒子逃離發(fā)射體，并穿越絕緣體空間電荷電勢峰，成為對探測器輸出電流有貢獻的電子的概率等。探測器靈敏度K 因子是一組無量綱K 系數(shù)，它與探測器的幾何尺寸、材料及所處的中子場環(huán)境、慢化劑環(huán)境等有關。

2 銠探測器靈敏度K 因子數(shù)學模型、計算公式

2.1 銠探測器全譜中子屏降綜合因子KfF

2.1.1 發(fā)射體中子俘獲率和全譜中子屏降綜合因子KfF（Full spectrum neutron self-shielding and depression comprehensive factor）

從參考文獻［3］式（6）知，單位長銠發(fā)射體中子俘獲率的計算公式如下：

其中，nv0：Westcott 中子注量率；σ0：103Rh熱中子（2200 m·s-1，下同） 微觀吸收截面；g、s：103Rh 的Westcott 因子；：中子譜超熱參數(shù)，簡稱超熱參數(shù)；s0=s（20℃）；N1：單位長發(fā)射體103Rh 的核子數(shù)；f1：發(fā)射體熱中子自屏因子；F1：發(fā)射體熱中子注量率降低因子；f2：發(fā)射體超熱共振中子自屏因子；F2：發(fā)射體超熱共振中子注量率降低因子。

單位長銠發(fā)射體中子俘獲率還可以用下式表示：

比較式（1）和式（2），可得：

從文獻［10］知，單位長銠發(fā)射體中子俘獲率還可以用下式表示：

比較式（2）和式（4），可得 ：

其中，f（v）：發(fā)射體速度為v的中子的自屏因子；F（v）：發(fā)射體速度為v的中子的中子注量率降低因子；σ（v）：103Rh 速度為v的中子的微觀吸收截面；n（v）：速度為v的中子的密度；v：中子速度，其他同上。

2.1.2KfF的物理內(nèi)涵

式（3）和式（5）從不同角度表達了KfF的物理內(nèi)涵。KfF體現(xiàn)了全譜中子場的中子自屏效應和中子注量率降低效應的綜合結果，既包括熱中子的效應，也包括超熱共振中子效應。此外，KfF還隨著超熱參數(shù)的變化而變化?？梢园袺fF稱為探測器全譜中子屏降綜合因子。

假定一根無限細的銠絲和一個銠探測器發(fā)射體放在相同的典型熱堆中子場中。由式（4）知，式 （5）的分子表示發(fā)射體中一個103Rh 核子單位時間內(nèi)俘獲中子的概率（P發(fā)射體）。由文獻［3］的式（5）知，本文式（5）的分母表示無限細銠絲中一個103Rh 核子單位時間內(nèi)俘獲中子的概率（P極細銠絲）。那么，KfF=P發(fā)射體/P極細銠絲。

同上，仍然假定一根無限細的銠絲和一個銠探測器發(fā)射體放在相同的典型熱堆中子場中。銠絲的103Rh 的核子數(shù)為N′。假定在發(fā)射體中做一個橫向切片A （見圖1），切片與發(fā)射體軸向垂直，切片厚度均勻，切片中103Rh 的核子數(shù)也為N′。再假定，穩(wěn)定平衡態(tài)，銠絲單位時間吸收100 個中子。那么，發(fā)射體切片A 單位時間吸收100·KfF個中子。這是對KfF物理內(nèi)涵的最直白解讀。

圖1 銠發(fā)射體和無限細銠絲Fig.1 Rhodium emitter and infinite fine rhodium wire

2.1.3KfF解析

式（3）中，當r=0 時，KfF=f1F1，這類似于熱堆反射層孔道的中子場環(huán)境。當中子場中沒有熱中子，只有超熱中子時，r趨于無窮，這時，KfF=f2F2；這樣的中子場在反應堆中是不存在的，但用包鎘的方法，可以近似模擬這樣的中子場環(huán)境。因此f1F1、f2F2是特定中子場環(huán)境下的KfF，是KfF的延伸。這里r是中子譜超熱指數(shù)，是中子譜超熱中子比例的量度［9］。

2.2 銠探測器Kβ有效因子

全譜中子β有效因子Kβ有效（Full spectrum neutron β effective factor，Kβeffe.）是指中子場全譜中子誘發(fā)的β粒子，逃離發(fā)射體，并穿越絕緣體空間電荷電勢峰，成為對探測器輸出電流有貢獻的電子的概率。熱中子β有效因子K熱β有效（Thermal neutron β effective factor，Kther.βeffe.） 是指熱中子誘發(fā)的β粒子，逃離發(fā)射體，并穿越絕緣體空間電荷電勢峰，成為對探測器輸出電流有貢獻的電子的概率。超熱共振中子β有效因子K超振β有效（Epi.thermal resonance neutron β effective factor，Kepi.ther.reson.βeffe.）是指超熱共振中子誘發(fā)的β粒子，逃離發(fā)射體，并穿越絕緣體空間電荷電勢峰，成為對探測器輸出電流有貢獻的電子的概率。K超振β有效是K超熱共振β有效的簡稱。假定Kβ有效=0.56，那么在穩(wěn)定平衡態(tài)，發(fā)射體單位時間每吸收100 個中子，就會發(fā)射100 個β粒子；這100 個β粒子中，只有56 個β粒子能夠逃離發(fā)射體，并穿越絕緣體空間電荷電勢峰，成為對探測器輸出電流有貢獻的電子。

2.2.1K熱β有效、K超振β有效數(shù)學模型

從文獻［3］式（21）知，單位長發(fā)射體的靈敏度可以用下式表示：

注意，上述公式中的等同于式（1）中的N1。

從文獻［3］式（7）知，探測器單位長發(fā)射體靈敏度，還可用下式表示：

比較式（8）和式（6），可得：

2.2.2Kβ有效計算公式

從式（1）及Kβ有效定義知，單位長發(fā)射體的靈敏度還可以用下式表示：

比較式（11）和式（7），可得：

參照2.1.3 節(jié)知，式（12）中K熱β有效、K超振β有效是特定中子場環(huán)境下的Kβ有效，是Kβ有效的延伸。

2.3 銠探測器Kβ逃脫因子

全譜中子β逃脫因子Kβ逃脫（Full spectrum neutron β escape factor，Kβesc.）是指全譜中子場中子誘發(fā)的β粒子逃離發(fā)射體的概率。熱中子β逃脫因子K熱β逃脫（Thermal neutron β escape factor，Kther.βesc.）是指熱中子誘發(fā)的β粒子逃離發(fā)射體的概率。超熱共振中子β逃脫因子K超振β逃脫（Epi.thermal resonance neutron β escape factor，Kepi.ther.reson.βesc.）是指超熱共振中子誘發(fā)的β粒子逃離發(fā)射體的概率。K超振β逃脫是K超熱共振β逃脫的簡稱。

2.3.1K熱β逃脫、K超振β逃脫數(shù)學模型

（1）K熱β逃脫數(shù)學模型。

從文獻 ［1］式（10）知：

（2）K超振β逃脫數(shù)學模型。

從文獻［3］式（13）知，銠發(fā)射體吸超熱共振中子后放出的β粒子逃離發(fā)射體表面時的能量分布叫超熱共振逃脫譜，可用下式表示：

同理，

（3）文獻［3］中，計算出了絕緣體厚度為零的探測器靈敏度。絕緣體厚度為零，意味著逃離發(fā)射體的β粒子都能穿越空間電荷電勢峰，這樣，式（9）和式（10）中，P（E） =1，E0=0；絕緣體厚度為零，還意味著逃離發(fā)射體的β粒子都能成為對探測器輸出電流有貢獻的電子，因此Kβ逃脫=Kβ有效。這樣可得：

式（16）和式（13）相同，式（17）和式（15）相同。

2.3.2Kβ逃脫

據(jù)上述Kβ逃脫的定義，中子場中子單位時間在單位長發(fā)射體中誘發(fā)的β粒子，穿越發(fā)射體，到達發(fā)射體表面，且逃離發(fā)射體的β粒子數(shù)還可以用下式表示：

比較式（18）和式（19），可得：

參照2.1.3 節(jié)，式（20）中，K熱β逃脫、K超振β逃脫是特定中子場環(huán)境下的Kβ逃脫，是Kβ逃脫的延伸。

2.4 銠探測器Kβ穿越因子

全譜中子β穿越因子Kβ穿越（Full spectrum neutron β cfactor，Kβ.cross.）是指中子場中子誘發(fā)的且已逃離發(fā)射體的β粒子，穿越絕緣體空間電荷電勢峰，成為對探測器輸出電流有貢獻的電子的概率。熱中子β穿越因子K熱β穿越（Thermal neutron βcfactor，Kther.β.cross.）是指熱中子誘發(fā)的且已逃離發(fā)射體的β粒子，穿越絕緣體空間電荷電勢峰，成為對探測器輸出電流有貢獻的電子的概率。超熱共振中子β穿越因子K超振β穿越（Epi. thermal resonance neutron β crossing factor，Kepi.ther.reson.β.cross.）是指超熱共振中子誘發(fā)的且已逃離發(fā)射體的β粒子，穿越絕緣體空間電荷電勢峰，成為對探測器輸出電流有貢獻的電子的概率。K超振β穿越是K超熱共振β穿越的簡稱。

2.4.1K熱β穿越數(shù)學模型

結合上述K熱β有效和K熱β逃脫定義，可得：

2.4.2K超振β穿越數(shù)學模型

結合上述K超振β有效和K超振β逃脫定義，可得：

2.4.3Kβ穿越計算公式

結合上述Kβ有效、Kβ穿越和Kβ逃脫定義，可得：

結合式（12）和式（20），可得：

結合式（21）、式（23）、式（26），可得：

2.5 匯總

現(xiàn)將熱中子、超振中子、中子場全譜中子K因子匯總，見表1。

表1 K 因子計算公式匯總Table 1 Summary of K factor calculation formulas

3 銠探測器輕水堆靈敏度K 因子計算結果

3.1 f、F、KfF 因子的計算結果

3.1.1f1、F1、f2、F2的計算結果（見圖2）

圖2 銠探測器發(fā)射體輕水堆自屏因子f、中子注量率降低因子F 隨發(fā)射體直徑的變化而變化Fig.2 Self-shielding factor f and flux depression factor F of Rh detector emitter in light water reactor varies with emitter diameter

銠發(fā)射體熱中子自屏因子f1、熱中子注量率降低因子F1和超熱共振中子注量率降低因子F2參見文獻［10］，超熱共振中子自屏因子f2參見文獻［11］。

文獻［10］中的中子注量率降低因子適用于多能中子系統(tǒng)，當然也適用于103Rh 共振峰區(qū)間的中子。由于發(fā)射體對103Rh 的大多數(shù)共振中子（尤其是共振峰半寬度內(nèi)的中子） 可以近似看成黑體，滿足了文獻［10］中x（∑are）值遠大于1的條件，即文獻［10］中的式（6）可簡化成式（7）。這樣大多數(shù)共振中子的中子注量率降低因子與發(fā)射體的宏觀吸收截面無關，而只與發(fā)射體的半徑和共振中子在探測器周圍介質(zhì)中的擴散長度及遷移平均自由程有關，因此我們用1.26 eV中子的中子注量率降低因子近似代替共振峰區(qū)間中子的中子注量率降低因子的平均值，引起的誤差是不大的（見圖2）。

3.1.2KfF的計算結果及解讀

（1）計算結果見表2、圖3。

表2 銠探測器輕水堆KfF 因子Table 2 KfF factor of Rh detector in light water reactor

圖3 銠探測器輕水堆KfF 因子Fig.3 KfF factor of Rh detector in light water reactor

（2）計算結果解讀。

①物理解讀：表2、圖3 表明，在發(fā)射體直徑相同情況下，銠發(fā)射體對超熱共振中子的自屏蔽效應更大；KfF隨著的增大而減小。

3.2 Kβ逃脫的計算結果及解讀

3.2.1Kβ逃脫的計算結果（見表3、圖4）

表3 銠探測器輕水堆的Kβ逃脫因子Table 3 Kβesc. factor of Rh detector in light water reactor

圖4 銠探測器輕水堆的Kβ逃脫因子Fig.4 Kβesc. factor of Rh detector in light water reactor

3.2.2Kβ逃脫的計算結果解讀

①物理解讀：文獻［3］假定，超熱共振中子只在發(fā)射體表面吸收，從而其誘發(fā)的β粒子只在發(fā)射體表面均勻產(chǎn)生，且各向同性發(fā)射。超熱中子誘發(fā)的β粒子有50%不穿越發(fā)射體、直接逃離。因此，K超振β逃脫＞K熱β逃脫；K超振β逃脫永遠大于0.5。表3 中，在直徑相同的情況下，越大，Kβ逃脫越大；這是因為，越大，超熱共振中子的比例越大，不穿越發(fā)射體、直接逃離的β粒子的比分越大，導致Kβ逃脫越大。

3.3 K熱β有效的計算結果

3.3.1 銠探測器輕水堆熱中子K熱β有效計算結果（見表4、圖5）

表4 銠探測器輕水堆K熱β有效Table 4 Kther.βeffe. factor of Rh detector in light water reactor

圖5 銠探測器輕水堆K熱β有效Fig.5 Kther.βeffe. factor of Rh detector in light water reactor

3.3.2 銠探測器輕水堆超熱共振中子K超振β有效計算結果（見表5、圖6）

表5 銠探測器輕水堆K超振β有效Table 5 Kepi.ther.reson.βeffe. factor of Rh detector in light water reactor）

圖6 銠探測器輕水堆K超振β有效Fig.6 Kepi.ther.reson.βeffe. factor of Rh detector in light water reactor

3.3.3 銠探測器輕水堆全譜中子Kβ有效

（1）銠探測器輕水堆全譜中子Kβ有效計算結果（見表6、圖7 及圖8）

表6 絕緣體厚度為0.3 mm 時，銠探測器Kβ有效隨超熱參數(shù)（）及發(fā)射體直徑的變化而變化Table 6 Kβeffe. of Rh detector in light reactor varies with the change of epi-thermal parameters（） and emitterdiameter When its insulator thickness =0.3 mm.

表6 絕緣體厚度為0.3 mm 時，銠探測器Kβ有效隨超熱參數(shù)（）及發(fā)射體直徑的變化而變化Table 6 Kβeffe. of Rh detector in light reactor varies with the change of epi-thermal parameters（） and emitterdiameter When its insulator thickness =0.3 mm.

?

圖7 絕緣體厚度為0.3 mm 時，銠探測器Kβ有效隨超熱參數(shù)（）及發(fā)射體直徑的變化而變化Fig.7 Kβeffe. of Rh detector in light reactor varies with the change of epi-thermal parameters （） and emitter diameter When its insulator thickness =0.3 mm.

圖8 發(fā)射體直徑為1.0 mm 時，銠探測器Kβ有效隨超熱參數(shù)（）及絕緣體厚度的變化而變化Fig.8 Kβeffe. of Rh detector in light reactor varies with the change of epi-thermal parameters（） and insulator thickness When its emitter diameter = 1.0 mm.

銠探測器輕水堆全譜中子Kβ有效不僅隨著發(fā)射體直徑、絕緣體厚度的變化而變化，還隨著超熱參數(shù)的變化而變化。下面給出兩種典型案例的數(shù)據(jù)。

（2）銠探測器輕水堆全譜中子Kβ有效計算結果解讀。

3.4 Kβ穿越計算結果

3.4.1 銠探測器輕水堆熱中子K熱β穿越計算結果（見圖9）

圖9 銠探測器輕水堆K熱β穿越Fig.9 Kther.βcro. of Rh detector in light reactor

3.4.2 銠探測器輕水堆超熱共振中子K超振β穿越計算結果（見圖10）

圖10 銠探測器輕水堆超熱共振中子K超振β穿越Fig.10 Kepi.ther.reson.βcro. of Rh detector in light reactor

3.4.3 銠探測器輕水堆全譜中子Kβ穿越代表性案例計算結果（見圖11）

圖11 發(fā)射體直徑為1.0 mm 時，銠探測器Kβ穿越隨超熱參數(shù)（）及絕緣體厚度的變化而變化Fig.11 Kβcro. of Rh detector in light reactor varies with the change of epi-thermal parameter （） and insulator thickness When its emitter diameter = 1.0 mm.

4 銠探測器重水堆K 因子計算結果

4.1 銠探測器重水堆f、F 因子計算結果（見圖12）

圖12 銠探測器發(fā)射體重水堆自屏因子f、中子注量率降低因子F 隨發(fā)射體直徑的變化而變化Fig.12 Self-shielding factor f and flux depression factor F of Rh detector emitter in heavy water reactor varies with emitter diameter

4.2 銠探測器重水堆f1F1、f2F2、KfF 因子計算結果（見圖13）

圖13 銠探測器重水堆KfF 因子Fig.13 KfF factor of Rh detector in heavy water reactor

4.3 銠探測器重水堆Kβ有效

4.3.1 銠探測器重水堆熱中子K熱β有效、超熱共振中子K超振β有效

從本文式（9）、式（10）知，銠探測器熱中子的K熱β有效、和超熱共振中子K超振β有效都與堆型無關，只和發(fā)射體直徑及絕緣體厚度、材料密度有關。因此，銠探測器重水堆的熱中子K熱β有效、和超熱共振中子K超振β有效與其輕水堆的熱中子K熱β有效、和超熱共振中子K超振β有效相同，見本文表4、表5。

4.3.2 銠探測器重水堆Kβ有效

表7 銠探測器重水堆Kβ有效與其輕水堆Kβ有效比較Table 7 Comparison between Kβeffective of Rh detector in heavy water reactor and Kβeffective of Rh detector in light water reactor

因此，可以把輕水堆的Kβ有效（典型案例見表6、圖7、圖8）近似用于重水堆，引起的誤差可以接受。

4.4 銠探測器重水堆Kβ逃脫

用4.3 節(jié)類似的方法，可以證明，幾何尺寸相同的探測器，在相同中子場環(huán)境中，其重水堆Kβ逃脫與輕水堆Kβ逃脫基本相等。因此，可以把輕水堆的Kβ逃脫近似用于重水堆，引起的誤差可以接受。

4.5 銠探測器重水堆Kβ穿越

從本文式（21）、式（23）和式（25）知，K熱β穿越=K熱β有效/K熱β逃脫，K超振β穿越=K超振β有效/K超振β逃脫，Kβ穿越=Kβ有效/Kβ逃脫。因此，同樣可以把輕水堆的Kβ穿越近似用于重水堆。

4.6 小結

熱中子的K熱β逃脫、K熱β有效、K熱β穿越和超熱共振中子的K超振β有效、K超振β逃脫、K超振β穿越都和堆型無關，只和發(fā)射體直徑、材料及絕緣體厚度、材料密度有關。但全譜中子的Kβ逃脫、Kβ有效、Kβ穿越和堆型有關，但影響不大。輕水堆的Kβ逃脫、Kβ有效、Kβ穿越和重水堆的Kβ逃脫、Kβ有效、Kβ穿越之間可以近似引用。

5 中子場中子溫度對銠探測器靈敏度K 因子影響

5.1 中子場中子溫度對銠探測器輕水堆靈敏度K 因子影響

本文計算中，設定中子溫度為20℃，設定103Rh 的g（20℃） =1.023，s0=s（20℃） =7.255。因此，目前本文給出的K 因子數(shù)據(jù)都是基于設定中子溫度為20℃的計算結果。也就是說，上述銠探測器K因子隨著超熱參數(shù)的變化而變化、隨著發(fā)射體直徑的變化而變化、隨著絕緣體厚度的變化而變化，都是設定中子溫度是不變的，即設定中子溫度為20℃。

現(xiàn)在研究中子場中子溫度對銠探測器靈敏度K 因子影響，研究中采用數(shù)據(jù)驗證方法，而不是理論分析方法。

5.1.1 中子場中子溫度變化對KfF的影響

假定把發(fā)射體直徑為1 mm 的探測器安裝在輕水堆堆芯，探測器位置的超熱參數(shù)=0.06，用本文式（3）計算該探測器在不同中子溫度下的KfF，結果見表8。

表8 發(fā)射體直徑1 mm 的銠探測器，在超熱參數(shù)=0.06 的中子場，其KfF 隨中子溫度的變化Table 8 The KfF of Rh detectors varies with neutron temperature when Rh detectors with an emitter diameter of 1 mm and in a neutron field with epithermal parameter =0.06

表8 發(fā)射體直徑1 mm 的銠探測器，在超熱參數(shù)=0.06 的中子場，其KfF 隨中子溫度的變化Table 8 The KfF of Rh detectors varies with neutron temperature when Rh detectors with an emitter diameter of 1 mm and in a neutron field with epithermal parameter =0.06

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表8 表明，在銠探測器發(fā)射體直徑確定、堆型確定、中子能譜超熱參數(shù)確定的情況下，中子溫度從20℃變?yōu)?20℃，銠探測器的KfF僅增加約1%。換句話說，把一只銠探測器放在典型游泳池式實驗堆堆芯或典型核電廠反應堆堆芯中，只要探測器位置的超熱參數(shù)相同，這只探測器的KfF是近似相同的，相對誤差不超過1%。

5.1.2 中子場中子溫度變化對Kβ有效的影響

假定把發(fā)射體直徑為1 mm、絕緣體厚度為0.3 mm 的探測器安裝在輕水堆堆芯，探測器位置的超熱參數(shù)=0.06，用本文式（12）計算該探測器在不同中子溫度下的Kβ有效，結果見表9。

表9 發(fā)射體直徑為1 mm、絕緣體厚度為0.3 mm 的銠探測器，在超熱參數(shù)=0.06 的輕水堆中子場，其Kβ有效隨中子溫度的變化Table 9 The Kβeff. of Rh detectors varies with neutron temperature when Rh detectors with an emitter diameter of 1 mm and an insulator thickness of 0.3 mm，and in a neutron field with epi-thermal parameter =0.06

表9 發(fā)射體直徑為1 mm、絕緣體厚度為0.3 mm 的銠探測器，在超熱參數(shù)=0.06 的輕水堆中子場，其Kβ有效隨中子溫度的變化Table 9 The Kβeff. of Rh detectors varies with neutron temperature when Rh detectors with an emitter diameter of 1 mm and an insulator thickness of 0.3 mm，and in a neutron field with epi-thermal parameter =0.06

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表9 表明，在銠探測器幾何尺寸（發(fā)射體直徑、絕緣體厚度）確定、堆型確定、中子能譜超熱參數(shù)確定的情況下，中子溫度從20℃變?yōu)?20℃，銠探測器的Kβ有效僅降低約1%。換句話說，把一只銠探測器放在典型游泳池式實驗堆堆芯或典型核電廠反應堆堆芯中，只要探測器位置的超熱參數(shù)相同，這只探測器的Kβ有效是近似相同的，相對誤差不超過1%。

5.1.3 中子場中子溫度變化對Kβ逃脫的影響

Kβ逃脫可以看作絕緣體厚度為0 時的Kβ有效，因此，從5.1.2 節(jié)的結論可以推出：當中子溫度從20℃變?yōu)?20℃，銠探測器的Kβ逃脫僅會有約1%的變化。

5.1.4 中子場中子溫度變化對Kβ穿越的影響

從本文式（25）、（26）知，Kβ穿越=Kβ有效/Kβ逃脫。因此，從5.1.3 節(jié)及5.1.4 節(jié)的結論可以推論出：當中子溫度從20℃變?yōu)?20℃，銠探測器的Kβ穿越僅會有約1%的變化。

5.2 中子場中子溫度對銠探測器重水堆靈敏度K 因子影響

5.2.1 中子場中子溫度變化對重水堆Kβ有效的影響

假定把發(fā)射體直徑為1 mm、絕緣體厚度為0.3 mm 的探測器安裝在重水堆堆芯，探測器位置的超熱參數(shù)=0.06，用本文式（12）計算該探測器在不同中子溫度下的Kβ有效，結果見表10。

表10 發(fā)射體直徑為1 mm、絕緣體厚度為0.3 mm 的銠探測器，在超熱參數(shù)=0.06 的重水堆中子場，其Kβ有效隨中子溫度的變化Table 10 The Kβeff. of Rh detectors varies with neutron temperature when Rh detectors with an emitter diameter of 1 mm and an insulator thickness of 0.3 mm，and in a neutron field with epi-thermal parameter=0.06

表10 發(fā)射體直徑為1 mm、絕緣體厚度為0.3 mm 的銠探測器，在超熱參數(shù)=0.06 的重水堆中子場，其Kβ有效隨中子溫度的變化Table 10 The Kβeff. of Rh detectors varies with neutron temperature when Rh detectors with an emitter diameter of 1 mm and an insulator thickness of 0.3 mm，and in a neutron field with epi-thermal parameter=0.06

?

表9 表明，在銠探測器幾何尺寸（發(fā)射體直徑、絕緣體厚度）確定、堆型確定、中子能譜超熱參數(shù)確定的情況下，中子溫度從20℃變?yōu)?20℃，銠探測器的重水堆Kβ有效僅降低約1%。換句話說，把一只銠探測器放在典型游泳池式重水實驗堆堆芯或典型重水堆核電廠堆芯中，只要探測器位置的超熱參數(shù)相同，這只探測器的Kβ有效是近似相同的，相對誤差不超過1%。

5.2.2 中子場中子溫度變化對重水堆KfF、Kβ逃脫、Kβ穿越的影響

用5.1 節(jié)類似的方法，可以計算或推論出：在銠探測器幾何尺寸（發(fā)射體直徑、絕緣體厚度）確定、堆型確定、中子能譜超熱參數(shù)確定的情況下，中子溫度從20℃變?yōu)?20℃，其重水堆KfF、Kβ逃脫、Kβ穿越僅有很小變化（約1%的變化）。

5.3 物理解讀及數(shù)學分析

5.3.1 物理解讀

表8、表9、表10 的結果表明，銠探測器靈敏度K 因子似乎與中子溫度無關，不隨著中子溫度的變化而變化。當然，中子溫度對靈敏度K 因子是有影響的，但在5.1 節(jié)、5.2 節(jié)的分析中，這一作用被隱藏了。5.1 節(jié)、5.2 節(jié)的分析結果，是在假定銠探測器幾何尺寸（發(fā)射體直徑、絕緣體厚度）確定、堆型確定、中子能譜超熱參數(shù)確定的前提下取得的。中子能譜超熱參數(shù)確定，為一常數(shù)，這就意味著，當T增加時，r必須減少，這樣才能使保持不變。T對靈敏度K 因子是有影響的，但增加對靈敏度K因子的正影響，與r減少對靈敏度K 因子的負影響近似抵消，這樣，當T增加時，在保持不變的前提下，靈敏度K 因子近似不變，但這只是一種表象。

5.3.2 數(shù)學分析

從本文式（3）、式（12）、式（20）、式（26）知，銠探測器靈敏度K 因子KfF、Kβ有效、Kβ逃脫、Kβ穿越的計算公式的架構相同，如下：

該式有以下特點：

（1）A1、A2中都含g因子，當中子溫度T變化時，g變化，但A1/A2不會變，為一常數(shù)；

（2）A1遠大于B1，A2遠大于B2；

（3）B1/B2為常數(shù)，不隨變化而變化。

若假設B1、B2為0，那么，為一個常數(shù)，K不會隨著T、g的變化而變化。

B1、B2雖然不為0，但與A1、A2相比，小很多。因此，A1/A2在計算K因子時起主導作用；B1、B2有一定影響，但影響相對較小。這就是表8、表9、表10 中，當T、g變化時，而相關靈敏度K 因子只有約1%變化的定性解釋。

5.4 小結：重要價值與作用

5.1 節(jié)已經(jīng)說明，本文計算中，設定中子溫度為20 ℃，設定103Rh 的g（20 ℃） =1.023，s0=s（20℃） =7.255。因此，目前本文給出的K 因子數(shù)據(jù)都是基于設定中子溫度為20℃的計算結果。本文靈敏度K 因子的計算結果原則上也只能應用于中子溫度為20℃的中子場。5.1 節(jié)、5.2節(jié)分析結果表明，本文靈敏度K 因子的計算結果不但可應用于中子溫度為20℃的中子場，還可以近似應用于其他溫度下（20℃～420℃）的中子場。這樣，本文給出的靈敏度K 因子計算結果，就可以應用于所有游泳池式熱中子堆，還可推廣近似應用于熱堆核電廠。近似應用的相對誤差約1%。這就是本節(jié)分析的重要價值和作用。

6 用銠探測器靈敏度K 因子計算其單位長發(fā)射體靈敏度

6.1 銠探測器單位長發(fā)射體靈敏度計算公式

結合式（2）及Kβ有效定義，銠探測器單位長發(fā)射體靈敏度可以用下式表示：

結合式（1）及K熱β有效、K超振β有效定義，銠探測器單位長發(fā)射體靈敏度還可以用下式表示：

由于K熱β有效=K熱β逃脫K熱β穿越、K超振β有效=K超振β逃脫K超振β穿越，那么

上述公式，既適用于輕水堆，也適用于重水堆。如果知道某一探測器的靈敏度K 因子，就可以用上述公式［式（28） ～式（31）］計算該探測器的單位長發(fā)射體靈敏度。注意，6.1 節(jié)中的與本文式（1）、式（2）中的N1的物理內(nèi)涵相同。

本文8.2 節(jié)給出了利用上述公式計算銠探測器單位長發(fā)射體靈敏度的例子。

6.2 用銠探測器靈敏度K 因子和探測器靈敏度的理論計算值或其刻度值推算其不同中子場環(huán)境的下的靈敏度

從本文式（9）、式（10）知，銠探測器的K熱β有效、K超振β有效只和探測器的幾何尺寸有關，和堆型（慢化劑）無關。從文獻［10］式（2）、式（3）及式（4）知，f1和慢化劑無關。從文獻［11］式（50.43）知，f2和慢化劑無關。從文獻［10］式（5）、式（6）及式（7）知，F(xiàn)1、F2不但和發(fā)射體直徑及發(fā)射體材料的宏觀中子截面有關，也和慢化劑有關。因此，上述短式中，只有F1、F2和堆型有關，其他因子或參數(shù)和堆型無關。g因子雖然和堆型無關，但隨著中子溫度的變化而變化，詳見文獻［9］表1。

6.2.1 用銠探測器輕水堆靈敏度理論計算值推算其輕水堆不同中子溫度下的靈敏度

文獻［3］給出了中子溫度為20℃的銠探測器輕水堆單位長發(fā)射體靈敏度，包括單位長發(fā)射體熱中子靈敏度a 值和單位長發(fā)射體超熱共振b 值?？梢杂蒙鲜鯽、b 值，通過下式計算中子溫度為T時的銠探測器輕水堆單位長發(fā)射體靈敏度。

注：銠探測器的超熱共振b值和中子溫度無關。

6.2.2 用銠探測器輕水堆靈敏度理論計算值推算其重水堆不同中子溫度下的靈敏度

文獻［3］給出了中子溫度為20℃的銠探測器輕水堆靈敏度，包括單位長發(fā)射體熱中子靈敏度a 值和單位長發(fā)射體超熱共振b 值。可以用上述a、b 值，通過下式計算中子溫度為T時的銠探測器重水堆單位長發(fā)射體靈敏度。

可以通過圖2（或其對應的表格數(shù)據(jù)）獲取輕水堆的F1、F2，可以通過圖12（或其對應的表格數(shù)據(jù)）獲取重水堆的F1、F2。

6.2.3 銠探測器重水堆靈敏度與其輕水堆靈敏度比較近似關系式

式（28）中，只有KfF和堆型有關。探測器輕水堆的Kβ有效和其重水堆的Kβ有效近似。其他因子或參數(shù)和堆型無關。也就是說，如果知道銠探測器在輕水堆某一中子場環(huán)境下的靈敏度，那么可以直接推算該探測器在重水堆同樣中子場環(huán)境下（相同、中子溫度近似）的靈敏度；反之，亦然。計算公式為：

6.2.4 用銠探測器輕水堆靈敏度刻度值推算它的其他情況下的靈敏度

（1）用銠探測器輕水堆靈敏度刻度值推算其重水堆靈敏度

文獻［12］給出了一只銠探測器輕水堆靈敏度刻度結果（又見文獻［3］1.2.2 節(jié)）。該銠探測器發(fā)射體直徑為1 mm、其長度為20 mm，探測器絕緣體厚度0.27 mm、絕緣體材料Al2O3。靈敏度刻度實驗在原子能研究院游泳池輕水實驗堆進行。實驗堆的中子溫度：326 K（53℃）［14］，本文設定中子溫度為60℃，取g（60℃） =1.032［9］。

可以采用上述刻度實驗獲得的該探測器的熱中子靈敏度a 值和超熱共振b 值（見文獻［3］1.2.2 節(jié)），通過下式推算出該探測器的重水堆靈敏度。但用這種方法推算出的探測器靈敏度仍應該歸類于理論計算靈敏度，而不應歸類于靈敏度刻度值。

該探測器的靈敏度刻度實驗是在游泳池式輕水反應堆進行的，通過上式，可以推算出該探測器在重水堆核電廠堆芯的靈敏度。

（2）用銠探測器輕水堆靈敏度刻度值推算其不同中子溫度下的輕水堆靈敏度

還可以通過下式推算出該探測器在不同中子溫度下的輕水堆靈敏度。

通過上式，可以推算出該探測器在輕水堆核電廠堆芯的靈敏度。

6.2.5 用銠探測器重水堆靈敏度刻度值推算它的其他情況下的靈敏度

（1）用銠探測器重水堆靈敏度刻度值推算其輕水堆靈敏度

文獻［13］給出了一只銠探測器重水堆靈敏度刻度結果（又見文獻［3］1.2.2 節(jié)）。該探測器的發(fā)射體直徑為0.5 mm、長度為30 mm，探測器絕緣體厚度0.25 mm、絕緣體材料Al2O3。靈敏度刻度實驗在英國Harwell 冥王重水堆PLUTO進行。PLUTO［15，16］是罐式重水研究堆，與游泳池式反應堆類似，其慢化劑溫度70℃（343.6 K）。對于典型熱中子堆，T/Tm＜1.07［9］（Tm：慢化劑溫度），可以推測出，冥王堆的中子溫度T＜367 K（94℃）這里假定中子溫度為80℃，取g（80℃） =1.037［9］

可以采用上述刻度實驗獲得的該探測器的熱中子靈敏度a 值和超熱共振b 值（見文獻［3］1.2.2 節(jié)），通過下式推算出該探測器的輕水堆靈敏度。但用這種方法推算出的探測器靈敏度仍應該歸類于理論計算靈敏度，而不應歸類于靈敏度刻度值。

該探測器的靈敏度刻度實驗是在游泳池式重水反應堆進行的，通過上式，可以推算出該探測器在輕水堆核電廠堆芯的靈敏度。

（2） 用銠探測器重水堆靈敏度刻度值推算其不同中子溫度下的重水堆靈敏度

還可以通過下式推算出該探測器在不同中子溫度下的重水堆靈敏度。

通過上式，可以推算出該探測器在重水堆核電廠堆芯的靈敏度。

6.2.6 上述公式的應用驗證

本論文第二篇將用6.2 節(jié)介紹的公式、方法進行靈敏度計算，并與用其他方法的相關計算結果進行比較，以驗證本節(jié)提出的方法、公式、技術路線的科學性、可信性。

7 釩探測器的K 因子計算模型、結果及分析

7.1 計算模型

釩的中子俘獲截面符合1/v 率，釩探測器的K 因子計算模型與銠探測器的熱中子K 因子計算模型相同，如下：

7.2 計算結果

7.2.1 釩探測器輕水堆K 因子計算結果

（1） 釩探測器輕水堆f、F、fF因子計算結果（見圖14）

圖14 釩探測器輕水堆自屏因子f、中子注量率降低因子F 及fF 因子Fig.14 Self-shielding factor f and flux depression factor F of V detector emitter in light water reactor varies with emitter diameter

釩探測器發(fā)射體熱中子自屏因子f、熱中子注量率降低因子F參見文獻［10］。

（2） 釩探測器輕水堆K熱β逃脫、K熱β有效因子計算結果（見圖15）

圖15 釩探測器輕水堆K熱β有效Fig.15 Kther.βeffe. factor of Rh detector in light water reactor

釩探測器的絕緣體厚度為0 時，其K熱β逃脫等于其K熱β有效。

（3） 釩探測器輕水堆K熱β穿越因子計算結果（見圖16）

圖16 釩探測器輕水堆K熱β穿越Fig.16 Kther.βcro. of V detector in light reactor

7.2.2 釩探測器重水堆K 因子計算結果

（1）釩探測器重水堆f、F、fF因子計算結果（見圖17）

圖17 釩探測器重水堆自屏因子f、中子注量率降低因子F 及fF 因子Fig.17 Self-shielding factor f and flux depression factor F and fF factor of V detector emitter in heavy water reactor varies with diameter

（2）釩探測器重水堆K熱β有效、K熱β穿越、K熱β逃脫因子計算結果

釩探測器重水堆K熱β有效、K熱β穿越、K熱β逃脫因子計算結果與其輕水堆的K熱β有效、K熱β穿越、K熱β逃脫因子計算結果相同。

7.3 用釩探測器靈敏度K 因子計算其單位長發(fā)射體靈敏度

7.3.1 釩探測器單位長發(fā)射體靈敏度計算公式

釩的中子俘獲截面符合1/v 率，釩探測器靈敏度計算公式與銠探測器靈敏度計算公式的熱中子部分的公式相同，具體如下：

由于K熱β有效=K熱β穿越K熱β逃脫，那么，

式中，f：釩探測器發(fā)射體熱中子自屏因子；F：釩探測器發(fā)射體熱中子中子注量率降低因子；其他同上。

上述公式，既適用于輕水堆，也適用于重水堆。如果知道某一探測器的靈敏度K 因子，就可以用上述公式［式（39）、式（40）］計算該探測器的單位長發(fā)射體靈敏度。注意，這里與本文式（1）、式（2）中的N1的物理內(nèi)涵相同。

釩的中子俘獲截面符合1/v 率，其g因子等于1，且不隨著中子溫度的變化而變化，因此，用上述公式計算出的釩探測器靈敏度，既適用于游泳池式實驗堆，也適用于核電廠等動力堆。

7.3.2 釩探測器重水堆靈敏度與輕水堆靈敏度的關系

如果知道釩探測器在輕水堆的靈敏度（理論計算值或靈敏度刻度值），那么可以直接推算該探測器在重水堆的靈敏度。計算公式為：

反之，亦然。

8 銠、釩探測器靈敏度K 因子計算結果檢驗

為了驗證本文靈敏度K 因子理論模型的科學性、可行性，檢驗本文給出的靈敏度K 因子的計算結果的可信性，現(xiàn)通過以下三種途徑，從不同角度、不同側面對本文給出的銠、釩探測器靈敏度K 因子計算結果進行檢驗。

8.1 本文靈敏度K 因子計算結果與其他文獻發(fā)表的靈敏度k 因子計算結果相互比較

現(xiàn)在把本文給出的靈敏度K 因子計算結果與目前能夠收集到的其他論文給出的相關靈敏度K 因子計算結果進行比較。

由于有的文獻沒有給出具體數(shù)據(jù)，只給出靈敏度K 因子的變化曲線圖。因此，有些文獻的K 因子是依據(jù)K 因子的變化曲線圖測算出來的。具體做法為：依據(jù)發(fā)射體直徑、熱中子吸收截面，計算出x（re∑）［10］，然后從圖中測算出對應的靈敏度K 因子的值。

由于各文獻采用的長度單位的制式不同，有的用公制，有的用英制。因此，與本節(jié)各比較表中第一列的標稱直徑有差異的，本文在表中分別標注出。

下列各比較表中，“本文”這一列對應的數(shù)據(jù)，一般直接采用本文給出的數(shù)據(jù)；對于特殊的探測器的直徑、絕緣體厚度，用本文已知數(shù)據(jù)推算。

下列各表中，“比較”一列或一行對應的數(shù)據(jù)為K 因子的相對比值，比較時以本文給出的數(shù)據(jù)為1.0。

經(jīng)研究認為：1）文獻［7］中的k與本文的f1（銠探測器）或f（釩探測器）的物理內(nèi)涵相同；文獻［2］中fs因子與本文的釩探測器的f因子的物理內(nèi)涵相同；文獻［2］中fd因子與本文的釩探測器的F因子的物理內(nèi)涵相同。2）文獻［1］的? 因子及文獻［7］中kβ的與本文的K熱β逃脫的物理內(nèi)涵相同。3）文獻［7］中的kg與本文的K熱β穿越的物理內(nèi)涵相同。4） 文獻［7］中的（KgKβ）及文獻［2］中β因子與本文的K熱β有效因子的物理內(nèi)涵相同。

到目前為止，能夠收集到的其他論文發(fā)表的相關靈敏度K 因子都是熱中子靈敏度K 因子，因此，下述比較，僅限于熱中子靈敏度K 因子之間的比較（表13 除外）。

8.1.1 銠探測器熱中子自屏因子f1比較（見表11）

表11 銠探測器熱中子自屏因子f1Table 11 Thermal neutron self-shielding factor f1 of Rh detector

8.1.2 釩探測器自屏因子f比較（見表12）

表12 釩探測器自屏因子fTable 12 Thermal neutron self-shielding factor f of V detector

8.1.3 銠探測器超熱共振中子自屏因子f2比較（見表13）

表13 銠探測器超熱共振中子自屏因子f2Table 13 epi-thermal resonance neutrons self-shielding factor f2 of Rh detector

8.1.4 釩探測器熱中子中子注量率降低因子F比較（見表14）

表14 釩探測器熱中子中子注量率降低因子FTable 14 Thermal neutron flux depression factor F for vanadium detectors

8.1.5 探測器K熱β逃脫因子比較（見表15）

表15 探測器K熱β逃脫因子Table 15 Kthermalβescape. of detector

8.1.6 釩探測器和銠探測器K熱β穿越因子比較（見表16）

表16 釩探測器和銠探測器K熱β穿越因子Table 16 Kthermalβpass through of V and Rh detector

8.1.7 銠探測器和釩探測器K熱β有效因子（見表17）

表17 釩探測器和銠探測器K熱β有效因子Table 17 Kthermalβeffective of V and Rh detector

8.2 銠探測器K 因子計算結果自我相互檢驗

為了檢驗計算結果的準確性、可信性，以及相互之間的吻合性、自洽性，這里對銠探測器K因子計算結果進行進一步自我相互檢驗。

數(shù)據(jù)檢驗的方式、方法簡述如下：（1）選擇典型案例，即確定探測器的發(fā)射體直徑、絕緣體厚度，以及其所處的堆型、中子場環(huán)境（）；（2）選擇6.1 節(jié)四種不同的計算銠探測器靈敏度的公式中的一種；（3）針對案例及選定的公式，從本文K 因子計算結果中查找每一公式需要的K因子；（4）針對案例，從文獻［3］中查找每一案例的a、b 值；（5）分別用不同公式計算每一案例的單位長發(fā)射體靈敏度。結果見表18。計算結果相互吻合，十分理想。

表18 計算結果的準確性、可信性，以及相互之間吻合性檢驗Table 18 Verification of accuracy，credibility and consistency of calculation results

8.3 銠探測器K 因子理論計算結果與基于實驗數(shù)據(jù)推算出的K 因子相互比較（詳見本論文第二篇）

9 結論

（1）本文對β衰變型自給能探測器靈敏度K因子進行了較全面、深入、系統(tǒng)的研究，建立了銠探測器熱中子K 因子、超熱共振中子K 因子、中子場全譜中子K 因子的完整理論體系。

（2）本文從不同角度、不同側面對本文給出的銠、釩探測器靈敏度K 因子計算結果進行檢驗（第8 節(jié)）。結果表明，本文靈敏度K 因子理論模型和計算公式是科學、可行的，計算結果是可信的。

（3）銠探測器的熱中子K熱β逃脫、K熱β有效、K熱β穿越及超熱共振中子的K超振β有效、K超振β逃脫、K超振β穿越和堆型及中子溫度無關，只和發(fā)射體直徑及絕緣體厚度、材料有關。但全譜中子的Kβ逃脫、Kβ有效、Kβ穿越和堆型有關，但影響不大。輕水堆的Kβ逃脫、Kβ有效、Kβ穿越和重水堆的Kβ逃脫、Kβ有效、Kβ穿越之間可以近似相互代用。全譜中子的Kβ逃脫、Kβ有效、Kβ穿越和中子溫度有關，經(jīng)分析認為，本文靈敏度K 因子的計算結果不僅可應用于中子溫度為20℃的中子場，還可以近似應用于其他溫度下（20℃～420℃）的中子場，最大相對誤差不超過1%（第5 節(jié)）。

（4）釩探測器的重水堆K熱β有效、K熱β穿越、K熱β逃脫與其輕水堆的K熱β有效、K熱β穿越、K熱β逃脫相同，且與中子溫度無關。

（5）計算結果符合預期：以銠探測器為例，①K超振β逃脫永遠大于0.5；②在直徑相同的情況下，越大，Kβ逃脫越大；③K超振β有效大于K熱β有效，直徑越大，差別越明顯；④Kβ有效隨著的增加而變大；⑤在發(fā)射體直徑、絕緣體厚度相同的情況下，K超振β穿越比K熱β穿越略大些；⑥Kβ穿越隨著的增加而變大等。這些都符合預期。

10 結語

本文計算中，設定中子溫度為20℃，設定103Rh 的g（20℃） =1.023，s0=s（20℃） =7.255，設定Al2O3的密度為3.2 g·cm-3，103Rh 的共振峰值截面按4500 靶考慮，其他數(shù)據(jù)取常規(guī)數(shù)據(jù)。

本文作者還將通過從實驗數(shù)據(jù)推算出的K因子對本文采用的靈敏度K 因子理論和計算模型的科學性可行性、計算結果的可信性進行進一步驗證，詳見本論文第二篇。

感謝中國原子能院史永謙研究員、張應超研究員的指導、幫助，感謝于嵐、徐衛(wèi)、張曼的支持幫助。