羅國(guó)慶,胡東,趙仲勇a,廖潤(rùn),謝菊芳
(1.西南大學(xué) a.工程技術(shù)學(xué)院;b.智能電網(wǎng)及裝備新技術(shù)國(guó)際研發(fā)中心,重慶 400715;2.中國(guó)南方工業(yè)集團(tuán)軍品部,北京 100089)
近年來(lái),隨著工業(yè)化的發(fā)展,傳感器在大型機(jī)械設(shè)備上的檢測(cè)與采樣愈發(fā)復(fù)雜,依據(jù)傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定理進(jìn)行采樣得到的數(shù)據(jù)量巨大,數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)采集、存儲(chǔ)困難,而且會(huì)引發(fā)傳感器功耗激增、續(xù)航過(guò)短等問(wèn)題。壓縮感知理論提出稀疏信號(hào)可以用遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣定理要求的采樣頻率進(jìn)行采樣[1],為處理海量數(shù)據(jù)提供了新的思路,因此被廣泛應(yīng)用于壓縮成像[2]、語(yǔ)音信號(hào)處理[3]、雷達(dá)探測(cè)[4]等領(lǐng)域。
壓縮感知要求信號(hào)本身稀疏或在某個(gè)變換域上稀疏。最常見(jiàn)的變換域是正交基完備稀疏字典,但其靈活性較差,處理具備復(fù)雜特性的軸承振動(dòng)信號(hào)時(shí)稀疏性較差,信號(hào)重構(gòu)效果不佳[5]?;谧值鋵W(xué)習(xí)算法的字典可以更好地適應(yīng)軸承振動(dòng)信號(hào)自身的特性,K?奇異值分解(K?Singular Value Decomposition,K?SVD)算法在最優(yōu)向量法[6]的基礎(chǔ)上優(yōu)化了順序更新列[7],其生成的過(guò)完備字典與原信號(hào)的匹配度高,稀疏效果好[8]。文獻(xiàn)[9?10]在不同振動(dòng)信號(hào)的壓縮感知過(guò)程中利用K?SVD 訓(xùn)練過(guò)完備字典稀疏信號(hào),有效提升了振動(dòng)信號(hào)的壓縮感知性能。然而,常見(jiàn)的重構(gòu)算法在K?SVD 過(guò)完備字典上恢復(fù)振動(dòng)信號(hào)的應(yīng)用效果并不理想[11],重構(gòu)效果仍有待提升。
傳統(tǒng)的信號(hào)重構(gòu)算法有以正交匹配追蹤算法(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)[12]為代表的貪婪算法和以基追蹤算法(Basis Pursuit,BP)[13]為代表的凸優(yōu)化算法。貪婪算法的重構(gòu)效率高,但易陷入局部最優(yōu);凸優(yōu)化算法的精度高,但計(jì)算復(fù)雜度過(guò)高,不符合實(shí)際應(yīng)用要求。廣義正交匹配追蹤算法(Generalized Orthogonal Matching Pursuit,GOMP)[14]在OMP 基礎(chǔ)上改變了原子選擇方式,通過(guò)每次選擇多個(gè)原子加快了收斂速度,但其無(wú)法剔除每次迭代中的錯(cuò)誤原子,重構(gòu)精度不佳。文獻(xiàn)[15]在GOMP 迭代后對(duì)系數(shù)施加約束,提出了基于約束的廣義正交匹配追蹤算法,抗噪性有所提升,但仍無(wú)法在迭代中剔除錯(cuò)誤原子。文獻(xiàn)[16]引用子空間追蹤(Subspace Pursuit,SP)思想提出了基于子空間的廣義正交匹配追蹤算法,其在糾正原子時(shí)選擇絕對(duì)值最大的k項(xiàng)作為原始信號(hào)最終估計(jì)值,而實(shí)際應(yīng)用中的信號(hào)相對(duì)k是稀疏的,因此該算法在實(shí)際應(yīng)用中的重構(gòu)誤差較大,細(xì)節(jié)信息丟失嚴(yán)重[17?18]。
針對(duì)上述問(wèn)題,本文提出基于麻雀搜索算法?回溯廣義正交匹配追蹤(Sparrow Search Algo?rithm ?Back GOMP,SSA?BGOMP)的軸承振動(dòng)信號(hào)壓縮感知方法,利用高斯隨機(jī)矩陣對(duì)軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行壓縮采樣,利用K?SVD 訓(xùn)練樣本信號(hào)得到稀疏字典,在GOMP 基礎(chǔ)上引入改進(jìn)的回溯機(jī)制,通過(guò)SSA[19]自適應(yīng)設(shè)置閾值的方式對(duì)支撐集原子進(jìn)行二次回溯篩選,降低錯(cuò)誤原子與噪聲分量被選入支撐集的概率,提升算法的抗噪性以及重構(gòu)效果。
壓縮感知理論提出,當(dāng)信號(hào)稀疏或其在某個(gè)變換域上稀疏,就可以用一個(gè)與變換基不相關(guān)的觀測(cè)矩陣將高維信號(hào)投影到一個(gè)低維空間上,得到一個(gè)遠(yuǎn)小于信號(hào)長(zhǎng)度的觀測(cè)值,通過(guò)優(yōu)化求解就能夠從相對(duì)少的投影中構(gòu)造出一個(gè)近似原信號(hào)的重構(gòu)信號(hào)。
設(shè)f為有限實(shí)值離散空間,壓縮感知要求f的信號(hào)是稀疏的,其數(shù)學(xué)模型為
式中:f為原始信號(hào);Ψ為正交基矩陣,Ψ=(φ1,φ2,…,φN);α為原始信號(hào)f在正交基矩陣Ψ上的稀疏投影。設(shè)α有k(k<<n)個(gè)非零系數(shù)。k為稀疏度,是衡量原始信號(hào)f在Ψ上稀疏效果的指標(biāo)。
獨(dú)立同分布的高斯隨機(jī)變量形成的觀測(cè)矩陣與任意正交基矩陣Ψ具有較強(qiáng)的不相關(guān)性[20],而且高斯隨機(jī)矩陣與Ψ形成的感知矩陣滿(mǎn)足有限等條件(Restricted Isometry Property,RIP)且約束等距常數(shù)δk較?。?1],則觀測(cè)值y可表示為
聯(lián)立(1),(2)式可得
式中:Φ為觀測(cè)矩陣;Θ為感知矩陣。
上述問(wèn)題轉(zhuǎn)換為從觀測(cè)值y中恢復(fù)原始信號(hào)f,需從觀測(cè)值y中求解稀疏投影α,即求解如下的最優(yōu)化問(wèn)題
最小L0范數(shù)可在一定條件下轉(zhuǎn)換為最小L1范數(shù)以找到最稀疏的解,則(4)式可轉(zhuǎn)換為
設(shè)原始信號(hào)f由純凈信號(hào)x與噪聲信號(hào)n構(gòu)成,即f=x+n,將其在正交基矩陣Ψ展開(kāi)可得
與(3)式聯(lián)立可得
式中:αx,αn分別為x和n在Ψ上的稀疏投影。設(shè)αx,αn的稀疏度分別為kx和kn,由于n不具備稀疏性,而x可以被正交基矩陣Ψ稀疏,則有kn<<kx。因此,可以從原始信號(hào)f中較好的重構(gòu)出純凈信號(hào)x,噪聲信號(hào)n則很難重構(gòu),即壓縮感知可以在重構(gòu)過(guò)程中過(guò)濾噪聲。
當(dāng)α是稀疏度為k的稀疏投影時(shí),其內(nèi)部會(huì)存在大量的0 元素。感知矩陣Θ中對(duì)應(yīng)α為0 位置的列不會(huì)影響壓縮感知重構(gòu),只有α非0位置的列才會(huì)影響壓縮感知重構(gòu)。對(duì)于感知矩陣Θ,將對(duì)應(yīng)α為0 位置的列合并為無(wú)效支撐集I,對(duì)應(yīng)α非0位置的列合并為有效支撐集E,即
則由壓縮感知理論可得
壓縮感知的支撐集原子選擇過(guò)程就是尋找有效支撐集E中全部原子的過(guò)程。GOMP 算法每次選擇S個(gè)原子(默認(rèn)值為k/4),雖然增加了選入有效支撐集原子的概率,但也增加了選入無(wú)效支撐集原子的概率,而且無(wú)法剔除無(wú)效支撐集原子。因此,本文在GOMP 算法中引入回溯思想降低錯(cuò)誤原子選入支撐集的可能性。在迭代過(guò)程中,通過(guò)SSA 自動(dòng)設(shè)置閾值過(guò)濾無(wú)效支撐集原子,降低錯(cuò)誤原子被選入支撐集的概率,從而更好地重構(gòu)原始信號(hào)的細(xì)節(jié)信息,并提升壓縮感知重構(gòu)效果及其降噪能力。SSA?BGOMP 算法流程如圖1 所示,算法具體描述如下。
圖1 SSA?BGOMP算法流程圖Fig.1 Flow chart of SSA?BGOMP algorithm
輸入:觀測(cè)值y;感知矩陣Θ=ΦΨ;稀疏度k;每次選擇原子的個(gè)數(shù)S,默認(rèn)值k/4,若k<4 則取N= 1;
初始化:r0=y,Λ0= ?,t= 1;設(shè)定SSA 的參數(shù),當(dāng)滿(mǎn)足終止條件后得到最優(yōu)閾值μ;
Fort= 1:k
(a)更新索引集:求u= abs[ΘTrt?1],取值最大的S個(gè)并將其對(duì)應(yīng)ΘT中的列序號(hào)j構(gòu)成一個(gè)列序號(hào)集合J0;令Λt=Λt?1∪J0,Θt=Θt?1∪θj(for allj∈J0);
(b)求最小二乘解:求y=Θtαt的最小二乘解α?t;
(c)篩選索引集原子:更新Λt為最小二乘解絕對(duì)值大于閾值μ對(duì)應(yīng)的原子集合;
(d)更新殘差:rt=y?
End
為驗(yàn)證SSA?BGOMP 算法重構(gòu)信號(hào)的效果,選用長(zhǎng)度為256 的高斯隨機(jī)信號(hào)作為仿真信號(hào),與OMP,壓縮采樣匹配追蹤(Compressive Sampling Matching Pursuit,CSMP),SP,GOMP,SSA?BGOMP 算法進(jìn)行對(duì)比分析。仿真信號(hào)的稀疏度k以5為步長(zhǎng)從5增至50,觀測(cè)矩陣為100×256的高斯隨機(jī)矩陣,壓縮率為60%;SSA?BGOMP與GOMP每次選擇的原子數(shù)取默認(rèn)值,SSA的參數(shù)設(shè)置見(jiàn)表1。相對(duì)誤差小于0.1%時(shí)記為重構(gòu)成功,試驗(yàn)重復(fù)運(yùn)行100次并記錄成功次數(shù),成功重構(gòu)率及其相對(duì)誤差如圖2所示:SSA?BGOMP算法重構(gòu)信號(hào)的成功率隨稀疏度的增加下降的最慢,在k為35時(shí)成功率仍大于70%,遠(yuǎn)高于其他算法,而且其重構(gòu)信號(hào)的相對(duì)誤差最小,重構(gòu)信號(hào)比其他算法更接近原始信號(hào)。
表1 SSA參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameter settings of SSA
圖2 不同算法重構(gòu)信號(hào)的成功率及其相對(duì)誤差Fig.2 Successful rates and relative errors of reconstructed signals by different algorithms
向仿真信號(hào)中加入信噪比30 dB 的高斯白噪聲,在其他條件不變的工況下對(duì)比不同算法的峰值信噪比(Peak Signal To Noise Ratio,PSNR),試驗(yàn)重復(fù)運(yùn)行100 次以驗(yàn)證SSA?BGOMP 算法的抗噪性,結(jié)果如圖3所示;另外,將仿真信號(hào)的稀疏度k設(shè)為25,在其他條件不變的工況下對(duì)比不同算法的運(yùn)行時(shí)間,試驗(yàn)重復(fù)運(yùn)行10 次以驗(yàn)證SSA?BGOMP算法的計(jì)算效率,結(jié)果如圖4所示。由圖3、圖4可知:SSA?BGOMP 算法重構(gòu)信號(hào)的峰值信噪比最高,重構(gòu)信號(hào)所需時(shí)間也低于OMP,CSMP 和SP 算法,抗噪性良好的同時(shí)在計(jì)算效率上也具備一定優(yōu)勢(shì)。
圖3 不同算法重構(gòu)信號(hào)的信噪比Fig.3 SNR of reconstructed signals by different algorithms
圖4 不同算法重構(gòu)信號(hào)所需時(shí)間Fig.4 Time required for reconstructed signals by different algorithms
仿真分析表明,引入回溯思想后,SSA?BGOMP 算法不僅保留了GOMP 算法運(yùn)行時(shí)間低的優(yōu)勢(shì),而且重構(gòu)效果明顯提升,其綜合重構(gòu)性能優(yōu)于其他算法。
選用凱斯西儲(chǔ)大學(xué)(CWRU)以及西安交通大學(xué)(XJTU?SY)軸承數(shù)據(jù)集進(jìn)行試驗(yàn)。CWRU 數(shù)據(jù)集包含驅(qū)動(dòng)端軸承的正常信號(hào)以及鋼球、外圈、內(nèi)圈故障信號(hào),XJTU?SY 數(shù)據(jù)集則包含外圈、內(nèi)圈故障信號(hào)。其中,N 表示正常信號(hào),B,OR,IR 分別表示鋼球、外圈、內(nèi)圈故障信號(hào)。信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)取1024,CWRU 數(shù)據(jù)集中4 種原始信號(hào)的時(shí)域波形如圖5所示。
圖5 CWRU數(shù)據(jù)集的4種原始信號(hào)Fig.5 Four initial signals in CWRU dataset
使用相對(duì)誤差σ以及峰值信噪比PPSNR共同衡量軸承振動(dòng)信號(hào)壓縮重構(gòu)效果,其定義為
式中:σ為相對(duì)誤差;f為原始信號(hào);為恢復(fù)信號(hào);EMES為均方根誤差。σ越小,說(shuō)明壓縮感知效果越好;PPSNR越大,說(shuō)明壓縮感知降噪效果越好。
另外,使用壓縮率r表示軸承振動(dòng)信號(hào)的壓縮程度,即
式中:n為原始信號(hào)的長(zhǎng)度;m為觀測(cè)值的長(zhǎng)度。壓縮率越大,說(shuō)明信號(hào)的壓縮程度越高。
為驗(yàn)證SSA?BGOMP 算法對(duì)實(shí)際信號(hào)的重構(gòu)效果,分別選擇OMP,CSMP,SP,GOMP,SSA?BGOMP 算法對(duì)軸承振動(dòng)信號(hào)在DCT 完備字典上進(jìn)行壓縮率為0.5 ~ 0.7 的壓縮感知重構(gòu),每組試驗(yàn)重復(fù)100次取平均值,記錄相對(duì)誤差以及峰值信噪比,結(jié)果見(jiàn)表2:信號(hào)類(lèi)別、壓縮比共同影響信號(hào)的壓縮重構(gòu)效果,當(dāng)壓縮觀測(cè)條件相同時(shí),SSA?BGOMP 算法在CWRU 與XJTU?SY 軸承數(shù)據(jù)集中均取得了比其他貪婪算法更低的相對(duì)誤差以及更高的峰值信噪比。其中,SSA?BGOMP 比GOMP 的相對(duì)誤差降低2% ~ 12%,比SP算法的相對(duì)誤差降低3% ~ 9%。
為驗(yàn)證本文方法對(duì)實(shí)際信號(hào)的重構(gòu)效果,對(duì)CWRU 軸承振動(dòng)信號(hào)分別選擇OMP,CSMP,SP,GOMP,SSA?BGOMP 共5 種貪婪算法,在圖5 信號(hào)訓(xùn)練的K?SVD 字典上,進(jìn)行壓縮率為0.5 ~ 0.7的壓縮感知重構(gòu),并記錄相對(duì)誤差以及峰值信噪比。
K?SVD 算法生成過(guò)完備字典的參數(shù)依據(jù)文獻(xiàn)[5]選擇,字典長(zhǎng)度為1024×1920,稀疏表示時(shí)最多線性組合原子數(shù)為10,訓(xùn)練迭代次數(shù)為10,選用樣本信號(hào)自身原子進(jìn)行訓(xùn)練。每組試驗(yàn)重復(fù)100次取平均值,不同重構(gòu)算法對(duì)CWRU軸承振動(dòng)信號(hào)在K?SVD 字典上的相對(duì)誤差和峰值信噪比見(jiàn)表3:在K?SVD 字典上重構(gòu)軸承振動(dòng)信號(hào)時(shí),SSA?BGOMP 的重構(gòu)相對(duì)誤差依然最低,效果最穩(wěn)定,比GOMP 的相對(duì)誤差降低3% ~ 13%,比SP 的相對(duì)誤差降低5% ~ 20%,說(shuō)明其更適用于軸承振動(dòng)信號(hào)的壓縮感知重構(gòu)。
表3 K?SVD過(guò)完備字典上各重構(gòu)算法在不同壓縮率下的相對(duì)誤差和峰值信噪比Tab.3 Relative errors and PSNR of different reconstruction algorithms on K?SVD overcomplete dictionary under different compression rates
對(duì)比表2、表3 可知:K?SVD 過(guò)完備字典對(duì)CWRU 滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)壓縮重構(gòu)效果提升顯著,正常與內(nèi)、外圈故障信號(hào)在K?SVD 過(guò)完備字典上的重構(gòu)效果較好,鋼球故障信號(hào)的稀疏表示效果欠佳,在壓縮率過(guò)高時(shí)相對(duì)誤差較大。壓縮感知過(guò)程中,壓縮率越大,壓縮觀測(cè)后的數(shù)據(jù)量越少,但壓縮率過(guò)高會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)丟失,因此在進(jìn)行壓縮觀測(cè)時(shí)壓縮率不易過(guò)高。
在壓縮率為0.6的情況下,應(yīng)用本文方法對(duì)圖5所示軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu),重構(gòu)信號(hào)的時(shí)頻域波形如圖6 所示:正常和內(nèi)、外圈故障信號(hào)在壓縮重構(gòu)后仍保留了原始信號(hào)的全部信息;鋼球故障信號(hào)壓縮重構(gòu)后在時(shí)域上有輕微偏差,但頻域分布趨勢(shì)基本一致,關(guān)鍵信息得到了保留;結(jié)果表明,軸承振動(dòng)信號(hào)經(jīng)本文方法壓縮重構(gòu)后可以保持原有趨勢(shì)不變,而且能保留關(guān)鍵特征信息,可用于后續(xù)的數(shù)據(jù)分析。
圖6 CWRU軸承數(shù)據(jù)集原始信號(hào)重構(gòu)后的時(shí)頻域波形Fig.6 Time?frequency domain waveform reconstructed from original signals of CWRU bearing dataset
為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法壓縮重構(gòu)后的振動(dòng)信號(hào)能否用于后續(xù)數(shù)據(jù)分析,以CWRU 軸承數(shù)據(jù)集的軸承外圈故障信號(hào)為例進(jìn)行分析,采樣頻率為12 kHz,數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為12000,計(jì)算可得外圈故障特征頻率為107.4 Hz。
外圈故障原始信號(hào)及其希爾伯特包絡(luò)譜如圖7 所示,可以清晰觀察到109 Hz 的外圈故障特征頻率及其倍頻。
圖7 外圈故障原始信號(hào)特征分析Fig.7 Analysis on original signal characteristics of outer ring fault
為驗(yàn)證重構(gòu)后的恢復(fù)信號(hào)能否保留原信號(hào)特征,在壓縮率為0.8的情況下,應(yīng)用本文方法對(duì)外圈故障原始信號(hào)進(jìn)行壓縮重構(gòu)。重構(gòu)信號(hào)及其希爾伯特包絡(luò)譜如圖8所示,重構(gòu)信號(hào)僅幅值發(fā)生輕微偏差,仍可清晰分辨外圈故障特征頻率及其倍頻。
圖8 外圈故障重構(gòu)信號(hào)特征分析Fig.8 Analysis on reconstructed signal characteristics of outer ring fault
為改善軸承振動(dòng)信號(hào)的壓縮感知效果,針對(duì)GOMP 算法在迭代過(guò)程中無(wú)法剔除錯(cuò)誤原子的問(wèn)題,提出了基于SSA?BGOMP的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)壓縮感知方法。該方法具有一定的自適應(yīng)性,在提升壓縮感知恢復(fù)效果的同時(shí)并未添加新的人工選擇參數(shù),可以有效緩解數(shù)據(jù)量過(guò)多為數(shù)據(jù)處理帶來(lái)的壓力。仿真與試驗(yàn)分析表明,本文方法對(duì)比其他貪婪算法具有明顯優(yōu)勢(shì),可以有效改善軸承振動(dòng)信號(hào)的壓縮感知效果。經(jīng)過(guò)本文方法壓縮重構(gòu)后的恢復(fù)信號(hào),數(shù)據(jù)特征參量能夠被完整保存,可應(yīng)用于后續(xù)數(shù)據(jù)處理。