碼垛機器人的冪次指數(shù)趨近律變結(jié)構(gòu)控制

賈東明，王曉麗，張 昊

（1.河南交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院汽車學(xué)院，河南 鄭州 450000；2.東南大學(xué)儀器科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210000）

1 引言

碼垛機器人在物流業(yè)中應(yīng)用非常廣泛。它可以將生產(chǎn)線上或物流場站里的各種物料根據(jù)需要自動堆成各種剁型，從而方便裝卸、存儲和搬運等多種物流活動。碼垛機器人的出現(xiàn)及使用極大地提高了物流效率，碼垛后的剁型適合于叉車操作。特別在一些裝卸危險品的場合可以替代工人進行操作，不僅提高了操作效率而且提升了安全性能。目前，我國物流企業(yè)使用的機械臂多從外國引進，從而使得物流業(yè)的運營成本大幅提高。雖然我國自己已經(jīng)開始生產(chǎn)制造碼垛機器人，并且也在一些物流企業(yè)開始應(yīng)用，但與國外的機器人相比仍舊有一定的差距，特別是在控制精度及智能化程度方面［1-4］。因此我們有必要在機器人控制的算法方面進行深入研究，以期能夠解決其在控制精度方面所面臨的挑戰(zhàn)。

目前，有很多專家學(xué)者已經(jīng)對碼垛物流機械臂的控制算法進行了相應(yīng)的探討研究。文獻［2］對碼垛機器人進行了動力學(xué)建模，由于使用了平行四邊形機構(gòu)，所以在模型中消除了哥氏轉(zhuǎn)矩和離心轉(zhuǎn)矩，使得運動方程得到簡化。文獻［3］使用了PID（比例、積分、微分控制）迭代學(xué)習(xí)算法對碼垛機器人進行了控制，并獲得了較高的軌跡跟蹤精度。文獻［4］使用了時間最優(yōu)化的軌跡控制，得出了滿足物理約束的時間最優(yōu)軌跡跟蹤。

為了不失機械臂控制的一般性，在研究時采用二連桿機械臂模型并使用變結(jié)構(gòu)算法進行控制。二連桿機械臂模型由于考慮到了各種因素的影響，可以使得一個非線性、時變、耦合的系統(tǒng)更加一般化，從而提高了算法的實用性。變結(jié)構(gòu)算法在控制機械臂工作方面應(yīng)用廣泛，因為其具有很強的解決非線性控制的能力［5-7］。

2 機械臂數(shù)學(xué)模型

目前學(xué)術(shù)界主要采用拉格朗日和牛頓-歐拉兩種平衡法來建立機械臂的動力學(xué)模型。并且，牛頓-歐拉法比拉格朗日法建立的模型多了摩擦耗能項，其余則完全一樣［8］。我們采用二連桿拉格朗日模型，且各參數(shù)的具體數(shù)值使用參考文獻［9］中所使用的數(shù)據(jù)。本模型在普通碼垛機器人模型的基礎(chǔ)上增加了哥氏力和離心力，從而使得模型更具一般性。

式中：M（θ）—（2×2）階正定的質(zhì)量慣性矩陣；

B(θ，)—（2×2）階離心力、哥氏力矩陣；

G（θ）—（2×1）階重力矩陣；

T—（2×1）控制力矩陣；

θ—機械臂各關(guān)節(jié)的角度值，其一階、二階導(dǎo)數(shù)分別代表各關(guān)節(jié)的角速度以及角加速度。

各參數(shù)矩陣具體情況如下：

式中：g—重力加速度，其數(shù)值是9.8m/s2。

3 基于趨近律的變結(jié)構(gòu)控制研究

滑模變結(jié)構(gòu)算法在應(yīng)對非線性控制方面作用強大，但其在20世紀(jì)50年代提出之初并沒有得到應(yīng)有的關(guān)注。由于當(dāng)時電子技術(shù)比較落后，導(dǎo)致其應(yīng)用受到限制。近幾年，電子技術(shù)飛速發(fā)展，控制器運算速度大幅提升，這一切都為滑模便結(jié)構(gòu)控制算法的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)，此算法開始受到了廣泛關(guān)注。

滑模面是滑模變結(jié)構(gòu)算法首先要尋找的因素，控制系統(tǒng)運行至此面附近即可被吸引，并沿此面運行至原點。因此，就穩(wěn)定性而言它是大范圍漸進穩(wěn)定的。

滑模變結(jié)構(gòu)分兩個步驟進行系統(tǒng)控制：

（1）從遠(yuǎn)離滑模面的位置向滑模面靠近的趨近運動。（2）沿著滑模面滑向原點的滑模運動。

3.1 趨近運動的研究

趨近運動是指系統(tǒng)向滑模面s的漸近運動過程。而系統(tǒng)初始或運動過程中，并不一定在滑模面的單側(cè)運行。因此，當(dāng)系統(tǒng)在滑模面的不同面時應(yīng)該采用不同的控制率，并在不同控制率的作用下都能朝著滑模面靠近。這也是此算法被稱為變結(jié)構(gòu)算法的原因。趨近運動的不同不僅可以使得系統(tǒng)到達滑模面的時間不同，而且可以使得系統(tǒng)達到滑模面的方式不通，所以有很多學(xué)者都在致力于趨近律的研究。

等速趨近律：

指數(shù)趨近律：

冪次趨近律：

式中：sgns—符號函數(shù)，其取值是1或-1，但卻依據(jù)s的不同而不同。即s＞0時取正值，s＜0時取負(fù)值。以上的三種趨近率都保證了s＜0條件的成立，而本條件可以保證系統(tǒng)無論在滑模面上下側(cè)都有能力朝著滑模面上運行。

控制系統(tǒng)使用等速趨近律時，只能被推動到滑模面附近而不能完全到達。然后系統(tǒng)便不斷交替穿行于滑模面兩側(cè)，從而產(chǎn)生了抖振。

如使用指數(shù)趨近律進行控制，則運動方程可描述為：

這樣可以看到，系統(tǒng)在離滑模面很遠(yuǎn)時s(0)e-kt起到了主導(dǎo)作用，因此可以保證系統(tǒng)以較快的速度運動到滑模面附近。當(dāng)系統(tǒng)靠近滑模面時s(0)e-kt趨于0，而主導(dǎo)作用由-εtsgns占據(jù)。這時與等速趨近率原理相同，也無法對抖動進行有效抑制。

如果采用冪次趨近律，其運動方程可展示為：

從而可以看出，此趨近率能促使系統(tǒng)在有限時間內(nèi)運行至滑模面，且以相切的方式到達滑模面。這樣就減少了系統(tǒng)穿過滑模面后進行反向運動的可能，因而從本質(zhì)上解決了抖振問題。

3.2 滑模運動的研究

上述研究可以得出，趨近率保證了趨近運動在有限時間內(nèi)到達滑模面。到達滑模面后的滑模運動則是由s函數(shù)來保證的，并且保證系統(tǒng)沿著滑模面運動且最終誤差為0?；Ｃ婧瘮?shù)如式（10）：

式中：c—可以自由調(diào)整的參數(shù)；

e—系統(tǒng)誤差。

當(dāng)系統(tǒng)運行到s面時則s=0，帶入式（10）之后可以求出：

由式（11）可以看出，隨著運行時間的增加，誤差就可以趨近于0。而參數(shù)c取值的大小與系統(tǒng)誤差收斂到0的時間相關(guān)，這也為我們c值的選取提供了依據(jù)。

3.3 冪次指數(shù)趨近律

通過以上的分析可以看到，滑模面在設(shè)計之初就以保證誤差趨近于0為基礎(chǔ)，所以可以不必過多去關(guān)注。但不同的趨近率優(yōu)劣卻非常明顯，因為趨近率不僅可以決定系統(tǒng)到達滑模面的速度，并且可以決定到達滑模面時的狀態(tài)，也就是到底是穿過還是切入。所以趨近率應(yīng)是研究重點。

前面所研究的指數(shù)趨近率，雖然能夠使得系統(tǒng)快速到達滑模面，但是卻沒法從根本上解決抖振。冪次趨近率可以解決抖振問題但是其運行到滑模面的時間卻不甚理想。雖然也有學(xué)者提出可以使用飽和函數(shù)替代開關(guān)函數(shù)來解決抖振問題，但是卻只是在一定程度抑制了抖振，并未真正解決問題。而如果能將指數(shù)趨近率和冪次趨近率取長補短，則明顯可以同時解決趨近時間和抖振問題。因此，可以得出冪次指數(shù)趨近律如式：

4 算法的應(yīng)用

基于冪次指數(shù)趨近律的變結(jié)構(gòu)算法可應(yīng)用于機器人的控制［12-14］。

4.1 控制率的推導(dǎo)

將式（10）求導(dǎo)之后可以得到：

并且由式（1）可以得到：

將式子式（12）～式（14）聯(lián)立之后能夠解出控制率：

二關(guān)節(jié)位置指令分別是θ1d=cos(πt)，θ2d=sin(πt)。系統(tǒng)的開始狀態(tài)，即兩個機械臂的起始角度值及角速度值分別是

4.2 系統(tǒng)仿真及分析

當(dāng)系統(tǒng)初始值與目標(biāo)初始值不同時，控制算法能在很短的時間內(nèi)使得系統(tǒng)輸出跟蹤期望輸出曲線，如圖1、圖2所示。控制算法可以使得輸出誤差在0附近做極小幅波動，對于周期性波動函數(shù)的跟蹤而言，此算法的控制精度已經(jīng)很高，如圖3、圖4 所示。兩個關(guān)節(jié)的相軌跡曲線，可以看出系統(tǒng)能夠很快地切入滑模面，且切入之后沒有任何振動，如圖5、圖6所示。因此冪次指數(shù)趨近律很好地解決了切入速度與振動的問題，使得滑模變結(jié)構(gòu)算法的控制性能大幅提升。

圖1 關(guān)節(jié)1的輸出跟蹤曲線Fig.1 The Output Tracking Curve of Joint 1

圖2 關(guān)節(jié)2的輸出跟蹤曲線Fig.2 The Output Tracking Curve of Joint 2

圖3 關(guān)節(jié)1的輸出誤差曲線Fig.3 The Output Error Curve of Joint 1

圖4 關(guān)節(jié)2的輸出誤差曲線Fig.4 The Output Error Curve of Joint 2

圖5 關(guān)節(jié)1的相軌跡曲線Fig.5 The Phase Trajectory Curve of Joint 1

圖6 關(guān)節(jié)2的相軌跡曲線Fig.6 The Phase Trajectory Curve of Joint 2

5 算法的魯棒性研究

對本函數(shù)取導(dǎo)數(shù)則可以得出結(jié)果小于0，從而能夠進一步確認(rèn)系統(tǒng)穩(wěn)定的結(jié)論。但系統(tǒng)難免會存在外界擾動以及模型參數(shù)不準(zhǔn)確的情況，而在這種條件下控制器是否具有較強的魯棒性則是需要進一步討論研究的。大部分學(xué)者都是通過加入擾動來進行研究的，然后通過尋求合適的Lyapunov函數(shù)來確認(rèn)系統(tǒng)魯棒性。在探索過程中我們很明顯可以看出，Lyapunov函數(shù)的尋找極具挑戰(zhàn)性［8-9］。所以采用求解微分方程的辦法而不是使用Ly‐apunov函數(shù)來研究系統(tǒng)的魯棒性。

5.1 基于微分方程求解的魯棒性分析

滑模變結(jié)構(gòu)算法的控制分遠(yuǎn)離滑模面的趨近運動和運行至滑模面上的滑模運動。而我們設(shè)計的冪次指數(shù)趨近律，又將趨近運動分為遠(yuǎn)離滑模面和靠近滑模面兩個步驟。因此需要對這三個階段分別進行魯棒性分析。

假設(shè)系統(tǒng)建模時存在一定誤差，且外界擾動不能被忽略，則（1）可表達為：

式中：ΔM—慣性矩陣；ΔB—哥氏矩陣；ΔG—重力矩陣的建模誤差量；ΔT—外界擾動量。

將這四項綜合為Δf(x)可表示成：

在控制率設(shè)計之初并沒有加入Δf(t)的影響，所以控制率還是采用式（15），但這時系統(tǒng)明顯已經(jīng)是式（18）。也就是使用了不考慮擾動的控制率來控制存在擾動的系統(tǒng)，所以將式（15）、式（18）、式（13）聯(lián)立得：

控制器運動的第一個步驟，從離s面很遠(yuǎn)向靠近s面運行時，ks起了主要的作用，這時可以求解方程：

得：s=Ce-kt，其中常數(shù)C是與起始位置息息相關(guān)的，采用常數(shù)變異法，將C換成時間t的函數(shù)u可以得到：

只要Δf(t)有界，則-M-1Δf(t)有界，設(shè)：

其中F是一正常數(shù)，則：

式中：C1—與系統(tǒng)起始位置相關(guān)的一個常數(shù)。

將式（23）代入式（21）得：

由式（24）可以得出，當(dāng)控制時間逐漸加長，系統(tǒng)就會不斷向滑模面靠近，且靠近滑模面的程度是由擾動大小和參數(shù)k一起決定的。因此，增加參數(shù)k的值在加快系統(tǒng)靠近滑模面速度的同時保證了系統(tǒng)與滑模面靠近的程度。系統(tǒng)運行到滑模面附近則進入了第二個階段，此時由式（9）可以看出s值處于非常小的狀態(tài)，而系統(tǒng)運動則受綜合擾動影響巨大，即：

t2-t1—積分時間的差值，它的大小與s成正相關(guān)，數(shù)據(jù)越大則離滑模面也越遠(yuǎn)。但當(dāng)遠(yuǎn)離到一定距離后，系統(tǒng)又被迫進入第一階段。從而能夠得出，擾動使得系統(tǒng)往復(fù)運行于一、二階段。第一個階段可以迫使系統(tǒng)逐漸向滑模面靠近，而第二個階段卻無法保證系統(tǒng)一直處于滑模面附近，好在即使系統(tǒng)遠(yuǎn)離滑模面也會被隨之而來第一階段趨近率拉回滑模面附近。

系統(tǒng)處于第三個階段，在沒有擾動的情況下是使得系統(tǒng)朝著輸出誤差和誤差導(dǎo)數(shù)均趨于零而運動，也即朝著相平面原點運行的狀態(tài)。但是當(dāng)存在擾動時，系統(tǒng)只能靠近滑模面而不能完全到達滑模面，所以此時的第三個階段是需要進行研究的。本階段由式（10）所決定，所以：

求解微分式（27）可得：

式中：C2—一個積分常數(shù)，從式（28）可以得出，誤差的第二項最終會趨于0，而第一項才是最終的誤差值。

擾動的存在使得誤差完全為0變的不可能，哪怕誤差是有界的。但好在可以通過增加kc值，來使得輸出誤差變小。

5.2 加入綜合擾動后的仿真

為了對上述的結(jié)論進行分析驗證，可以將綜合擾動加入系統(tǒng)來進行控制。在不改變控制器參數(shù)的條件下，給機械臂的兩個關(guān)節(jié)加入相同的擾動量Δf(t)=Asin(πt)。在幅值較小的情況控制效果相當(dāng)不錯，但隨著其數(shù)值的增大控制效果會逐漸變差。此時選擇一個較大的值A(chǔ)=300來獲取一個明顯的結(jié)論。并且從仿真結(jié)果來看，第二關(guān)節(jié)的誤差會比第一關(guān)節(jié)明顯增大，因為其累積了第一關(guān)節(jié)的誤差量，所以下面只對第二關(guān)節(jié)的控制效果進行研究。如圖7～圖9所示，在控制器參數(shù)不變的情況下，其跟蹤效果差是由于我們刻意將綜合擾動幅值加大而得到的。此時綜合擾動的幅值已經(jīng)大于系統(tǒng)本身的參數(shù)變動，所以控制效果變差合情合理。為了驗證式（28）結(jié)論的正確性，取c=［50 0；0 50］，k=30分別得出結(jié)果，如圖10～圖12所示。能夠得到，當(dāng)參數(shù)增大以后輸出誤差明顯變小，在控制初期雖然不能到達s面上，但是最終的控制結(jié)果卻可以保證輸出誤差在相平面的穩(wěn)定點小范圍滑動，所以系統(tǒng)的魯棒性得到了保障。

圖7 關(guān)節(jié)2的擾動輸出跟蹤曲線Fig.7 The Disturbance Output Tracking Curve of Joint 2

圖8 關(guān)節(jié)2的擾動輸出誤差曲線Fig.8 The Disturbance Output Error Curve of Joint 2

圖9 關(guān)節(jié)2的擾動輸出相軌跡曲線Fig.9 The Disturbance Output Phase Trajectory Curve of Joint 2

圖10 參數(shù)調(diào)整后關(guān)節(jié)2的擾動輸出跟蹤曲線Fig.10 The Disturbance Output Tracking Curve of Joint 2 After Parameter Adjustment

圖11 參數(shù)調(diào)整后關(guān)節(jié)2的擾動輸出誤差曲線Fig.11 The Disturbance Output Error Curve of Joint 2 After Parameter Adjustment

圖12 參數(shù)調(diào)整后關(guān)節(jié)2的擾動輸出相軌跡曲線Fig.12 The Disturbance Output Phase Trajectory Curve of Joint 2 After Parameter Adjustment

6 結(jié)語

碼垛機器人的廣泛應(yīng)用是物流業(yè)、制造業(yè)等眾多行業(yè)高效化生產(chǎn)的基礎(chǔ)。而碼垛機器人控制中所存在的控制精度低的問題也迫切需要解決。這里所提出基于冪次指數(shù)趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制算法能不僅能有效解決控制精度低的問題，而且保證了控制系統(tǒng)存在建模誤差和外界干擾時的魯棒性。