探索運算律本質(zhì)，開闊數(shù)學(xué)視野

東方建

本學(xué)期我們學(xué)習(xí)了五個重要的運算律：加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律和乘法分配律。這些運算律是數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識。深入了解它們的本質(zhì)不僅能提高我們的計算能力，還能進一步開闊我們的數(shù)學(xué)視野，為以后的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。下面我們就來復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容。

一、理解加法交換律和加法結(jié)合律

我們先來看下面的圖。

從上圖可以看出，無論是用上面的2塊橡皮加下面的3塊橡皮，還是用下面的3塊橡皮加上面的2塊橡皮，橡皮的總數(shù)都是不變的，都是5塊，都是2個“一”和3個“一”相加，結(jié)果都是5個“一”。也就是無論兩個加數(shù)的順序如何變化，和都不變。這就是加法交換律，用字母表示是a+b=b+a。

我們再來看下面的圖。

從上圖可以看出，要算出這些橡皮一共有多少塊，無論是先算2+3=5，再算5+7=12，還是先算3+7=10，再算2+10=12，橡皮的總數(shù)都不變。但為了使計算更容易，可以先算3+7=10，再算2+10=12?？傊际?個“一”和3個“一”和7個“一”相加，結(jié)果都是12個“一”。也就是三個數(shù)相加時，為了使計算容易，可以先計算任意兩個數(shù)的和，再與另一個數(shù)相加，最后的和不變。這就是加法結(jié)合律，用字母表示是a+b+c=a+（b+c）。

在有些計算過程中，運用加法結(jié)合律之前，會先用到加法交換律，例如45+38+55=38+（45+55）。這個很重要，大家一定要熟練掌握。

二、理解乘法交換律、乘法結(jié)合律和乘法分配律

“好再來”超市購進了如右下圖所示的礦泉水5箱，每瓶以2元的單價售出，這些礦泉水很快就被賣完了，于是超市又購進了15箱同樣的礦泉水。問：這樣的一箱礦泉水有多少瓶？5箱礦泉水賣了多少錢？超市兩次一共購進多少瓶這樣的礦泉水？

解決第一個問題，有兩種方法：（1）橫著數(shù)，每行有6瓶，一共有4行，所以這箱礦泉水有6×4=24（瓶）；（2）豎著數(shù)，每列有4瓶，一共有6列，所以這箱礦泉水有4×6=24（瓶）。大家發(fā)現(xiàn)了嗎，無論橫著數(shù)還是豎著數(shù)，這箱礦泉水都是24瓶，即6×4=4×6。所以，交換兩個乘數(shù)的位置，積不變。這就是乘法交換律，用字母表示是a×b=b×a。大家還發(fā)現(xiàn)了嗎，乘法交換律和加法交換律是不是很相似？兩個數(shù)相加或相乘，交換兩個加數(shù)或乘數(shù)的位置，它們的和或積都不變。

解決第二個問題，也有兩種方法：（1）先算一箱礦泉水能賣多少錢，再算5箱礦泉水能賣多少錢，也就是（2×24）×5=240（元）；（2）先算5箱一共有多少瓶礦泉水，再算這些瓶礦泉水能賣多少錢，也就是2×（24×5）=240（元）。大家發(fā)現(xiàn)了嗎，無論是哪種方法，都是2、24、5三個數(shù)相乘，只不過是運算順序改變了，最后算出的結(jié)果都是240元，即（2×24）×5=2×（24×5）。所以三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘或者先把后兩個數(shù)相乘，再與第三個數(shù)相乘，積不變。這就是乘法結(jié)合律，用字母表示是（a×b）×c=a×（b×c）。大家也許會問，根據(jù)數(shù)的特點，為了計算簡便，先運用乘法交換律，再運用乘法結(jié)合律計算，也就是（2×24）×5=（24×2）×5=24×（2×5）=24×10=240，可以嗎？三個數(shù)相乘，先把任何兩個數(shù)相乘，再與第三個數(shù)相乘，積都不變，所以當然可以。但在解決問題列算式時，還是要先列出（2×24）×5或者2×（24×5），這樣才能講得通道理。

解決第三個問題，依舊有兩種方法：（1）先算兩次各購進了多少瓶，再加在一起，算出一共購進了多少瓶，也就是24×5+24×15=120+ 360=480（瓶）；（2）先算兩次一共購進多少箱，再用一箱礦泉水的瓶數(shù)24去乘，也就是24×（5+15）=24×20=480（瓶）。大家發(fā)現(xiàn)了嗎，24×（5+15）=24×5+24×15，也就是兩個數(shù)的和與另一個數(shù)相乘，可以先把這兩個數(shù)分別與另一個數(shù)相乘，再相加。這就是乘法分配律，用字母表示是（a+b）×c=a×c+b×c。把24×（5+15）=24×5+24×15的等號左右兩邊調(diào)換一下，從自然數(shù)乘法意義的角度來想24×5+24×15=24×（5+15），等式左邊是5個24與15個24合并起來的和，而等式右邊表示的正是這樣一個合并的結(jié)果。另外，對于24×15，直接計算比較麻煩，如果從自然數(shù)乘法意義的角度去想，15個24是由10個24與5個24合并而成，那么就有24×15=24×（10+5）=24×10+24×5。

三、五個運算律的拓展

理解了以上五個運算律，我們再來看看跟它們相關(guān)的運算性質(zhì)和簡便算法。

1.減法的運算性質(zhì)。先來看一個問題：“好再來”超市原有100瓶礦泉水，上午賣了49瓶，下午賣了21瓶，還剩多少瓶？解決這個問題時，有兩種方法：（1）先用超市原有的礦泉水瓶數(shù)減去上午賣出的瓶數(shù)，再減去下午賣出的瓶數(shù)，就得到了剩下的瓶數(shù)，即100-49-21=30（瓶）；（2）先算上午和下午一共賣出的礦泉水瓶數(shù)，再用超市原有的礦泉水瓶數(shù)減去它們的和，得到剩下的瓶數(shù)，即100-（49+21）=30（瓶）。大家發(fā)現(xiàn)了嗎，100-49-21=100-（49+21），也就是一個數(shù)連續(xù)減去兩個數(shù)，等于這個數(shù)減去兩個數(shù)的和，或者一個數(shù)減去兩個數(shù)的和，等于這個數(shù)連續(xù)減去兩個數(shù)。這就是減法的運算性質(zhì)，用字母表示是a-b-c=a-（b+c）或者a-（b+c）=a-b-c。在連減計算或者有減法的計算中，可以根據(jù)數(shù)的特點，運用減法的運算性質(zhì)，改變運算順序和運算類型，使計算簡便。

2.除法的性質(zhì)?？戳饲懊鏈p法的運算性質(zhì)，大家也許會問，除法有這樣的性質(zhì)嗎？有。2000÷4÷25=500÷25=20，根據(jù)減法的運算性質(zhì)及除法是乘法的逆運算，大家是否想到了2000÷（4×25）=2000÷100=20，所以2000÷4÷25=2000÷（4×25）。也就是說，一個數(shù)連續(xù)除以兩個數(shù)，等于這個數(shù)除以這兩個除數(shù)的積。這就是除法的性質(zhì)，用字母表示是a÷b÷c=a÷（b×c）。

3.湊整的簡便算法。計算中需要湊整的情況比較多，在這里只介紹其中的一種。有時候，我們需要計算例如9+99+999+9999這樣的算式。如果按運算順序直接計算，會很麻煩。通過觀察和思考，可以發(fā)現(xiàn)這四個加數(shù)都與整十、整百、整千、整萬接近，所以為了計算方便，可以先根據(jù)加法結(jié)合律把這四個加數(shù)變成整十、整百、整千、整萬的數(shù)，再減去多加的4個1，即9+99+999+9999=（9+1）+（99+1）+（999+1）+（999+1）-4=10+100+1000+10000-4=11106。湊整時，一定不要忘了在最后減去多加的數(shù)。

親愛的同學(xué)們，通過深入了解加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律和乘法分配律，大家可以更好地理解和應(yīng)用這些運算律。同時，運用好減法的運算性質(zhì)、除法的性質(zhì)和湊整的簡便算法，大家能夠進一步提高數(shù)學(xué)運算能力。希望這些內(nèi)容能夠幫助你們開闊數(shù)學(xué)視野，并在未來的學(xué)習(xí)中得到廣泛應(yīng)用。