無(wú)拉力彈性地基上矩形板屈曲/后屈曲問(wèn)題的辛求解方法1)

熊斯浚 鄭新然 梁 立 周 超 趙 巖 李 銳,2)

* (大連理工大學(xué)工程力學(xué)系,工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析優(yōu)化與CAE 軟件全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,遼寧大連 116024)

?(中國(guó)工程物理研究院化工材料研究所,四川綿陽(yáng) 621999)

引言

彈性地基板模型常用于描述道路橋梁剛性路面、建筑物承載基礎(chǔ)和微電子器件薄膜-基底結(jié)構(gòu)等重要工程結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為.由于彈性地基板在承受面內(nèi)載荷時(shí)容易發(fā)生屈曲/后屈曲失效,因此對(duì)該類問(wèn)題的研究能夠?yàn)橄嚓P(guān)結(jié)構(gòu)的分析和設(shè)計(jì)提供重要依據(jù).

就彈性地基本身的數(shù)學(xué)表征而言,已有大量的研究工作.Winkler[1]在1867 年將彈性地基的反作用力通過(guò)離散的彈簧來(lái)模擬,彈簧的剛度是均勻的,反力與結(jié)構(gòu)和地基的接觸面積成正比,這即是至今仍廣泛使用的Winkler 地基模型.例如,Zhang 等[2]基于改進(jìn)的Ritz 法研究了Winkler 地基上功能梯度碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料板的屈曲問(wèn)題.Kiani 等[3]解析求解了局部Winkler 地基上圓板在熱環(huán)境下的屈曲問(wèn)題.Pasternak 地基模型是在Winkler 地基模型基礎(chǔ)上改進(jìn)的典型模型,由于引入了剪切剛度,可以更好地描述結(jié)構(gòu)在地基上的響應(yīng),因此同樣得到了廣泛應(yīng)用.Kiani 等[4]利用一階剪切理論研究了力-熱載荷作用下Pasternak 地基上夾芯板的屈曲問(wèn)題.Parida 等[5]研究了Pasternak 地基上功能梯度板的振動(dòng)及屈曲問(wèn)題.Sobhy[6]研究了濕熱環(huán)境下功能梯度夾芯板在Pasternak 地基上的振動(dòng)與屈曲問(wèn)題.此外,還有大量其他彈性地基模型應(yīng)用于各類問(wèn)題當(dāng)中[7-10].

傳統(tǒng)的彈性地基模型在拉、壓工況下均可產(chǎn)生反力,相較于工程中真實(shí)存在的無(wú)拉力彈性地基存在顯著差異,但無(wú)拉力彈性地基需要考慮接觸非線性,計(jì)算較為復(fù)雜.Ma 等[11-15]針對(duì)無(wú)拉力彈性地基板的屈曲問(wèn)題開(kāi)展了研究,對(duì)不同的結(jié)構(gòu)以及載荷形式推導(dǎo)了理論解,并開(kāi)展了相關(guān)試驗(yàn)研究.Shen 等[16]基于二次攝動(dòng)方法求解了無(wú)拉力彈性地基上的層合板在力-熱載荷作用下的后屈曲問(wèn)題.Zhong 等[17]基于微分求積方法、Newmark 方法以及Newton 迭代法研究了無(wú)拉力彈性地基梁的非線性瞬態(tài)熱響應(yīng).Wang 等[18]基于有限樣條法求解了無(wú)拉力彈性地基上管道的屈曲問(wèn)題.

對(duì)于屈曲和后屈曲問(wèn)題的求解,其本質(zhì)是高階偏微分方程復(fù)雜邊值問(wèn)題的求解,而各類數(shù)值方法無(wú)疑是解決上述問(wèn)題的重要手段.Thom 等[19]基于有限元方法分析了彈性地基上功能梯度裂紋板的屈曲問(wèn)題.Chaabani 等[20]基于改進(jìn)的有限元方法求解了彈性地基上多孔功能梯度夾芯板的屈曲問(wèn)題.Yang 等[21]采用微分求積方法求解了彈性地基上板的熱屈曲及后屈曲問(wèn)題.Kumar 等[22]基于伽遼金法研究了彈性地基以及多孔性對(duì)功能梯度板屈曲的影響.Lopatin 等[7]采用Ritz 法求解了彈性地基上正交各向異性復(fù)合材料矩形板的屈曲問(wèn)題.Liang 等[23-25]結(jié)合Koiter 方法與弧長(zhǎng)法,在整個(gè)后屈曲平衡路徑上使用漸進(jìn)展開(kāi)式,實(shí)現(xiàn)了不同缺陷對(duì)屈曲載荷的影響分析.

盡管數(shù)值方法應(yīng)用廣泛,但并不能動(dòng)搖解析方法的地位,因?yàn)榻馕鼋饪勺鳛闄z驗(yàn)數(shù)值解精度的基準(zhǔn),且由于能夠精確描述各參量之間的關(guān)系而常用于快速優(yōu)化設(shè)計(jì),因而具有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值.Shen 等[26-27]基于二次攝動(dòng)方法對(duì)彈性地基上板殼結(jié)構(gòu)的后屈曲問(wèn)題開(kāi)展了研究.Khorasani 等[28]研究了彈性地基上蜂窩夾芯板的屈曲問(wèn)題,并利用Navier法對(duì)控制方程進(jìn)行求解.Yaghoobi 等[29]基于Navier法研究了不同類型彈性地基上石墨烯增強(qiáng)夾芯板的振動(dòng)、屈曲及彎曲問(wèn)題.Ruocco 等[30]采用Lévy 法求解了Pasternak 地基上納米板的屈曲問(wèn)題.Xing等[31-33]提出了分離變量法用于求解矩形板的屈曲、振動(dòng)等問(wèn)題.近年來(lái),基于鐘萬(wàn)勰院士和姚偉岸等開(kāi)創(chuàng)的辛彈性力學(xué)求解體系[34],李銳等提出了辛疊加方法,獲得了一系列復(fù)雜約束下板殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)[35]、屈曲[36-39]和彎曲[40-41]解析解.

針對(duì)無(wú)拉力彈性地基上矩形板的屈曲問(wèn)題,本文基于辛方法,將板劃分為若干包含強(qiáng)制邊界條件的板,形成子問(wèn)題,并在辛空間下利用分離變量與辛本征展開(kāi)對(duì)子問(wèn)題進(jìn)行求解,通過(guò)子問(wèn)題邊界處的連續(xù)條件獲得板的屈曲模態(tài),進(jìn)而確定板與地基的接觸狀態(tài);通過(guò)迭代求解上述過(guò)程,獲得子問(wèn)題劃分及臨界屈曲載荷的收斂結(jié)果.在此基礎(chǔ)上,本文結(jié)合辛方法與Koiter 攝動(dòng)法,對(duì)無(wú)拉力彈性地基上矩形板的后屈曲問(wèn)題進(jìn)行求解,給出了不同彈性地基剛度下板的后屈曲平衡路徑.所得屈曲與后屈曲解均與有限元結(jié)果吻合良好.本文所發(fā)展的方法求解過(guò)程嚴(yán)格,無(wú)需假定解的形式,不僅為其他求解方法提供了對(duì)比基準(zhǔn),還可望為相關(guān)工程結(jié)構(gòu)的分析與設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo).

1 無(wú)拉力彈性地基上矩形板的屈曲分析

1.1 屈曲問(wèn)題數(shù)學(xué)模型

如圖1 所示,本文的研究對(duì)象為單向均布載荷作用下無(wú)拉力彈性地基上的簡(jiǎn)支矩形板(“S”代表簡(jiǎn)支邊界).沿x方向長(zhǎng)度為a,沿y方向?qū)挾葹閎,沿z方向厚度為h.坐標(biāo)系原點(diǎn)位于矩形板的角點(diǎn).地基僅在與板互相接觸時(shí)產(chǎn)生反力.

圖1 無(wú)拉力彈性地基板示意圖Fig.1 Schematic diagram of a plate on a tensionless elastic foundation

圖1 對(duì)應(yīng)的無(wú)拉力彈性地基上矩形板屈曲問(wèn)題的控制方程為

其中w為板中面沿著z方向的撓度;Nx為板中面沿x方向的均布內(nèi)力;k為彈性地基剛度;彎曲剛度D可表達(dá)為

其中E為彈性模量,ν 為泊松比.

上述問(wèn)題涉及接觸非線性,相較于傳統(tǒng)的Winkler地基板,其求解的關(guān)鍵難點(diǎn)在于獲取板與地基的接觸關(guān)系,區(qū)分接觸區(qū)域與非接觸區(qū)域.由于當(dāng)前研究對(duì)象邊界以及外載荷的對(duì)稱性,使得接觸/非接觸區(qū)域分界線垂直于x軸,因此沿加載方向?qū)⒄麎K板按分界線劃分為若干矩形板的拼接[12].將撓度向上的部分視為無(wú)地基板,撓度向下的部分則視為Winkler地基板,不同子問(wèn)題間通過(guò)強(qiáng)制邊界條件約束.基于此思路,本文擬通過(guò)迭代確定接觸關(guān)系,期間對(duì)于屈曲問(wèn)題的解析求解通過(guò)辛方法實(shí)現(xiàn).具體求解流程如圖2 所示: 首先求解Winkler 地基上矩形板的屈曲問(wèn)題,獲得初始的接觸狀態(tài)(屈曲模態(tài));根據(jù)初始接觸狀態(tài)將板劃分為Winkler 地基板及無(wú)地基板的子問(wèn)題,向上變形的部分為無(wú)地基板,向下變形的則為Winkler 地基板;對(duì)各子問(wèn)題施加強(qiáng)制邊界條件,利用辛方法求得各子問(wèn)題的撓度表達(dá)式,再通過(guò)各子問(wèn)題邊界處的連續(xù)條件求得屈曲載荷及屈曲模態(tài);由上述屈曲模態(tài)確定接觸狀態(tài),若相鄰兩次迭代對(duì)應(yīng)的臨界屈曲載荷及接觸/非接觸區(qū)域長(zhǎng)度(即每個(gè)子問(wèn)題板的長(zhǎng)度)的變化率小于0.01%,則判定求解收斂,否則根據(jù)最新的屈曲模態(tài)結(jié)果重新劃分子問(wèn)題,繼續(xù)計(jì)算,直至迭代收斂.

圖2 無(wú)拉力彈性地基板屈曲問(wèn)題求解流程圖Fig.2 Solution flowchart for the buckling of a rectangular plate on a tensionless elastic foundation

1.2 導(dǎo)入Hamilton 體系

將需要考慮接觸狀態(tài)的原問(wèn)題簡(jiǎn)化為若干Winkler地基板及無(wú)地基板的子問(wèn)題,各子問(wèn)題是否為Winkler地基板取決于迭代過(guò)程的具體求解結(jié)果,圖3 為子問(wèn)題示意圖.

圖3 子問(wèn)題劃分示意圖Fig.3 Schematic diagram of the division of subproblems

對(duì)于Winkler 地基板在單向面內(nèi)載荷作用下的屈曲問(wèn)題,其控制方程為高階偏微分方程,傳統(tǒng)的半逆法需要預(yù)先假定解的形式,這使得其適用范圍受限.近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的辛方法基于嚴(yán)格的理論推導(dǎo),無(wú)需假定解的形式,可解析求解此類問(wèn)題.以下利用辛方法推導(dǎo)獲取子問(wèn)題的屈曲解答.

彈性地基上矩形薄板屈曲問(wèn)題的平衡方程如下式所示,其中令k=0 即可獲得無(wú)地基板的控制方程

這里板內(nèi)彎矩Mx和My,扭矩Mxy,剪力Qx和Qy以及等效剪力Vx和Vy的表達(dá)式為

由文獻(xiàn)[42] 的推導(dǎo)方法可將控制方程導(dǎo)入Hamilton 體系,形成如下的矩陣形式

其中狀態(tài)向量

通過(guò)以上步驟,完成了Winkler 地基板屈曲問(wèn)題向Hamilton 體系的導(dǎo)入.

1.3 方程求解

利用Hamilton 體系下的分離變量法求解式(7),令

其中Y(y)=[w(y),θ(y),-Vx(y),Mx(y)]T為H 的本征向量,僅與y有關(guān).將式(10)代入式(7)可得本征方程

及方程

其中 μin為H 的本征值.利用下述簡(jiǎn)支邊界條件求解式(11)

可求得本征值

其中R=Nx/(2D),βn=nπ/b,n=1,2,3,··· .對(duì)應(yīng)的本征向量為

其中i=1,2,3,4 .式(12)的解答為

由式(15)與式(16),狀態(tài)向量Z可展開(kāi)為

其中待定系數(shù)Cni由另一個(gè)方向的邊界條件確定.首先有

此外,如圖3 所示,原問(wèn)題被劃分為若干包含強(qiáng)制邊界條件的子問(wèn)題,在第i條邊界上的強(qiáng)制邊界條件可表示為

其中Eni與Fni為級(jí)數(shù)展開(kāi)系數(shù).由式(18)和式(19)可將式(17)中的待定系數(shù)Cni求出,需注意的是此時(shí)Eni與Fni仍為未知數(shù).將所得帶有Eni與Fni的式(17)代入以下?lián)隙冉獾倪B續(xù)條件

其中wi及分別為第i個(gè)子問(wèn)題的撓度及彎矩表達(dá)式,由此得到一組關(guān)于Eni與Fni的聯(lián)立線性方程.為了獲得非零解,令方程的系數(shù)矩陣行列式為零,從而求出相應(yīng)的屈曲載荷,同時(shí)也可獲得整體屈曲模態(tài).進(jìn)一步,通過(guò)模態(tài)結(jié)果判斷接觸關(guān)系,即可獲得新的子問(wèn)題分區(qū),繼而按照?qǐng)D2 所示步驟開(kāi)展迭代求解,直至滿足收斂條件,從而獲得無(wú)拉力彈性地基上矩形板的屈曲解答.

1.4 屈曲數(shù)值結(jié)果與討論

通過(guò)試算發(fā)現(xiàn),彈性地基剛度越大,達(dá)到收斂所需迭代次數(shù)就越多.同時(shí),存在多個(gè)半波的情況才需要考慮接觸問(wèn)題,而對(duì)于僅存在單個(gè)半波的情況,其臨界屈曲模態(tài)趨向于不與地基發(fā)生接觸,最終結(jié)果與無(wú)地基板相同.以彈性地基剛度=2000,長(zhǎng)寬比a/b=2、彎曲剛度D=1 的板作為對(duì)象,驗(yàn)證本文方法迭代求解的收斂性.迭代過(guò)程的屈曲模態(tài)結(jié)果如圖4 所示,其中曲線Iter.0 代表初始的Winkler 地基板計(jì)算結(jié)果,用于確定初始分區(qū)情況.由圖4 中局部放大圖可知,曲線Iter.6 與Iter.7 幾乎重合,表明求解在7 次迭代后達(dá)到收斂.在迭代過(guò)程中,整體屈曲模態(tài)由Winkler 地基板的4 個(gè)半波逐漸變?yōu)闊o(wú)拉力彈性地基板的3 個(gè)半波,可見(jiàn)無(wú)拉力彈性地基對(duì)矩形板的屈曲行為具有顯著影響.

圖4 屈曲模態(tài)迭代的收斂性驗(yàn)證(kw=2000,a/b=2)Fig.4 Iterative convergence verification of buckling mode shapes(kw=2000,a/b=2)

為驗(yàn)證本文方法求解的正確性,基于有限元(FEM)分析軟件Abaqus 開(kāi)展屈曲分析,計(jì)算模型中采用S4 單元,網(wǎng)格尺寸為寬度的1/100.由于線性屈曲分析中無(wú)法實(shí)現(xiàn)無(wú)拉力彈性地基設(shè)置,因此需按照?qǐng)D2 所示流程進(jìn)行迭代計(jì)算.與本文解析方法的思路一致,通過(guò)程序?qū)崿F(xiàn)Abaqus 的參數(shù)化建模: 首先通過(guò)Winkler 地基板確定初始的子問(wèn)題分區(qū),并根據(jù)不同分區(qū)的接觸狀態(tài)設(shè)定彈性地基剛度,進(jìn)而進(jìn)行線性屈曲Buckle 分析,根據(jù)分析結(jié)果重新劃分子問(wèn)題,并計(jì)算新的屈曲載荷及模態(tài),反復(fù)迭代直至屈曲載荷及子問(wèn)題劃分結(jié)果收斂,收斂準(zhǔn)則與解析方法一致.結(jié)果表明,有限元與本文解析方法的迭代結(jié)果高度一致,如圖4 所示(其中圓圈代表有限元計(jì)算得到的迭代結(jié)果).

本文方法與有限元所得屈曲模態(tài)結(jié)果如圖5 所示,兩者高度吻合.

圖5 無(wú)拉力彈性地基上矩形板的臨界屈曲模態(tài)(kw=2000,a/b=2)Fig.5 Critical buckling mode shape of a rectangular plate on a tensionless elastic foundation (kw=2000,a/b=2)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法,同時(shí)獲得更為普適性的計(jì)算結(jié)果,表1給出了不同長(zhǎng)寬比及彈性地基剛度下板的無(wú)量綱臨界屈曲載荷.所有臨界屈曲載荷解均與有限元計(jì)算結(jié)果吻合良好,進(jìn)一步驗(yàn)證了本文結(jié)果的準(zhǔn)確性.

表1 不同長(zhǎng)寬比及彈性地基剛度下矩形板的臨界屈曲載荷-Ncrb2/DTable 1 Critical buckling load factors,-Ncrb2/D,of rectangular plates with different aspect ratios and elastic foundation stiffnesses

圖6 對(duì)比分析了彈性地基剛度對(duì)屈曲模態(tài)的影響.在圖6(a)所示含有兩個(gè)半波的算例中,隨著彈性地基剛度的增大,半波的幅值差異越發(fā)明顯,與地基發(fā)生接觸的區(qū)域板的變形相對(duì)較小.在圖6(b)所示a/b=2.0 的算例中,彈性地基剛度較小時(shí)板的屈曲模態(tài)呈現(xiàn)出兩個(gè)半波,而系數(shù)為2000 時(shí)則為3 個(gè)半波,可見(jiàn),更高彈性地基剛度下的臨界屈曲模態(tài)趨向于呈現(xiàn)更多半波數(shù).如圖6(c)所示,在彈性地基剛度較小時(shí),屈曲模態(tài)呈現(xiàn)出對(duì)稱性特點(diǎn),但當(dāng)系數(shù)增大后,轉(zhuǎn)變?yōu)榉菍?duì)稱的屈曲模態(tài).該現(xiàn)象與文獻(xiàn)中結(jié)論一致: 即使結(jié)構(gòu)與邊界條件均對(duì)稱,屈曲模態(tài)也可能呈現(xiàn)非對(duì)稱性[15].圖6(d)再次表明,在不同的彈性地基剛度下,屈曲模態(tài)的主要變化在于接觸區(qū)域板的變形逐漸減小,而與圖6(a)對(duì)比可見(jiàn),隨著板的長(zhǎng)寬比增大,半波數(shù)呈現(xiàn)出增多的趨勢(shì).

圖6 不同長(zhǎng)寬比矩形板的臨界屈曲模態(tài)Fig.6 Critical buckling mode shape of rectangular plate with different aspect ratio

針對(duì)無(wú)拉力彈性地基上的矩形板,其后屈曲分析更加困難.以下基于Koiter 后屈曲攝動(dòng)展開(kāi)理論與辛方法,研究無(wú)拉力彈性地基上含缺陷薄板的后屈曲問(wèn)題.攝動(dòng)法常用于求解非線性方程,其主要思想是將非線性問(wèn)題的解用某個(gè)小量的漸近形式來(lái)表示.

內(nèi)力-應(yīng)變關(guān)系式(4)和下式

2 無(wú)拉力彈性地基上矩形板的后屈曲分析

2.1 后屈曲問(wèn)題控制方程與求解

基于非線性幾何方程式

以及平衡方程式(3),并引入應(yīng)力函數(shù)F

可得薄板后屈曲問(wèn)題的非線性控制方程為

其中為初始幾何缺陷.需指出,這里的中面內(nèi)力Nx、Ny及Nxy通過(guò)嚴(yán)格推導(dǎo)確定,不同于屈曲問(wèn)題中的均布內(nèi)力分布設(shè)定.利用攝動(dòng)方法,將解展開(kāi)為

其中 ξ 為攝動(dòng)小參數(shù).單軸壓外載荷Px可展開(kāi)為

其中Pc為臨界屈曲載 荷,ae及be為后屈曲展開(kāi)系數(shù).令初始幾何缺陷為板的一階屈曲模態(tài)

其中 μ=λ/ξ,λ 是缺陷的幅值.將式(25)代入式(24),有方程的零階控制方程

利用邊界條件可得其解答為[16]

由式(24)、式(25)及式(29)可得一階控制方程

一階方程表達(dá)形式與式(1) 一致,替換式(17)中 (1+μ)=Nx,即可獲得一階控制方程的解

同理,2 階控制方程為

將其導(dǎo)入Hamilton 體系,有

構(gòu)造狀態(tài)向量

Hamilton 算子矩陣H 為

利用分離變量,令

將式(37)代入式(33)可得

類似于上文求解思路,由邊界條件

可得式(38)中的本征值

對(duì)應(yīng)的本征向量及其一階Jordan 型為

當(dāng)m=0 時(shí),對(duì)應(yīng)的本征向量及其滿足邊界條件的Jordan 型為

f可按照辛本征向量展開(kāi)為

其中G=[g00,g01,g02,g03,···g1m,g3m,···,g4m,g2m,···]T.由式(33)、式(37)、式(38)及式(44)可得

由式(46)的展開(kāi)系數(shù),可得式(45)的解為

式中待定系數(shù)需通過(guò)邊界條件確定,由式(42)、式(43)及式(47)～ 式(54)可得2 階方程的解答為

具體地,對(duì)各子問(wèn)題用于求解2 階解的邊界條件為

將各階方程的解代入式(25),可得撓度及應(yīng)力函數(shù)的最終解答.令線性屈曲的最大撓度為w*(x0,y0)=h.由于分叉屈曲明顯是對(duì)稱的,因此ae=0,對(duì)矩形板面內(nèi)區(qū)域 Ω 進(jìn)行積分,可得后屈曲展開(kāi)系數(shù)be[43]

因此,載荷可表示為

改變攝動(dòng)小參數(shù) ξ 的值即可獲得相應(yīng)的變形及載荷,從而獲得后屈曲平衡路徑.

2.2 后屈曲數(shù)值結(jié)果與討論

本節(jié)展示無(wú)拉力彈性地基上無(wú)缺陷及有缺陷矩形板的后屈曲平衡路徑.以彎曲剛度D=1、長(zhǎng)寬比a/b=1.5 和厚度h=0.01 的簡(jiǎn)支矩形板作為算例,分別展示不同彈性地基剛度下的后屈曲平衡路徑,并與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.有限元模型基于Riks 算法,采用S4 單元進(jìn)行模擬,單元尺寸為寬度的1/100,加載邊采用耦合約束;同時(shí)改變網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)位置引入一階線性屈曲模態(tài)缺陷,缺陷幅值 λ 為0.05 及0.1 倍板的厚度.無(wú)拉力彈性地基則通過(guò)施加如圖7 所表征的非線性彈簧單元實(shí)現(xiàn)[12],其一端固定、另一端與矩形板連接,在板內(nèi)施加密集的連接單元從而模擬無(wú)拉力彈性地基.

圖7 無(wú)拉力彈性地基的力-位移曲線示意圖Fig.7 Schematic diagram of the force-displacement relation of a tensionless elastic foundation

如圖8 所示,簡(jiǎn)支矩形板的后屈曲平衡路徑與有限元模擬結(jié)果在小變形階段(即w*/h＜1 時(shí))吻合良好.隨著變形逐漸增大,有限元與本文方法之間的差異有所增加,但總體誤差相對(duì)較小,主要原因在于小參數(shù)攝動(dòng)法僅適用于弱非線性問(wèn)題,而隨著變形的逐漸增大,問(wèn)題的非線性程度增加,從而導(dǎo)致了一定誤差,但兩者之間整體趨勢(shì)保持一致,驗(yàn)證了本文方法在后屈曲分析時(shí)的有效性.

圖8 無(wú)缺陷和含缺陷簡(jiǎn)支板的后屈曲平衡路徑Fig.8 The post-buckling equilibrium paths of perfect and imperfect simply supported plates

3 結(jié)論

在無(wú)拉力彈性地基的作用下,矩形板的屈曲/后屈曲行為受到顯著影響.本文首先求解了無(wú)拉力彈性地基上矩形板的屈曲問(wèn)題: 針對(duì)接觸非線性難題,將原問(wèn)題按照接觸狀態(tài)進(jìn)行分區(qū),劃分為若干Winkler 地基板與無(wú)地基板的子問(wèn)題,利用連續(xù)條件獲得屈曲載荷及屈曲模態(tài),進(jìn)而對(duì)子問(wèn)題重新劃分,迭代計(jì)算屈曲載荷及屈曲模態(tài),直至結(jié)果收斂.進(jìn)一步,基于Koiter 后屈曲攝動(dòng)展開(kāi)理論與辛方法,本文求解了無(wú)拉力彈性地基板的后屈曲問(wèn)題.對(duì)于屈曲和后屈曲問(wèn)題,均通過(guò)算例對(duì)比,證明了本文求解的準(zhǔn)確性,并得到以下結(jié)論: (1) 隨著彈性地基剛度的增大,臨界屈曲模態(tài)趨向于呈現(xiàn)更多半波數(shù),接觸區(qū)域板的變形逐漸減小;(2) 在彈性地基剛度較小時(shí),屈曲模態(tài)呈現(xiàn)出對(duì)稱性特點(diǎn),但當(dāng)系數(shù)增大后,轉(zhuǎn)變?yōu)榉菍?duì)稱的屈曲模態(tài);(3) 隨著板的長(zhǎng)寬比增大,半波數(shù)呈現(xiàn)出增多的趨勢(shì).本文方法具有理論推導(dǎo)嚴(yán)格、計(jì)算效率高及無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜建模等優(yōu)點(diǎn),可望推廣至更多復(fù)雜屈曲/后屈曲問(wèn)題的求解.