板結(jié)構(gòu)多模態(tài)動力吸振設(shè)計方法

彭 磊, 鄧子偉, 劉 鵬, 孫啟航, 張保成

(中國海洋大學(xué) 工程學(xué)院 機(jī)電工程系, 山東 青島 266404)

0 引 言

海洋平臺的振動噪聲會影響平臺的安全性和工作人員的舒適性，對平臺的正常作業(yè)帶來多方面的挑戰(zhàn)，如何有效實現(xiàn)平臺的減振降噪是當(dāng)前專家學(xué)者廣泛關(guān)注的問題[1]。海洋平臺是由船體外板、甲板、艙壁等組成的復(fù)雜板架結(jié)構(gòu)，進(jìn)行板結(jié)構(gòu)的振動控制研究，有助于化繁為簡地探索平臺復(fù)雜多模態(tài)的振動演化機(jī)制。

針對平臺艙室、甲板等板結(jié)構(gòu)常用的減振方法有加筋加肋[2]、敷設(shè)阻尼材料[3]、安裝動力吸振器[4]等。加筋加肋可改善結(jié)構(gòu)頻率達(dá)到頻率避讓的目的，但改善結(jié)構(gòu)的處理方式僅能調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)的頻率，結(jié)構(gòu)的共振特性仍然存在，對于寬頻能量引起的振動存在局限性。敷設(shè)黏彈性阻尼材料可耗散振動能量、明顯降低結(jié)構(gòu)共振峰的響應(yīng)，但阻尼材料的減振性能與模態(tài)應(yīng)變能相關(guān)，對低階模態(tài)振動的抑制效果并不理想[5]。動力吸振器具有結(jié)構(gòu)簡單、可靠性強(qiáng)、無需外界能源等優(yōu)點，應(yīng)用更為廣泛。ZHU等[6]研究抑制薄板振動的分布式動力吸振器的參數(shù)優(yōu)化問題，推導(dǎo)得到分布式動力吸振器的參數(shù)優(yōu)化公式，在此基礎(chǔ)上采用分布式吸振器對薄板前三階模態(tài)進(jìn)行振動控制。王克肖等[7]推導(dǎo)附加動力吸振器的薄板結(jié)構(gòu)聲輻射效率計算方法，研究動力吸振器對薄板聲輻射效率的調(diào)控作用。高聰?shù)萚8]針對海洋平臺上層建筑低頻線譜的振動控制難題，以海洋平臺板架結(jié)構(gòu)為例研究分布式動力吸振器的布放位置、數(shù)量對減振效果的影響規(guī)律。然而海洋平臺中的板結(jié)構(gòu)大多為對稱結(jié)構(gòu)，存在頻率相同或相近的密集模態(tài)，目前對密集模態(tài)主導(dǎo)的多個模態(tài)耦合振動的吸振研究較少，關(guān)于動力吸振器設(shè)計方法的系統(tǒng)性研究還不夠深入。

本文基于上述研究中存在的不足，建立薄板與動力吸振器的耦合模型，從理論上研究動力吸振器的質(zhì)量比、阻尼比、頻率比和安裝位置等4個參數(shù)的設(shè)計問題。在此基礎(chǔ)上，形成一套用于板結(jié)構(gòu)多模態(tài)減振的動力吸振器設(shè)計方法，將該方法應(yīng)用于艙室模型的振動控制，獲得的仿真結(jié)果可驗證平臺板結(jié)構(gòu)動力吸振方法的有效性。

1 理論分析

1.1 分析模型

薄板與單個動力吸振器耦合的系統(tǒng)模型如圖1所示。

圖1 安裝動力吸振器的薄板模型

薄板受到簡諧激勵f(t)，動力吸振器的質(zhì)量、阻尼和剛度分別為m1、c1和k1。根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)，該系統(tǒng)的運動方程為

(1)

式中：M、C、K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；x(t)為系統(tǒng)的振動位移。激勵力向量F(t)的表達(dá)式為

(2)

式中：Φ=[φ1(x，y)，φ2(x，y)，φ3(x，y)，…，φJ(rèn)(x，y)]T為薄板的模態(tài)振型向量，其中J為薄板參與振動的模態(tài)數(shù)量。

當(dāng)一個結(jié)構(gòu)的振動模態(tài)在目標(biāo)頻率范圍內(nèi)可很好地分離時，振動響應(yīng)通常由單個模態(tài)控制[9]。假設(shè)薄板的振動響應(yīng)由其第i階模態(tài)控制，這時系統(tǒng)的運動方程可簡化為

(3)

式中：Mi、Ci、Ki分別為薄板第i階模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼和模態(tài)剛度；m1、c1、k1分別為動力吸振器的質(zhì)量、阻尼和剛度；x1為動力吸振器的位移；φi為薄板第i階模態(tài)的振型；φil為薄板第i階模態(tài)振型在動力吸振器安裝位置處的幅值。

將式(3)進(jìn)行拉普拉斯變換并求解得到第i階模態(tài)位移響應(yīng)的復(fù)振幅為

(4)

式中：Xi(s)為xi(t)的拉普拉斯變換；Fi，g(s)=φiF(s)為廣義力在第i階模態(tài)的分量，其中F(s)為f(t)的拉普拉斯變換。

令s=jω，其中ω為激勵力頻率。整理可以得到位移頻響函數(shù)為

(5)

對式(5)求導(dǎo)可得到速度響應(yīng)和加速度響應(yīng)的頻響函數(shù)為

(6)

為便于研究，引入5個無量綱參數(shù)：

(7)

式中：μ為動力吸振器質(zhì)量與薄板第i階模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量之比；f為動力吸振器頻率與薄板第i階模態(tài)固有頻率的比值；g為激勵力頻率與薄板第i階模態(tài)固有頻率的比值；ζi為薄板第i階模態(tài)的阻尼比；ζk為動力吸振器的阻尼比；ω1為動力吸振器的固有頻率；ωi為薄板第i階模態(tài)的固有頻率。

將式(7)代入式(5)和式(6)，位移、速度和加速度分別用下角標(biāo)di、ve和ac區(qū)分，得到第i階模態(tài)3個響應(yīng)量的歸一化頻響函數(shù)分別為

(8)

式中：

(9)

1.2 動力吸振器最優(yōu)參數(shù)

動力吸振器的減振性能與其參數(shù)密切相關(guān)，安裝在連續(xù)結(jié)構(gòu)上的動力吸振器共有4個參數(shù)需要設(shè)計，分別是動力吸振器的質(zhì)量、阻尼、剛度和安裝位置。其中，質(zhì)量根據(jù)主系統(tǒng)的質(zhì)量來選定，通常指定為與主系統(tǒng)質(zhì)量的比值，表示為質(zhì)量比μ。質(zhì)量確定后，剛度可由動力吸振器的固有頻率得到，頻率指定為與主系統(tǒng)固有頻率的比值，表示為頻率比f。阻尼則以臨界阻尼比ζk表示。質(zhì)量比、阻尼比和頻率比的表達(dá)式在式(7)中已給出。

(1)動力吸振器的安裝位置。為便于討論，忽略薄板的阻尼。未安裝動力吸振器時，薄板的位移頻響函數(shù)為

(10)

式中：KP和MP分別為薄板的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，表達(dá)式分別為

(11)

根據(jù)式(11)，式(10)還可寫為

(12)

安裝動力吸振器后，薄板的位移頻響函數(shù)為

(13)

式中：m1、k1、c1分別為動力吸振器的質(zhì)量、剛度和阻尼；(xa，ya)為動力吸振器安裝位置的坐標(biāo)。

根據(jù)式(10)和式(12)，式(13)可重新寫為

(14)

式中：ωa為動力吸振器的頻率。

將薄板第i階模態(tài)作為目標(biāo)模態(tài)，假設(shè)ωi-1、ωi和ωi+1為相鄰模態(tài)的固有頻率。若ωi-1、ωi和ωi+1的值相差較大，當(dāng)激勵力頻率ω在ωi附近時，有：

(15)

保持其他參數(shù)不變，薄板的振動響應(yīng)由第i階模態(tài)主導(dǎo)，目標(biāo)頻率處的振動不受其他模態(tài)的影響，這時第i階模態(tài)為離散模態(tài)。對于離散模態(tài)，動力吸振器安裝在目標(biāo)模態(tài)振型的幅值最大點效果最佳[10]。

若ωi-1、ωi和ωi+1的值相近，則3個模態(tài)為密集模態(tài)，當(dāng)激勵力頻率ω在ωi附近時，有：

(16)

這時薄板的振動響應(yīng)由3個密集模態(tài)共同主導(dǎo)，僅針對第i階模態(tài)設(shè)置吸振器，吸振器也會與其他兩階模態(tài)耦合振動，又由于振型的不同，動力吸振器的參數(shù)對于其他兩階模態(tài)不是最優(yōu)參數(shù)，會產(chǎn)生不利振動，導(dǎo)致達(dá)不到理想的減振效果。

當(dāng)薄板包含阻尼時，安裝動力吸振器的薄板的位移頻響函數(shù)為

(17)

這時薄板的模態(tài)為復(fù)模態(tài)，阻尼的引入并不會影響薄板的固有頻率，可用極點的虛部近似固有頻率，上述結(jié)論仍然適用于阻尼薄板[11]。

(2)質(zhì)量比的選定。已有研究[12]表明質(zhì)量比越大，動力吸振器的減振性能越強(qiáng)。但質(zhì)量比并非越大越好，隨著質(zhì)量比的增大，主系統(tǒng)響應(yīng)降低的幅度有限，在設(shè)計質(zhì)量比時需要綜合考慮吸振性能與經(jīng)濟(jì)性。

(3)頻率比和阻尼比。這2個參數(shù)可通過優(yōu)化設(shè)計公式得到，位移和加速度是平臺減振常用的目標(biāo)響應(yīng)量，吸振的目標(biāo)函數(shù)為

(18)

當(dāng)位移為目標(biāo)響應(yīng)量時，最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比的優(yōu)化公式[13]分別為

(19)

和

(20)

當(dāng)加速度為目標(biāo)響應(yīng)量時，最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比的優(yōu)化公式[13]分別為

(21)

和

(22)

2 板結(jié)構(gòu)動力吸振方法

根據(jù)第1節(jié)的研究對板結(jié)構(gòu)動力吸振方法的流程進(jìn)行總結(jié)，該方法可分為振動特性分析、受控模態(tài)與目標(biāo)響應(yīng)量確定、動力吸振器的安裝位置和數(shù)量確定、動力吸振器最優(yōu)參數(shù)確定、吸振效果驗證以及補(bǔ)正設(shè)計共6個步驟。動力吸振器設(shè)計方法的流程圖如圖2所示。

圖2 板結(jié)構(gòu)動力吸振方法流程圖

各個步驟的說明如下：

(1)振動特性分析。振動特性分析是對板結(jié)構(gòu)的自由振動和受迫振動進(jìn)行分析。自由振動分析是為了得到板結(jié)構(gòu)的固有頻率、模態(tài)振型和模態(tài)質(zhì)量等模態(tài)參數(shù)。受迫振動分析是根據(jù)板結(jié)構(gòu)實際工況施加激勵力，確定考核區(qū)域得到板結(jié)構(gòu)的頻響曲線，獲得結(jié)構(gòu)的動態(tài)振動特性。

(2)受控模態(tài)與目標(biāo)響應(yīng)量確定。在受迫振動特性分析的基礎(chǔ)上，根據(jù)實際振動控制要求，確定待控制的目標(biāo)模態(tài)和響應(yīng)量。響應(yīng)量包括位移、速度和加速度等3種。平臺通常選擇位移和加速度作為目標(biāo)響應(yīng)量。其中：位移響應(yīng)會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的疲勞、變形、碰撞或斷裂；加速度響應(yīng)則與人體舒適度相關(guān)。

(3)動力吸振器的安裝位置和數(shù)量確定。對于離散模態(tài)，應(yīng)選擇目標(biāo)模態(tài)的振型幅值最大點作為動力吸振器的安裝位置。對于密集模態(tài)，吸振器的最佳安裝位置應(yīng)使目標(biāo)模態(tài)的振型幅值盡可能大，使其他頻率相近模態(tài)的振型幅值盡可能小。動力吸振器的數(shù)量由其安裝位置決定。

(4)動力吸振器最優(yōu)參數(shù)確定。動力吸振器的安裝位置確定后，還差動力吸振器的質(zhì)量、頻率和阻尼即可得到所需動力吸振器的全部參數(shù)。吸振器的常用質(zhì)量比范圍為0～0.2[14]，頻率比和阻尼比可通過優(yōu)化設(shè)計公式計算得到。

(5)吸振效果驗證。設(shè)計完動力吸振器后需要通過數(shù)值計算或有限元仿真對吸振器的減振結(jié)果進(jìn)行檢驗，若吸振效果不理想則需要后續(xù)的補(bǔ)正設(shè)計。

(6)補(bǔ)正設(shè)計。補(bǔ)正設(shè)計是在現(xiàn)有動力吸振器的基礎(chǔ)上對其參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，先對比附加吸振器后形成的2個共振峰的相對偏差：若吸振器2個共振峰相對偏差較小，需要增大吸振器的質(zhì)量；若吸振器2個共振峰相對偏差較大，對動力吸振器的頻率比和阻尼比進(jìn)行調(diào)整可提升減振效果。頻率比的增大會使2個共振峰中低階的共振峰增大，使高階的共振峰減小；頻率比的減小會使高階的共振峰增大，使低階的共振峰減小；阻尼比的增大會降低2個共振峰的峰值，但會降低2個共振峰之間頻帶的減振效果[15]?？筛鶕?jù)此規(guī)律對2個共振峰進(jìn)行調(diào)整。

3 艙室動力吸振應(yīng)用

第2節(jié)對板結(jié)構(gòu)中動力吸振器的設(shè)計流程進(jìn)行總結(jié)，形成了板結(jié)構(gòu)動力吸振方法。因此，基于該方法，以一個艙室模型為具體應(yīng)用對象，通過對艙室的艙壁進(jìn)行振動控制來驗證其有效性。

3.1 艙室模型

艙室的結(jié)構(gòu)形式參考文獻(xiàn)[3]，艙室的整體尺寸為長3.0 m、寬2.7 m、高2.5 m。艙壁的厚度為0.006 m。在艙室的6個艙壁內(nèi)面采用加強(qiáng)肋結(jié)構(gòu)。加強(qiáng)肋的高度為0.1 m，其截面為0.1 m×0.01 m的矩形。加強(qiáng)肋的尺寸和分布如圖3所示。

圖3 艙室內(nèi)部加強(qiáng)肋的尺寸和分布

按照上述尺寸進(jìn)行建模，艙室模型如圖4所示。艙室材料均選用結(jié)構(gòu)鋼，彈性模量E=2×1011Pa，密度ρ=7 850 kg/m3，泊松比μ=0.3。艙室的阻尼比設(shè)置為0.01。

圖4 艙室模型

3.2 艙室振動特性分析

對艙室的自由振動進(jìn)行分析。單元尺寸設(shè)置為0.1 m，艙室有限元模型共包含單元50 610個。艙室底部設(shè)置固定支撐。分析得到艙室前6階模態(tài)的固有頻率和振型如圖5所示。

圖5 艙室前6階自由振動模態(tài)及振型

將艙室頂部的壁板作為振動考察區(qū)域，對頂部艙壁的受迫振動進(jìn)行分析。在頂部艙壁的法線方向施加大小為1 000 N的簡諧激勵力。由于艙室前6階模態(tài)的頻率都在50 Hz以內(nèi)，因此在0～50 Hz范圍內(nèi)對激勵力進(jìn)行掃頻，掃頻間隔為0.2 Hz。激勵點和考核點位置如圖6所示。

圖6 激勵點和考核點在頂部艙壁的位置

考核點的頻響曲線如圖7所示，共有5個共振峰，即有5階模態(tài)參與了振動。根據(jù)自由振動的分析結(jié)果，這5階模態(tài)分別為第一、二、四、五、六階模態(tài)。由于考核點和激勵點在第三階模態(tài)振型的節(jié)線上，因此沒有激發(fā)第三階模態(tài)的振動。在參與振動的5階模態(tài)中，第一、五、六階模態(tài)的共振峰相距較遠(yuǎn)，可視作離散模態(tài)。第二、四階頻率相近，是密集模態(tài)。下文根據(jù)板結(jié)構(gòu)動力吸振方法設(shè)計動力吸振器對參與振動的5階模態(tài)進(jìn)行振動控制。

圖7 艙壁考核點頻響曲線

3.3 動力吸振器設(shè)計及吸振效果驗證

先確定吸振器的安裝位置。第一、五、六階模態(tài)為離散模態(tài)，因此吸振器安裝在各自模態(tài)的振型幅值最大點。第二、四階模態(tài)為密集模態(tài)，針對其中一階模態(tài)的吸振器的安裝位置應(yīng)盡可能避開另一階模態(tài)的影響。綜合分析設(shè)置吸振的安裝位置如圖8所示。針對第一、二、四、五、六階模態(tài)的動力吸振器分別為DVA1、DVA2、DVA4、DVA5和DVA6。

圖8 動力吸振器安裝位置

安裝位置確定后，計算動力吸振器的最優(yōu)參數(shù)還需要目標(biāo)模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量和動力吸振器安裝位置處目標(biāo)模態(tài)振型的幅值大小。模態(tài)質(zhì)量和振型幅值可在自由振動分析中得到。吸振器的質(zhì)量、數(shù)量以及根據(jù)參數(shù)設(shè)計公式得到的吸振器剛度和阻尼如表1所示。

表1 動力吸振器最優(yōu)參數(shù)

安裝動力吸振器前后，艙壁振動的頻率響應(yīng)對比曲線如圖9所示。第一階模態(tài)的位移響應(yīng)降低90.6%(從11.24 mm至1.05 mm)，加速度響應(yīng)降低92.2%(從214.70 m/s2至16.62 m/s2)。第二階模態(tài)的位移響應(yīng)降低35.9%(從1.03 mm至0.66 mm)，加速度響應(yīng)降低32.4%(從31.73 m/s2至21.44 m/s2)。第四階模態(tài)的位移響應(yīng)降低61.2%(從1.70 mm至0.66 mm)，加速度響應(yīng)降低63.4%(從58.63 m/s2至21.44 m/s2)。第五階模態(tài)的位移響應(yīng)降低51.5%(從0.66 mm至0.32 mm)，加速度響應(yīng)降低48.3%(從34.71 m/s2至17.95 m/s2)。第六階模態(tài)的位移響應(yīng)降低89.7%(從5.61 mm至0.58 mm)，加速度響應(yīng)降低88.9%(從488.90 m/s2至54.25 m/s2)。由結(jié)果可知，采用本方法設(shè)計的動力吸振器取得了理想的減振效果，有效控制艙壁多個模態(tài)的振動。尤其是第二、四階模態(tài)所處的頻段，動力吸振器在抑制2個共振峰振動的同時并沒有引發(fā)其他不良振動，這驗證了所總結(jié)的板結(jié)構(gòu)動力吸振方法的有效性。

圖9 艙壁減振前后頻率響應(yīng)對比曲線

3.4 補(bǔ)正設(shè)計

在第3.3節(jié)中，所設(shè)計的動力吸振器取得了良好的減振效果，如果想要提升減振效果，可對動力吸振器進(jìn)行補(bǔ)正設(shè)計，通過調(diào)整動力吸振器的參數(shù)來提升其吸振性能。以第一階和第五階模態(tài)的位移響應(yīng)為例進(jìn)行說明。

由圖9(a)可知，第一階和第五階模態(tài)新產(chǎn)生的共振峰并非等高，第一階模態(tài)的左側(cè)共振峰偏高，第五階模態(tài)的右側(cè)共振峰偏高。這是由于針對第一階和第五階模態(tài)的動力吸振器安裝位置相同，且安裝位置都為各自模態(tài)振型的幅值最大點。盡管兩者為離散模態(tài)，但動力吸振器相對非目標(biāo)模態(tài)相當(dāng)于一個附加質(zhì)量，會影響艙室的模態(tài)，從而導(dǎo)致2個共振峰的高度不同。此外，第五階模態(tài)參與振動的程度小，其共振峰較低，右側(cè)非共振峰處的振動也會對其產(chǎn)生影響，這也是其右側(cè)共振峰偏高的原因。

根據(jù)補(bǔ)正設(shè)計方法，調(diào)節(jié)頻率比可調(diào)整2個共振峰的相對大?。簩τ诘谝浑A模態(tài)，動力吸振器的頻率比應(yīng)減??；對于第五階模態(tài)，動力吸振器的頻率比應(yīng)增大。補(bǔ)正后動力吸振器的參數(shù)如表2所示。

表2 補(bǔ)正后的動力吸振器參數(shù)

補(bǔ)正前后減振效果的對比如圖10所示。第一階和第五階模態(tài)的位移響應(yīng)分別降低91.5%(從11.24 mm至0.95 mm)和57.6%(從0.66 mm至0.28 mm)。對比補(bǔ)正前的動力吸振器，減振效果分別提升0.9個百分點和6.1個百分點，由此可見，通過補(bǔ)正設(shè)計可在一定程度上提高動力吸振器的減振效果。

圖10 補(bǔ)正設(shè)計前后減振效果對比

4 結(jié) 論

根據(jù)板結(jié)構(gòu)的頻響公式從理論上探討多個模態(tài)耦合振動時動力吸振器的最佳安裝位置，分析動力吸振器質(zhì)量比的設(shè)計問題，給出動力吸振器阻尼比和頻率比的優(yōu)化設(shè)計公式，形成一套用于板結(jié)構(gòu)減振的動力吸振器的設(shè)計方法，該方法共有6個步驟，分別是：振動特性分析、受控模態(tài)與目標(biāo)響應(yīng)確定、動力吸振器的安裝位置和數(shù)量確定、吸振器最優(yōu)參數(shù)確定、吸振效果驗證、補(bǔ)正設(shè)計。將該方法應(yīng)用于艙室模型的振動控制，相關(guān)結(jié)論如下：

(1)動力吸振器對密集模態(tài)的振動抑制效果差是因為這時振動響應(yīng)由多個模態(tài)共同主導(dǎo)。吸振器的最佳安裝位置應(yīng)使目標(biāo)模態(tài)振型的幅值盡可能大，使其他模態(tài)振型的幅值盡可能小。

(2)在艙壁的減振控制中，第一階模態(tài)減振效果最佳，其位移和加速度響應(yīng)分別降低90.6%和92.2%。這驗證了所總結(jié)的板結(jié)構(gòu)動力吸振方法的有效性。

(3)對動力吸振器進(jìn)行補(bǔ)正設(shè)計后，針對艙壁第一階和第五階模態(tài)位移響應(yīng)的減振效果分別提升0.9個百分點和6.1個百分點，補(bǔ)正設(shè)計可提升動力吸振器的性能。