3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差建模及其分析

王 瑞，彭高磊，郭祥雨，鐘詩勝

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)（威海）海洋工程學(xué)院，山東 威海 264209；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001）

1 引言

大型艦船用螺旋槳葉片是典型的自由復(fù)雜曲面，其表面加工精度和質(zhì)量直接影響螺旋槳的工作性能，因此對其加工裝備的末端輸出精度提出了較高的要求。采用XYZ-3RPS型六軸臥式混聯(lián)機(jī)床加工葉片，可以實(shí)現(xiàn)末端刀具位姿的靈活調(diào)整，但由于3RPS并聯(lián)部分靜態(tài)誤差較為顯著，使得混聯(lián)機(jī)床末端精度難以保證［1］。因此，對3RPS并聯(lián)部分進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定研究，以實(shí)現(xiàn)在不提高混聯(lián)機(jī)床加工制造成本的基礎(chǔ)上大幅提高其運(yùn)動(dòng)精度，具有重要意義。而誤差建模作為運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定的首要條件和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，直接影響到參數(shù)辨識(shí)的精度與效率。

空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定的大多數(shù)文獻(xiàn)集中于6-UPS、3-PRS型并聯(lián)機(jī)構(gòu)［2-5］，針對3RPS型并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定的文獻(xiàn)并不太多，且按照誤差建模方法的不同主要可以分為三類：基于位置逆解的誤差建模、基于位置正解的誤差建模，以及基于誤差雅可比矩陣的誤差建模。文獻(xiàn)［6-7］以并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置逆解為基礎(chǔ)來建立誤差模型，通過最小二乘等數(shù)學(xué)優(yōu)化方法解出誤差參數(shù)，該方法對桿長誤差的識(shí)別效果較好，對其他誤差源識(shí)別性較差，且需要獲取末端的全位姿信息。文獻(xiàn)［8］基于控制變量的思想，通過依次賦予某項(xiàng)結(jié)構(gòu)參數(shù)一單位誤差，而保持其它結(jié)構(gòu)參數(shù)為理論值，將單誤差機(jī)構(gòu)通過位置正解所得的末端位姿與理想位姿之差作為誤差雅可比矩陣中的對應(yīng)元素，從而建立末端測量方式誤差與結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差之間的映射模型；用該方法辨識(shí)出的結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差進(jìn)行補(bǔ)償，只能保證在局部工作空間中具有較好的精度。文獻(xiàn)［9-10］均采用矢量微分法，通過將誤差閉環(huán)方程向驅(qū)動(dòng)支鏈與約束方向投影，建立了3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差映射模型，但尚未考慮轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線的方向誤差，且后者參數(shù)解耦移動(dòng)副軸線與轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線間的垂直度誤差和鉸鏈位置誤差考慮不夠完備。

為了提高XYZ-3RPS六軸臥式混聯(lián)機(jī)床中并聯(lián)部分的運(yùn)動(dòng)學(xué)精度，在前人研究方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，建立了3RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)包含轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線方向誤差等27 項(xiàng)結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差對末端位姿誤差的映射模型；通過仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了誤差模型的精度和有效性，為3RPS等少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差建模和運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定提供理論依據(jù)。

2 3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)

2.1 3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)分析

XYZ-3RPS六軸臥式混聯(lián)機(jī)床是在XYZ型串聯(lián)機(jī)構(gòu)的執(zhí)行末端平臺(tái)安裝3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，在并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)中心安裝主軸刀具所構(gòu)成。XYZ-3RPS六軸臥式混聯(lián)機(jī)床的實(shí)物模型，如圖1所示。

圖1 XYZ-3RPS六軸臥式混聯(lián)機(jī)床Fig.1 XYZ-3RPS Six-Axis Horizontal Hybrid Machine Tool

3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)部分主要負(fù)責(zé)刀具姿態(tài)調(diào)整，其由動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)，以及兩者之間并行的3條支鏈組成。該機(jī)構(gòu)每個(gè)支鏈包括3個(gè)運(yùn)動(dòng)副，其中球副（Spherical，S）是采用3個(gè)串聯(lián)轉(zhuǎn)動(dòng)副等效而成，均勻布置在動(dòng)平臺(tái)上，3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線的公共交點(diǎn)即為球副的中心；轉(zhuǎn)動(dòng)副（Revolute，R）均勻布置在定平臺(tái)上；移動(dòng)副（Prismatic，P）采用“伺服電機(jī)+絲杠螺母副+導(dǎo)軌滑塊副”的組合形式，驅(qū)使動(dòng)平臺(tái)相對于定平臺(tái)在空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)。與傳統(tǒng)RPS支鏈的區(qū)別在于，移動(dòng)副的滑塊同時(shí)充當(dāng)了轉(zhuǎn)動(dòng)副的搖塊。

2.2 相關(guān)坐標(biāo)系和符號(hào)的定義

3RPS并聯(lián)部分的抽象結(jié)構(gòu)，如圖2所示。3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副中心記為B（ii=1，2，3），3個(gè)球副中心記為A（ii=1，2，3）；3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副中心和3個(gè)球副中心的分布圓半徑分別記為R、r。等邊ΔA1A2A3與等邊ΔB1B2B3分別表示動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)。為了描述動(dòng)平臺(tái)的空間剛體位移，在定平臺(tái)上建立定平臺(tái)坐標(biāo)系（以下簡稱定系）OS-XSYSZS，記為｛S｝，該系的原點(diǎn)OS為3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的分布圓圓心，XS軸過B1且平分∠B2B1B3，YS軸平行于B3B2，ZS軸符合右手定則；在動(dòng)平臺(tái)上建立動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系（以下簡稱動(dòng)系）OM-XMYMZM，記為｛M｝，該系的原點(diǎn)OM為3個(gè)等效球副的分布圓圓心，XM軸過A1且平分∠A2A1A3，YM軸平行于A3A2，ZM軸符合右手定則。并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于初始位形時(shí)，動(dòng)系｛M｝具有與定系｛S｝一致的姿態(tài)信息。

圖2 3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的抽象模型Fig.2 Abstract Model of 3RPS Parallel Mechanism

3 幾何誤差分析與建模

幾何誤差建模是運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定的重要環(huán)節(jié)，其主要任務(wù)是構(gòu)造機(jī)構(gòu)輸出位姿誤差與各結(jié)構(gòu)參數(shù)的幾何誤差源之間的映射關(guān)系。

3.1 幾何誤差分析

機(jī)構(gòu)的名義構(gòu)型和實(shí)際構(gòu)型之間總是存在誤差的，這些誤差源是影響3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度的重要因素。3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的幾何誤差源主要有以下三種：一是鉸點(diǎn)位置誤差，包括球副中心Ai在動(dòng)平臺(tái)上的位置誤差和轉(zhuǎn)動(dòng)副中心Bi在定平臺(tái)上的位置誤差，共2×3×3=18項(xiàng)；二是轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線方向誤差2×3=6項(xiàng)，以及移動(dòng)副連桿的零位桿長誤差3項(xiàng)，合計(jì)27項(xiàng)幾何參數(shù)誤差。

3.2 誤差模型建立

動(dòng)系｛M｝相對于定系｛S｝的位置參數(shù)(x，y，z)，為動(dòng)系｛M｝原點(diǎn)OM在定系｛S｝中的三坐標(biāo)；姿態(tài)參數(shù)有多種描述形式，考慮到在3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的末端位置分析，及后續(xù)運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定補(bǔ)償分析過程中，都是以定系作為度量基準(zhǔn)展開的，故采用Z-Y-X固定角描述：動(dòng)系｛M｝的初始姿態(tài)與定系｛S｝相同，首先使動(dòng)系繞定系ZS軸轉(zhuǎn)γ角，然后繞YS軸轉(zhuǎn)β角，最后繞XS軸轉(zhuǎn)α角。動(dòng)系｛M｝相對于定系｛S｝的位姿關(guān)系用旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移向量t表示為：

其中，sα=sinα，cβ=cosβ，sβ、cβ和sγ、cγ同理。

如圖2所示，以定系｛S｝為基準(zhǔn)，3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)單一支鏈的閉環(huán)矢量方程可表述為：

式中：ai—球副中心Ai在動(dòng)系｛M｝中的位置矢量；bi—轉(zhuǎn)動(dòng)副中心Bi在定系｛S｝中的位置矢量；qi—第i條支鏈的驅(qū)動(dòng)桿長；ei—定系｛S｝下第i條支鏈移動(dòng)副軸線方向的單位矢量。

對式進(jìn)行一階微分處理可得：

式中：δR—旋轉(zhuǎn)矩陣R的變換微分，其表達(dá)式為：

由微分運(yùn)動(dòng)的原理可知，當(dāng)動(dòng)系繞定系旋轉(zhuǎn)的X-Y-Z固定角較原先參數(shù)出現(xiàn)微小偏差δα、δβ、δγ時(shí)，其實(shí)際姿態(tài)相當(dāng)于名義姿態(tài)對定系｛S｝進(jìn)行了一次微小旋轉(zhuǎn)ΔR：

式中：RR—?jiǎng)酉迪鄬τ诙ㄏ档膶?shí)際旋轉(zhuǎn)矩陣。

利用式可將式轉(zhuǎn)化為：

式中：δω—?jiǎng)酉迪鄬τ诙ㄏ档男D(zhuǎn)矩陣的誤差向量；

利用式將式轉(zhuǎn)化為：

令上式等號(hào)兩端矩陣各對應(yīng)元素相等，可得：

將式等號(hào)兩端同時(shí)左乘uiT，即向ui方向投影，并結(jié)合式，可得：

式中：ui—第i條支鏈轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線方向的單位矢量，用球坐標(biāo)表示為：

式中：θi—ui在定系XSYS平面的投影與XS軸正方向的夾角，θi=(4i-1)π 6；?i—ui與定系ZS軸正方向的夾角

由于轉(zhuǎn)動(dòng)副的約束性質(zhì)，存在ei?ui=0，對其一階微分處理，可得：

利用式，式可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：

式中：q0—理想初始位形下各支鏈球副中心與轉(zhuǎn)動(dòng)副中心的距離。

將式等號(hào)兩端同時(shí)左乘eiT，即向ei方向投影，結(jié)合eiTei=1，，以及式，可得：

綜合式與式，3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差映射模型為：

模型中的誤差項(xiàng)δr包含了各支鏈球副中心的位置誤差δai、轉(zhuǎn)動(dòng)副中心的位置誤差δbi、零位驅(qū)動(dòng)桿長誤差δqi、轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線方向誤差與零位桿長的乘積q0δθi、q0δ?i；誤差雅可比矩陣J僅與機(jī)構(gòu)的名義運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)r、各支鏈驅(qū)動(dòng)桿長q=(q1，q2，q3)T有關(guān)，而與結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差無關(guān)。

4 ADAMS仿真驗(yàn)證

根據(jù)前文對幾何誤差源的分析，基于ADAMS 虛擬樣機(jī)技術(shù)，驗(yàn)證建立的誤差模型的有效性。

4.1 仿真驗(yàn)證思想

實(shí)驗(yàn)過程中構(gòu)建一個(gè)帶有已知結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差的虛擬3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型，如圖3所示。其實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)為理論設(shè)計(jì)參數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差之和。首先給出并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端的目標(biāo)位姿集合，通過運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解可以得到目標(biāo)位姿對應(yīng)的驅(qū)動(dòng)桿長，然后將其作為驅(qū)動(dòng)，借助3RPS誤差虛擬樣機(jī)仿真獲取末端的實(shí)際位姿，其與目標(biāo)位姿之差即為實(shí)際的末端位姿誤差；同時(shí)利用3.2節(jié)的誤差模型可獲得計(jì)算的末端位姿誤差。最后計(jì)算兩種方法得到的數(shù)據(jù)間偏差，即可評價(jià)誤差模型的精度。

圖3 包含誤差源的虛擬3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.3 Virtual 3RPS Parallel Mechanism Including Error Sources

4.2 仿真實(shí)驗(yàn)

設(shè)置兩組3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈幾何參數(shù)誤差δr1和δr2，如表1所示?；炻?lián)機(jī)床中3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)部分的理論可行工作空間與主要名義幾何參數(shù)，如表2所示。

表1 3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差預(yù)設(shè)值Tab.1 Preset Values of Structure Parameter Errors of 3RPS Parallel Mechanism

表2 3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)理論可行空間與主要名義幾何參數(shù)Tab.2 Theoretical Feasible Space and Main Nominal Geometric Parameters of 3RPS Parallel Mechanism

為了使測量點(diǎn)盡可能涵蓋機(jī)構(gòu)整個(gè)工作空間，以便衡量誤差模型在整個(gè)工作空間范圍的計(jì)算精度，綜合考慮實(shí)驗(yàn)的工作量，分別選取3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的3個(gè)自由度z等于350mm、370mm、390mm，α，β∈｛-20°，-10°，0°，10°，20°｝，如此產(chǎn)生75組測量點(diǎn)。

誤差設(shè)定值為δr1和δr2時(shí)，誤差模型的計(jì)算絕對偏差，如圖4、圖5所示。圖中測量點(diǎn)（1～25）、（26～50）、（51～75）分別為參數(shù)z取350mm、370mm、390mm時(shí)的結(jié)果。通過上述仿真實(shí)驗(yàn)可以看出，忽略結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差引起的并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端位姿高階微小量，建立的線性誤差模型對其末端的位置和姿態(tài)誤差皆具備較高的求解精度。在兩組誤差設(shè)定值δr1和δr2時(shí)，末端角度誤差絕對偏差計(jì)算結(jié)果均小于0.01°，位置誤差絕對偏差計(jì)算結(jié)果均小于0.01mm，能夠滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定所要求的計(jì)算精度。通過對比圖4、圖5可以發(fā)現(xiàn)，減小結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差的預(yù)設(shè)值，誤差模型的計(jì)算精度會(huì)顯著提高。

圖4 誤差設(shè)定值δr1下75組測量點(diǎn)的模型偏差Fig.4 Model Errors of 75 Sets of Measurement Points Under the Error Setting δr1

圖5 誤差設(shè)定值δr2下75組測量點(diǎn)的模型偏差Fig.5 Model Errors of 75 Sets of Measurement Points Under the Error Setting δr2

進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，誤差模型計(jì)算精度隨z值的增大而提高，且不同測量點(diǎn)的計(jì)算精度有所差異，原因在于推導(dǎo)式過程中eiT δei原則上并不能一概近似為0，因?yàn)棣膃i與δui滿足式所示的約束關(guān)系，即δei并非獨(dú)立幾何誤差，其值是由所有幾何運(yùn)動(dòng)參數(shù)共同決定，且經(jīng)過qi的放大，在某些測量點(diǎn)處qieiT δei的數(shù)量級(jí)與其他項(xiàng)相差較小，故會(huì)產(chǎn)生舍去誤差。

5 結(jié)論

（1）對3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)影響運(yùn)動(dòng)精度的主要幾何誤差源進(jìn)行了分析；并基于微分法，利用閉環(huán)矢量方程和轉(zhuǎn)動(dòng)副約束關(guān)系，推導(dǎo)建立了3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)包含轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線方向誤差等27項(xiàng)幾何參數(shù)誤差對末端位姿誤差的映射模型，建模方法具有一定的通用性。

（2）借助ADAMS 虛擬樣機(jī)技術(shù)，仿真驗(yàn)證了微小誤差情況下，所建立的誤差模型具有較高的精度和有效性，且誤差模型的計(jì)算精度會(huì)隨著結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差的減小而顯著提高。