高中數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的化歸思想

王明月

? 西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院

1 數(shù)學(xué)問(wèn)題解決

“問(wèn)題解決”已經(jīng)成為了教育領(lǐng)域中的一個(gè)熱門話題,同時(shí)它也是學(xué)生獲得新知識(shí)的一個(gè)主要方式,因此,國(guó)內(nèi)外的心理學(xué)者和教育工作者都對(duì)“問(wèn)題解決”進(jìn)行了廣泛的研究.在教育心理學(xué)領(lǐng)域,更是提出了“試誤論”“頓悟說(shuō)”“最近發(fā)展區(qū)”“五階段論”“六階段論”和問(wèn)題解決的IDEAL模式等理論學(xué)說(shuō).在我國(guó)的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中,問(wèn)題解決也被列入了總目標(biāo)中的一項(xiàng)明確的要求.這表明,問(wèn)題解決已經(jīng)成為了教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)中必須重視的一個(gè)方面.

從最初對(duì)問(wèn)題解決的初探,到目前的深入研究,已經(jīng)經(jīng)歷了三個(gè)時(shí)期:第一個(gè)時(shí)期的首要目的是掌握知識(shí),學(xué)習(xí)方法;第二個(gè)時(shí)期是“雙基論”時(shí)期,側(cè)重于對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)理論的掌握和基本功的訓(xùn)練;第三個(gè)時(shí)期是“三維目標(biāo)”時(shí)期,重點(diǎn)是從具體問(wèn)題的解決向思維方式的轉(zhuǎn)化.如今,問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)在數(shù)學(xué)課程中已經(jīng)占有了很大的比重.

2 化歸思想

數(shù)學(xué)作為人類的精神財(cái)富,具有豐富的思想方法.數(shù)學(xué)思維方法的滲透是以數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)的[1].中小學(xué)生的年齡特征,決定了一些數(shù)學(xué)思想難以被接受,將過(guò)多的數(shù)學(xué)思想滲透給學(xué)生是不現(xiàn)實(shí)的.因此,我們要有選擇地滲透一些重要的數(shù)學(xué)思想,整合容易被接受的思想和方法,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高.筆者認(rèn)為,高中數(shù)學(xué)應(yīng)重視的是思維的轉(zhuǎn)變.

化歸思想的實(shí)質(zhì)是通過(guò)將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題分解成一系列簡(jiǎn)單的子問(wèn)題來(lái)解決.具體而言,利用化歸思想解決問(wèn)題通常包括以下幾個(gè)步驟:(1)確定問(wèn)題的基本要素.首先,需要明確問(wèn)題中的基本要素,例如已知條件、未知量等.(2)分析問(wèn)題的特點(diǎn).對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題,需要仔細(xì)分析它的特點(diǎn),找出其中的規(guī)律和關(guān)系.(3)逐步化簡(jiǎn)問(wèn)題.通過(guò)逐步化簡(jiǎn),將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的形式,使得問(wèn)題更易于理解和解決.(4)歸納總結(jié).在解決簡(jiǎn)化后的問(wèn)題之后,需要進(jìn)行歸納總結(jié),找出問(wèn)題的一般性解法或規(guī)律.

化歸思想解決問(wèn)題的一般模式[2]見圖1.

圖1 化歸思想解決問(wèn)題的直觀表示

3 化歸思想六種方法及應(yīng)用案例分析

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決需要學(xué)生的邏輯思維、分析和推理能力.化歸法這種思維方式可以培養(yǎng)學(xué)生的思維敏銳性和邏輯思維能力,能夠幫助他們更好地理解和解決其他學(xué)科和現(xiàn)實(shí)生活中的各種問(wèn)題.

化歸法是解題的重要方法,它能夠幫助我們解決問(wèn)題.化歸能力與問(wèn)題解決的成敗直接相關(guān).在化歸的過(guò)程中,需要建立知識(shí)之間的聯(lián)系,優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu).這樣可以豐富問(wèn)題解決的策略,實(shí)現(xiàn)知識(shí)的轉(zhuǎn)移.所以,化歸法對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)非常重要.在學(xué)習(xí)的過(guò)程中,學(xué)生要學(xué)會(huì)運(yùn)用化歸方法來(lái)解決問(wèn)題,從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決能力的提升.

化歸思想是解題的重要途徑和方法.文[3]中介紹了化歸思想解題的六個(gè)特征,筆者從中總結(jié)出常見的化歸方法,并進(jìn)行舉例分析.

3.1 改變表達(dá)方式

從化歸思維的角度,采用“數(shù)形”結(jié)合的方法,對(duì)函數(shù)的“數(shù)”和“形”進(jìn)行轉(zhuǎn)換,與之相關(guān)的問(wèn)題就有多種表達(dá)形式.例如,函數(shù)的表示有解析法、圖象法和列表法,所以在處理函數(shù)問(wèn)題時(shí),可以將一種表達(dá)形式轉(zhuǎn)化為另一種形式.再如,指數(shù)式和對(duì)數(shù)式也是對(duì)同一內(nèi)容的不同表達(dá)方式.

3.2 改變思考方向

從化歸思想的角度將“正向思維”轉(zhuǎn)化為“逆向思維”,運(yùn)用了逆向思維法,“分析法”和“反證法”即為該原理.當(dāng)題中的已知條件不足以支撐所求結(jié)論時(shí),可以考慮從結(jié)論入手去匹配已知條件,即“正難則反”.

3.3 改變語(yǔ)言表達(dá)方式

數(shù)學(xué)問(wèn)題的表述方式多種多樣,有自然語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言,還有圖形語(yǔ)言.于學(xué)生而言,相較于符號(hào)語(yǔ)言,自然語(yǔ)言更易理解.所以,在學(xué)生學(xué)習(xí)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),一定要強(qiáng)化多種語(yǔ)言形式的相互轉(zhuǎn)化,尤其是當(dāng)遇到不懂的題目時(shí),可嘗試用另外一種語(yǔ)言來(lái)表達(dá).

案例2已知集合A={x|-1≤x≤0},集合B={x|ax+b·2x-1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}.若a,b∈N,求A∩B≠?的概率.

分析：本題采用符號(hào)語(yǔ)言表述題干,但對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō),審題時(shí)可能感覺(jué)比較抽象,不能很好挖掘問(wèn)題的核心,導(dǎo)致在問(wèn)題解決的過(guò)程中遇到阻礙.本題的關(guān)鍵在于將“A∩B≠?”轉(zhuǎn)化為“不等式ax+b·2x-1<0在區(qū)間[-1,0]上有解”即f(x)=ax+b·2x-1在[-1,0]上最小值小于0.一旦學(xué)生完成了該轉(zhuǎn)換,接下來(lái)問(wèn)題就迎刃而解了.

3.4 改變式子搭配方式

數(shù)學(xué)式子的表達(dá)形式是多樣的,有時(shí)題中給出的式子不能夠幫助學(xué)生快速發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的核心,這就需要學(xué)生能夠靈活變通,不斷改變式子結(jié)構(gòu),找到關(guān)鍵點(diǎn).

3.5 改變思考角度

在遇到問(wèn)題時(shí),當(dāng)很難將其作為一個(gè)整體來(lái)看待,或者“當(dāng)一個(gè)問(wèn)題包含了很多可能的情況或結(jié)果時(shí),我們通常會(huì)將每一個(gè)方面或情況的復(fù)雜問(wèn)題分解成更簡(jiǎn)單、更一般的問(wèn)題[4],”即分類討論.分類討論是一種化歸策略,我們可以用它把問(wèn)題進(jìn)行分解,然后逐一解決.

案例4設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2,若當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥0,求a的取值范圍.

分析：本題可采取分離變量或分類討論兩種方式解決.但是,前者需要多次求導(dǎo),且需要應(yīng)用到高等數(shù)學(xué)中的知識(shí),超過(guò)了學(xué)生的知識(shí)范疇;后者則需要正確分類,此時(shí)就要求學(xué)生能注意到題目中的隱含條件,即f(0)=0,而本題的重點(diǎn)其實(shí)就是求f(x)≥0對(duì)x≥0均成立的充分必要條件.因此可以從側(cè)面入手,由f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增即充分條件,求出a的取值范圍,再驗(yàn)證其必要性即可得解.

3.6 改變研究對(duì)象

從化歸思想的角度使“陌生的研究對(duì)象”向“熟悉的研究對(duì)象”進(jìn)行轉(zhuǎn)化,運(yùn)用的換元法歸屬于化歸方法,學(xué)生在函數(shù)問(wèn)題中運(yùn)用換元法的解題能力亦稱作構(gòu)造能力.

分析：題干中的a是指數(shù)形式,b是分?jǐn)?shù)形式,c是對(duì)數(shù)形式,三個(gè)字母所代表的數(shù)值形式不統(tǒng)一,可以利用化歸思想通過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)統(tǒng)一.此時(shí),可以構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+ln(1-x)且x∈(0,0.1]來(lái)判斷a與b的大小關(guān)系,構(gòu)造函數(shù)g(x)=xex+ln(1-x)且x∈(0,0.1] ,來(lái)判斷a與c的大小關(guān)系.本題通過(guò)構(gòu)造與原問(wèn)題密切相關(guān)的數(shù)學(xué)模型,從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單或易于求解的新問(wèn)題, 使得問(wèn)題在該模型的作用下實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化,迅速獲解.