高置信水平結(jié)構(gòu)逆可靠度分析與優(yōu)化方法研究進(jìn)展1)

郝 鵬 楊 浩 馮少軍 王 博

* (工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析優(yōu)化與CAE 軟件全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,遼寧大連 116024)

? (大連理工大學(xué)工程力學(xué)系,遼寧大連 116024)

引言

不確定性客觀存在于工程結(jié)構(gòu)生產(chǎn)制造以及服役等各環(huán)節(jié)之中,并呈現(xiàn)出來源廣(材料偏差、制造誤差和載荷偏差等)、隨機(jī)性強(qiáng)(位置和分布形態(tài)不確定)等特點(diǎn).傳統(tǒng)的基于安全系數(shù)的確定性設(shè)計(jì)方法難以表征多源不確定性的傳播規(guī)律,易致使結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過度冗余.尤其是對(duì)于服役條件愈發(fā)苛刻的航空航天重型承載裝備,結(jié)構(gòu)極致輕量化與高可靠度的矛盾日益凸顯[1-2].其中,結(jié)構(gòu)可靠度優(yōu)化設(shè)計(jì)是航天裝備運(yùn)行安全和性能保障的關(guān)鍵,是共性的備受關(guān)注的研究方向[3].

結(jié)構(gòu)可靠度分析旨在精確量化各類不確定性因素對(duì)結(jié)構(gòu)使役性能的影響,就概率模型而言,其關(guān)鍵在于如何精確高效地計(jì)算失效概率[4].然而聯(lián)合概率密度函數(shù)的失效域形狀往往極其不規(guī)則,難以直接積分求解.雖然模擬/抽樣法(simulation/sampling method)可以通過統(tǒng)計(jì)學(xué)手段計(jì)算失效概率[5],但其超高計(jì)算成本限制了其在實(shí)際復(fù)雜工程問題的應(yīng)用.因此,目前常用的結(jié)構(gòu)可靠度分析方法主要包括正向可靠度分析[6]和逆可靠度分析(inverse reliability analysis)[7-8].其中,逆可靠度分析作為一種高效近似求解方法[9],受到了廣泛關(guān)注.然而,其算法性能受問題復(fù)雜程度影響劇烈,尤其是在處理高耗時(shí)的實(shí)際工程問題時(shí)仍存在較大波動(dòng)[10].以航天結(jié)構(gòu)為例,愈發(fā)大型化、復(fù)雜化的結(jié)構(gòu)形式以及輕量化高可靠性需求致使結(jié)構(gòu)強(qiáng)度函數(shù)非線性程度增加和失效域性態(tài)更為復(fù)雜,這對(duì)逆可靠度分析算法計(jì)算精度、效率和穩(wěn)健性帶來巨大挑戰(zhàn).

結(jié)構(gòu)可靠度優(yōu)化方法可以有效幫助設(shè)計(jì)人員實(shí)現(xiàn)慮及各類風(fēng)險(xiǎn)的結(jié)構(gòu)精細(xì)化設(shè)計(jì),其本質(zhì)是一個(gè)雙層嵌套的優(yōu)化列式.內(nèi)層概率約束的計(jì)算直接決定了算法的精度和收斂性態(tài),而優(yōu)化策略也會(huì)進(jìn)一步影響其計(jì)算效率和魯棒性.目前可靠度優(yōu)化策略大體上可分為雙循環(huán)[11]、單循環(huán)[12]、解耦[13]以及變循環(huán)方法[14].其中,雙循環(huán)方法是基礎(chǔ),但所需計(jì)算成本也最高.其他先進(jìn)策略可以提升計(jì)算效率,但也在一定程度上損失了算法的精度和魯棒性.此外,由于航天裝備的精密性及重要性,其組成構(gòu)件允許的結(jié)構(gòu)失效概率極低,這使得失效概率的置信水平直接關(guān)系到結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的合理性[15].具體來說,受限于試驗(yàn)成本和觀測(cè)手段等因素,實(shí)際工程問題中往往難以獲得充足樣本構(gòu)建精確不確定性量化模型,致使結(jié)構(gòu)失效風(fēng)險(xiǎn)無法精確評(píng)估.因此,非充分樣本下的結(jié)構(gòu)精準(zhǔn)可靠度設(shè)計(jì)成為了當(dāng)下學(xué)術(shù)界和工程界共同關(guān)注的熱點(diǎn)問題[16-18].

隨著近幾十年的不斷發(fā)展,結(jié)構(gòu)可靠度分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)理論日趨完善,正推動(dòng)著結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)從傳統(tǒng)確定性向可靠性再到精準(zhǔn)可靠性方向轉(zhuǎn)變,如圖1.鑒于逆可靠度分析及優(yōu)化方法的廣泛應(yīng)用,本文將重點(diǎn)圍繞其開展介紹,重點(diǎn)關(guān)注強(qiáng)非線性功能函數(shù)、多設(shè)計(jì)點(diǎn)(multiple design points)、低失效概率問題下的算法精度、效率、穩(wěn)定性和置信水平,并對(duì)未來結(jié)構(gòu)可靠度優(yōu)化發(fā)展方向進(jìn)行展望.

圖1 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法發(fā)展歷程Fig.1 History of structural design methods

1 結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)基本理論

結(jié)構(gòu)可靠度優(yōu)化設(shè)計(jì)(reliability-based design optimization,RBDO)是一種將結(jié)構(gòu)可靠度分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)理論相結(jié)合的方法,旨在給出滿足概率約束的最低成本或最優(yōu)性能結(jié)構(gòu),其數(shù)學(xué)模型可以表示為

其中,d是確定性設(shè)計(jì)變量;X和P分別為隨機(jī)設(shè)計(jì)變量和隨機(jī)參數(shù),表征結(jié)構(gòu)的各種不確定性;μX和μP分別為X和P的均值;上標(biāo) L 和 U 表示變量的上下界;f(·) 為目標(biāo)函數(shù),例如結(jié)構(gòu)質(zhì)量、制造成本等;gi(·) 表示結(jié)構(gòu)的第i個(gè)約束函數(shù),n為約束的個(gè)數(shù);是第i個(gè)約束容許的最大失效概率;Pfi為第i個(gè)約束的實(shí)際失效概率,可由隨機(jī)變量失效域內(nèi)聯(lián)合概率密度函數(shù)的積分計(jì)算得到

其中,g(d,X,P)≤0 表示結(jié)構(gòu)失效;fX,P(x,p) 表示隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)(joint probability density function,PDF).通常情況下,式(2)的多重積分問題難以直接求解.因此,常采用可靠度指標(biāo)法(reliability index approach,RIA)或者功能度量法(performance measure approach,PMA)來近似計(jì)算.

1.1 可靠度指標(biāo)法

針對(duì)概率約束難以求解的問題,Nikolaidis 等[19]學(xué)者提出了RIA,也被稱為正向可靠度分析法.其中,失效概率Pf與可靠度指標(biāo) β 的關(guān)系式

式中,Φ(·) 表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累計(jì)分布函數(shù)(cumulative distribution function,CDF);βi為第i個(gè)約束的可靠度指標(biāo).因此,式(1)中的概率約束可表示為

其中,Φ-1(·) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)逆累計(jì)分布函數(shù);Fgi(·) 為約束gi的CDF;表示第i個(gè)約束目標(biāo)可靠度指標(biāo)值.將概率約束替換為可靠度指標(biāo)約束后,可得基于RIA 的可靠度優(yōu)化列式

其中,可靠度指標(biāo) β 的求解本身也是一個(gè)優(yōu)化問題.因此RBDO 的本質(zhì)為一個(gè)雙層嵌套的優(yōu)化問題.當(dāng)前均值點(diǎn)的可靠度指標(biāo) β 可以通過求解標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的優(yōu)化問題得到[20],如下

其中,u為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間下的隨機(jī)變量;G(·) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間下對(duì)應(yīng)約束函數(shù)值.

1.2 功能度量法

20 世紀(jì)90 年代末,Tu 等[21]發(fā)現(xiàn)當(dāng)可靠度指標(biāo)較大時(shí),RIA 會(huì)出現(xiàn)收斂性問題.為了提高可靠度優(yōu)化的穩(wěn)健性,Tu 等[21]對(duì)式(4)采取逆變換給出了逆可靠度問題的數(shù)學(xué)定義

并在此基礎(chǔ)上提出了功能度量法,即PMA.該方法通過最小功能目標(biāo)點(diǎn)(minimum performance target point,MPTP)處的功能度量值來判斷當(dāng)前均值點(diǎn)是否滿足概率約束.基于PMA 的可靠度優(yōu)化列式可寫作

式中u*為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的MPTP;Gi(u*) 為目標(biāo)可靠度環(huán)上的最小功能函數(shù)值,可通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的逆可靠度分析過程求解

此優(yōu)化過程的最優(yōu)解即為u*.

2 逆可靠度分析方法

相比于RIA,逆可靠度分析算法性能得到一定提升,但其在處理復(fù)雜工程問題時(shí)仍存在著穩(wěn)定性差、計(jì)算精度不足、計(jì)算效率低等問題,如圖2.因此,本章重點(diǎn)圍繞逆可靠度分析中3 個(gè)難點(diǎn)問題(強(qiáng)非線性功能函數(shù)、多設(shè)計(jì)點(diǎn)和低失效概率),對(duì)現(xiàn)有算法開展介紹.

圖2 逆可靠度分析方法面臨的難點(diǎn)問題Fig.2 Challenging issues in the inverse reliability analysis methods

2.1 強(qiáng)非線性功能函數(shù)問題

面對(duì)強(qiáng)非線性功能函數(shù),逆可靠度分析方法易出現(xiàn)周期解和振蕩,甚至不收斂等現(xiàn)象,導(dǎo)致算法穩(wěn)健性差及計(jì)算成本高等問題[22-25].為此,國(guó)內(nèi)外學(xué)者開展了大量研究[26-29]以期進(jìn)一步提高算法綜合性能.

改進(jìn)均值法[30](advanced mean value method,AMV method)是最具代表性的方法之一,其迭代格式為

雖然AMV 方法在一定程度上改善了計(jì)算精度,但是在處理強(qiáng)非線性功能函數(shù)時(shí),仍存在收斂困難.為此,Youn 等[31]提出了共軛均值法(conjugate mean value method,CMV method).相比AMV 方法,CMV 法提供的新迭代下降方向,對(duì)于凹功能函數(shù)具有更穩(wěn)定的計(jì)算效果.但其在處理凸功能函數(shù)時(shí)無法避免產(chǎn)生冗余的計(jì)算過程.混合均值法(hybrid mean value method,HMV method)[31]結(jié)合了AMV和CMV 方法的優(yōu)勢(shì),提出了功能函數(shù)類型辨別準(zhǔn)則,根據(jù)判斷結(jié)果自動(dòng)選擇合適的迭代算法.但是,對(duì)于強(qiáng)非線性功能函數(shù),HMV 方法仍可能無法收斂[32].

隨著研究的深入,Yang[33]指出,逆可靠度分析迭代過程可視為一種離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng),當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的雅克比矩陣特征值符合某種條件時(shí),它的解在特定參數(shù)區(qū)間可能會(huì)出現(xiàn)發(fā)散、周期振蕩、分岔和混沌現(xiàn)象[34].因此,Yang 等[35]引用混沌理論[36-37]分析了AMV 迭代過程,并基于混沌反饋控制提出了混沌控制方法(chaos control method,CC method)來改善AMV 的收斂性態(tài).該方法可以表示為

其中 λ 為控制因子,C為n×n維的對(duì)合矩陣,通常取為單位矩陣.

為了進(jìn)一步提升CC 方法的穩(wěn)健性,Meng 等[38]將CC 方法得到的迭代點(diǎn)延伸至β環(huán),并在此基礎(chǔ)上提出了修正混沌控制方法(modified chaos control method,MCC method).對(duì)于MCC 方法,選擇合理的控制因子 λ 是保證高效穩(wěn)健的基礎(chǔ),然而對(duì)于實(shí)際工程問題,其功能函數(shù)的非線性程度難以預(yù)知,為保證算法收斂性通常需要選取較小的控制因子,導(dǎo)致MCC 方法對(duì)凸功能函數(shù)問題效率不高.

為此,部分學(xué)者通過自適應(yīng)調(diào)節(jié)機(jī)制來平衡計(jì)算效率與穩(wěn)健性.Li 等[39]充分利用迭代過程信息,提出了自適應(yīng)混沌控制方法(adaptive chaos control method,ACC method) 來對(duì) λ 進(jìn)行動(dòng)態(tài)更新,但ACC 方法高效穩(wěn)定的計(jì)算效果依賴于控制因子 λ 的初值.Hao 等[40]基于混沌控制理論提出了一種增強(qiáng)混沌控制方法(enhanced chaos control method,ECC method),通過引入了Wolfe-Powell 準(zhǔn)則[41-42]對(duì)控制因子進(jìn)行二次更新,保證了算法的超線性收斂.進(jìn)一步,Yi 等[43]在自適應(yīng)步長(zhǎng)迭代法中引入了一個(gè)新步長(zhǎng)調(diào)節(jié)機(jī)制來控制迭代過程的收斂性態(tài).但Jiang等[44]指出,對(duì)于復(fù)雜性態(tài)功能函數(shù),其步長(zhǎng)調(diào)節(jié)機(jī)制可能會(huì)失效.因此,Hao 等[45]從迭代過程的振蕩識(shí)別和步長(zhǎng)調(diào)節(jié)機(jī)制入手,提出了增強(qiáng)步長(zhǎng)調(diào)節(jié)法(augmented step size adjustment method,ASSA method),通過自適應(yīng)非線性更新步長(zhǎng)對(duì)振蕩迭代過程進(jìn)行調(diào)控,提高了算法的效率和穩(wěn)健性,其迭代過程如圖3 所示.

圖3 ASSA 步長(zhǎng)調(diào)整過程[45]Fig.3 Step length adjustment process of ASSA[45]

綜上,本節(jié)介紹了多種逆可靠度分析方法,并對(duì)各方法的優(yōu)勢(shì)與不足進(jìn)行了系統(tǒng)梳理,如表1 所示.現(xiàn)有算法已基本可以處理一般強(qiáng)非線性工程問題[50],但對(duì)于可重復(fù)使用運(yùn)載器等涉及材料、結(jié)構(gòu)剛度退化的時(shí)變可靠度問題仍存在算法穩(wěn)定性、效率的不足,仍需進(jìn)一步對(duì)逆可靠度算法迭代失效機(jī)理進(jìn)行深入研究.

表1 針對(duì)強(qiáng)非線性問題各算法優(yōu)勢(shì)與不足Table 1 Advantages and shortcomings of various algorithms for strongly nonlinear problems

2.2 多設(shè)計(jì)點(diǎn)問題

在屈曲失穩(wěn)、瞬時(shí)沖擊等問題中,分離的失效域可能會(huì)導(dǎo)致多個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)的存在,致使逆可靠度分析在進(jìn)行設(shè)計(jì)點(diǎn)搜索時(shí)可能會(huì)錯(cuò)過全局設(shè)計(jì)點(diǎn)落入局部設(shè)計(jì)點(diǎn),并因此無法捕獲失效概率的主要貢獻(xiàn)區(qū)域[51-52].此外,即使準(zhǔn)確搜索到全局設(shè)計(jì)點(diǎn),局部設(shè)計(jì)點(diǎn)對(duì)失效概率的影響也是不可忽略的.因此,為保證可靠度分析的精度,諸多學(xué)者對(duì)多設(shè)計(jì)點(diǎn)問題開展了廣泛研究.

Der Kiuveghian 等[53]建立了基于一階可靠度(first-order reliability method,FORM)和二階可靠度方法(second-order reliability method,SORM)的序列搜尋與近似策略,提升了逆可靠度方法在多設(shè)計(jì)點(diǎn)問題中的精度與魯棒性.在上述工作的啟發(fā)下,諸多學(xué)者[54-56]采用改進(jìn)的FORM 解決多設(shè)計(jì)點(diǎn)問題,其分析精度與效率都實(shí)現(xiàn)了不同程度的提升.Huang 等[54]基于遷移優(yōu)化算法(memetic animal migration optimization)對(duì)多模態(tài)優(yōu)化問題中存在的多個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)進(jìn)行檢測(cè),并采用多點(diǎn)一階可靠度方法評(píng)估結(jié)構(gòu)的失效概率.與傳統(tǒng)FORM 相比,系統(tǒng)可靠度預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性得到一定提升.進(jìn)一步,Chen 等[56]提出了一種更為新穎的面向多設(shè)計(jì)點(diǎn)問題的可靠度優(yōu)化方法.該方法通過分析可靠度分析迭代的設(shè)計(jì)點(diǎn)軌跡來判斷是否存在多個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn).對(duì)于具有多設(shè)計(jì)點(diǎn)的功能函數(shù),采用解耦策略獲取所有設(shè)計(jì)點(diǎn),實(shí)現(xiàn)了算法計(jì)算效率的提升.

然而相較于傳統(tǒng)單設(shè)計(jì)點(diǎn)問題,多設(shè)計(jì)點(diǎn)搜尋極大地增加了逆可靠度分析的計(jì)算成本.采用高精度代理模型逼近真實(shí)結(jié)構(gòu)輸入與輸出間的響應(yīng)關(guān)系,可以進(jìn)一步提升逆可靠度分析計(jì)算效率[57].Li等[39,58]建立了一種基于Kriging 模型的多設(shè)計(jì)點(diǎn)問題處理框架,采用粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization)算法搜索全局設(shè)計(jì)點(diǎn),在保證結(jié)果精度同時(shí)提升了計(jì)算效率.Wang 等[59]提出了一種基于改進(jìn)約束邊界采樣策略的全局可靠度優(yōu)化算法,如圖4 所示.該方法基于Kriging 模型構(gòu)建并逐步縮小關(guān)心區(qū)域,利用增強(qiáng)步長(zhǎng)調(diào)節(jié)法、多起點(diǎn)策略和凸點(diǎn)法開展多設(shè)計(jì)點(diǎn)搜尋,實(shí)現(xiàn)計(jì)算效率的大幅提升.

圖4 多設(shè)計(jì)點(diǎn)問題關(guān)心區(qū)域搜索[59]Fig.4 Searching for concerned region of multiple design points issue[59]

綜上,針對(duì)多設(shè)計(jì)點(diǎn)問題,國(guó)內(nèi)外學(xué)者在逆可靠度算法框架下開展了一系列改進(jìn)研究.但面對(duì)更加復(fù)雜的工程實(shí)際問題諸如火箭級(jí)間段分離、可變體飛行器設(shè)計(jì),現(xiàn)有方法難以同時(shí)兼顧分析精度與效率.隨著近年來深度學(xué)習(xí)模型[60-61]和支持向量機(jī)[62-63]等智能學(xué)習(xí)算法的不斷發(fā)展,基于智能學(xué)習(xí)模型的可靠度分析方法給解決上述復(fù)雜工程問題提供了新契機(jī).

2.3 低失效概率問題

航天結(jié)構(gòu)高可靠性需求意味著發(fā)生故障是一個(gè)極罕見事件,這要求算法具備低失效概率下結(jié)構(gòu)可靠度評(píng)估的能力.由于失效概率數(shù)值極小,局部輕微的擾動(dòng)就可能對(duì)算法結(jié)果產(chǎn)生重大影響,這對(duì)可靠度分析算法的計(jì)算精度提出了更高要求.近年來,隨著代理模型的發(fā)展,諸如基于主動(dòng)學(xué)習(xí)Kriging 的抽樣類方法[64-66]在處理低失效概率問題時(shí)取得不錯(cuò)效果,但考慮到本文重點(diǎn)是逆可靠度分析及優(yōu)化算法,因此抽樣類方法的相關(guān)研究可參考文獻(xiàn)[4,67-69].

由于FORM 是對(duì)極限狀態(tài)函數(shù)的線性展開,其近似誤差較大往往不適用于低失效概率問題,如圖5所示.雖然高階可靠度算法可以精確擬合MPTP 附近極限狀態(tài)曲面,但獲取功能函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)信息通常計(jì)算成本極高.因此綜合考慮計(jì)算精度和效率,SORM 是更為合理的選擇[70].為此,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)SORM 開展了大量研究[71-72].Huang 等[73]提出了一種基于鞍點(diǎn)近似的二階可靠度分析方法,省略了二次曲面擬合過程,充分利用二階展開式信息提升計(jì)算精度.Mansour 等[74]考慮到二次曲面擬合過程帶來的誤差,提出了一種基于非中心χ2分布的漸近展開閉合概率表達(dá)式,有效提升了擬合精度.在此基礎(chǔ)上,Lee 等[75]將卷積積分法[76]應(yīng)用于改進(jìn)的二階可靠度方法,獲得了線性組合的分布以減輕運(yùn)算負(fù)擔(dān),有效提升了計(jì)算效率.進(jìn)一步,Hao 等[49]提出了一種基于二階可靠度分析的序列優(yōu)化和可靠度評(píng)估方法.該方法在序列可靠度評(píng)估過程中采用對(duì)稱秩一算法,利用功能函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)不斷逼近真實(shí)Hessian矩陣,以一階可靠度分析的計(jì)算成本近似實(shí)現(xiàn)了二階可靠度分析的計(jì)算精度.Hu 等[77]對(duì)現(xiàn)有二階可靠度分析方法進(jìn)行了全面對(duì)比研究,詳細(xì)論證了各方法在計(jì)算精度和效率上的優(yōu)勢(shì)與不足.

圖5 一階可靠度與二階可靠度方法對(duì)比[72]Fig.5 Comparison of FORM and SORM[72]

綜上,相比于一階算法,二階可靠度分析方法可以大幅提升失效概率評(píng)估的精度,已被廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程問題[78-80].但其在處理極低失效概率問題(通常失效概率小于1.0×10-5)時(shí)仍面臨著計(jì)算精度、效率不足的問題,仍需進(jìn)一步結(jié)合變量降維[81-84]等方法開展深入研究.

3 結(jié)構(gòu)可靠度優(yōu)化方法

傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)可靠度優(yōu)化方法大多采用雙循環(huán)策略,通過外層確定性優(yōu)化和內(nèi)層可靠度分析交替進(jìn)行確保算法穩(wěn)定收斂.由于內(nèi)層與外層需要頻繁交換信息,導(dǎo)致基于雙循環(huán)策略的結(jié)構(gòu)可靠度優(yōu)化設(shè)計(jì)面臨高昂的計(jì)算成本.解耦方法和單循環(huán)方法等從優(yōu)化策略入手,通過將確定性優(yōu)化和可靠度分析過程進(jìn)行解耦或融合,大幅提高了計(jì)算效率.但這也帶來了計(jì)算精度和穩(wěn)定性的損失.因此,諸多學(xué)者通過自適應(yīng)選擇優(yōu)化策略的方式提出了變循環(huán)策略,進(jìn)一步平衡算法效率與穩(wěn)定性.綜上可以看出,各種優(yōu)化策略均有其獨(dú)特優(yōu)勢(shì)[14].因此,本章重點(diǎn)圍繞可靠度優(yōu)化策略: 雙循環(huán)方法、解耦方法、單循環(huán)方法和變循環(huán)方法展開介紹,如圖6 所示.

圖6 4 種常用可靠度優(yōu)化策略Fig.6 Four typical reliability-design optimization strategies

3.1 雙循環(huán)方法

基于逆可靠度分析的優(yōu)化設(shè)計(jì)本質(zhì)是一個(gè)雙層嵌套優(yōu)化問題,其內(nèi)層是逆可靠度分析,外層是確定性優(yōu)化.外層通過確定性優(yōu)化更新均值點(diǎn),內(nèi)層則基于逆可靠度分析求解當(dāng)前均值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的MPTP 及其敏度信息并傳遞至外層優(yōu)化,內(nèi)層與外層不斷交替執(zhí)行直至滿足收斂條件,如圖7 所示.

圖7 雙循環(huán)可靠度優(yōu)化設(shè)計(jì)方法流程Fig.7 The process of RBDO based on the double-loop strategy

雖然雙層循環(huán)策略較為穩(wěn)定,但在處理復(fù)雜性態(tài)函數(shù)時(shí),其內(nèi)層逆可靠度分析算法難以兼顧計(jì)算精度、效率與穩(wěn)定性.為此,國(guó)內(nèi)外學(xué)者重點(diǎn)從混沌控制和步長(zhǎng)調(diào)節(jié)兩個(gè)方面開展研究.通過引入混沌理論,Yang 等[33]提出了CC 方法,大幅改善了AMV方法的收斂性態(tài).在此基礎(chǔ)上,Meng 等[38]、Hao 等[40]和Keshtegar 等[46]提出了一系列控制因子更新策略,進(jìn)一步提升了CC 方法的計(jì)算效率與穩(wěn)定性.此外,Yi 等[43]、Jiang 等[44]和Hao 等[49]直接從逆可靠度分析迭代步長(zhǎng)調(diào)節(jié)角度開展研究,通過充分利用迭代過程信息實(shí)現(xiàn)了對(duì)迭代步長(zhǎng)的自適應(yīng)控制.需要說明的是,雖然上述兩類方法在具體策略上存在差異,但本質(zhì)思想都是根據(jù)功能函數(shù)性態(tài)調(diào)控迭代步長(zhǎng)大小,在非線性程度較低區(qū)域以大步長(zhǎng)快速逼近MPTP,而在高非線性區(qū)域則以小步長(zhǎng)穩(wěn)定更新.因此,現(xiàn)有雙循環(huán)方法基本可以穩(wěn)定處理大部分實(shí)際問題[50].但受自身策略影響,相比于解耦法和單循環(huán)法其計(jì)算效率通常較低,尤其在處理復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)可靠度優(yōu)化時(shí)仍存在設(shè)計(jì)周期過長(zhǎng),計(jì)算成本難以負(fù)擔(dān)等問題.

3.2 解耦方法

解耦類算法將嵌套的內(nèi)層可靠度分析和外層確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行分離,依次實(shí)施常規(guī)確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)和可靠度分析,這樣避免了外層優(yōu)化每次更新所帶來的內(nèi)層可靠度分析,有效節(jié)約了計(jì)算成本.

Du 等[85]提出了序列優(yōu)化與可靠度評(píng)估(sequential optimization and reliability assessment,SORA)方法,給出了廣義上的逆可靠度方法解耦策略

式中d是確定性變量,分別代表第k +1代的隨機(jī)設(shè)計(jì)變量均值 μX和隨機(jī)參數(shù)均值 μP對(duì)應(yīng)偏移向量.隨機(jī)變量向量對(duì)應(yīng)的MPTP 點(diǎn)可由逆可靠度分析方法求得.SORA 的核心思想是將優(yōu)化設(shè)計(jì)和可靠度分析解耦形成連續(xù)序列循環(huán)計(jì)算流程,如圖8.在迭代過程中,可靠度分析僅在每次確定性優(yōu)化之后進(jìn)行,利用前一次循環(huán)的MPTP 信息將確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)的約束向可行域內(nèi)移動(dòng)一定距離來近似替代可靠度約束,并通過迭代不斷修正等效約束,使其逐漸逼近真實(shí)可靠度約束.

圖8 SORA 方法移動(dòng)約束邊界策略[85]Fig.8 Shifting constraint boundary strategy of SORA method[85]

Yang 等[86]用一個(gè)含有高維約束的復(fù)雜工程算例對(duì)各類可靠度優(yōu)化算法進(jìn)行測(cè)試,指出SORA 算法相較其他方法具有一定優(yōu)勢(shì).Valdebenito 等[87]通過對(duì)比研究也得出了類似結(jié)論.但Chen 等[88]指出,當(dāng)功能函數(shù)呈現(xiàn)強(qiáng)非線性時(shí),SORA 算法仍存在計(jì)算精度不足的問題.為此,Chen 等[88]提出了最優(yōu)平移向量法,通過尋找平移后的極限狀態(tài)函數(shù)gi(u+τu)=0與逆可靠度β環(huán)切點(diǎn)的方式進(jìn)行修正,進(jìn)而提高算法精度與效率,其中 τ 為平移系數(shù).Yin 等[89]采用MPTP 的正切向量對(duì)SORA 方法的偏移向量進(jìn)行修正,提升了傳統(tǒng)SORA 方法處理可變方差設(shè)計(jì)問題的性能.Zhang 等[90]提出了基于概率密度函數(shù)的性能偏移法(PDF-based performance shift approach,PPSA),通過性能轉(zhuǎn)移策略將違反的約束移向可靠區(qū)域,相比傳統(tǒng)SORA 方法有更高的計(jì)算效率.進(jìn)一步地,Zheng 等[91]將PPSA 策略應(yīng)用于可靠度拓?fù)鋬?yōu)化,驗(yàn)證了PPSA 算法的通用性.

近年來,解耦類算法受到了諸多學(xué)者的關(guān)注與應(yīng)用[92-93].Wang 等[94]將SORA 拓展至非概率時(shí)變多系統(tǒng)可靠度問題.Zhang 等[95]將SORA 拓展至基于可靠性的控制協(xié)同設(shè)計(jì)問題,展示了解耦類算法優(yōu)秀的計(jì)算效率與通用性.

3.3 單循環(huán)方法

單循環(huán)方法采用最優(yōu)化條件或者其他手段重新建立可靠度優(yōu)化列式,成功將內(nèi)層循環(huán)中的可靠度約束函數(shù)直接轉(zhuǎn)化為確定性約束函數(shù),使得原本雙層嵌套的可靠度優(yōu)化列式退化為傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化,消除了內(nèi)層逆可靠度分析過程所帶來的巨額計(jì)算成本,從而大幅提高了計(jì)算效率.

Kuschel 等[96]和Agarwal 等[97]利用一階KKT最優(yōu)化條件將內(nèi)層概率約束轉(zhuǎn)化為外層優(yōu)化設(shè)計(jì)的約束條件,但在其消除內(nèi)層循環(huán)的同時(shí)也引入了新設(shè)計(jì)變量同時(shí)涉及二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,這也增加了額外計(jì)算負(fù)擔(dān).為此,Chen 等[98]提出單循環(huán)單設(shè)計(jì)向量法(single loop single design vector method,SLSV).該方法利用標(biāo)準(zhǔn)化梯度向量將均值點(diǎn)與MPTP 關(guān)聯(lián),在每次迭代中,通過更新上一循環(huán)MPTP 處標(biāo)準(zhǔn)化梯度向量近似求解此時(shí)MPTP,進(jìn)而構(gòu)造確定性優(yōu)化問題的可行空間,如圖9 所示.

圖9 SLSV 算法的基本概念[99]Fig.9 Basic concept of the SLSV algorithm[99]

然而SLSV 方法并不穩(wěn)定,其收斂性易受功能函數(shù)非線性程度影響,因此國(guó)內(nèi)外學(xué)者基于SLSV開展了大量研究.Jeong 等[99]采用共軛梯度法對(duì)SLSV 最速下降標(biāo)準(zhǔn)化梯度進(jìn)行修正,改善了SLSV方法處理非線性問題時(shí)的收斂性態(tài),但卻降低了其處理凸功能函數(shù)的效率.Lind 等[100]提出了探索式單變量單循環(huán)方法(SLSV using probing,SLSVP),結(jié)合3 次樣條函數(shù)提升MPTP 近似精度.Liang 等[101]基于KKT 最優(yōu)化條件擴(kuò)展了SLSV 法,提出了單循環(huán)方法(single-loop approach,SLA),實(shí)現(xiàn)了有效約束集的自動(dòng)識(shí)別,節(jié)省了冗余約束梯度的計(jì)算.此外,Meng 等[102]和Keshtegar 等[103]也基于SLA 提出了相應(yīng)改進(jìn)算法.

總的來說,單循環(huán)方法理論上具備略低于確定性優(yōu)化的計(jì)算效率.同時(shí)隨著研究的深入,其迭代過程穩(wěn)定性也逐步提升,因此在面對(duì)非線程程度不高的工程問題時(shí),單循環(huán)方法可以幫助設(shè)計(jì)人員快速完成可靠度優(yōu)化設(shè)計(jì).

3.4 變循環(huán)方法

解耦類方法雖然穩(wěn)定精確,但面對(duì)高耗時(shí)的復(fù)雜問題時(shí),其內(nèi)層可靠度分析環(huán)節(jié)降低了整體優(yōu)化效率;而單層循環(huán)方法雖然效率高,但是計(jì)算精度相對(duì)較差.綜合考慮各策略優(yōu)勢(shì),各類變循環(huán)的方法是近些年研究的新趨勢(shì)[104-105].

Youn 等[14]充分結(jié)合確定性,雙層循環(huán)以及單循環(huán)方法的優(yōu)勢(shì)提出了自適應(yīng)循環(huán)方法(adaptiveloop method,ALM),在優(yōu)化初始階段采用確定性優(yōu)化快速逼近最優(yōu)解,當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)足夠接近約束時(shí)切換為雙層循環(huán)方法,后續(xù)為減少雙層循環(huán)在最優(yōu)解附近振蕩所帶來的計(jì)算負(fù)擔(dān),利用單循環(huán)方法快速獲得最優(yōu)解.同時(shí)Youn 等[14]也指出該方法各優(yōu)化策略的切換依賴于設(shè)計(jì)臨界參數(shù) εd,其取值對(duì)于變循環(huán)方法的效率及穩(wěn)定性有很大影響.為此,Li 等[39]提出了函數(shù)類型識(shí)別準(zhǔn)則,當(dāng)前后兩迭代點(diǎn)處功能度量值異號(hào)時(shí),采用雙層循環(huán)方法搜尋真實(shí)MPTP以穩(wěn)定迭代過程,反之直接利用單循環(huán)方法近似得到MPTP 節(jié)省計(jì)算負(fù)擔(dān).Jiang 等[44]則采用迭代控制策略,在SLAIA 基礎(chǔ)上發(fā)展了自適應(yīng)混合單循環(huán)方法.

為了追求雙循環(huán)方法中概率約束的精確計(jì)算,且保證單循環(huán)方法的高效性,Li 等[106]提出了一種混合自適應(yīng)單循環(huán)方法,該方法將自適應(yīng)修正混沌控制方法與單循環(huán)方法相結(jié)合,可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜RBDO問題的穩(wěn)定收斂.進(jìn)一步,Hao 等[107]在單循環(huán)方法和增強(qiáng)混沌控制方法的基礎(chǔ)上,提出了一種高效變循環(huán)(efficient adaptive-loop method,EAL method)方法.該方法通過單/雙循環(huán)序列切換、最優(yōu)設(shè)計(jì)可靠度檢測(cè)和無效約束檢測(cè)刪除機(jī)制,在不犧牲計(jì)算精度的前提下提高了優(yōu)化效率,具體的迭代過程如圖10 所示.

圖10 EAL 方法的迭代過程[107]Fig.10 Iterative process of EAL method[107]

綜上,本章詳細(xì)介紹了基于雙循環(huán)、解耦、單循環(huán)和變循環(huán)策略的可靠度優(yōu)化方法的研究進(jìn)展,深入討論了各方法的優(yōu)勢(shì)與不足.從現(xiàn)有文獻(xiàn)中可以發(fā)現(xiàn),變循環(huán)方法整合了多種策略的優(yōu)勢(shì),可以最大程度兼顧計(jì)算精度、效率與穩(wěn)定性,因此更加適用于處理各類復(fù)雜工程問題.

4 面向非充分樣本的置信度優(yōu)化設(shè)計(jì)

概率模型通過概率分布函數(shù)對(duì)各種不確定性因素的變化范圍和可能性進(jìn)行描述,從而為結(jié)構(gòu)的可靠度分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)提供支撐.然而,受限于經(jīng)濟(jì)和時(shí)間成本等因素,在工程實(shí)踐中往往難以獲得足夠的樣本數(shù)據(jù)以構(gòu)建高精度的概率模型.非充分樣本數(shù)據(jù)將致使概率模型存在偏差(如圖11 所示),導(dǎo)致傳統(tǒng)可靠度分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果產(chǎn)生較大誤差,無法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)失效概率[108].因此,為提高結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)結(jié)果的置信度,開展精準(zhǔn)可靠度設(shè)計(jì)方法研究具有重要意義.

相關(guān)研究表明[109-111],合理的不確定性量化模型和參數(shù)選擇可以顯著提高可靠度分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)的精度.Hao 等[112-113]基于航天薄壁結(jié)構(gòu)制造特征數(shù)據(jù)庫(kù),建立了一種雙階段隨機(jī)場(chǎng)參數(shù)估計(jì)方法,實(shí)現(xiàn)了有限樣本下的幾何缺陷場(chǎng)高精度不確定性量化,從數(shù)據(jù)源頭提高了模型置信度水平.Ito 等[114]引入了認(rèn)知可靠度指數(shù)(epistemic reliability index,ERI)概念,通過將ERI 融入到目標(biāo)可靠度指標(biāo)來提高最優(yōu)設(shè)計(jì)的置信水平.隨著研究的深入,諸多學(xué)者發(fā)現(xiàn)貝葉斯方法可以更直觀有效地量化非充分樣本誘發(fā)的模型認(rèn)知不確定性[115-116].Gunawan 等[117]提出了一種適用于非充分樣本的可靠度優(yōu)化方法,采用貝葉斯二項(xiàng)式推理技術(shù)提升最優(yōu)設(shè)計(jì)結(jié)果的置信度.受上述研究啟發(fā),Moon 等[118-121]和Cho 等[122]建立了系列方法以實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)可靠度設(shè)計(jì),其核心思想在于利用貝葉斯理論對(duì)不確定性變量的分布類型和分布參數(shù)進(jìn)行精確量化,并利用置信水平衡量可靠度的準(zhǔn)確程度.相關(guān)研究推動(dòng)了精準(zhǔn)可靠度設(shè)計(jì)的快速發(fā)展.因此,本章將詳細(xì)介紹基于置信水平的非充分樣本精準(zhǔn)可靠度設(shè)計(jì)方法.

4.1 可靠度的置信水平

在非充分樣本集*X的基礎(chǔ)上,結(jié)構(gòu)可靠度的概率密度函數(shù)可表示為,其中Rs表示可靠度;ζ 表示指定的分布類型;ψ 表示指定的分布參數(shù).根據(jù)貝葉斯理論,此概率密度函數(shù)可進(jìn)一步寫為

其中,f(Rs|ζ,ψ,*X)表示給定分布類型ζ和分布參數(shù)ψ下的可靠度的PDF;表示給定分布參數(shù)和非充分樣本條件下,指定分布類型為 ζ 的概率.由于分布類型為離散變量,因此使用概率質(zhì)量函數(shù)對(duì)其進(jìn)行量化;為給定非充分樣本條件下,指定分布參數(shù) ψ 的概率.

對(duì)非充分樣本條件下可靠度的PDF 進(jìn)行積分,可得到結(jié)構(gòu)可靠度達(dá)到指定目標(biāo)值的概率,即結(jié)構(gòu)置信水平[122]

其中,CL為結(jié)構(gòu)目標(biāo)可靠度Rs的置信水平;FRs(·)表示Rs的累積分布函數(shù),其求解需對(duì)分布類型 ζ、分布參數(shù) ψ 和可靠度 ? 進(jìn)行積分.其中 ? ∈[0,1] .

進(jìn)行非充分樣本下的結(jié)構(gòu)置信度分析,需對(duì)分布參數(shù)的不確定性進(jìn)行量化.在正態(tài)假設(shè)下,均值μ和方差s分別服從正態(tài)和逆Gamma 分布,其概率密度函數(shù)可表示為

將RBDO 中的可靠度約束替換為可靠度的置信水平約束,可得到基于置信度的優(yōu)化設(shè)計(jì)(confidence based design optimization,CBDO)列式,如下

其中,為第j個(gè)約束的目標(biāo)可靠度;C為第j個(gè)約束可靠度的目標(biāo)置信水平.為了便于介紹,式(16)中將隨機(jī)參數(shù)省略.

4.2 置信度優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

蒙特卡洛模擬方法(Monte Carlo simulation,MCS)可以求解置信度約束[122],但其計(jì)算成本難以負(fù)擔(dān)(1012次函數(shù)調(diào)用).為提高計(jì)算效率,Jung 等[123]提出了可靠度度量方法(reliability measure approach,RMA).RMA 在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)參數(shù)空間中搜索設(shè)計(jì)點(diǎn),以最小可靠度的求解過程代替基于MCS 的置信水平評(píng)估,具體優(yōu)化列式為

其中,p為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)參數(shù)空間內(nèi)的分布參數(shù);Fsi(·)為分布方差的CDF;Fμi(·) 為分布均值的CDF.

RMA 可以提高非充分樣本下CBDO 的計(jì)算效率,但仍需通過MCS 方法計(jì)算迭代點(diǎn)的失效概率,致使3 層嵌套循環(huán)仍面臨計(jì)算效率低和穩(wěn)定性差等問題.為此,Wang 等[124]提出了一種基于單循環(huán)方法的置信度優(yōu)化框架(single-loop approach-based confidence-based design optimization,SLA-CBDO),該框架利用完全功能度量法、二階可靠度分析方法和單循環(huán)策略,將中層循環(huán)的置信水平評(píng)估和內(nèi)層循環(huán)的可靠度分析過程進(jìn)行融合,從而將原本3 層嵌套的置信度優(yōu)化框架降為兩層,實(shí)現(xiàn)計(jì)算效率的提升.

但Hao 等[125]研究發(fā)現(xiàn),SLA-CBDO 的近似策略在面對(duì)復(fù)雜問題時(shí)仍存在精度不足的問題.為此,Hao 等[125]提出了一種序列單循環(huán)可靠度優(yōu)化與置信度評(píng)估方法(sequential single-loop reliability optimization and confidence analysis method,SROCA method),其優(yōu)化過程如圖12 所示.該方法首次實(shí)現(xiàn)了3 層嵌套循環(huán)CBDO 的完全解耦并將難以求解的三重積分計(jì)算轉(zhuǎn)換為最危險(xiǎn)概率模型的優(yōu)化問題,大幅提高了計(jì)算效率.同時(shí)該方法還建立了基于矩積分規(guī)則的置信度極限狀態(tài)超曲面擬合方法,實(shí)現(xiàn)計(jì)算精度的同步提升.相比傳統(tǒng)方法,SROCA 的計(jì)算效率提升了2 個(gè)數(shù)量級(jí),同時(shí)達(dá)到了與MCS 相當(dāng)?shù)木人?解決了非充分樣本下置信度優(yōu)化難以實(shí)際應(yīng)用的困境.

圖12 SROCA 優(yōu)化過程示意圖Fig.12 Diagram of SROCA optimization process

5 結(jié)論與展望

本文回顧了結(jié)構(gòu)逆可靠度分析及優(yōu)化方法的發(fā)展歷程并對(duì)重點(diǎn)方法進(jìn)行了詳細(xì)論述.在可靠度分析方面,從其面臨的強(qiáng)非線性功能函數(shù)、多設(shè)計(jì)點(diǎn)和低失效概率3 個(gè)難點(diǎn)問題出發(fā),對(duì)現(xiàn)有逆可靠度分析方法進(jìn)行梳理和歸納.在可靠度優(yōu)化方面,圍繞雙循環(huán)、解耦、單循環(huán)和變循環(huán)方法,對(duì)不同算法的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行比較分析.進(jìn)一步,針對(duì)工程中常見的小樣本問題,重點(diǎn)介紹了基于可靠度置信水平的精準(zhǔn)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.總的來說,現(xiàn)有方法已具備處理復(fù)雜工程問題的能力,并已廣泛應(yīng)用于航空航天結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì),如圖13 所示.但正如《2021 中國(guó)的航天》白皮書中指出的,可重復(fù)使用運(yùn)輸系統(tǒng)和航班化發(fā)射新技術(shù)是未來航天結(jié)構(gòu)的發(fā)展方向.愈發(fā)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)與運(yùn)載器可重復(fù)使用需求對(duì)現(xiàn)有研究提出了新的挑戰(zhàn).因此,還需從以下3 方面開展系統(tǒng)研究.

圖13 逆可靠度分析與優(yōu)化方法的工程應(yīng)用Fig.13 Engineering applications of inverse reliability analysis and optimization methods

(1) 時(shí)變可靠度分析: 針對(duì)抗力性能和剛度退化誘發(fā)的結(jié)構(gòu)失效問題,發(fā)展數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的結(jié)構(gòu)壽命評(píng)估理論與方法;

(2) 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度分析: 針對(duì)復(fù)雜裝備系統(tǒng)多失效模式耦合導(dǎo)致系統(tǒng)失效風(fēng)險(xiǎn)難以準(zhǔn)確評(píng)估問題,發(fā)展基于概率圖模型的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度分析方法;

(3) 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度智能設(shè)計(jì): 為縮短復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)設(shè)計(jì)周期,發(fā)展基于智能學(xué)習(xí)模型的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度優(yōu)化方法.