基于鏡眼聯(lián)合模型的單光鏡片設(shè)計(jì)及制造

許崇祥，張中祥，燕衛(wèi)江，蘇宇鋒，賈志剛

（鄭州大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

引言

人的感覺器官對(duì)外界信息的獲取約80%來自于視覺[1]。健康的視覺是良好生活、學(xué)習(xí)、交流的保證。近年來，隨著電子產(chǎn)品的普及，無論是青少年還是成年人，每天長時(shí)間面對(duì)各種發(fā)光顯示設(shè)備，引發(fā)多種眼部疾病[2]。特別是以近視、散光為代表的屈光不正已成為青少年普遍面對(duì)的健康問題。各種屈光不正矯正技術(shù)有著廣闊的應(yīng)用市場[3]。目前，常見的屈光不正矯正方法有：框架眼鏡、角膜接觸鏡及激光角膜手術(shù)等。其中長時(shí)間佩戴角膜接觸鏡會(huì)因摩擦角膜導(dǎo)致眼部感染，從而引發(fā)炎癥，且鏡片本身為消耗品，使用成本較高。激光角膜手術(shù)存在手術(shù)費(fèi)用昂貴，對(duì)角膜的磨切去除造成不可逆的損害，同時(shí)可能引起一些長期的后遺癥，如眼睛干澀、高階像差增加等不被人們輕易接受[4]。相比而言，框架眼鏡具有方便、經(jīng)濟(jì)、可逆、無副作用等優(yōu)點(diǎn)，是目前最為普遍應(yīng)用的矯正方法。

佩戴式框架眼鏡有諸多優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，也存在若干不足之處有待改進(jìn)。1）傳統(tǒng)鏡片一旦加工完成，其矯正能力就固定不變，而人眼受到光照環(huán)境、心理因素的影響，其像差是時(shí)刻變化的，這會(huì)造成某些時(shí)刻鏡片矯正能力不足或過量，造成用眼不適。解決辦法在于開發(fā)具有動(dòng)態(tài)矯正能力的鏡片[5]。2）目前的鏡片僅能矯正低階像差，隨著像差測量技術(shù)的發(fā)展，對(duì)人眼全像差的補(bǔ)償可達(dá)到超視力的效果成為未來發(fā)展趨勢(shì)[6]。3）對(duì)于普遍應(yīng)用的單光鏡片，佩戴狀態(tài)不同視角下，人眼實(shí)際感受到的矯正能力并不均一[7]，其原因在于鏡片設(shè)計(jì)時(shí)沒有考慮到眼球旋轉(zhuǎn)帶來的視角變化問題。造成的結(jié)果是，雖然鏡片的不同區(qū)域在焦度計(jì)下測得的屈光度數(shù)恒定不變，但在佩戴時(shí)，人眼實(shí)際感受到的屈光力是變化的。這種屈光能力的變化在某些情況下，比如暗光環(huán)境下，在視角較大時(shí)存在明顯的像差矯正不足，從而帶來視覺模糊。隨著人們對(duì)視力精準(zhǔn)化的追求和鏡片設(shè)計(jì)理念的發(fā)展，越來越多的鏡片優(yōu)化設(shè)計(jì)方案被提出。李念寧采用多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法[8]設(shè)計(jì)了單光非球面眼鏡片，利用算法隨機(jī)生成多組前彎和非球面系數(shù)，通過光線追跡計(jì)算像差大小，使設(shè)計(jì)的眼鏡片降低了像散和畸變。BARBERO S[9]提出了一種基于徑向折射率梯度(radial refractive gradient，RRG)鏡片的設(shè)計(jì)方法來減少鏡片周邊區(qū)域離焦現(xiàn)象，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的可行性。張海平[10]將非球面方程應(yīng)用到多焦點(diǎn)鏡片，利用連續(xù)變化的曲率來調(diào)節(jié)鏡片光焦度分布和減小像散。但是，目前的鏡片設(shè)計(jì)方法并沒有考慮人眼實(shí)際佩戴時(shí)的視角變化問題。

針對(duì)上述第三個(gè)問題，本文通過建立鏡眼聯(lián)合模型，充分考慮在人眼旋轉(zhuǎn)時(shí)，應(yīng)用鏡片的不同區(qū)域及相對(duì)應(yīng)的不同入射光線角度變化的問題，對(duì)傳統(tǒng)單光鏡片設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)在佩戴時(shí)不同視角下，人眼實(shí)際感受到的矯正力保持恒定?；阽R眼聯(lián)合模型，生成鏡片面形數(shù)據(jù)，在數(shù)控機(jī)床上實(shí)現(xiàn)鏡片的加工制造[11-13]，并對(duì)加工后的鏡片面形及屈光度進(jìn)行了測量，初步驗(yàn)證了模型的有效性。

1 基于鏡眼聯(lián)合模型的單光鏡片設(shè)計(jì)

鏡眼聯(lián)合模型側(cè)視圖如圖1 所示。圖1 中鏡片放置在人眼角膜前，O為 眼球旋轉(zhuǎn)中心，O′為鏡片后表面中心，物體發(fā)出的入射光經(jīng)鏡片折射后，通過角膜，匯聚在視網(wǎng)膜黃斑中心凹處。平視時(shí)，光軸與視軸重合，穿過鏡片中心、角膜前表面中心及眼球旋轉(zhuǎn)中心[14]。當(dāng)眼球旋轉(zhuǎn)或視角變化時(shí)，入射光線與鏡片表面夾角隨之變化，從鏡片前表面到角膜前表面的光程也隨之改變，這樣會(huì)帶來鏡片矯正能力的改變。因此，需要改變不同視角下的鏡片面形，以保證光程恒定，最終使人眼實(shí)際感受到的鏡片矯正屈光力恒定。假設(shè)鏡片前表面為基弧，則需要在鏡眼聯(lián)合模型基礎(chǔ)上，考慮視角變化，設(shè)計(jì)出鏡片后表面面形，通過面形的變化，調(diào)節(jié)因視角改變而引起的光程差異，使人眼實(shí)際感受到的鏡片屈光力保持恒定。

圖1 佩戴狀態(tài)下的鏡眼聯(lián)合模型Fig.1 Lens-eye joint model in wearing state

圖1 中，d為鏡片后表面中心O′到眼球旋轉(zhuǎn)中心O的距離；d1為眼球旋轉(zhuǎn)中心與角膜前表面中心的距離[15]；d2為角膜前表面中心與鏡片后表面中心O′的距離，d=d1+d2。以鏡眼聯(lián)合模型為基礎(chǔ)建立坐標(biāo)系，如圖2 所示。以人眼球旋轉(zhuǎn)中心為原點(diǎn)建立世界坐標(biāo)系O-XYZ，以鏡片后表面幾何中心Ol為原點(diǎn)建立鏡片坐標(biāo)系Ol-XlYlZ。X軸方向表示水平視角，右為正，Y軸方向表示垂直視角，上為正，Z軸正向指向人眼視網(wǎng)膜。當(dāng)人眼通過鏡片觀察物體時(shí)，視軸所在的直線必然會(huì)與鏡片平面相交，交點(diǎn)為 (xl,xl,xl)，即為不同視角下鏡片表面使用點(diǎn)的坐標(biāo)。

圖2 鏡眼聯(lián)合模型坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate system of lens-eye joint model

從圖2 推導(dǎo)出鏡片坐標(biāo)系中鏡片表面使用點(diǎn)與世界坐標(biāo)系下視軸的視場角對(duì)應(yīng)關(guān)系：

式中：θ為人眼垂直視角；ω為人眼水平視角。根據(jù)人眼視軸視角 (θ,ω)可求出人眼視軸所在直線的方向向量為

假設(shè)某視軸所在直線過點(diǎn)M(mx,my,mz)時(shí)，則視軸所在直線參數(shù)方程為

式中t為人眼視軸所在直線方程的參數(shù)變量。

顯然人眼視軸所在直線經(jīng)過人眼轉(zhuǎn)動(dòng)中心O，即為M(0,0,0)時(shí)，人眼視軸所在直線參數(shù)方程為

對(duì)于鏡片表面所在的平面(假設(shè)視軸與鏡片后表面交點(diǎn)為中心的微小區(qū)域?yàn)槠矫?，由該平面上任意3 個(gè)不重合的點(diǎn)，可求出2 個(gè)不平行的向量N1、N2，通過向量的叉乘求出該平面的法向量P(Px,Py,Pz)。假設(shè)眼鏡片平面過點(diǎn)N(nx,ny,nz)，則鏡片平面的點(diǎn)法式方程為

在世界坐標(biāo)系O-XYZ下，以視場角為旋轉(zhuǎn)角度 (θ,ω)的人眼視軸的直線參數(shù)方程(3)與鏡片表面的平面方程(4)的交點(diǎn) (u=x,v=y,w=z)，就是人眼不同視角觀察物體時(shí)通過鏡片表面時(shí)的使用點(diǎn)，通過設(shè)計(jì)每個(gè)使用點(diǎn)的屈光度，就可以得到整個(gè)眼鏡片后表面的屈光度分布圖，從而計(jì)算出整個(gè)眼鏡片的面形數(shù)據(jù)。

不同視角下鏡片平面使用點(diǎn)的坐標(biāo)一定滿足視軸所在直線參數(shù)方程和鏡片平面點(diǎn)法式方程，聯(lián)立式(3)和式(4)得出：

根據(jù)人眼實(shí)際觀察狀態(tài)可知，上式分母必不為零，即視軸所在直線與鏡片平面方程必有交點(diǎn)，求出參數(shù)變量t后，帶入視軸直線參數(shù)方程(3)，即可求出不同視角下鏡片平面使用點(diǎn)的坐標(biāo) (xl,yl,zl)。

根據(jù)空間坐標(biāo)變換原理[16]，圖2 中世界坐標(biāo)系O-XYZ與鏡片坐標(biāo)系Ol-XlYlZl的變換關(guān)系為

式中：旋轉(zhuǎn)矩陣R為

平移矩陣Q為

通過空間坐標(biāo)變換原理，求出在世界坐標(biāo)系O-XYZ下，不同視角鏡片平面使用點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z)。然后求交點(diǎn)距人眼旋轉(zhuǎn)中心O的距離p:

再求出鏡片平面使用點(diǎn)與人眼角膜前表面的距離p1：

最后，根據(jù)所提出的設(shè)計(jì)原理計(jì)算眼鏡片的面形數(shù)據(jù)。為了在任意視角時(shí)，人眼角膜前表面上實(shí)際獲得的鏡片屈光度FJM恒定不變，根據(jù)計(jì)算等效屈光度計(jì)算公式[17]可推導(dǎo)出，鏡片平面上使用點(diǎn)的屈光度FJ為

式中：FJM為人眼在角膜前表面上獲得的屈光度補(bǔ)償值。

假設(shè)以鏡片前表面作為基弧，通過改變鏡片后表面屈光度來改變鏡片整體的屈光度，則根據(jù)單光眼鏡片設(shè)計(jì)原理，可求出鏡片后表面的屈光度FH為

式中FQ為眼鏡片前表面的屈光度。

通過眼鏡片曲率半徑計(jì)算公式，可求出后表面的曲率半徑rH為

式中n為鏡片材料的折射率。

利用式(11)即可獲得基于鏡眼聯(lián)合模型所設(shè)計(jì)的眼鏡片的表面面形。

2 鏡片設(shè)計(jì)

基于上述鏡眼聯(lián)合模型的鏡片設(shè)計(jì)方法，編寫相應(yīng)的Matlab 計(jì)算程序，以角膜表面實(shí)際感受到的屈光度FJM=-6.00 D 為例，計(jì)算出鏡片的理論屈光度FJ的分布圖，如圖3 所示。圖3 中，d取平均值27 mm，d1取平均值14 mm，所設(shè)計(jì)的鏡片直徑為70 mm，對(duì)應(yīng)最大視角 ±52°。圖3 給出了視角從0°～25°時(shí)對(duì)應(yīng)鏡片表面屈光度分布圖，該視角范圍滿足實(shí)際佩戴的需求。當(dāng)視角更大時(shí)，人會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)頭部，使視角在舒適范圍內(nèi)，同時(shí)鏡片的邊緣區(qū)域也會(huì)被切割，以適配眼鏡框架。

圖3 鏡片表面屈光度分布圖Fig.3 Diopter distribution diagram of lens surface

從圖3 可以看出，為了實(shí)現(xiàn)人眼在不同視角觀察時(shí)鏡片都可以提供恒定的屈光度補(bǔ)償，在設(shè)計(jì)鏡片時(shí)要保證鏡片表面上的屈光度分布呈連續(xù)漸進(jìn)變化。這是因?yàn)樵谀M實(shí)際佩戴狀態(tài)下，測量單光球面鏡片表面屈光度時(shí)，測量的頂球面與人眼旋轉(zhuǎn)中心的距離會(huì)隨著視場角的變化而逐漸變化，所以實(shí)際佩戴單光眼鏡片時(shí)，人眼在不同視角下使用單光鏡片的不同區(qū)域觀察時(shí)，單光鏡片提供的屈光度補(bǔ)償是變化的。通過本文提出的鏡眼聯(lián)合模型的設(shè)計(jì)方法，計(jì)算出來的鏡片表面屈光度數(shù)據(jù)，從中心點(diǎn)向四周邊緣區(qū)域呈現(xiàn)連續(xù)變化并且逐漸增加的趨勢(shì)。這樣可以補(bǔ)償傳統(tǒng)單光球面眼鏡片在佩戴狀態(tài)下，人眼角膜處實(shí)際感受到的屈光度從中心點(diǎn)向邊緣區(qū)域連續(xù)逐漸減少的不足。理論計(jì)算出的鏡片表面屈光度分布呈同心圓且數(shù)值從中心向邊緣區(qū)域逐漸變大。這種漸變速度隨著設(shè)計(jì)鏡片中心處屈光度的不同而變化，設(shè)計(jì)鏡片中心處屈光度越大，漸變速度越快。

假設(shè)鏡片前表面為基弧，取FQ=+2.50 D，由公式(10)及公式(11)可得鏡片表面的面形變化，呈現(xiàn)中心對(duì)稱形式，如圖4 所示。

圖4 鏡片表面曲率半徑變化圖Fig.4 Diagram of curvature radius variation of lens surface

3 鏡片的加工及測量

將圖4 中數(shù)據(jù)導(dǎo)入數(shù)控機(jī)床，機(jī)床能夠?qū)崿F(xiàn)橫向及縱向0.1 μm 的位移精度，1″的旋轉(zhuǎn)精度，可滿足本文設(shè)計(jì)鏡片微米級(jí)加工精度的要求。選擇前表面FQ=+2.50 D 為基弧的鏡片毛坯進(jìn)行鏡片加工，并對(duì)其后表面對(duì)應(yīng)視角 ±25°內(nèi)的區(qū)域進(jìn)行切削和拋光處理，得到加工后的鏡片如圖5 所示。設(shè)計(jì)加工鏡片的標(biāo)稱尺寸dn=70 mm，實(shí)際加工出的未切割鏡片直徑有效尺寸為69.9 mm，鏡片直徑使用尺寸為69.8 mm，允差值為0.1 mm，符合鏡片尺寸的允差[1]。

圖5 加工鏡片實(shí)物圖Fig.5 Physical drawing of manufactured lens

由于鏡片的設(shè)計(jì)及加工的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，對(duì)加工后的鏡片后表面的水平及垂直中心線進(jìn)行了測量，相應(yīng)的面形變化及與理論計(jì)算值的差值如圖6所示。從圖6 可以看出，受加工精度的影響，在加工的鏡片邊緣區(qū)域出現(xiàn)了較大的誤差，中心區(qū)域的加工誤差較小，曲率半徑變化值最大為1.1 mm，能滿足加工面形變化要求。

圖6 鏡片面形數(shù)據(jù)圖Fig.6 Surface data diagram of manufactured lens

使用焦度計(jì)對(duì)鏡片水平中心線及垂直中心線上的屈光度進(jìn)行測量[18]，測量結(jié)果如圖7 所示。從圖7 可以看出，鏡片屈光度呈中心向邊緣漸近變大趨勢(shì)，與理論設(shè)計(jì)相符。受加工精度的影響，在鏡片邊緣區(qū)域呈現(xiàn)較大的誤差，但整體屈光度及其變化趨勢(shì)與理論計(jì)算相符，滿足設(shè)計(jì)要求。鏡片后表面屈光度為-6.30 D，屈光度誤差值最大為0.23 D，鏡片加工誤差滿足鏡片設(shè)計(jì)誤差0.25 D。后續(xù)工作將采用更高精度的加工設(shè)備對(duì)鏡片進(jìn)行加工，使鏡片表面屈光度誤差小于0.12 D。同時(shí)希望出現(xiàn)一種適合該種鏡片的加工方法，以期改善誤差值。

圖7 鏡片屈光度分布與誤差Fig.7 Diopter distribution and error of manufactured lens

4 結(jié)論

本文提出了一種基于鏡眼聯(lián)合模型的單光鏡片的設(shè)計(jì)方法。根據(jù)所建模型，假定人眼視角變化使用鏡片不同區(qū)域時(shí)，到達(dá)人眼角膜前表面的有效屈光度保持恒定，從而對(duì)現(xiàn)有的鏡片設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化，重新求解出鏡片不同區(qū)域屈光度的分布，最終獲得鏡片的面形變化數(shù)據(jù)。將面形數(shù)據(jù)導(dǎo)入數(shù)控機(jī)床，對(duì)鏡片毛坯進(jìn)行加工，制作出人眼實(shí)際可感受到屈光度恒定的單光鏡片。使用自動(dòng)焦度計(jì)對(duì)加工后的鏡片屈光度進(jìn)行測量，測量結(jié)果表明，屈光度分布呈現(xiàn)從鏡片中心向鏡片四周漸變趨勢(shì)，與理論計(jì)算一致，初步驗(yàn)證了所建模型及設(shè)計(jì)方法的有效性。在佩戴時(shí)，能夠使人眼實(shí)際感受到該鏡片不同區(qū)域的矯正效果保持恒定。受加工方法及加工精度的影響，所加工的鏡片存在一定的面形誤差，進(jìn)而引起了屈光度與理論設(shè)計(jì)值的偏差。下一步將對(duì)加工方法進(jìn)行優(yōu)化，選用更高精度的加工機(jī)床，同時(shí)將開發(fā)一套主客觀評(píng)價(jià)方法，對(duì)實(shí)際佩戴時(shí)鏡片提供給人眼角膜的屈光度補(bǔ)償值進(jìn)行定量化評(píng)價(jià)。同時(shí)基于本文提出的鏡眼聯(lián)合模型，測量鏡片視場角10°以內(nèi)的圓形和10°～25°的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)PSF，利用計(jì)算成像方法[19]對(duì)鏡片成像質(zhì)量進(jìn)行檢測,并根據(jù)測量結(jié)果進(jìn)一步改進(jìn)鏡片的成像質(zhì)量。

我國是眼鏡制造大國，而非制造強(qiáng)國，國外廠商掌握著高附加值的鏡片設(shè)計(jì)及制造市場。本文所提出的基于鏡眼聯(lián)合模型的鏡片設(shè)計(jì)及制造方法，有助于提高我國高端鏡片的生產(chǎn)水平及市場占有率。