杜旭升,白福忠,2,徐永祥,2,王建新
(1.內蒙古工業(yè)大學 機械工程學院,內蒙古 呼和浩特 010051;2.內蒙古自治區(qū)特殊服役智能機器人重點實驗室,內蒙古 呼和浩特 010051;3.西南科技大學 極端條件物質特性聯(lián)合實驗室,四川 綿陽 621010)
干涉測量技術因具有非接觸測量、測量精度高的優(yōu)點而備受人們關注[1]。其中,徑向剪切干涉是一種自參考干涉技術,與傳統(tǒng)雙光束干涉相比,具有不需要額外設置參考光路、干涉系統(tǒng)易于設計成共光路結構等優(yōu)勢[2],從而對溫度變化、空氣擾動、振動等因素不敏感,被廣泛應用在自適應光學[3]、激光波前診斷、光學元件質量檢測、角膜地形圖測量、溫度場測量、流場測量[4]等領域。但是與傳統(tǒng)含有絕對平面波前參考光束的干涉技術相比,徑向剪切干涉所形成的相位差并不是待測波前相位本身,而是待測波前的擴束和縮束波面在重疊區(qū)域的相位差[5]。因而如何從相位差信息中獲取待測波前相位,即波前重構,是徑向剪切干涉中的一個重要研究內容。
目前波前重構算法主要包括迭代重構算法和模式重構算法[6]。迭代重構算法是將剪切波前經過若干次插值放大,將所有迭代結果與原始相位差數據相加得到重構波前。迭代重構算法原理簡單,實際應用可行性好,對待重構的波前畸變的空間頻率信息沒有特別要求。模式重構算法用Zernike、Legendre 多項式作為模式基底,分別對圓形孔徑或方形孔徑相位差數據進行模式擬合而得到重構波前[7],模式法適用于重構低空間頻率的波前畸變,對于高空間頻率的像差復原精度較低。
對于傳統(tǒng)波前重構算法,從重構原理上講均要求擴束與縮束光波中心重合或對準,否則會產生重構誤差。然而,在實際的徑向剪切干涉測量實驗中,為了使擴束與縮束光波中心對準,需要多次反復地對光學系統(tǒng)進行精密調試,使擴束與縮束光波中心盡可能重合,增加了實驗調試復雜性。盡管如此,實際上很難保證中心嚴格重合,而中心不重合情況卻時有發(fā)生。另外,對于不同結構類型的徑向剪切干涉系統(tǒng),其調整方法也不盡相同,因而很難設計出通用且行之有效的裝調技術。
為此,若能夠通過實驗方式檢測出中心偏移量大小,考慮將其作為一個新的物理變量引入到波前重構算法中,由此獲得高精度波前重構結果,對于降低調試難度、提高測量效率、保證測量精度具有重要意義。因此,研究適用于中心不重合情況下的波前重構算法就成為一個重要且有意義的內容。目前關于改進的迭代波前重構算法要求擴束比與縮束比成倒數關系,僅適用于特定光學結構系統(tǒng),如環(huán)路徑向剪切干涉儀[8]。而對于如文獻[9]的系統(tǒng)則無法適用,算法普適性差。
本文基于傳統(tǒng)迭代重構算法,推導了更具普適性的中心不重合徑向剪切干涉迭代波前重構算法,給出了詳細的算法設計方案。仿真分析了本文算法與傳統(tǒng)迭代波前重構算法在Zernike 組合像差、單階Zernike 像差、中心偏移程度及其計算誤差情況下的重構效果,驗證了本文算法的有效性與可靠性。
徑向剪切干涉是利用剪切干涉裝置把待測波面分成擴束、縮束兩個相干波面,使兩個波面在空間重疊區(qū)域發(fā)生干涉;通過相位復原算法從干涉條紋中求解剪切相位差,進而利用波前重構算法計算出被測波前相位[10]。圖1 是徑向剪切干涉示意圖,設縮束比為sc(sc<1),擴束比為se(se>1),則剪切比 β=sc/se。
圖1 徑向剪切干涉示意圖Fig.1 Schematic diagram of radial shearing interference
設原始波面方程為W(x,y),將坐標系原點O定義在縮束波面的中心位置,擴束波面中心O'相對于縮束波面中心的偏移量為 (-x0,-y0),為了便于推導,可先假設y0=0。于是縮束波面可表示為W(x/sc,y/sc),擴束波面可表示為W(x/se+x0,y/se),則兩波面在重疊區(qū)域的相位差可表示為
式(1)中坐標變量x和y乘以β可以使擴束波面中心區(qū)域逐漸趨近平面波:
重復上述過程可得:
式中:n=0,1,2,···,N,表示迭代次數。為了消除式(1)至式(4)等號右邊第2 項,在式(2)中增加坐標變量x0后變?yōu)?/p>
式(3)中增加坐標變量 (β+1)x0后變?yōu)?/p>
式(1)、式(5)至式(7)相加,等號兩邊各項錯位相消后可得:
經過若干次迭代,擴束波面的中心區(qū)域趨近平面波,因而上式最后一項可以被忽略,于是式(8)可寫為
進一步地,若y0≠0時可以得到迭代重構波前的一般表達式:
若剪切光束中心重合,則x0=y0=0,代入式(10)推導出如下所示中心重合情況下的迭代波前重構表達式,這與傳統(tǒng)迭代重構算法是一致的。
用于中心不重合徑向剪切干涉的迭代波前重構算法實現過程主要包括相位差復原、干涉圖參數求解、迭代波前重構3 個技術步驟。
1)剪切相位差復原
利用徑向剪切干涉系統(tǒng),引入相位調制技術,獲取載波干涉條紋圖像或者移相干涉圖[11]。對于載波干涉條紋,僅需一幀條紋圖像便可采用傅里葉變換算法求解剪切相位差。對于移相波前復原技術而言,常用四步移相算法[12],相鄰兩幀移相干涉圖之間的相移量為 π/2,仿真的四幀移相徑向剪切干涉圖如圖2 所示。
圖2 仿真的四步移相徑向剪切干涉圖Fig.2 Simulated four-step phase-shifting radial shearing interferograms
四步移相算法表示為
式中:Ik(k=1,2,3,4)為移相干涉圖強度。對式(12)計算出的包裹相位經過相位解包裹[13]后得到剪切相位差 ΔW,即擴束光波和縮束光波在重疊區(qū)域的相位差。
2)干涉圖參數求解
由擴束光波的半徑re和縮束光波的半徑rc,計算剪切比 β=rc/re。兩光波中心坐標之差即為中心偏移量 (x0,y0)。
3)迭代波前重構
基于上節(jié)介紹的迭代波前重構算法原理,將迭代重構實施過程歸納為如下5 個步驟。
a)將剪切相位差 ΔW通過插值運算擴大1/β倍,得到擴束波面。
b)以擴束波面中心為基準,引入中心偏移量 (x0,y0),在擴束波面中提取有效數據區(qū)域。有效數據區(qū)域大小與剪切相位差大小一致,由此得到第1 次迭代波面,記為 ΔW1。
c)將 ΔW1擴大1/β倍得到新的擴束波面。重復步驟b),得到第2 次迭代波面 ΔW2。
d)重復上述迭代過程N次,得到第N次迭代波面 ΔWN與第N-1 次迭代波面 ΔWN-1,若迭代結果滿足式(13),則迭代過程終止[14]。
式中:Num表示 ΔWN中包含的有效數據個數;λ為光波的波長。
e)將剪切相位差 ΔW與N次迭代波面相加,得到重構波面W:
迭代波前重構算法實現流程如圖3 所示。圖中虛線所示的圓形區(qū)域表示未考慮中心偏移時提取的有效數據范圍,實線所示的圓形區(qū)域表示考慮中心偏移后提取的有效數據范圍。
圖3 迭代波前重構算法實現流程Fig.3 Implementation flow of iterative wavefront reconstruction algorithm
首先對本文算法的有效性進行驗證,取3 至15 階圓形孔徑Zernike 多項式構造組合像差,得到原始仿真波面如圖4(a)所示,大小為256×256像素。
圖4 兩種算法重構結果對比Fig.4 Comparison of reconstruction results of two algorithms
假設縮束比sc=0.828,擴束比se=1.2;中心偏移量y0=0 像素,x0=25 像素。于是可得剪切比β=sc/se=0.69,縮束和擴束波面大小分別為212×212像素和308×308 像素。仿真條件中擴束比與縮束比并非成倒數關系,也可以為其他任意量值。
由縮束與擴束波面相減得到剪切相位差,如圖4(b)所示,其大小與縮束波面大小相等。使用傳統(tǒng)迭代重構算法對剪切相位差進行波前重構,重構波面與誤差波面如圖4(c)和圖4(e)所示。本文算法得到的重構波面和誤差波面如圖4(d)和圖4(f)所示,其中誤差波面是由重構波面與原始波面作差得到。
傳統(tǒng)算法重構誤差的峰谷(PV)值為3.617 1λ,均方根誤差(RMS)值為0.851 9λ,本文算法重構誤差的PV 值為0.020 6λ,RMS 值為0.004 6λ,重構誤差要遠小于傳統(tǒng)算法重構誤差。
將原始波面、傳統(tǒng)算法和本文算法的重構波面的中間一行截面數據(沿x軸方向)繪制于圖5。本文算法的重構結果與原始波面高度吻合,而傳統(tǒng)算法的重構結果卻與原始波面存在明顯差異。表明本文算法在存在中心偏移時能夠準確地重構出待測波前。
圖5 重構波面中間一行截面數據Fig.5 Cross-section data in middle row of reconstruction wavefront
通過對3.1 節(jié)得到的重構結果進行Zernike 分解[15],得到3 至15 階Zernike 系數,原始波面的Zernike 系數是在仿真時直接給定,如圖6 所示。
圖6 兩種算法對各階Zernike 像差的重構結果對比Fig.6 Reconstruction results comparison of different orders of Zernike aberration with two algorithms
圖6(a)顯示了原始波面下兩種算法重構結果的Zernike 系數柱狀圖;圖6(b)顯示了Zernike 系數的相對誤差分布,其中相對誤差是指重構結果Zernike 系數與理論系數之差與理論系數的比值。結果顯示,本文算法對于不同Zernike 像差的重構精度都明顯高于傳統(tǒng)算法,相對而言,兩種算法對第5 階像差的重構誤差偏大,其中傳統(tǒng)算法重構相對誤差約800%,改進算法重構相對誤差為20.7%。
根據3.1 節(jié)仿真條件可知,中心偏移量最大允許值(擴束與縮束波面半徑之差)為48 像素。本節(jié)通過改變中心偏移量的大小來對重構算法精度進行分析。設中心偏移量沿x方向從0 至48 像素、以2 像素步長逐漸增加,在y方向保持為0,其余仿真條件與3.1 節(jié)相同。兩種算法得到的重構誤差RMS 值如圖7 所示。結果顯示,隨著中心偏移量逐漸增大,傳統(tǒng)算法重構誤差近似呈線性增大,最大重構誤差RMS 值為1.6λ;中心偏移量變化時本文算法的重構誤差一直保持在較低水平,最大重構誤差RMS 值為0.05λ,說明中心偏移量的大小對本文算法的影響幾乎可以忽略。
圖7 組合像差重構誤差隨中心偏移量的變化Fig.7 Variation of reconstruction errors of combined aberration with center offset
考慮3 至15 階單階Zernike 像差,在中心偏移量(y0=0 像素,x0=0~48 像素)由小到大變化過程中的情況,對比分析兩種算法的重構效果,圖8 給出了兩種算法的重構誤差RMS 值。本文算法重構誤差的RMS 值為10-2λ量級;而傳統(tǒng)算法對于各階Zernike 像差的重構誤差普遍較大,重構誤差RMS 值約為1λ量級。
圖8 單階Zernike 像差重構誤差隨中心偏移量的變化Fig.8 Variation of reconstruction error of single-order Zernike aberration with center offset
圖9 顯示了重構誤差偏大的第3 階、第10 階和第15 階Zernike 像差重構誤差RMS 值隨偏移量的變化曲線。由圖可見,本文算法重構誤差最大為0.054λ;而傳統(tǒng)算法重構誤差隨偏移量增加逐漸增大,最大重構誤差為3.39λ。
圖9 部分Zernike 像差重構誤差Fig.9 Reconstruction error of part of single-order Zernike aberrations
綜上可知,對于單階Zernike 像差以及組合像差,不論中心偏移量有多大,本文算法均能獲得高精度的波前重構結果。而傳統(tǒng)算法未考慮中心偏移情況,其重構誤差與中心偏移量近似呈線性關系。
對于迭代算法的數學模型,難以從理論推導上分析中心偏移量的計算誤差對重構精度的影響,這里同樣使用數值仿真方式進行分析?;?.1節(jié)仿真條件,當中心偏移量的計算誤差在-20 像素至20 像素范圍內變化時,計算出的本文算法重構誤差RMS 值如圖10 所示。重構誤差符合一般常識,即計算誤差越大,重構誤差越大,這也從側面說明,中心偏移量的準確計算對提高算法重構精度是重要的。
圖10 中心偏移量計算誤差對波前重構精度的影響Fig.10 Influence of center offset calculation error on wavefront reconstruction accuracy
在實際測量中,可對擴束和縮束光波的光斑圖像采用圖像處理技術,來獲得各自中心坐標,從而計算出中心偏移量。引入本文算法重構被測波面,通過圖像處理算法能夠更有利于提高并保證測量精度;同時也避免了傳統(tǒng)算法需要對光學系統(tǒng)進行反復調試來達到剪切光波中心的準確對準。接下來作者將對實際應用中的剪切光波中心偏移量標定方法進行深入研究,為改進算法的工程化應用提供技術支持。
本文基于徑向剪切干涉中的迭代波前重構算法,推導了一種更為普適的中心不重合徑向剪切干涉迭代波前重構算法。通過數值仿真分析了組合Zernike 像差、單階Zernike 像差、中心偏移量變化對傳統(tǒng)迭代重構算法與本文算法的影響。仿真結果顯示,相較于傳統(tǒng)重構算法,本文算法的重構精度更高,不受偏移量大小的影響,適用于不同類型的波前像差。這對于傳統(tǒng)算法實驗調試對準過程繁瑣、重構精度難以保證的問題,提供了一種有效解決途徑。本文仿真分析是在剪切比、波面大小不變的情況下,仿真分析了中心偏移量、待測波面這些物理量對算法性能的影響,上述的研究結論在其他剪切比、波面大小和波面類型中同樣具有普遍意義。另外,兩種算法在計算效率方面沒有明顯優(yōu)劣。