球形物體空氣阻力大小與速率關(guān)系的研究

◆中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)朝陽(yáng)學(xué)校高二（四）班 賈子朋

圖/圖蟲創(chuàng)意

本期點(diǎn)評(píng)專家

張永強(qiáng) 正高級(jí)教師，湖南省十佳科技教師?？破罩袊?guó)2021 年十大科普人物獎(jiǎng)獲得者，全國(guó)校園發(fā)明創(chuàng)意大賽、湖南省青少年科技創(chuàng)新大賽、湖南省創(chuàng)新編程與智能設(shè)計(jì)大賽、湖南省科學(xué)調(diào)查體驗(yàn)活動(dòng)評(píng)審專家組成員。

本研究主題來自人教版高一物理必修一冊(cè)“課題研究”，書中樣例以懸掛重物、緩慢下落的氣球?yàn)檠芯繉?duì)象，在研究的過程中不斷增加重物的質(zhì)量，并且忽略了空氣阻力對(duì)重物的影響。我校高一年級(jí)開展研究性學(xué)習(xí)的時(shí)候，物理老師將其列入高一研究性學(xué)習(xí)課題清單，并要求使用和教材不同的研究對(duì)象和實(shí)驗(yàn)方法。

經(jīng)過閱讀文獻(xiàn)和學(xué)習(xí)，我以可控制電磁鐵的光電計(jì)數(shù)器為主要裝置，研究光滑金屬小球自由下落過程中，所受空氣阻力與運(yùn)動(dòng)速率的定量關(guān)系。具體方法為：由牛頓第二定律列出運(yùn)動(dòng)方程，推導(dǎo)阻力與速度的系數(shù)公式，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算系數(shù)值并分析結(jié)論。

一、理論推導(dǎo)

光滑金屬小球在短距離內(nèi)下落的速率相對(duì)較慢，可認(rèn)為它受到的空氣阻力和運(yùn)動(dòng)速率成正比。設(shè)空氣阻力為f，某一點(diǎn)的瞬時(shí)速率為v，空氣阻力與速率的系數(shù)k=，根據(jù)牛頓第二定律可得

公式（2）表明，只要測(cè)出m（小球質(zhì)量）、v（小球過測(cè)量點(diǎn)的速率）、t（小球到測(cè)量點(diǎn)的時(shí)間），即可計(jì)算系數(shù)k。

二、考慮空氣阻力的自由落體位移公式

推導(dǎo)考慮在當(dāng)前空氣阻力系數(shù)的條件下，自由落體下落位移（距離）與時(shí)間的關(guān)系。由公式（1）得

令y 為經(jīng)時(shí)間t 時(shí)球體已經(jīng)下落的位移，求得

三、探究過程

（一）實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)裝置如圖1 所示。

圖1 裝置組裝示意圖

組裝實(shí)驗(yàn)器材，用水平尺將支架調(diào)至基本垂直狀態(tài)。將重錘自電磁鐵垂下，微調(diào)支架和光電門的位置，讓垂線遮擋光電門。把小球吸在電磁鐵正下方，上光電門緊貼小球下端（不接觸）。

關(guān)閉電磁鐵電源，小球做自由落體運(yùn)動(dòng)，光電計(jì)數(shù)器自動(dòng)計(jì)算小球經(jīng)過兩個(gè)光電門的遮擋時(shí)間和經(jīng)過兩個(gè)光電門所用時(shí)間。重復(fù)多次實(shí)驗(yàn)。保持上光電門的位置不變，改變下光電門位置，重復(fù)步驟3 至步驟5 多次。最后計(jì)算空氣阻力系數(shù)k。

作者有話說：我使用簡(jiǎn)單易得的實(shí)驗(yàn)裝置、簡(jiǎn)潔清晰的理論推導(dǎo)完成了本課題的研究。該研究鍛煉了我的物理基礎(chǔ)分析和實(shí)驗(yàn)操作能力，對(duì)學(xué)習(xí)微積分也有很大的幫助，尤其讓我深切地認(rèn)識(shí)到微積分在物理學(xué)研究中的重要作用。

（二）基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

經(jīng)測(cè)量，小球質(zhì)量0.017 kg，直徑0.0163 m。用高德地圖工具查知實(shí)驗(yàn)所在地緯度，用地理緯度與海拔高度計(jì)算重力加速度的近似值g ≈9.809 12 m/s2。

由于小球經(jīng)過光電門時(shí)姿態(tài)不可控，不會(huì)剛好以軸線對(duì)準(zhǔn)光電門光線，遮光距離并非小球直徑。我假定在多次實(shí)驗(yàn)的情況下，遮光的平均距離與直徑為黃金分割關(guān)系，估算得出遮光距離l=0.010 073 m。

（三）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

表1 是經(jīng)過3 輪、每輪重復(fù)5 次后記錄的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

表1 實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果數(shù)據(jù)

公式（2）中時(shí)間t 是小球從靜止下落到下光電門的時(shí)間，實(shí)驗(yàn)裝置只能給出小球經(jīng)過兩個(gè)光電門的時(shí)間t落2。上光電門距初始位置非常近，忽略空氣阻力的影響，由勻加速運(yùn)動(dòng)的速度公式v=at，計(jì)算得t落1約為30.96 ms。表2 為實(shí)驗(yàn)計(jì)算結(jié)果。

表2 實(shí)驗(yàn)計(jì)算結(jié)果

（四）數(shù)據(jù)分析

根據(jù)表2 每輪實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的阻力系數(shù)k 不同，分析有如下原因：通過標(biāo)尺讀數(shù)記錄的光電門位置有誤差；吸附小球時(shí)可能因觸碰導(dǎo)致金屬片支架形變，改變了實(shí)際下落距離；遮光距離用黃金分割關(guān)系估算；計(jì)算小球從靜止到第1 個(gè)光電門時(shí)間時(shí)忽略了空氣阻力；光電計(jì)數(shù)器、電子秤、電子游標(biāo)卡尺等儀器本就存在誤差。

綜上，對(duì)表2 中的阻力系數(shù)k 求算數(shù)平均值沒有價(jià)值，所以我嘗試計(jì)算它們的調(diào)和平均數(shù)，計(jì)算求得k=15.1639。將各項(xiàng)數(shù)據(jù)代入公式（3）可以得到表3。

表3 標(biāo)尺距離與驗(yàn)算下落距離對(duì)比表

使用k 計(jì)算的下落距離與實(shí)際測(cè)量值非常接近，至此認(rèn)為：“空氣阻力和小球的運(yùn)動(dòng)速率成正比”這一假設(shè)成立。

四、結(jié)論與展望

（一）研究結(jié)論

我假定空氣阻力與球體運(yùn)動(dòng)速率成正比，根據(jù)牛頓第二定律和自由落體公式建立方程，得出阻力系數(shù)與速率的函數(shù)關(guān)系，自己設(shè)計(jì)裝置進(jìn)行研究，得到了較滿意的結(jié)果。經(jīng)比較，金屬小球自由落體時(shí)所受重力與空氣阻力的大小差一個(gè)數(shù)量級(jí)，這是因?yàn)樵跍y(cè)量重力加速度時(shí)忽略了空氣的阻力。

（二）展望

球體在空氣中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力還與表面結(jié)構(gòu)、空氣密度等有關(guān)，可選用其他一個(gè)或多個(gè)變量進(jìn)行研究。另外，研究高速運(yùn)動(dòng)的球體時(shí)提出的假設(shè)應(yīng)有所不同，理論推導(dǎo)過程更復(fù)雜，需重新設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)裝置。

專家點(diǎn)評(píng)

這是一篇內(nèi)容豐富、數(shù)據(jù)分析細(xì)致、語(yǔ)言表達(dá)流暢的研究報(bào)告。作者在科學(xué)思維和寫作能力方面展現(xiàn)出良好的素養(yǎng)。主要體現(xiàn)在理論分析部分條理清晰，對(duì)實(shí)驗(yàn)誤差進(jìn)行了合理分析。研究?jī)?nèi)容具有一定的創(chuàng)新性,不完全按照教科書范例,而是進(jìn)行了改進(jìn)；文章書寫格式規(guī)范,語(yǔ)句表達(dá)流暢,語(yǔ)言組織能力強(qiáng)。

建議作者在部分公式符號(hào)使用上更加規(guī)范。增加實(shí)驗(yàn)重復(fù)輪次，使統(tǒng)計(jì)分析更充分；縮減文章篇幅，讓內(nèi)容組織更緊湊。