數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》的“課程目標(biāo)”部分，提出小學(xué)階段11 個(gè)核心素養(yǎng)，“幾何直觀”便是其中之一。數(shù)形結(jié)合作為其中一種重要的解題方法，被列為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一?！皵?shù)”與“形”是初中數(shù)學(xué)研究的兩大主題，它們就像一條數(shù)學(xué)發(fā)展的主線，串聯(lián)起諸多數(shù)學(xué)知識(shí)。因此，數(shù)字和圖形是密不可分的。

一、數(shù)形結(jié)合概述

數(shù)形結(jié)合是指根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的題設(shè)和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)量關(guān)系和圖形巧妙地結(jié)合起來(lái)，并充分利用這種結(jié)合來(lái)尋求解題思路，使問(wèn)題得到解決。它將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系相結(jié)合，用“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”的方式，實(shí)現(xiàn)抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化。數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)體現(xiàn)為以下三點(diǎn)：一是數(shù)與形的結(jié)合。數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)基本研究對(duì)象，數(shù)形結(jié)合法強(qiáng)調(diào)將兩者結(jié)合起來(lái)考查，斟酌問(wèn)題的具體情形。二是形和數(shù)的互補(bǔ)。圖形能提升數(shù)、式的直觀性，而數(shù)、式能反映圖形的準(zhǔn)確性。數(shù)形結(jié)合法表現(xiàn)出形的直觀性和數(shù)的精確性，讓數(shù)學(xué)問(wèn)題更易于被理解和解決。三是體現(xiàn)解題策略的多樣化。數(shù)形結(jié)合法提供了多種解題策略，如利用數(shù)軸、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、幾何模型、方程與不等式以及數(shù)、式特征等解題，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，或?qū)缀螁?wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。

二、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的意義

在初中數(shù)學(xué)中，利用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行解題的知識(shí)：（1）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，實(shí)數(shù)組與平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)；（2）函數(shù)和圖象之間的對(duì)應(yīng)，方程（群）的求解和圖象上的一些特征點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)；（3）分析平面圖中各參數(shù)之間的關(guān)系；（4）勾股定理，完全平方公式的應(yīng)用。其中，各類函數(shù)的組合解法是最常出現(xiàn)的壓軸題，也是比較難的一道題。在選擇題和填空題中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的題目：把一次函數(shù)、反比例函數(shù)與三角形、平行四邊形的周長(zhǎng)面積相結(jié)合，考查學(xué)生對(duì)解題過(guò)程中隱含的幾何含義的認(rèn)識(shí)。在學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)時(shí)，不少學(xué)生并不能自覺地將數(shù)字計(jì)算與圖形相結(jié)合，而是將公式與函數(shù)區(qū)分開。有些學(xué)生在面對(duì)比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)更喜歡用多個(gè)方程進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，此種思維方式常常會(huì)影響解題的效率。且初中數(shù)學(xué)中涉及許多抽象的概念和定理，如函數(shù)、方程、不等式、幾何圖形等，這些概念對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)往往難以直接理解。

在此困境下，數(shù)形結(jié)合法的優(yōu)勢(shì)便體現(xiàn)出來(lái)。一方面，數(shù)形結(jié)合法將抽象的數(shù)學(xué)概念與直觀的圖形相結(jié)合，有助于學(xué)生更加直觀地理解這些概念。另一方面，數(shù)形結(jié)合法在解題過(guò)程中也發(fā)揮著重要作用。許多數(shù)學(xué)問(wèn)題可以通過(guò)圖形來(lái)直觀地展示和解決，特別是在幾何和函數(shù)部分。觀察圖形后，學(xué)生可以更快速、更準(zhǔn)確地找到解題思路和方法。同時(shí)，數(shù)形結(jié)合法還能幫助學(xué)生將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)化，降低解題難度?？梢姡瑪?shù)形結(jié)合法不僅有助于提高學(xué)生的解題能力，還能培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生需要不斷地觀察、分析、比較和歸納，這些過(guò)程都是數(shù)學(xué)思維的重要組成部分。通過(guò)長(zhǎng)期的訓(xùn)練和實(shí)踐，學(xué)生可逐漸形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，提高解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

三、數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）注意數(shù)形結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用，切實(shí)做到數(shù)形結(jié)合

教師應(yīng)當(dāng)在教學(xué)中明確數(shù)形結(jié)合的重要性，并將其作為教學(xué)設(shè)計(jì)的核心原則之一。這要求教師在備課階段就深入挖掘教材中的數(shù)形結(jié)合元素，設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)環(huán)節(jié)和活動(dòng)，以便在課堂上引導(dǎo)學(xué)生用圖形來(lái)理解數(shù)學(xué)概念，或者通過(guò)數(shù)量關(guān)系來(lái)解析圖形性質(zhì)。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)注重?cái)?shù)與形的相互轉(zhuǎn)化。例如，在教授代數(shù)式時(shí)，用繪制函數(shù)圖象的方式來(lái)幫助學(xué)生理解代數(shù)式的性質(zhì)和變化規(guī)律；在解析幾何問(wèn)題時(shí)，用代數(shù)方法求解圖形中的數(shù)量關(guān)系，或者用圖形來(lái)直觀地呈現(xiàn)代數(shù)式的幾何意義。這種相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程能幫助學(xué)生建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，提高他們的綜合分析能力。

例如，在學(xué)習(xí)北師大版初中七年級(jí)數(shù)學(xué)教材“生活中的立體圖形”的內(nèi)容時(shí)，教師能展示日常生活中的立體圖形實(shí)例來(lái)引入新課。課前可以帶來(lái)一個(gè)球體（如籃球）、一個(gè)長(zhǎng)方體（如書本）、一個(gè)圓柱體（如水杯）等，學(xué)生觀察并描述這些圖形的特點(diǎn)，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們對(duì)立體圖形有了初步的認(rèn)識(shí)。接下來(lái)利用數(shù)形結(jié)合的方法，將立體圖形的知識(shí)與數(shù)學(xué)公式、性質(zhì)相結(jié)合。在學(xué)習(xí)計(jì)算長(zhǎng)方體的表面積和體積時(shí)，教師還能繪制長(zhǎng)方體的平面圖（展開圖），讓學(xué)生清楚地看到長(zhǎng)方體的各個(gè)面及其尺寸，學(xué)生根據(jù)展開圖上的尺寸，推導(dǎo)出長(zhǎng)方體的表面積和體積公式。這樣，學(xué)生既能理解公式的來(lái)源，還能通過(guò)實(shí)際操作加深記憶。

（二）融合基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的思考意識(shí)

數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，不僅能幫助學(xué)生更好地理解和記憶數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是能培養(yǎng)學(xué)生的思考意識(shí)和解決問(wèn)題的能力。教師可以設(shè)計(jì)各種教學(xué)活動(dòng)和任務(wù)，學(xué)生在實(shí)踐中體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合法的作用，包括繪制圖形、分析圖形性質(zhì)、用圖形解釋數(shù)學(xué)概念等。

例如，在學(xué)習(xí)北師大版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)教材“探索勾股定理”的內(nèi)容時(shí)，教師可以利用幾何畫板或其他軟件，展示不同邊長(zhǎng)比例的直角三角形，讓學(xué)生動(dòng)態(tài)觀察并驗(yàn)證勾股定理。首先，在黑板上畫出一個(gè)直角三角形，并標(biāo)注出三邊長(zhǎng)度為a，b 和c（c 為斜邊），直觀地引出本節(jié)課的主題———勾股定理。接著向?qū)W生提問(wèn)：“你們能發(fā)現(xiàn)這個(gè)直角三角形的三邊之間有什么關(guān)系嗎？”教師可以展示一個(gè)直角三角形，將三條邊標(biāo)記為a（直角邊員），b（直角邊圓）和c（斜邊），引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)a2+b2=c2。然后教師可以展示一些圖片，告訴學(xué)生勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用：在建筑和工程領(lǐng)域，勾股定理被廣泛應(yīng)用于確保結(jié)構(gòu)的精確性和穩(wěn)定性。

（三）利用輔助工具，在課堂上運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法

在數(shù)學(xué)課堂上，輔助工具有兩種，一是傳統(tǒng)教具。例如，準(zhǔn)備一些幾何體、平面圖形等與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的實(shí)物模型，學(xué)生在觀察、觸摸中感受圖形的特點(diǎn)，形成直觀認(rèn)識(shí)，或是教師提供直尺、圓規(guī)、量角器等繪圖工具，指導(dǎo)學(xué)生繪制各種圖形，如線段、射線、直線、三角形、四邊形等。二是多媒體教學(xué)設(shè)備。教師利用投影儀展示幻燈片，展示函數(shù)圖象的平移、旋轉(zhuǎn)、伸縮等圖形的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，更加直觀地讓學(xué)生理解圖形的變化規(guī)律，或播放動(dòng)畫視頻，讓學(xué)生感受圖形的魅力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。實(shí)踐中，教師要充分利用輔助工具，在課堂上有效地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)行教學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

例如，在學(xué)習(xí)北師大版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)教材“平面直角坐標(biāo)系”的內(nèi)容時(shí)，教師可以用多媒體工具展示一張包含網(wǎng)格的空白畫布，然后逐步在畫布上繪制出兩條相互垂直且交于原點(diǎn)的數(shù)軸———即 x軸和y 軸，讓學(xué)生清晰地看到平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)建過(guò)程，理解它是由兩個(gè)相互垂直的數(shù)軸組成的。并在坐標(biāo)系中標(biāo)注幾個(gè)固定點(diǎn)，如點(diǎn)A（2，3），點(diǎn)B（-1，2）等，在旁邊標(biāo)出這些點(diǎn)的坐標(biāo)，隨后展示其中一個(gè)點(diǎn)在坐標(biāo)系中的移動(dòng)過(guò)程。隨著點(diǎn)的移動(dòng)，其坐標(biāo)也會(huì)相應(yīng)地發(fā)生變化，這樣，學(xué)生能更直觀地理解坐標(biāo)與點(diǎn)的位置之間的關(guān)系。

四、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，為數(shù)學(xué)教學(xué)注入了新的活力。通過(guò)直觀的圖形展示與抽象的數(shù)學(xué)邏輯相結(jié)合，學(xué)生更深入地理解數(shù)學(xué)概念和原理，使得原本看似枯燥無(wú)味的數(shù)學(xué)知識(shí)變得生動(dòng)有趣。今后，教師應(yīng)不斷探索和實(shí)踐新的教學(xué)模式和方法，推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的深入發(fā)展，為培養(yǎng)更多具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新精神的人才貢獻(xiàn)力量。