純剪狀態(tài)下蜂窩梁腹板的彈性屈曲分析

范財(cái)軍 鄧皓 熊竹筠 田如萍 袁輝 劉興

摘? 要：該文利用有限元軟件建立正六邊形孔蜂窩梁腹板在純剪應(yīng)力狀態(tài)下的有限元模型，研究四邊簡支開孔板在純剪狀態(tài)下的屈曲模式，分析孔洞尺寸對蜂窩梁腹板屈曲臨界應(yīng)力的影響，提出純剪狀態(tài)下開孔板的屈曲系數(shù)計(jì)算公式，得到蜂窩梁開孔腹板在純剪狀態(tài)下的高厚比限值。研究表明，單孔板和雙孔板的最大屈曲平面外位移處的連線均與水平方向呈45°，四孔板和六孔板則有2種屈曲模式；蜂窩梁腹板孔高比和距高比是影響開孔板屈曲臨界應(yīng)力的主要因素，建議對于剪力作用較大的蜂窩梁腹板取孔高比γ<0.5，距高比0.4<β<0.5的孔洞尺寸，使得容易實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定性和經(jīng)濟(jì)性要求；擬合的開孔板屈曲系數(shù)公式誤差不超過5%，具有良好的精度。

關(guān)鍵詞：蜂窩梁；開孔板；純剪切；彈性屈曲；有限元模型

中圖分類號：TU313.1? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2095-2945（2024）06-0012-06

Abstract： In this paper， the finite element model of the web of regular hexagonal perforated honeycomb beam under pure shear stress is established by using finite element software， and the buckling mode of quadrilateral simply supported perforated plate in pure shear state is studied. The influence of hole size on the buckling critical stress of honeycomb beam web is analyzed， the buckling coefficient formula of perforated plate in pure shear state is put forward， and the limit value of height-thickness ratio of perforated web in pure shear state is obtained. The results show that the connection line at the maximum buckling plane displacement of single-hole plate and double-hole plate is 45° to the horizontal direction， while four-hole plate and six-hole plate have two buckling modes， and the hole height ratio and distance height ratio of honeycomb beam web are the main factors affecting the critical buckling stress of perforated plate. It is suggest taking the hole height ratio for honeycomb beam web plates with high shear force γ<0.5， hole size with a distance to height ratio of 0.4<β<0.5， making it easy to achieve stability and economic requirements. The error of the buckling coefficient formula of the fitted perforated plate is less than 5%， with a satisfactory accuracy.

Keywords： honeycomb beam; perforated plate; pure shear; elastic buckling; finite element model

蜂窩梁研究與應(yīng)用成果已廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程。與相同用鋼量的實(shí)腹式梁相比，其具有抗彎剛度大的優(yōu)點(diǎn)。但其腹板的連續(xù)性因?yàn)殚_孔而被打斷，使得蜂窩梁的腹板屈曲成為蜂窩梁失效的關(guān)鍵研究內(nèi)容。

目前，蜂窩梁的研究由于開孔形式差異，理論推導(dǎo)復(fù)雜，沒有相應(yīng)的理論解。相關(guān)的研究主要有Hagen等進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)和有限元模擬來確定開孔腹板梁的受剪極限承載力，提出了適合梁腹板開孔時受剪承載力的計(jì)算公式[1-4]。Redwood等提出了蜂窩梁腹板屈曲系數(shù)計(jì)算方法[5-6]。本文參考了梁嘉[6]的研究方法，把蜂窩梁腹板單獨(dú)分離出來做為開孔薄板進(jìn)行純剪研究。但在蜂窩梁中翼緣和腹板的協(xié)同工作不可忽略，吳丹丹[7]在對腹板開圓孔H型鋼梁純剪抗力研究時引入了純剪抗力影響系數(shù)以考慮梁翼緣對抗剪的貢獻(xiàn)。賈連光等[8]通過試驗(yàn)研究提出了蜂窩組合梁的等效抗剪剛度計(jì)算公式。劉子楠[9]對蜂窩梁進(jìn)行實(shí)驗(yàn)及數(shù)值模擬，得出蜂窩梁典型截面的應(yīng)力與撓度受跨高比和孔高比的影響較大，受長高比和距高比的影響較小。故結(jié)合開孔腹板純剪狀態(tài)下在蜂窩梁受剪屈曲分析時以孔高比、距高比作為主要參數(shù)。

本文借鑒實(shí)腹式工字梁的彈性屈曲穩(wěn)定研究方法，對蜂窩梁腹板在純剪應(yīng)力下的彈性屈曲應(yīng)力進(jìn)行了分析。通過特征值屈曲分析，研究了純剪蜂窩梁的屈曲模式和特征值，并進(jìn)一步考慮翼緣對于腹板的約束作用，得出蜂窩梁腹板的高厚比限值。

1? 有限元模型的建立與驗(yàn)證

1.1? 有限元模型的建立

有限元模型為四邊簡支的開孔板，利用shell181單元，網(wǎng)格劃分尺寸為10 mm。板的四邊簡支約束，限制住開孔板各邊的節(jié)點(diǎn)的平面外位移。同時，為了方便有限元模型發(fā)生剛體移動，采用約束一個角端的橫向和豎向線位移以及其對角端的豎向線位移。荷載施加在板的邊界上，參考剪力互等定理，純剪受力狀態(tài)下的矩形板，相鄰剪力大小相等，符號相反。荷載施加時，采用在有限元模型四邊的中間節(jié)點(diǎn)施加單位荷載1，4個端點(diǎn)施加荷載0.5的方式[10]。開孔腹板純剪受力狀態(tài)加載示意圖如圖1所示，對應(yīng)的有限元模型如圖2所示。

1.2? 有限元模型的驗(yàn)證

有限元模型的驗(yàn)證采用實(shí)腹式四邊簡支板在純剪狀態(tài)下進(jìn)行特征值分析[11]。模型僅取板的長度L為變量，其他量為常值。按厚度t=4 mm，高度H=600 mm，μ=0.3，E=2.06×105 N/mm2，表1為有限元數(shù)值解和理論解[12]的對比。

由表1可知，有限元數(shù)值解與理論解誤差很小，說明采用此種有限元模型進(jìn)行分析模型的彈性屈曲是可行的。

2? 純剪狀態(tài)下開孔腹板的屈曲模式

建立的開孔腹板的有限元模型包括單孔板、雙孔板、四孔和六孔板，并研究四邊簡支六邊形開孔腹板在純剪受力狀態(tài)下的彈性屈曲。

2.1? 單孔板

單孔板在承受均勻受剪時，其屈曲模式表現(xiàn)為正六邊形孔的相對斜角處出現(xiàn)最大平面外位移，兩處最大位移之間的連線與水平長度方向成45°，且屈曲位移指向同側(cè)，如圖3所示。其原因主要是板沿著主拉應(yīng)力方向會產(chǎn)生較大屈曲，屈曲方向與主壓應(yīng)力垂直且與水平線成45°，板中雖存在孔洞，但未影響整個板的應(yīng)力分布。故最大屈曲位移出現(xiàn)在45°方向開孔邊緣較薄弱位置處。

2.2? 雙孔板

雙孔板在承受均勻受剪時，其屈曲模式表現(xiàn)為板的最大平面外位移出現(xiàn)在靠近中間腹板的斜角處的2個開孔邊緣，兩處最大位移間的連線仍與水平軸成45°，中間板并未產(chǎn)生平面外位移，兩孔邊緣處的平面外位移指向異側(cè)，如圖4所示。其原因主要是沿著主拉應(yīng)力方向會產(chǎn)生較大屈曲，但因孔間板具有較大的剛度，雖不影響板的屈曲方向，即屈曲方向與水平線仍近似成45°，但兩孔洞平面外位移方向相反的穩(wěn)定狀態(tài)更容易實(shí)現(xiàn)。

2.3? 四孔、六孔板

四孔板和六孔板的屈曲模式有2種，其原因主要是整個板的屈曲方向雖沿著主拉應(yīng)力方向分布，但由于孔間板的約束，孔洞屈曲會隨機(jī)地按照更容易實(shí)現(xiàn)再平衡狀態(tài)的方式進(jìn)行。第一種屈曲模式為孔洞周圍發(fā)生屈曲，孔間未發(fā)生屈曲，相鄰兩孔間平面外位移方向指向相反，如圖5所示。

另一種屈曲模式為靠近跨中開孔板中心的兩孔洞周圍平面外位移與孔間板平面外位移方向相同，接近中間兩孔的其他孔洞平面外位移向異側(cè)屈曲，如圖6所示。

3? 純剪狀態(tài)下孔洞尺寸對屈曲臨界應(yīng)力的影響

孔間距離和孔洞高度是影響蜂窩梁屈曲承載能力的主要參數(shù)。文獻(xiàn)[6]表明，開孔板發(fā)生彈性屈曲時孔洞數(shù)對承載力影響很小。選取單孔板和雙孔板為對象，研究孔洞尺寸對板屈曲承載力的影響。通過距高比（β=s/H）和孔高比（γ=h/H）雙變量研究開孔板剪切屈曲性能，其具體控制參數(shù)參考了美國的《Specification for Structural Steel Beams with Web Openings》[13]。具體的孔高比取值范圍為0.3≤γ≤0.7，距高比取值范圍為0.4≤β≤1.1，分析了共計(jì)320個模型。

通過對板厚分別為4、6 mm的單孔板和雙孔板進(jìn)行特征值屈曲分析，其對應(yīng)的高厚比分別為100和150，得到不同孔高比和距高比下的屈曲臨界應(yīng)力。

3.1? 孔高比γ對屈曲臨界應(yīng)力的影響

以孔高比為橫坐標(biāo)，屈曲臨界應(yīng)力為縱坐標(biāo)表示出了高厚比分別為100、150的單孔板和雙孔板屈曲臨界應(yīng)力的變化規(guī)律，如圖7—圖10所示。

由圖7—圖10可知，純剪狀態(tài)下，腹板高厚比是影響開孔板屈曲臨界應(yīng)力的重要因素。在相同幾何參數(shù)的情形下，高厚比為100的開孔板的臨界應(yīng)力約為高厚比為150的開孔板的2倍；隨著板孔高比增加，板屈曲臨界應(yīng)力均有大幅度降低，主要是由于孔洞周圍的板能提供的約束作用有限，孔洞尺寸增加所導(dǎo)致的臨界應(yīng)力的降低程度大。

3.2? 距高比β對屈曲臨界應(yīng)力的影響

以距高比為橫坐標(biāo)，屈曲臨界應(yīng)力為縱坐標(biāo)表示出了高厚比分別為100、150的單孔板和雙孔板屈曲臨界應(yīng)力的變化規(guī)律如圖11—圖14所示。

由圖11—圖14可知，對單孔板，當(dāng)γ<0.6時，隨著距高比增加，臨界應(yīng)力有所降低，是由于薄板的尺寸起主要作用，尺寸增大則更容易發(fā)生屈曲；當(dāng)γ≥0.6時，隨著距高比的增加，臨界應(yīng)力處于相對穩(wěn)定狀態(tài)，因?yàn)殚g距增加和尺寸增大的作用效應(yīng)基本持平；而雙孔板隨著距高比的增加，各種孔高比狀態(tài)下的屈曲臨界應(yīng)力變化很小。進(jìn)一步分析，由于板平面尺寸對純剪狀態(tài)下的屈曲影響較大，可以得出當(dāng)開孔板尺寸越大，越容易發(fā)生屈曲，故雙孔板的臨界應(yīng)力比單孔板的臨界應(yīng)力低。

4? 純剪狀態(tài)下開孔腹板的屈曲系數(shù)

4.1? 實(shí)腹式四邊簡支板的彈性屈曲系數(shù)

實(shí)腹式四邊簡支板在承受均勻剪力作用下，其屈曲荷載可利用四邊簡支的正方形板承受均勻剪力來求解。采用迦遼金法來計(jì)算時，板的中面力Nxy=Nyx=Pxy=Pyx，而Nx=Ny=0，板的平衡偏微分方程為

矩形板分析可得到

Pcrxy=ksπ2D/b2，（2）

式中：ks為剪切屈曲系數(shù)，對于四邊簡支板

當(dāng)L≥H時，

ks=5.34+4.0（H/L）2 ； （3）

當(dāng)L

ks=4.0+5.34（H/L）2 。 （4）

4.2? 純剪狀態(tài)下開孔腹板的屈曲系數(shù)

本文采用等效剛度法進(jìn)行彈性屈曲系數(shù)公式的分析。將純剪狀態(tài)下開孔板的屈曲系數(shù)設(shè)為k′s，利用有限元軟件分析得到的臨界荷載反算出開孔板的屈曲系數(shù)k′s，將實(shí)腹板的剪切屈曲系數(shù)ks作為基礎(chǔ)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，則可得到考慮孔高比和距高比的剪切屈曲系數(shù)公式。并利用數(shù)值分析軟件MATLAB擬合出的開孔板剪切屈曲系數(shù)公式為

單孔板

雙孔板

式中：ks為相應(yīng)實(shí)腹板的剪切屈曲系數(shù)。

式中：L為板單元長；H為板單元高；β為距高比，β=s/H，適用范圍為0.3≤β≤1.1；γ為孔高比，γ=h/H=D/2H，適用范圍為0.3≤γ≤1.1；D為邊形孔的外接圓直徑。

表2和表3是根據(jù)公式（5）和（6）計(jì)算得到的剪切屈曲系數(shù)，對比有限元解可以發(fā)現(xiàn)，回歸分析得到的剪切屈曲系數(shù)公式具有良好的精度，誤差小于5%。

5? 翼緣對腹板的約束作用

以上均是假定腹板受到翼緣的約束為簡支條件下對開孔腹板的彈性屈曲分析。然而，翼緣對腹板的約束作用并非簡單的簡支條件，而是不同程度嵌固作用。實(shí)際的翼緣彈性嵌固作用會使臨界應(yīng)力相應(yīng)地提高[14]，蜂窩梁腹板的嵌固系數(shù)與腹板高厚比，翼緣寬厚比，翼緣與腹板厚度比有關(guān)。任濤等[15]利用實(shí)腹梁驗(yàn)證了ε=bf tf3/hw tw3是一個能夠較準(zhǔn)確表達(dá)翼緣對腹板約束作用的參數(shù)。

GB 50017—2017《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)》采用嵌固系數(shù)來表達(dá)實(shí)腹式腹板受剪應(yīng)力屈曲時翼緣對腹板的約束作用。對于受剪應(yīng)力屈曲的腹板，取約束系數(shù)為χ=1.23。蜂窩梁在腹板上存在著孔洞，其腹板受到翼緣的約束作用更大，本文借鑒實(shí)腹梁的相關(guān)規(guī)定，偏于保守的取約束系數(shù)為χ=1.23。

參考實(shí)腹梁腹板在剪應(yīng)力單獨(dú)作用下不發(fā)生失穩(wěn)的臨界應(yīng)力條件，對于剪應(yīng)力屈曲的開孔腹板應(yīng)滿足

取彈性模量E=2.06×105 N/mm2，泊松比μ=0.3，則開孔腹板在剪應(yīng)力屈曲時的腹板高厚比限值

6? 結(jié)論

本文對六邊形孔蜂窩梁腹板進(jìn)行了純剪受力狀態(tài)下的彈性屈曲分析，研究了其屈曲模式和屈曲應(yīng)力的變化規(guī)律，利用數(shù)值分析軟件MATLAB擬合了相關(guān)剪切屈曲系數(shù)公式，得到如下結(jié)論。

1）純剪狀態(tài)下四邊簡支單孔板，雙孔板，最大位移之間的連線與水平長度方向成45°。四孔板與六孔板的屈曲模式主要分為2種：一種是孔洞跨中周圍發(fā)生屈曲，孔洞之間板未發(fā)生屈曲，相鄰兩孔洞平面外屈曲方向相反；另一種是腹板靠近跨中的兩孔洞周圍與孔洞之間腹板指向同一平面外方向發(fā)生屈曲，而靠近中間兩孔的平面外位移方向指向異側(cè)。

2）蜂窩梁腹板的屈曲臨界應(yīng)力隨孔高比的增加而大幅度降低，隨距高比的增加則幾乎保持不變。建議以受剪屈曲為主的開孔板取γ<0.5，0.4<β<0.5， 能同時滿足較高穩(wěn)定性和經(jīng)濟(jì)性要求。

3）開孔腹板在剪應(yīng)力屈曲時的腹板高厚比限值應(yīng)滿足

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