一個大Lyapunov指數(shù)四維超混沌系統(tǒng)分析及同步

楊旦旦 鄧林

(四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院 土木工程系,四川德陽 618000)

混沌是非線性系統(tǒng)中表現(xiàn)確定性、類隨機(jī)的過程,由于對初值具有敏感的依賴性而廣泛應(yīng)用于保密通信、圖像加密等方面。Lyapunov指數(shù)表示相空間相鄰軌跡的平均指數(shù)發(fā)散率,是刻畫非線性系統(tǒng)混沌特征的有效方法。普通的混沌系統(tǒng)有一個正的Lyapunov指數(shù)。而超混沌系統(tǒng)是具備至少2個正的Lyapunov指數(shù)的混沌系統(tǒng),其不穩(wěn)定性程度比普通混沌更高,動力學(xué)行為比普通混沌更加難以預(yù)測,因此有更高的應(yīng)用價值。從超混沌概念被提出以來,研究人員對其研究取得了許多新成果[1-12]。文獻(xiàn)[1-3]構(gòu)造和研究了五維或五維以上超混沌系統(tǒng),但是五維或五維以上的系統(tǒng)出現(xiàn)超混沌的可能性比四維系統(tǒng)出現(xiàn)超混沌的可能性要高。文獻(xiàn)[4-12]構(gòu)造和研究了四維的超混沌系統(tǒng),但是其最大和第二大的Lyapunov指數(shù)都較小。有較大正Lyapunov指數(shù)的四維超混沌系統(tǒng)比較稀有。本文在前人的基礎(chǔ)上給出了一個新的最大Lyapunov指數(shù)大于18、第二大的Lyapunov指數(shù)大于3的四維超混沌系統(tǒng),分析了該系統(tǒng)的耗散性、平衡點的穩(wěn)定性,用Lyapunov指數(shù)譜、相圖等分析手段研究了系統(tǒng)各參數(shù)對系統(tǒng)的動力學(xué)特性的影響,設(shè)計了一種線性反饋控制器實現(xiàn)了該超混沌系統(tǒng)的混沌同步。

1 新超混沌的系統(tǒng)模型

文獻(xiàn)[13]給出的混沌系統(tǒng)的動力學(xué)方程如下:

(1)

在此基礎(chǔ)上,構(gòu)造如下四維系統(tǒng):

(2)

其中,x,y,z,w為系統(tǒng)的4個狀態(tài)變量;a,b,c,e,f,g,h,k,m,r為系統(tǒng)參數(shù)。參考文獻(xiàn)[14]中計算連續(xù)系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)的方法計算此系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù),當(dāng)選取參數(shù)(a,b,c,e,f,g,h,k,m,r)=(50, 15, 50, 30, 110, 1, 1, 10, 60, 100)時,該系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為λ1=18.889 2,λ2=3.137 0,λ3=0,λ4=-96.923 4,有兩個大的正的Lyapunov指數(shù),并且所有Lyapunov指數(shù)的和小于零,其Lyapunov維數(shù)為3.227 3,說明此時系統(tǒng)達(dá)到超混沌狀態(tài)。對應(yīng)的吸引子相圖如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)的超混沌吸引子相圖

2 系統(tǒng)的動力學(xué)分析

2.1 系統(tǒng)的對稱性

存在一個對稱變換F∶(x,y,z,w)→(-x,-y,z,-w),在變換F的作用下具有不變性,即系統(tǒng)關(guān)于z軸對稱,并且這種對稱性對所有的系統(tǒng)參數(shù)均成立。

2.2 系統(tǒng)的耗散性及吸引子的存在性

-75<0,可見該系統(tǒng)是一個耗散非線性系統(tǒng),系統(tǒng)的狀態(tài)是有界的,并以指數(shù)形式e-75收斂。當(dāng)時間趨于無窮時,包含系統(tǒng)軌線的小體積元以指數(shù)速率收縮到零,系統(tǒng)的軌線會被限制在一個極限子集上,說明了吸引子的存在性。

2.3 平衡點及其性質(zhì)

解方程組

可以得到系統(tǒng)的平衡點,用Matlab計算得到系統(tǒng)的平衡點為O(0,d,0,5d),其中d為實數(shù)。系統(tǒng)的Jacobi矩陣為

當(dāng)d=0,將平衡點O(0,0,0,0)代入系統(tǒng)的Jacobi矩陣,得到對應(yīng)的4個特征根為-78.989 8,18.989 8,0,-15。其中有一個為正值,所以O(shè)(0,0,0,0)是不穩(wěn)定的鞍點。

2.4 系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜的影響

Lyapunov指數(shù)是動力系統(tǒng)相鄰運動軌線分離程度的一種度量。判斷系統(tǒng)運動狀態(tài)的一種常用方法就是計算系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)。1)當(dāng)系統(tǒng)收斂于穩(wěn)定平衡點,系統(tǒng)所有的Lyapunov指數(shù)為負(fù);2)當(dāng)系統(tǒng)處于周期狀態(tài),系統(tǒng)最大的Lyapunov指數(shù)為0,其余Lyapunov指數(shù)為負(fù);3)當(dāng)系統(tǒng)處于擬周期狀態(tài),系統(tǒng)有2個Lyapunov指數(shù)為0,其余Lyapunov指數(shù)為負(fù);4)當(dāng)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài),系統(tǒng)有1個正的Lyapunov指數(shù),有一個Lyapunov指數(shù)為0;5)當(dāng)系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài),系統(tǒng)有2個或2個以上的正的Lyapunov指數(shù),有一個Lyapunov指數(shù)為0。為了分析系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)(2)運動狀態(tài)的影響,這里計算了改變一個參數(shù)而固定其余參數(shù)時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜。從Lyapunov指數(shù)譜隨參數(shù)變化判斷系統(tǒng)作何種運動的參數(shù)區(qū)間,重點考慮作混沌和超混沌運動的參數(shù)區(qū)間。

系統(tǒng)是四維的,因此有四個Lyapunov指數(shù)。判斷是否為混沌運動,只需看最大的Lyapunov指數(shù)L1是否大于零(數(shù)值計算的原因,這里給定一個下界0.05,即如果L1不小于0.05,判斷為混沌運動)。判斷是否為超混沌運動,只需看第二大的Lyapunov指數(shù)L2是否大于零(數(shù)值計算的原因,這里也給定一個下界0.05,即如果L2不小于0.05,判斷為超混沌運動)。下面給出各參數(shù)變化時,系統(tǒng)作混沌運動和超混沌運動的連續(xù)參數(shù)區(qū)間。圖2給出了a,b,c,e分別變化時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2。圖2(a)給出系統(tǒng)參數(shù)(b,c,e,f,g,h,k,m,r)=(15,50,30,110,1,1,10,60,100),a∈[-20,400]時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2;計算結(jié)果表明,當(dāng)28≤a≤400時,系統(tǒng)作混沌或超混沌運動,特別地當(dāng)28≤a≤400時系統(tǒng)作超混沌運動。圖2(b)給出系統(tǒng)參數(shù)(a,c,e,f,g,h,k,m,r)=(50, 50, 30, 110, 1, 1, 10, 60, 100),b∈[1, 201]時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2;計算結(jié)果表明,當(dāng)1≤b≤61或83≤b≤141時,系統(tǒng)作混沌或超混沌運動,特別地當(dāng)13≤b≤43時,系統(tǒng)作超混沌運動。圖2(c)給出系統(tǒng)參數(shù)(a,b,e,f,g,h,k,m,r)=(50, 15, 30, 110, 1, 1, 10, 60, 100),c∈[-10, 99]時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2;計算結(jié)果表明,當(dāng)26≤c≤79或95≤c≤99時,系統(tǒng)作混沌或超混沌運動,特別地當(dāng)32≤c≤79或95≤c≤99時,系統(tǒng)作超混沌運動。圖2(d)給出系統(tǒng)參數(shù)(a,b,c,f,g,h,k,m,r)=(50, 15, 50, 110, 1, 1, 10, 60, 100),e∈[-20, 170]時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2;計算結(jié)果表明,當(dāng)-10≤e≤144或148≤e≤170時,系統(tǒng)作混沌或超混沌運動,特別地當(dāng)22≤e≤144或148≤e≤154時,系統(tǒng)作超混沌運動。

圖2 系統(tǒng)參數(shù)a,b,c,e分別變化時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜

圖3給出了f,g,h,k分別變化時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2。圖3(a)給出系統(tǒng)參數(shù)(a,b,c,e,g,h,k,m,r)=(50,15,50,30,1,1,10,60,100),f∈[-20,400]時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2;計算結(jié)果表明,當(dāng)-16≤f≤220或360≤f≤400時,系統(tǒng)作混沌或超混沌運動,特別地當(dāng)16≤f≤180時,系統(tǒng)作超混沌運動。圖3(b)給出系統(tǒng)參數(shù)(a,b,c,e,f,h,k,m,r)=(50,15,50,30,110,1,10,60,100),g∈[1,100]時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2;計算結(jié)果表明,當(dāng)1≤g≤20時,系統(tǒng)作混沌或超混沌運動,特別地當(dāng)g=1時,系統(tǒng)作超混沌運動。圖3(c)給出系統(tǒng)參數(shù)(a,b,c,e,f,g,k,m,r)=(50, 15, 50, 30, 110, 1, 10, 60, 100),h∈[1,201]時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2;計算結(jié)果表明,當(dāng)1≤h≤201時,系統(tǒng)作混沌或超混沌運動,特別地當(dāng)1≤h≤201時,系統(tǒng)作超混沌運動。圖3(d)給出系統(tǒng)參數(shù)(a,b,c,e,f,g,h,m,r)=(50,15,50,30,110,1, 1,60,100),k∈[0,50]時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2;計算結(jié)果表明,當(dāng)0.5≤k≤2.5或5≤k≤21.5時,系統(tǒng)作混沌或超混沌運動,特別地當(dāng)0.5≤k≤2.5或5≤k≤13時,系統(tǒng)作超混沌運動。

圖3 系統(tǒng)參數(shù)f,g,h,k分別變化時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜

圖4給出了m,r分別變化時的系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2。圖4(a)給出系統(tǒng)參數(shù)(a,b,c,e,f,g,h,k,r)=(50,15,50,30,110,1,1,10,100),m∈[2,302]時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2;計算結(jié)果表明,2≤m≤80或182≤m≤278時,系統(tǒng)作混沌或超混沌運動,特別地當(dāng)14≤m≤74時,系統(tǒng)作超混沌運動。圖4(b)給出系統(tǒng)參數(shù)(a,b,c,e,f,g,h,k,m)=(50,15,50,30,110,1,1,10,60),r∈[-10,260]時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜L1～L2;計算結(jié)果表明,74≤r≤224時,系統(tǒng)作混沌或超混沌運動,特別地當(dāng)74≤r≤224時,系統(tǒng)作超混沌運動。

圖4 系統(tǒng)參數(shù)m,r分別變化時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜

3 典型參數(shù)值的數(shù)值模擬

Lyapunov指數(shù)無法直觀看到系統(tǒng)作何種運動,而吸引子相圖能直觀看到系統(tǒng)作周期運動還是混沌運動。因此本節(jié)針對不同的典型的基本參數(shù),數(shù)值模擬得到對應(yīng)的吸引子的相圖。由于參數(shù)較多,這里以參數(shù)b變化為例,其余參數(shù)保持和圖2(b)中一樣。b的變化區(qū)間為[1, 201]。6個典型b值下系統(tǒng)的吸引子在x-y平面的相圖如圖5所示。結(jié)合Lyapunov指數(shù)譜可知,當(dāng)b=1時,系統(tǒng)成混沌態(tài);當(dāng)b=13時,系統(tǒng)成超混沌態(tài);當(dāng)b=63時,系統(tǒng)成周期態(tài);當(dāng)b=65時,系統(tǒng)成擬周期態(tài);當(dāng)b=127時,系統(tǒng)成混沌態(tài);當(dāng)b=197時,系統(tǒng)成周期態(tài)。

圖5 不同的b值下系統(tǒng)吸引子的相軌跡在x-y平面的投影

4 超混沌同步

混沌同步是指一個系統(tǒng)(響應(yīng)系統(tǒng))的混沌動力學(xué)軌道收斂于另一個系統(tǒng)(驅(qū)動系統(tǒng))的混沌動力學(xué)軌道,以致兩個系統(tǒng)在以后的時間里始終保持步調(diào)一致?；煦缤绞菍崿F(xiàn)保密通信的關(guān)鍵。而超混沌同步是驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)均為超混沌系統(tǒng)的混沌同步。下面將對本文討論的超混沌系統(tǒng)實現(xiàn)超混沌同步。

設(shè)驅(qū)動系統(tǒng)為

設(shè)驅(qū)動變量為x2,構(gòu)造響應(yīng)系統(tǒng)為

其中,p1、p2為待設(shè)計的反饋控制器。

設(shè)誤差變量為

則誤差系統(tǒng)可化為

選取線性反饋控制器p1=-10e2、p2=-10e4,則誤差系統(tǒng)可化為

圖6 同步誤差曲線

5 結(jié)語

本文設(shè)計了一個新大Lyapunov指數(shù)四維超混沌系統(tǒng)。分析得到新系統(tǒng)的耗散性和平衡點的穩(wěn)定性。計算了系統(tǒng)各個參數(shù)變化時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜,從而得到系統(tǒng)作混沌運動和超混沌運動的參數(shù)變化區(qū)間。普通的混沌系統(tǒng)有一個正的Lyapunov指數(shù),對初值的敏感使之在保密通信等領(lǐng)域有很大的應(yīng)用價值。而超混沌系統(tǒng)由于有不止一個正的Lyapunov指數(shù),所以對初值的敏感性比普通的混沌系統(tǒng)更強(qiáng),所以在上述方面比普通的混沌系統(tǒng)有更大的應(yīng)用價值。本文研究的超混沌系統(tǒng)在寬泛的參數(shù)區(qū)間表現(xiàn)出的混沌和超混沌特性可以給基于混沌和超混沌理論工程應(yīng)用提供豐富的選擇。用相圖直觀研究得到系統(tǒng)隨參數(shù)變化時的運動形式。設(shè)計了一種線性反饋控制器實現(xiàn)了該超混沌系統(tǒng)的混沌同步,結(jié)果表明該同步方法快速有效、結(jié)果穩(wěn)定。所得結(jié)果為該超混沌系統(tǒng)在混沌保密通信等領(lǐng)域中的應(yīng)用提供了理論參考。