基于高階應變梯度塑性理論的受限薄層剪切問題研究1)

華奮飛 羅 彤 雷 劍,? 劉大彪,?,2)

* (華中科技大學航空航天學院,武漢 430074)

? (湖北省工程結構分析與安全評價重點實驗室,武漢 430074)

引言

大量微納米力學實驗表明,當金屬材料非均勻塑性變形的特征尺寸處于微米及以下量級時,其呈現(xiàn)出與宏觀塊體材料截然不同的塑性力學行為,如尺度效應[1-6]、反常包辛格效應[7-10]等.代表性的實驗包括微納米壓痕[3]、微扭轉[1]、微彎曲[4]和受限薄層剪切[11]等.通過一系列納米壓痕實驗,Nix 等[3]發(fā)現(xiàn)單晶銅和經(jīng)過冷加工的多晶銅的硬度和壓痕深度上呈現(xiàn)明顯的線性關系.Fleck 等[1]在細銅絲扭轉與拉伸實驗中發(fā)現(xiàn),當絲徑從170 μm 降低到12 μm時,無量綱的扭矩增至3 倍,而在拉伸實驗中未發(fā)現(xiàn)尺度效應.近年來,Dunstan 等[12]和Liu 等[6,13]開展的微尺度金屬絲扭轉實驗也進一步驗證了此類現(xiàn)象.St?lken 等[4]對不同厚度的鎳薄膜進行了彎曲實驗,捕捉到了明顯的尺度效應.他們同時對鎳薄膜進行了單軸拉伸實驗,卻沒有觀察到尺度效應.因此,上述實驗中的尺度效應本質(zhì)上與非均勻變形引起的塑性應變梯度有關.一些非比例加載條件下的微尺度實驗[7-10]和離散位錯動力學模擬[14-16]表明,在微米或亞微米尺度下,金屬材料在非均勻循環(huán)變形中會出現(xiàn)“塑性恢復”現(xiàn)象,即反向的塑性流動甚至在卸載時就開始發(fā)生.Xiang 等[7]采用鼓膜法對銅薄膜在循環(huán)載荷下的力學行為進行了研究,實驗結果表明鈍化處理后的薄膜在循環(huán)載荷作用下出現(xiàn)了“塑性恢復”現(xiàn)象,即反常包辛格效應,但在未鈍化的薄膜中沒有觀察到這類現(xiàn)象.Kiener等[9]研究了循環(huán)彎曲加載下單晶薄銅梁的力學行為,實驗結果顯示銅薄膜在循環(huán)彎曲作用下具有強烈的尺度效應,其中包辛格效應隨著厚度的減小而愈發(fā)顯著.類似的現(xiàn)象還出現(xiàn)在循環(huán)彎曲[8]、循環(huán)扭轉[10,17]等非比例加載實驗中.然而,在循環(huán)拉-壓[18-19]等均勻變形中并沒有發(fā)現(xiàn)尺度效應和包辛格效應.從物理機制來看,非均勻變形誘導的幾何必需位錯(geometrically necessary dislocations,GNDs)是產(chǎn)生尺度效應和反常包辛格效應的一個重要原因[1,7-8,17,20-22].

傳統(tǒng)塑性理論中不包含與材料特征尺度相關的參量,故其無法描述實驗中觀察到的尺度效應和反常包辛格效應等力學行為.考慮到塑性應變梯度和GNDs 的關系,相關學者構造了應變梯度塑性(strain gradient plasticity,SGP)理論來描述實驗中的尺度效應[3,20,23-27].SGP 理論的主要特點是引入了與材料特征長度相關的參量,并且拋棄了經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學中的“局部化”假設,而是假設一點的應力不僅與該點的應變(歷史)有關,同時也與該點的應變梯度(歷史)有關.目前,根據(jù)是否引入高階應力以及相應的高階邊界條件,可以將SGP 理論分為低階和高階兩種類型.高階SGP 理論包含高階應力和高階邊界條件,可以準確預測鈍化效應和邊界層效應.然而,低階SGP 理論只考慮了柯西應力項,以位移作為唯一變量,無法解釋與邊界層相關的應變梯度演變機理[7,28-29].近年來,由于在預測實驗現(xiàn)象和處理復雜邊界值問題等方面的優(yōu)勢,以Gudmundson 理論[25]為代表的高階SGP 理論受到廣泛關注,并逐漸成為高階應變梯度塑性理論發(fā)展的主流框架.

當材料尺寸接近微觀結構的固有尺寸時,材料的界面力學性能和完整性變得尤為關鍵.理論計算和實驗證明鈍化層會阻礙位錯運動,造成位錯堆積,引起材料的應變硬化或強化行為[7,30-31].Mu 等[11]設計了一種開創(chuàng)性的實驗方案,對夾在兩個硬質(zhì)陶瓷涂層之間的銅薄層構成的多層結構進行壓縮實驗.由于銅薄層與微柱中心軸呈45°放置,此時金屬層將受到壓縮-剪切組合作用.陶瓷作為一種硬質(zhì)彈性材料,不易發(fā)生塑性變形,因此塑性流動在金屬與陶瓷界面處受到限制,從而導致塑性應變梯度的出現(xiàn).實驗結果表明,銅薄層的流動應力對銅薄層厚度有很強的依賴性,隨著厚度的減小流動應力顯著增大.鈍化層的出現(xiàn)阻礙了位錯的滑移,導致由塑性應變梯度引起的GNDs 在邊界處大量堆積.然而,基于傳統(tǒng)SGP 理論的預測值顯著偏離實驗結果[32].Zhang等[33]對陶瓷/金屬/陶瓷界面進行了微觀分析,發(fā)現(xiàn)在界面附近會形成錯配位錯結構,從而降低結構的剪切強度.Zhang 等[33]指出,在加載的早期階段,鈍化界面出現(xiàn)“鎖定”,即此處的塑性應變受到嚴格約束,可以視塑性應變?yōu)?,然后在某一加載階段發(fā)生“解鎖”.Kuroda 等[32]采用傳統(tǒng)SGP理論對受限薄層剪切問題進行了分析,并給出了材料尺度參數(shù)的變化規(guī)律.他們認為實驗和理論之間的差異并非源自于理論缺陷,而是界面處GNDs 的飽和導致邊界條件的改變.

本文基于Gudmundson 高階SGP 理論,對壓縮-剪切組合作用下的受限金屬薄層進行有限元分析,研究高階位移邊界條件和壓應力對受限金屬薄層塑性力學行為的影響.相比于純剪切情況,壓應力的存在能夠降低剪切屈服應力,進而解釋實驗中的尺度效應.考慮界面GNDs 飽和引起的塑性流動局部恢復,我們引入周期性的鈍化表面,以揭示微觀邊界條件在描述金屬薄層受限剪切塑性力學行為時的重要作用.

1 高階應變梯度塑性理論

1.1 本構方程

2004 年,Gudmundson[25]推廣了Fleck-Hutchinson 虛功原理[24],采用塑性應變張量代替其中的等效塑性應變,并拋棄了傳統(tǒng)的塑性流動一致性假設,提出了一種新的應變梯度塑性理論.Gudmundson 高階SGP 理論一般適用于小變形、各向同性的情況,并引入微應力來控制塑性流動的方向.該理論假設彈性應變、塑性應變及其梯度都對內(nèi)部功產(chǎn)生影響.忽略體積力的情況下,虛功原理表示為

式中,ni為外表面S的單位外法向量.

高階應力 τijk可以分解為耗散項和儲能項之和,故有

假設微觀應力是完全耗散的[34],則有

考慮到GNDs 的影響,假設自由能 Ψ 僅依賴于彈性應變和塑性應變梯度,即[25]

式中,Cijkl是各向同性彈性剛度張量,G是剪切模量,L是儲能尺度參數(shù).由式(6),可以得到柯西應力

儲能高階應力可以推導為

在塑性變形過程中,塑性應變率及其梯度均耗散能量.由于耗散必定是非負的,需要滿足以下熱力學限制

式中,? 是耗散尺度參數(shù).根據(jù)式(9),微觀應力和耗散高階應力的表達式如下

為了規(guī)避數(shù)值計算和彈塑性邊界識別方面的復雜性,這里采用了各向同性的黏塑性本構.廣義等效黏塑性流動應力方程表示為

其中流動應力函數(shù) σy(EP) 表示為

1.2 高階邊界條件

采用高階SGP 理論分析邊值問題時,必須規(guī)定附加的高階邊界條件.對于彈塑性固體的變形,需要在彈塑性邊界和變形體表面施加邊界條件.隨著加載的進行,塑性區(qū)域不斷地變化,這就要求塑性應變(或塑性應變率)在彈塑性區(qū)域的交界處為0[25].

在變形體表面,一般考慮兩種邊界條件,自由表面和鈍化表面.對于自由表面,其傳統(tǒng)和高階邊界條件分別為

式中采用了高階靜態(tài)邊界條件,也為微觀自由邊界條件,表示位錯可以從表面處自由滑出.

對于鈍化表面,其傳統(tǒng)和高階邊界條件分別為

式中采用了高階微觀邊界條件,也即微觀鈍化邊界條件,表示位錯無法穿透鈍化表面并發(fā)生堆積.

2 高階SGP 理論的有限元實現(xiàn)及應用

2.1 有限元實現(xiàn)

基于隱式歐拉時間積分方案,本節(jié)對包含儲能和耗散梯度的Gudmundson 理論進行有限元實現(xiàn).利用有限元軟件ABAQUS 中的用戶自定義單元子程序(UEL),構造以位移u和塑性應變 εP為運動學變量的8 節(jié)點二次單元,如圖1 所示.對于平面應變問題,每個節(jié)點包含5 個自由度,即.由于位移和塑性應變均為獨立變量,故可通過約束塑性應變來施加鈍化邊界條件.

圖1 自然坐標系下的二次單元Fig.1 A quadratic element in natural coordinate system

利用上述各式,將內(nèi)部虛功離散化為

采用Newton-Raphson 迭代算法,為確保算法的2 階收斂,再令殘值R分別對求微分得到一致單元剛度矩陣K,故有

對上述非線性方程組(24)迭代求解,可得到任意時間步 Δt的位移和塑性應變增量.有限元實現(xiàn)的細節(jié)可以參考Martínez-Pa?eda 等[34]的工作.

2.2 受限剪切問題的有限元模擬

Mu 等[11,36-37]開展了含Cu 薄層的微柱壓縮實驗,獲得了塑性流動應力和試樣厚度之間的關系,觀察到了明顯的尺度效應.如圖2 所示,當CrN/Cu/Si微柱受到軸向壓縮加載時,對位移矢量分解,45°傾斜的Cu 薄層受到壓應力和切應力的組合作用.Mu等[11]發(fā)現(xiàn),SGP 理論可以預測一般的實驗趨勢,但會高估Cu 薄層的屈服強度.以往研究將該問題理想化為鈍化層約束下的純剪切問題,卻忽略了壓縮載荷的影響.我們最近的分析表明,附加的壓縮載荷可能會導致理論分析和實驗結果之間產(chǎn)生差異[31].因此,一維理論模型不再適用,需要二維有限元框架來研究,以避免高估流動切應力[31].

圖2 壓縮和剪切組合作用下的金屬薄層Fig.2 Thin metallic layer under combined compressive and shear loads

考慮具有耗散和儲能梯度效應的彈性-剛塑性材料,對寬高比為W/H=4 的薄層進行壓縮-剪切加載.該有限元模型中,其厚度方向為20 個單元,寬度方向為80 個單元,單元總數(shù)為1600,節(jié)點數(shù)為5001.上下表面設為鈍化邊界,即在x2=±H/2 處=0 .左右兩側邊界為自由狀態(tài),即在x1=±W/2 處Ti=0和tij=0 .在上表面x2=H/2 處施加單調(diào)變化的位移u1=-u2=U(t),下表面固定,即在x2=-H/2 處u1=u2=0 .無限大薄層純剪切問題由于在x1方向上沒有應變梯度,實質(zhì)上可看作一維問題[30].此時僅在厚度上采用20 個單元進行模擬,并在該列單元兩側施加邊界條件.

有限元模擬中采用的材料參數(shù)見表1.唯象應變梯度塑性理論中材料尺度參量的物理意義尚不清晰,盡管在這方面已經(jīng)有一些嘗試[38-40],但仍未達成共識.為了表征儲能梯度和耗散梯度在變形中的作用,文中采用了無量綱處理方式,即采用材料尺度參量和幾何尺寸的比值,探究其變化對塑性力學行為的影響.但在與具體實驗對比時,會通過與實驗數(shù)據(jù)擬合獲得相關參數(shù).

表1 材料參數(shù)[41]Table 1 Meterial parameters[41]

3 結果與討論

3.1 完全鈍化邊界條件的有限元模擬

本節(jié)在Gudmundson 高階SGP 理論框架下,對Mu 等[11,36-37]的含受限薄層的微柱壓縮問題進行有限元模擬,并將數(shù)值結果與實驗結果進行對比,以強調(diào)壓縮載荷的重要作用.不同于純剪切問題,受限剪切薄層會同時受到壓縮和剪切的組合作用.因此,二維有限元分析十分必要.這里假設加載過程中受限薄層為完全鈍化狀態(tài),表面塑性應變一直保持為零.

不同耗散尺度參數(shù) ? 和儲能尺度參數(shù)L下的歸一化切應力與應變關系如圖3 所示.可以看出,耗散梯度效應顯著增加了薄層的剪切屈服強度,而儲能梯度效應則顯著提高了屈服后的應變硬化率.當材料發(fā)生塑性變形時,表現(xiàn)出兩種熱力學過程,即基于位錯機制的儲能和耗散過程[42].統(tǒng)計存儲位錯(statistically stored dislocations,SSDs)和GNDs 結合產(chǎn)生林硬化,進而導致耗散強化,是導致尺度效應的原因.這種觀點被Fleck 等[43]所采納,即采用合適的局部滑移系配置,內(nèi)界面可以導致耗散強化.GNDs 源于晶界對位錯的阻礙或材料的表面鈍化,與之相關的位錯塞積產(chǎn)生背應力,進而產(chǎn)生儲能強化,是產(chǎn)生包辛格效應的原因.這種觀點被Gurtin等[20,26,44]和Gudmundson[25]所采納.對于只考慮耗散梯度效應的算例,屈服切應力隨 ?/H的增大而提高,塑性階段的應變硬化沒有明顯的變化.而對于只考慮儲能梯度效應的算例,塑性階段的應變硬化率隨L/H的增大而提升,而屈服切應力不變.當不考慮應變梯度效應時 (?/H=L/H=0),屈服切應力和塑性應變硬化率都較小.在彈性階段,切應力隨u1/H呈線性增加,而后由于壓縮載荷的影響,屈服后的流動切應力隨u1/H的增加而逐漸減小.對于這種“軟化”現(xiàn)象,其原因是薄層在剪切屈服后,持續(xù)增加的壓應力導致剪切帶發(fā)生改變.當同時考慮兩類梯度效應時 (?/H=L/H=0.5),屈服切應力和應變硬化率都顯著增加.

圖3 壓縮-剪切組合作用下歸一化的切應力-位移關系Fig.3 Normalized shear stress-displacement relation under combined compression and shear

分別考慮耗散梯度效應和儲能梯度效應作用的塑性切應變 γP沿薄層厚度的分布云圖如圖4 所示.可以看出,梯度效應是由非均勻變形,以及頂部和底部表面的塑性流動的充分約束引起的.在整個變形過程中,在高度和寬度方向上都存在著強烈的塑性應變梯度.

圖4 u1/H=0.02 時塑性切應變 γP 的分布云圖Fig.4 Contours of the plastic shear strain γP atu1/H=0.02

Gudmundson 理論的數(shù)值模擬結果與Mu 等[11]的實驗結果之間的對比如圖5 所示.同樣以實驗中約800 nm 厚度的數(shù)據(jù)為基準進行擬合,材料參數(shù)如下: 楊氏模量E=110 GPa,屈服應力 σY=0.35 GPa,泊松比 ν=0.3,硬化指數(shù)N=0,耗散尺度參數(shù) ?=347 nm .結果表明,基于Gudmundson 理論的有限元結果與實驗數(shù)據(jù)的變化趨勢較為接近.然而與Fleck-Hutchinson理論的預測類似,隨著金屬層厚度的減小,理論值會高于實驗值.若沒有鈍化邊界的約束,表面應變梯度效應消失,此時薄層的剪切屈服強度與厚度無關.Zhang 等[33]指出,鈍化層在加載過程中對塑性應變的抑制并不是全程嚴格的,可能會出現(xiàn)“解鎖”這種對塑性應變抑制變?nèi)醯那闆r.參考Kuroda 等[32]的方法,我們接下來對受限薄層剪切問題中所施加的鈍化邊界條件作進一步研究.

圖5 SGP 理論預測結果與受限薄層剪切實驗結果[11]的比較Fig.5 Comparison between SGP predictions and experimental results of shear deformation of confined layer[11]

3.2 周期變化邊界條件的有限元模擬

上述分析證實了壓縮載荷會影響剪切流動應力,也有研究指出實驗中觀察到的過高屈服強度來自于表面邊界條件的變化[32-33,45-46].基于SGP 理論的預測與實驗的偏差并非由于理論缺陷,而是持續(xù)變形過程中界面處GNDs 的飽和導致邊界條件發(fā)生轉變.理論上講,簡單地令塑性應變?yōu)? 不足以準確描述此時的邊界條件,通常認為存在一個處于自由表面和完全鈍化表面的中間態(tài)[32].本節(jié)主要關注由于界面位錯密度飽和誘導邊界變化的穩(wěn)定狀態(tài),強調(diào)不同類型高階邊界條件的作用.不考慮加載過程中高階邊界條件的突然改變,以及可能帶來的非比例加載問題[30,47].本節(jié)采用矩形脈沖和正弦兩類周期性變化的塑性應變來描述“軟-硬”中間態(tài)的邊界條件.

(1)周期矩陣脈沖信號型邊界條件

在薄層的表面上施加如圖6 所示的周期矩陣脈沖信號型邊界條件,該邊界條件的公式表述如下

圖6 周期矩形邊界條件Fig.6 Periodic rectangular boundary condition

其中 τ=0.5T,P表示鈍化邊界為激活狀態(tài).

周期矩陣脈沖信號型邊界條件為

分別取 τ={0,0.25,0.5,1}T進行數(shù)值模擬,同時考慮儲能和耗散梯度效應,即 ?/H=L/H=0.5,計算結果如圖7 所示.可以看到,剪切屈服強度和塑性階段的流動剪切應力都隨著 τ 值的增加而增加.實際上,當 τ=0 時,模型退化為表面完全自由的壓縮-剪切問題;當 τ=T時,模型為表面完全鈍化.可以看到,施加表面周期性鈍化能顯著降低屈服切應力和流動切應力的大小.

圖7 不同周期下歸一化切應力與位移的變化關系Fig.7 Normalized shear stress-displacement relation under different periods

不同周期下塑性切應變 γP在薄層內(nèi)部的分布云圖情況如圖8 所示.可以明顯看到,薄層內(nèi)的塑性切應變的分布受 τ 的影響.當 τ=0 時,薄層的表面為完全自由狀態(tài),對塑性切應變沒有任何抑制,此時的塑性切應變主要集中在薄層的角落處.而隨著 τ 的不斷增大,塑性切應變開始在表面處受到限制,其分布從薄層的角落逐漸往中間部分靠攏.對比圖8(d)和圖4(d)可以觀察到塑性切應變分布相似,其原因在于儲能梯度對應變硬化影響更大.因此當同時考慮兩個參數(shù)時,儲能梯度效應占主導作用.此外,圖8(d)中考慮了耗散梯度效應,塑性切應變的最大值降低.值得注意的是,在圖8(b)和圖8(c)中可以明顯看出塑性切應變在周期性的表面鈍化處受到抑制,同時在周期性的表面自由處得到顯著的發(fā)展,這種變化趨勢符合Zhang 等[33]所描述的表面塑性應變“解鎖”現(xiàn)象.

圖8 u1/H=0.02 時不同周期下塑性切應變 γP 分布云圖Fig.8 Contours of the plastic shear strain γP at u1/H=0.02 under different periods

圖9 u1/H=0.02 時不同周期下儲能高階應力 分布云圖Fig.9 Contours of the higher-order stress at u1/H=0.02 under different periods

(2)周期正弦型邊界條件

如圖10 所示,若在表面上施加周期正弦型邊界條件,塑性應變的變化表示如下

圖10 周期正弦邊界條件Fig.10 Periodic sinusoidal boundary condition

周期正弦型邊界條件為

考慮到收斂性問題,選取A=0.001,B=0.001 8進行相關計算,取 ?/H=L/H=0.5,并將結果與完全鈍化和自由表面結果進行對比,如圖11 所示.可以看出,施加如式(28)所示的表面塑性應變周期性變化的邊界條件,顯著降低了剪切屈服應力和流動切應力.

圖11 不同邊界條件下歸一化的切應力-位移關系Fig.11 Normalized shear stress-displacement relation under different boundary conditions

不同表面邊界條件下的塑性切應變 γP在薄層內(nèi)部的云圖分布情況如圖12 所示.在圖12(b)中,可以看到考慮表面塑性應變周期正弦變化的邊界條件之后,表面上的塑性切應變明顯變得有規(guī)律性,而且同時影響了薄層內(nèi)部的塑性切應變的分布情況.

圖12 u1/H=0.02 時的塑性切應變 γP 分布云圖Fig.12 Contours of the plastic shear strain γP atu1/H=0.02

施加周期正弦型邊界條件的有限元結果與Mu等[11]的實驗比較如圖13 所示.材料參數(shù)如下: 楊氏模量E=110 GPa,屈服應力 σY=0.35 GPa,泊松比ν=0.3,硬化指數(shù)N=0,耗散尺度參數(shù) ?=310 nm .結果表明,當考慮表面塑性應變周期性變化時,基于Gudmundson 理論的有限元模擬結果與實驗趨勢一致.在加載的早期階段,鈍化界面出現(xiàn)“鎖定”,然后在某一加載階段發(fā)生“解鎖”.采用表面周期性變化的塑性應變表示“解鎖”,可以使理論預測與實驗結果趨于一致.當塑性應變梯度達到臨界值時,塑性流動局部恢復,邊界條件可能發(fā)生改變[45].當薄層厚度小于400 nm,實驗結果和理論值之間的差異變大,其原因在于材料尺寸和尺度參數(shù)接近,導致更強的應變梯度效應[31].

圖13 SGP 理論預測結果與受限剪切實驗結果[11]的比較Fig.13 Comparison between SGP predictions and experimental results of confined shear[11]

4 總結

本文基于Gudmundson 高階SGP 理論研究了金屬薄層受限剪切問題,定量評估了非均勻塑性變形過程中的儲能梯度和耗散梯度效應.構建了含塑性應變自由度的二維有限元框架,有效刻畫了鈍化邊界條件和壓應力在金屬薄層壓縮-剪切組合塑性變形中的關鍵作用.與純剪切情形相比,壓應力的存在大大降低了流動切應力,從而驗證了受限剪切實驗中的奇異現(xiàn)象.從位錯和界面的相互作用出發(fā),考慮到塑性應變梯度累積引起的高階應力,導致無法維持零塑性應變的約束并產(chǎn)生局部滑移,我們引入了周期性變化的邊界條件.結果表明,采用周期性鈍化邊界條件能夠更好地描述剪切屈服強度的變化趨勢,使得理論預測值回歸合理水平.該研究揭示了高階邊界條件在微尺度材料塑性變形中的關鍵作用,為深入理解微結構界面的剪切失效機制提供了理論指導.