基于離散模塊梁單元理論的超大型浮體在非穩(wěn)態(tài)載荷下的水彈性響應

陳永強, 宋 煒, 張顯濤

(1. 上海交通大學 海洋工程國家重點實驗室, 上海 200240;2. 中國水產科學研究院 東海水產研究所, 上海 200090;3. 上海交通大學 三亞崖州灣深海科技研究院, 海南 三亞 572024)

0 引 言

大型浮式結構物是一種水平尺度遠大于垂向尺度的特殊海洋工程結構物，一般依托于沿海島嶼設置，將對其附近區(qū)域產生巨大深刻的經濟和軍事影響[1]。大型浮式結構物的動力響應問題是一種水彈性問題，即一種慣性力、水動力和彈性變形力相互作用的力學行為。模態(tài)疊加法和直接法是處理水彈性問題的兩大主要方法。模態(tài)疊加法需要先對結構進行模態(tài)分析，確定最佳模態(tài)組合后對各模態(tài)進行疊加[2-3]。直接法則針對結構和流域均進行單元劃分，不借助模態(tài)函數(shù)直接求解水彈性方程，計算成本極大[4]。

近年來，一種全新的離散模塊-梁單元(Discrete-Module-Beam，DMB)水彈性方法[5]逐漸應用于海洋工程中。DMB方法將浮體劃分為若干子模塊，并引入梁單元連接各子模塊重心，結合三維線性勢流理論和梁的彎曲理論進行水彈性分析。諸多學者使用DMB方法解決若干海洋工程問題。ZHANG等[6]和SUN等[7]應用DMB方法準確預測某鉸接超大型浮體在規(guī)則波下的水彈性響應，展示采用DMB方法求解具有復雜連接形式的大型浮式結構物動力響應的便捷性；陳永強等[8]在DMB框架中提出針對鉸接的建模方法并求解鉸接超大型浮體在規(guī)則波下的水彈性響應；BAKTI等[9]將前進速度因素融入DMB框架中，研究其對水彈性響應的影響；JIN等[10]考慮某系泊大型浮式結構物，使用DMB方法解決連接體-浮體-錨鏈耦合系統(tǒng)的水彈性響應問題。

本文基于DMB時域分析模型，針對學界較為知名的MF-300超大型浮體，計算其在非穩(wěn)態(tài)載荷(貨物移動、飛機降落)下的水彈性響應，給出MF-300的位移響應和彎矩響應，方便其他學者進行對比。

1 離散模塊梁單元方法

1.1 水彈性方程建立

以箱式超大型浮體為例說明DMB水彈性方法的處理思路。如圖1所示，某箱式超大型浮體受到入射角為φ的波浪作用，浮體幾何尺寸為L×b×d，吃水為T。

圖1 離散模塊梁單元方法分析示例

DMB水彈性分析理論主要包含水動力分析和結構分析兩部分。在水動力分析方面，將超大型浮體劃分為若干子模塊，將每個子模塊視作剛體，基于三維勢流理論進行多剛體水動力分析，求解附加質量系數(shù)矩陣A(ω)、輻射阻尼系數(shù)矩陣B(ω)、靜水恢復力系數(shù)矩陣C和波浪激勵力矩陣FE。在結構分析方面，將每個子模塊抽象為一個位于相應重心處的集中質量，引入線性歐拉-伯努利梁連接相鄰集中質量，基于梁彎曲理論建立節(jié)點受力平衡方程，得到DMB方法框架下的頻域水彈性方程：

{-ω2[M+A(ω)]-iωB(ω)+(C+Kst)}ξ=FE

(1)

式中：ω為入射波頻率；M為結構質量矩陣；Kst為結構總剛度陣，ξ為集中質量的六自由度位移。需要注意的是，N個子模塊對應N個集中質量，但為了后續(xù)剛度陣的推導，定義左側自由端為集中質量0，右側自由端為集中質量N+1。

基于矩形截面規(guī)則均勻梁剛度陣的理論解，按照有限元標準程序組裝總結構剛度陣Kst(6N×6N)，具體細節(jié)參見ZHANG等[6]。設梁單元e連接集中質量i與j，則梁單元兩端的結構變形力Fst，i和Fst，j與2個集中質量的位移ξi和ξj可用梁單元e的結構剛度陣ke連接：

(2)

式中：ke，(i，i)、ke，(i，j)、ke，(j，i)和ke，(j，j)為其子矩陣，維度均為6×6，其中，0≤i

圖2 梁單元e0示例

因此，式(2)變?yōu)?/p>

(3)

將式(3)展開可得

0=k0，(0，0)ξ0+k0，(0，1)ξ1?ξ0=
-(k0，(0，0))-1k0，(0，1)ξ1

(4)

Fst，1=-k0，(1，0)ξ0-k0，(1，1)ξ1

(5)

將式(4)代入式(5)計算可得：

(6)

同樣，對于梁單元eN可得：

(7)

ZHANG等[6]基于Cummins方程將DMB方法擴展至時域，提出處理非穩(wěn)態(tài)集中力的準靜態(tài)位移增量法。假設超大型浮體受集中力fc(t)作用，則超大型浮體的時域運動方程為

(8)

式中：A(∞)為無窮大頻率下結構的附加質量；Γ(t)為時延函數(shù)，表達流體的記憶效應。需要注意的是，式(8)左側是針對所有子模塊重心建立的矩陣方程，而右側的集中力僅為實數(shù)。因此式(8)使用“←”符號連接，表示右側激勵引起左側的水動力響應。

ZHANG等[6]提出準靜態(tài)位移等效法，假設作用在每個集中質量上的等效分布力FUN(t)在任意時刻引起的水彈性響應與集中力fc(t)相同，這一轉變使式(8)變?yōu)?/p>

(9)

圖3 集中力等效為均布載荷的過程示例

(10)

(11)

(C+Kst)Δξs(tn)←fc(tn)

(12)

(C+Kst)Δξs(tn)=FUN(tn)

(13)

(14)

1.2 位移響應還原

圖4為離散之后的超大型浮體結構，結構被劃分為N個子模塊，由此產生N+1個交界面；每個子模塊被抽象為一個集中質量(圖4中節(jié)點)；每個梁單元均具有左右2個端面，記為L(left)和R(right)。

圖4 大型浮式結構物離散模型示例

求解式(1)或式(9)可獲得所有集中質量位置的位移響應，采用子梁法還原梁單元上任意位置處的位移響應。如圖5所示，任一給定位置xany位于梁單元e上，該梁單元連接集中質量i和j，具有端面p和q，集中質量i(j)與端面p(q)位移相同。位置xany與端面p構成子梁f，根據(jù)子梁f的剛度陣可構建以下方程：

(15)

圖5 子梁法還原位移響應示例

進一步運算可得：

ξany=(kf，(p，any))-1(Fp-kf，(p，p)ξp)

(16)

Fany=kf，(any，p)ξp+kf，(any，any)(kf，(p，any))-1·

(Fp-kf，(p，p)ξp)

(17)

式(16)即給出了任意位置處的位移響應。

1.3 彎矩響應還原

Kstξ(t)=fc(t)+Fa(t)+Fadm(t)+
Fdamp(t)+G+B(t)

(18)

將超大型浮體視作無質量、無支座支撐和彈性基礎的兩端自由梁，將外載荷加載過程中所有作用在結構上的力均視作外力。求解結構力響應的本質就是對外載荷進行積分，當超大型浮體受到非穩(wěn)態(tài)集中力時，外載荷可分為以下2個部分：

(19)

式中：q1(t)的分布可準確求解，q2(t)則相反。大型浮式結構物的剪力Nstr和彎矩Mstr分布即為兩者引起的疊加：

(20)

Nq1(t)和Mq1(t)的求解步驟如下。如圖6所示，以ΔL為間距沿浮體縱向取N″個位置點，每個位置點的位移均可通過式(16)求解。設ξj(t)=[ξj，1(t)ξj，2(t)ξj，3(t)ξj，4(t)ξj，5(t)ξj，6(t)]T為位置點j的位移，則作用于位置點j的重力Gj(t)和浮力Bj(t)為

(21)

圖6 Nq1(t)和Mq1(t)的求解思路示例

式中：ρstru為浮體密度；ρwater為海水密度。式(21)給出作用于任意位置點的重力和浮力，此外，假設重力和浮力在相鄰位置點間呈線性變化。當ΔL變小時，即可得到重力分布曲線和浮力分布曲線，非穩(wěn)態(tài)集中力fc(t)作用于xc處。

基于結構任意位置處位移求解所受浮力B(t)，結構重力G(t)分布顯然已知，因此兩者在任意位置處引起的剪力Nq1，any(t)和彎矩Mq1，any(t)為

(22)

Nq2(t)和Mq2(t)的求解步驟如下。對于首端梁單元e0，q2(t)在位置點1必然引起剪力彎矩響應，但由于位置點1為自由端，q1(t)和q2(t)在該位置引起的結構力之和必為零。位置點N″亦是如此。

結合式(20)可得：

(23)

相應地，式(3)變?yōu)?/p>

(24)

可得：

(25)

相似地，

(26)

(27)

(28)

M(x)=a+bx+cx2+dx3

(29)

則必有

(30)

求解式(30)中4個待定系數(shù)，進而求解任意位置處的彎矩。最后，按式(20)進行疊加即可獲得超大型浮體在非穩(wěn)態(tài)集中力作用下任意時刻的結構力分布。

2 模型驗證與對比

研究對象為日本學者ENDO等[11]提出的MF-300超大型浮體，其真實尺寸如表1所示。眾多學者對MF-300進行詳細的試驗研究和數(shù)值研究。在使用DMB方法時，將浮體分為8個子模塊建立水彈性方程；將浮體劃分為300個子模塊實施準靜態(tài)位移等效法求解等效分布力FUN；采用4階龍格-庫塔法求解時域水彈性方程(9)(具體見ZHANG等[6])。

表1 MF-300真實尺寸及環(huán)境參數(shù)

2.1 貨物移動

圖7為ENDO等[11]進行的貨物移動試驗，試驗縮尺比為30.77。模型先靜止于靜水面，以0.125L為間距共取9個測點Z1～Z9(圖中未完全展示)，記錄貨物移動過程中Z1、Z5和Z7等3個測點的垂向位移變化。一個0.9 kg重物從0.19L處，以0.61 m/s的速度均勻移動至0.9L位置。

圖7 貨物移動試驗示例

貨物移動過程中的位移模擬值與試驗值對比如圖8所示?？傮w來看，DMB的模擬結果與試驗值吻合較好，但是與試驗值相比呈現(xiàn)出較大的波動，一個可能的原因是試驗值進行濾波處理，過濾了高頻成分。

圖8 貨物移動工況下試驗值與模擬值對比

在彎矩響應方面，目前未見學者給出該工況下彎矩響應情況，因此僅給出DMB方法的計算結果。圖9給出不同時刻MF-300上的彎矩分布曲線，水平輔助線表示0刻度線，豎直輔助線表示重物位置。由圖9可知，彎矩分布曲線在兩自由端為零，且與水平輔助線相切(剪力為零)。彎矩在重物位置存在突變，這也是合理的。

圖9 貨物移動過程中不同時刻彎矩分布曲線

2.2 飛機降落

在計算飛機降落工況時，采用以下假設[12]：

(1)將飛機視作沿浮體縱向中線移動的質點，對浮體僅有垂向力作用；

(2)在降落過程中飛機所受升力與速度的平方成正比；

(3)不考慮飛機與浮體的耦合作用，忽略由飛機自身垂向運動引起的垂向力變化。

基于上述假設，飛機降落載荷被理想化為一個作用位置與載荷大小均隨時間變化的豎直方向的集中力。

圖10給出飛機降落過程：超大型浮體MF-300的飛機跑道設置于縱向中部位置處，且在飛機降落前保持靜止；飛機重達3 t，以150 km/h速度降落于浮體上0.19L位置處，滑行過程中的加速度為-5.79 m/s2；計算可得飛機滑行時間為7.2 s，滑行距離為150 m，最終靜止于浮體0.69L處?；诩僭O，飛機降落載荷如圖11所示。需要強調的是，在ENDO[12]的計算中，跑道平行于縱向中線且距離其3.3 m。

圖10 飛機降落過程示例

圖11 飛機降落載荷時歷(基于本節(jié)假設，將飛機降落載荷理想化為垂向集中力)

圖12給出不同時刻下浮體位移響應曲線的計算值與ENDO[12]結果的對比，兩者吻合度非常好。其中豎直細實線表示飛機位置，注意飛機在7.2 s時刻停留在0.69L(207 m)位置處并保持靜止。

圖12 飛機降落過程中不同時刻位移分布曲線對比

圖13給出不同時刻(對應圖12)下的彎矩分布曲線，與貨物移動工況類似，DMB方法計算的結果反映了集中力作用引起的彎矩突變。其中，水平細實線為零刻度線，豎直細實線為飛機位置。

圖13 不同時刻(對應圖12)彎矩分布曲線對比

3 結 論

使用DMB水彈性時域分析方法計算超大型浮體MF-300在貨物移動和飛機降落兩種非穩(wěn)態(tài)激勵下的水彈性響應，尤其是提出改進后的三次曲線插值法計算彎矩響應分布。改進方法可體現(xiàn)集中力作用引起的彎矩突變，且滿足彎矩分布曲線在2個自由端函數(shù)值和一階導數(shù)值(即剪力)均為零，拓展三次曲線插值法的應用范圍。所得位移響應和試驗值與其他學者模擬值吻合較好。本文也給出超大型浮體在非穩(wěn)態(tài)加載過程中的彎矩分布曲線，供其他方法對比。