距離角度失配條件下的FDA-MIMO雷達(dá)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)算法

張順生 李 鑫 黃櫟冰 王文欽

（1.電子科技大學(xué)電子科學(xué)技術(shù)研究院，四川成都 611731；2.電子科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，四川成都 611731）

1 引言

頻控陣（Frequency Diverse Array，F(xiàn)DA）不同于常規(guī)相控陣?yán)走_(dá)，通過在于不同發(fā)射陣元的載波之間施加一定的頻偏，使得頻控陣各個(gè)發(fā)射陣元信號(hào)的相位疊加關(guān)系與距離有關(guān)，波峰和波谷會(huì)出現(xiàn)在不同距離［1-3］。因此，頻控陣?yán)走_(dá)的發(fā)射波束不僅和方位角有關(guān)，而且與距離也有關(guān)，這一特點(diǎn)使得頻控陣?yán)走_(dá)在近年來得到了廣泛的關(guān)注［4-6］。同時(shí)，為了進(jìn)一步增加自由度，有學(xué)者將MIMO 雷達(dá)與頻控陣?yán)走_(dá)的概念相結(jié)合提出頻控陣-多輸入多輸出（FDA-Multiple Input Multiple Output，F(xiàn)DA-MIMO）雷達(dá)的概念［7-9］。FDA-MIMO 雷達(dá)的不同天線發(fā)射不同載頻且正交的波形，這令FDA-MIMO 雷達(dá)有MIMO 雷達(dá)的虛擬孔徑特性，同時(shí)也具有距離依賴特性，使得FDA-MIMO 雷達(dá)在目標(biāo)檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)方面具有優(yōu)勢(shì)［10-12］，且發(fā)射的正交波形克服了相干頻控陣?yán)走_(dá)回波信號(hào)處理難的問題［13-15］。因此，這些特性吸引了許多學(xué)者進(jìn)行相關(guān)研究。

然而，距離維的自由度也給FDA-MIMO 雷達(dá)帶來了新的問題。信號(hào)采樣引起的延遲誤差將導(dǎo)致FDA-MIMO 雷達(dá)的導(dǎo)向矢量失配［16］，進(jìn)而導(dǎo)致檢測(cè)性能嚴(yán)重下降。同時(shí)，目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)也會(huì)帶來距離走動(dòng)［17-19］和多普勒擴(kuò)展問題［20-22］。因此，需要對(duì)FDA-MIMO 雷達(dá)在導(dǎo)向矢量失配條件下的檢測(cè)方法，以及針對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的信號(hào)處理和檢測(cè)方法展開研究。

FDA-MIMO 雷達(dá)的頻率分集特點(diǎn)帶來了額外的距離維信息，然而采樣誤差同樣帶來了導(dǎo)向矢量失配的問題，不僅如此，角度誤差的存在也會(huì)進(jìn)一步加重導(dǎo)向矢量的失配，極大地影響檢測(cè)器的檢測(cè)概率。此外，目標(biāo)速度過快也會(huì)對(duì)FDA-MIMO 雷達(dá)的目標(biāo)檢測(cè)產(chǎn)生影響。速度的影響具體表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是目標(biāo)的距離走動(dòng)，從而導(dǎo)致不同慢時(shí)間的回波包絡(luò)不能對(duì)齊，二是頻率增量引起的多普勒擴(kuò)展，使得不同發(fā)射通道的多普勒頻率不一樣，這會(huì)進(jìn)一步影響檢測(cè)性能。針對(duì)上述問題，本文針對(duì)距離角度失配條件下的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)問題，由于目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)會(huì)帶來距離徙動(dòng)和多普勒擴(kuò)展效應(yīng)，因此引入Keystone 變換進(jìn)行校正，并分析了Keystone 變換對(duì)噪聲協(xié)方差矩陣的影響，在此基礎(chǔ)上，分析了距離角度失配情況下的自適應(yīng)子空間檢測(cè)器和子空間矩陣的構(gòu)建方法，并提出一種基于Keystone 變換的子空間廣義似然比檢驗(yàn)方法，理論推導(dǎo)和仿真結(jié)果表明，相比于傳統(tǒng)算法，該方法在距離角度失配條件下具有更好的檢測(cè)性能。

2 信號(hào)模型

2.1 FDA-MIMO雷達(dá)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的接收信號(hào)模型

設(shè)一個(gè)發(fā)射陣元數(shù)為MT，接收陣元數(shù)為MR的共置FDA-MIMO 雷達(dá)。發(fā)射陣列和接收陣列都為均勻線陣，發(fā)射陣元間距和接收陣元間距分別為dT、dR，并且假定第m個(gè)發(fā)射陣元的信號(hào)為

其中，fm為第m個(gè)發(fā)射陣元的載頻，滿足fm=f0+(m-1)Δf，Tp表示波形持續(xù)時(shí)間，?m(t)為第m個(gè)發(fā)射陣元的復(fù)基帶信號(hào)，表示為

其中，u(t)表示基帶脈沖，脈寬為Tp，帶寬為B，TPR表示PRI，K表示快拍數(shù)。

此外，假設(shè)信號(hào)波形滿足正交條件，則第k個(gè)PRI 的回波信號(hào)經(jīng)過多通道匹配濾波后可以表示為［17］

2.2 基于Keystone 變換的距離徙動(dòng)和多普勒擴(kuò)展校正

由于FDA-MIMO 發(fā)射的是多載頻信號(hào)，在目標(biāo)速度較快的情況下，不僅會(huì)出現(xiàn)距離徙動(dòng)，同時(shí)不同通道信號(hào)的多普勒頻率也不一樣，這會(huì)惡化檢測(cè)器的性能。因此，下面將利用Keystone 變換理論，解決距離徙動(dòng)和多普勒擴(kuò)展。

經(jīng)過多通道匹配濾波的第n個(gè)接收陣元第m個(gè)通道的信號(hào)經(jīng)過FFT后的表達(dá)式為

其中，ft表示快時(shí)間對(duì)應(yīng)的頻率。接著，Keystone 變換在慢時(shí)間維進(jìn)行尺度變換

接著將式（7）代入式（6），有

采用sinc插值方法實(shí)現(xiàn)尺度變換，有：

最后，對(duì)式（9）沿快時(shí)間頻率做傅里葉逆變換，有

根據(jù)式（10）可以看出，經(jīng)過Keystone 變換后的信號(hào)的包絡(luò)不再隨著慢時(shí)間變化，距離徙動(dòng)被消除，同時(shí)多普勒頻率也被校正至同一位置。

3 基于Keystone 變換的子空間廣義似然比檢驗(yàn)

由于Keystone 變換改變了噪聲協(xié)方差矩陣的結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致似然函數(shù)也發(fā)生變化，因此，需要重新推導(dǎo)GLRT檢測(cè)器。下面將基于2步GLRT準(zhǔn)則，分為全空時(shí)和僅考慮空域兩種情況分別推導(dǎo)基于Keystone 變換的子空間GLRT檢測(cè)器形式。

3.1 全空時(shí)處理

我們提出了一種全空時(shí)處理檢測(cè)器，該檢測(cè)器同時(shí)考慮了經(jīng)Keystone變換后的噪聲的時(shí)間相關(guān)性和空間相關(guān)性，因此將該檢測(cè)器命名為Keystone-全空時(shí)處理檢測(cè)器。為此，將K個(gè)快拍數(shù)據(jù)排列為向量

其中，n′表示經(jīng)Keystone 變換后的K個(gè)快拍的噪聲經(jīng)列向量化后的噪聲向量

其中，索引g和h與n，m和k均為正整數(shù)，滿足下列關(guān)系

為了解決發(fā)射接收聯(lián)合導(dǎo)向矢量的失配問題，引入子空間模型，則式（11）可以寫為

其中，Aω表示子空間矩陣，由標(biāo)稱導(dǎo)向矢量和多普勒矢量決定，可得到Aω的表達(dá)式為

根據(jù)上式，目標(biāo)檢測(cè)的二元假設(shè)可以寫為

因此，H1和H0假設(shè)下的觀測(cè)數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)可以表示為

由概率密度函數(shù)，假設(shè)協(xié)方差矩陣已知條件下，自適應(yīng)檢測(cè)器由下式給出

對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)，式（22）可以寫為

對(duì)式（23）中a項(xiàng)求導(dǎo)并等于0，有

則a的最大似然估計(jì)可以寫為

將式（25）代入式（23），可以得到協(xié)方差矩陣已知條件下的檢測(cè)器可以表示為

最后，將協(xié)方差矩陣的估計(jì)值代入式（26），得到兩步GLRT檢測(cè)器為

3.2 空域處理

3.1 節(jié)提出的全空時(shí)處理方法同時(shí)考慮了空間相關(guān)性和時(shí)間相關(guān)性，協(xié)方差矩陣的規(guī)模很大，計(jì)算復(fù)雜度很高。為了降低計(jì)算復(fù)雜度，提出一種僅考慮空間相關(guān)性的檢測(cè)器，將該檢測(cè)器命名為Keystone-空域處理檢測(cè)器。

根據(jù)sinc 函數(shù)的正交性質(zhì)［23］可知，式（15）的非對(duì)角元素矩陣含有很多0 元素，因此為了降低計(jì)算復(fù)雜度，近似認(rèn)為除了對(duì)角位置的矩陣，其余矩陣元素全部為0，即滿足

盡管這一近似可能會(huì)令檢測(cè)器的檢測(cè)性能下降，但計(jì)算復(fù)雜度會(huì)顯著降低。

根據(jù)式（30）可知，近似后的協(xié)方差矩陣表明噪聲數(shù)據(jù)在慢時(shí)間是獨(dú)立同分布的，但每個(gè)慢時(shí)間對(duì)應(yīng)的噪聲協(xié)方差矩陣不同，即表示第k個(gè)快拍對(duì)應(yīng)的噪聲向量。因此，接收到的第k個(gè)PRI的數(shù)據(jù)可以表示為

用K個(gè)快拍的數(shù)據(jù)構(gòu)成數(shù)據(jù)矩陣Z進(jìn)行聯(lián)合處理，即

其中，N′的表達(dá)式為

同樣地，引入子空間模型，假設(shè)真實(shí)的導(dǎo)向矢量屬于一個(gè)子空間，該子空間與標(biāo)稱導(dǎo)向矢量有關(guān)，即

接收到的數(shù)據(jù)Z可以重寫為

則目標(biāo)檢測(cè)的二元假設(shè)檢驗(yàn)問題可以寫為

在H1和H0假設(shè)下信號(hào)的概率密度函數(shù)可以寫為

根據(jù)2 步GLRT 準(zhǔn)則，假設(shè)協(xié)方差矩陣Rk已知的條件下，檢測(cè)器由下式給出

對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)，式（39）可寫為

對(duì)式（40）左邊中a項(xiàng)求導(dǎo)并取0，有

根據(jù)式（41），在H1條件下，a的最大似然估計(jì)由下式給出

將式（42）代入（40）并進(jìn)行一些代數(shù)運(yùn)算，可以得到協(xié)方差矩陣已知情況下的檢測(cè)器可以表示為

第二步，用協(xié)方差矩陣的估計(jì)值。

對(duì)比式（44）和式（27）可以看出，經(jīng)過簡(jiǎn)化的檢測(cè)器的計(jì)算復(fù)雜度更低。下面將通過蒙特卡羅仿真對(duì)比不同檢測(cè)器的檢測(cè)概率和計(jì)算復(fù)雜度。

4 仿真分析

4.1 檢測(cè)概率

FDA-MIMO 雷達(dá)的參數(shù)如表1 所示，采樣率fs設(shè)置為60 MHz，采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)L=100，且假設(shè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)是充足的。

表1 雷達(dá)參數(shù)Tab.1 Radar parameters

目標(biāo)的標(biāo)稱角度θ*為42°，標(biāo)稱距離r*為50 km，距離的最大誤差Δ/2 為1.25 m，距離誤差Δr為1.25 m，角度的最大誤差Δ′/2 為5°，角度誤差Δθ為-5°，速度vs為512 m/s。為了對(duì)比不同檢測(cè)器的檢測(cè)概率，在Keystone 變換前引入噪聲，假設(shè)噪聲和雜波協(xié)方差矩陣為

考慮單載波雷達(dá)信號(hào)，假設(shè)雷達(dá)載頻為2.8 GHz，帶寬為30 MHz，采樣率為60 MHz。目標(biāo)的速度為512 m/s，初始距離為50 km，脈沖重復(fù)頻率為1 kHz，積累脈沖數(shù)為50 個(gè)。圖1（a）的仿真結(jié)果為Keystone變換前的二維圖像，圖1（b）為對(duì)應(yīng)的多脈沖積累結(jié)果。根據(jù)圖1（a）和圖1（b）可以看出，目標(biāo)的高速運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生了距離單元徙動(dòng)，且能量發(fā)生散焦，將會(huì)嚴(yán)重影響積累性能，降低雷達(dá)的目標(biāo)檢測(cè)能力。經(jīng)過 Keystone變換后，信號(hào)的二維圖像如圖1（c）和圖1（d）所示。從圖1（c）中可以看出，經(jīng)過Keystone 變換后，信號(hào)的包絡(luò)位于同一距離門，說明Keystone 變換可以校正距離單元徙動(dòng)?？梢钥闯觯啾葓D1（b），圖1（d）沒有發(fā)生散焦。這表明經(jīng)過Keystone變換后，信號(hào)的能量更加集中。

圖1 Keystone變換前后的信號(hào)響應(yīng)Fig.1 Comparison of the signal response before and after the Keystone transform

經(jīng)過傳統(tǒng)Keystone 變換的結(jié)果如圖2（a）所示，可以看出，目標(biāo)因高速運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的距離單元徙動(dòng)被消除，但多普勒擴(kuò)展現(xiàn)象仍然存在。接著，采用式（7）對(duì)應(yīng)的尺度變換，得到的信號(hào)結(jié)果如圖2（b）所示，可以看出，通道間的多普勒擴(kuò)展已經(jīng)被校正。

圖2 校正多普勒拓展前后距離-多普勒響應(yīng)Fig.2 Comparison of the range-Doppler responses before and after the Doppler spread correction

圖3 展示了GLRT 檢測(cè)器在不同角度誤差和距離誤差時(shí)檢測(cè)概率隨信噪比的變化曲線，其中角度失配量的單位是度，距離失配量的單位是m。可以看到，隨著角度和距離失配量的增加，檢測(cè)器性能受到嚴(yán)重影響。其中虛警概率設(shè)置為10-3，蒙特卡羅仿真模擬的獨(dú)立試驗(yàn)次數(shù)為50/Pfa。

圖3 角度距離失配時(shí)的GLRT檢測(cè)器性能Fig.3 GLRT detector performance under angle or range mismatch

圖4 展示了Keystone-全空時(shí)處理檢測(cè)器、Keystone-空域處理檢測(cè)器和GLRT 檢測(cè)器隨SNR 變化的曲線，其中子空間維數(shù)ps=6。圖4（a）是頻偏為30 MHz 的仿真結(jié)果?？梢钥吹?，Keystone-全空時(shí)處理檢測(cè)器和Keystone-空域處理檢測(cè)器相比GLRT 檢測(cè)器有著更好的性能，這是因?yàn)镵eystone變換改變了協(xié)方差的結(jié)構(gòu)，而傳統(tǒng)算法沒有考慮對(duì)協(xié)方差結(jié)構(gòu)的影響，因此會(huì)損失一定的性能，表明了Keystone-全空時(shí)處理和Keystone-空域處理檢測(cè)器的有效性。此外，Keystone-全空時(shí)處理檢測(cè)器和Keystone-空域處理檢測(cè)器性能非常的接近，表明式（30）對(duì)應(yīng)的近似處理是有效的，可以在一定程度上降低計(jì)算復(fù)雜度且性能損失不大。圖4（b）展示了頻偏為0 MHz 情況下的仿真結(jié)果，可以看出，三種檢測(cè)器的性能非常接近。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因在于，根據(jù)Keystone系數(shù)的計(jì)算公式可知，Keystone的系數(shù)項(xiàng)與頻偏是有關(guān)的，頻偏越小，不同發(fā)射通道的Keystone 系數(shù)越接近，Keystone 變換對(duì)協(xié)方差矩陣的影響越小。

圖4 不同頻偏條件下，不同檢測(cè)器的檢測(cè)概率隨SNR的變化Fig.4 Comparison of detection probability with SNR for different detectors under different frequency offset

4.2 計(jì)算復(fù)雜度

假設(shè)發(fā)射陣元和接收陣元數(shù)為MT和MR，子空間維數(shù)為ps且ps＜MT。不同檢測(cè)器的計(jì)算復(fù)雜度如表2所示。

表2 計(jì)算復(fù)雜度Tab.2 Computational complexity

假設(shè)MT=MR=K=Mc，則Keystone-全空時(shí)處理檢測(cè)器、Keystone-空域處理檢測(cè)器和GLRT 檢測(cè)器的計(jì)算復(fù)雜度分別為圖5 展示了不同檢測(cè)器的計(jì)算復(fù)雜度結(jié)果，可以看出，傳統(tǒng)的GLRT 檢測(cè)器有著最低的計(jì)算復(fù)雜度，Keystone-全空時(shí)處理檢測(cè)器的計(jì)算復(fù)雜度很高，而Keystone-空域處理檢測(cè)器處于兩者之間。

圖5 不同檢測(cè)器的計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比Fig.5 Computational complexity comparison between different detectors

5 結(jié)論

本文主要研究了在高斯白噪聲背景下距離角度失配時(shí)的FDA-MIMO 雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)算法。在同時(shí)考慮采樣誤差以及角度誤差的情況下，研究了檢測(cè)器和子空間的構(gòu)建，仿真結(jié)果表明，相比僅考慮距離失配的情況，距離角度同時(shí)失配時(shí)，會(huì)增大子空間的維數(shù)。此外，還研究了FDA-MIMO 雷達(dá)中的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)。首先引入Keystone 變換算法，消除距離徙動(dòng)和多普勒擴(kuò)展，隨后引入子空間模型以抵導(dǎo)向矢量失配的影響，為了得到性能較好的檢測(cè)器，考慮了Keystone 變換的重采樣過程對(duì)噪聲的影響，并推導(dǎo)了對(duì)應(yīng)的檢測(cè)器。最后，數(shù)值仿真結(jié)果表明，基于Keystone 變換的自適應(yīng)檢測(cè)器相比傳統(tǒng)方法，有更好的檢測(cè)性能。