一類帶p-Laplace算子的非線性二階m點(diǎn)共振邊值問題解的存在性

劉美玉,馬錦然,裴明鶴

(北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,吉林 吉林 132013)

0 引 言

本文主要研究帶p-Laplace算子的非線性二階微分方程m點(diǎn)共振邊值問題

(1)

近30年來,非局部邊值問題已經(jīng)成為微分方程定性理論中一個(gè)快速發(fā)展的研究領(lǐng)域。對這類問題的研究不僅受到理論興趣的推動,而且還受到工程、物理和生命科學(xué)中的一些現(xiàn)象可以用這種方式進(jìn)行建模事實(shí)的推動[1-2]。自1995年,GUPTA[3]首次研究了二階m點(diǎn)共振邊值問題解的存在性,非局部共振邊值問題的研究取得了較大的進(jìn)展[2,4-15]。注意到,以上文獻(xiàn)所采用的研究方法主要有不動點(diǎn)指數(shù)理論[4,13]、迭合度理論[6,9,15]、Leray-Schauder連續(xù)性定理連同一些不動點(diǎn)定理[7-8,10,13]以及上下解方法等[11-12,14]。但有關(guān)帶p-Laplace算子的二階微分方程多點(diǎn)共振邊值問題解的存在性研究較少見到[16-17]。

受上述文獻(xiàn)以及文獻(xiàn)[18-19]的啟發(fā),本文主要利用拓?fù)錂M截方法連同障礙帶技巧,建立帶p-Laplace算子的非線性二階m點(diǎn)共振邊值問題(1)的解的存在性結(jié)果。這里,我們想強(qiáng)調(diào)的是,本文的結(jié)果不僅是新的,而且對非線性項(xiàng)f不附加任何增長限制,同時(shí)非線性項(xiàng)f中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的次數(shù)可以超過p次。

1 主要結(jié)果

在本文中,我們將使用如下條件:

(H1) 存在M>0,使得

xf(t,x,0)>0, ?t∈[0,1],|x|>M。

(H2)存在常數(shù)Li,i=1,2,3,4滿足L3

f(t,x,y)≤0, (t,x,y)∈[0,1]×[-M,M]×[L1,L2] ,

f(t,x,y)≥0, (t,x,y)∈[0,1]×[-M,M]×[L3,L4] 。

引理2[19-20]假設(shè)

則H(·,1)是本質(zhì)的,從而H(1,1)在D內(nèi)有不動點(diǎn)。

由連續(xù)函數(shù)的介值性,不難得到如下結(jié)果:

考慮邊值問題族

(φp(x′) )′=λf(t,x,x′),t∈[0,1] ,

(2)

(3)

其中λ∈(0,1] 。

引理4假設(shè)(H1)成立。則對邊值問題族(2)-(3)的任意解x=x(t),都有

|x(t)|≤M,t∈[0,1] 。

(4)

證明:假設(shè)存在t0∈[0,1]使得|x(t0)|>M,不妨設(shè)x(t0)>M。令t1∈[0,1]使得

(5)

則根據(jù)引理3,我們可設(shè)t1∈[0,1), 從而x′(t1)=0。于是根據(jù)條件(H1),有

(φp(x′(t)))′|t=t1=λf(t1,x(t1),0)>0 ,

x′(t)>0,t∈(t1,t1+δ) 。

這與式(5)矛盾。證畢。

現(xiàn)在我們利用障礙帶技巧得到x′(t)的先驗(yàn)界。

引理5假設(shè)(H1)和(H2)成立,則對邊值問題族(2)-(3)的任意解x=x(t),有

(6)

證明:首先,定義兩個(gè)集合S0和S1如下:

S0={t∈[0,1]:L1

則S0和S1均是空集。事實(shí)上,假設(shè)S0≠?,則存在t0∈S0,從而0

L1

(7)

并且

x′(t1)≤x′(t)≤x′(t2),t∈[t1,t2] ,

從而[t1,t2]?S0。注意到,由引理4,|x(t)|≤M,t∈[0,1],所以根據(jù)(H2),有

(φp(x′(t)))′=λf(t,x(t),x′(t))≤0,t∈[t1,t2] 。

x′(t2)≤x′(t1) ,

這與式(7)矛盾。這表明S0=?。類似可證S1=?。于是由邊界條件(3)以及x′(t)在[0,1]上的連續(xù)性,我們可知式(6)成立。證畢。

現(xiàn)在,我們定義Banach空間X=C1[0,1]×具有如下范數(shù):

設(shè)

U={(x,r)∈X:x(0)=0,r∈}

以及

則U是X的閉凸子集,并且D是U的相對開子集。

則F是本質(zhì)的。

則易證H(x,r,λ)是緊算子。顯然H(x,r,1)=F(x,r),H(x,r,0)=(0,0)∈D, 所以根據(jù)引理1,H(x,r,0)是本質(zhì)的。

現(xiàn)在我們證明

H(x,r,λ)≠(x,r), (x,r)∈?D,λ∈[0,1] 。

(8)

顯然,當(dāng)(x,r)∈?D時(shí),H(x,r,0)≠(x,r)。假設(shè)存在(x0,r0)∈?D以及λ0∈(0,1],使得H(x0,r0,λ0)=(x0,r0),則x0=0以及

從而

因此,根據(jù)(H1)可推得|r0|≤M, 從而(x0,r0)∈D,這與(x0,r0)∈?D且D為開集矛盾。這表明式(8)成立。于是根據(jù)引理2,F(·,·)=H(·,·,1)是本質(zhì)的。 證畢。

定理1假設(shè)(H1)和(H2)成立,則邊值問題(1)至少存在一個(gè)解x=x(t)滿足式(4)和式(6)。

其中符號“*”表示向量的轉(zhuǎn)置。利用Arzelà-Ascoli定理容易證明算子G是緊算子。

假設(shè)(x1,r1)是G(·,·,1)的一個(gè)不動點(diǎn),則

以及

于是

以及

因此

令x2(t)=x1(t)+r1,t∈[0,1]。易見,x2是問題(1)的解,并且根據(jù)引理4和引理5可知x2滿足式(4)和式(6)。因此,為了證明問題(1)的滿足式(4)和式(6)的解的存在性,只需證明算子G(·,·,1)具有不動點(diǎn)。注意到,G(·,·,0)=F(·,·),并且由引理6可知F是本質(zhì)的,所以為了得到G(·,·,1)的不動點(diǎn)的存在性,只需驗(yàn)證引理2的條件(ii)成立。假設(shè)存在(x0,r0)∈?D,λ0∈[0,1],使得G(x0,r0,λ0)=(x0,r0),則由引理6知,λ0≠0,所以λ0∈(0,1]。于是

以及

(9)

因此

特別地,有

x′0(0)=0 。

即

茲令x(t)=x0(t)+r0,t∈[0,1]。 則易見,x是邊值問題(2)-(3)當(dāng)λ=λ0時(shí)的解。因此,根據(jù)引理4以及引理5,有

‖x0+r0‖∞=‖x‖∞≤M,

(10)

以及

注意到,x0(0)=0, 所以由式(10)知|r0|≤M,從而

‖x0‖∞≤M+|r0|≤2M<2M+1 。

綜上可得,(x0,r0)∈D,這與(x0,r0)∈?D且D為開集矛盾。故引理2的條件(ii)成立。證畢。

2 應(yīng)用舉例

例1考慮帶p-Laplace算子的二階m點(diǎn)共振邊值問題

(11)

令

則f在[0,1]×2上連續(xù)。再令ri(i=1,2,…,ν,ν≤n)是n次多項(xiàng)式的所有實(shí)根。記

M=max{|r1|,|r2|,…,|rν|}>0 。

則當(dāng)t∈[0,1],|x|>M時(shí),有

Pl(y)-F≤f(t,x,y)≤Pl(y)+F。

于是若sup{Pl(y)-F:y<0}>0且inf{Pl(y)+F:y>0}<0,則(H2)成立,從而由定理1,帶p-Laplace算子的二階m點(diǎn)共振邊值問題(11)至少存在一個(gè)非平凡解。