Gappy POD 算法重構(gòu)儲(chǔ)能電池組核心溫度及與BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測能力對比

苑清揚(yáng)，薛 珂，張 博1,?，蘭 天

1) 大連理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，大連 100083 2) 大連理工大學(xué)寧波研究院，寧波 315000 3) 浙江一舟儲(chǔ)能集團(tuán)，寧波 315191

儲(chǔ)能系統(tǒng)在電力及能源系統(tǒng)中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，是可再生能源的大規(guī)模接入和電網(wǎng)穩(wěn)定運(yùn)行的保證[1]. 而電化學(xué)儲(chǔ)能具有能量密度高、響應(yīng)時(shí)間快、維護(hù)成本低、靈活方便等優(yōu)點(diǎn)，已成為目前大規(guī)模儲(chǔ)能技術(shù)的發(fā)展方向. 集裝箱式儲(chǔ)能電柜將電池組系統(tǒng)、管理系統(tǒng)、預(yù)警系統(tǒng)等集成一體化，具有方便運(yùn)輸、占地較小以及儲(chǔ)能量較大等特點(diǎn)，被廣泛使用.

作為儲(chǔ)能系統(tǒng)的核心組成部分，儲(chǔ)能電池的性能對于儲(chǔ)能系統(tǒng)至關(guān)重要. 研究表明，溫度是影響儲(chǔ)能電池安全性、壽命[2-3]和性能[4-6]的關(guān)鍵因素，而集裝箱式儲(chǔ)能電池組的環(huán)境密閉性較強(qiáng)，散熱不良時(shí)便會(huì)導(dǎo)致儲(chǔ)能電柜中溫度異常升高，影響系統(tǒng)運(yùn)行，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)饍?chǔ)能電池組的熱失控[7-9]從而引發(fā)爆炸和火災(zāi). 由于儲(chǔ)能電池組結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和受內(nèi)部電池?cái)?shù)量較多的制約，無法通過傳統(tǒng)的測溫方式，如熱電偶、紅外熱成像技術(shù)等對電池組內(nèi)部所有電池的核心溫度進(jìn)行測量.因此如何對儲(chǔ)能電池柜中成千上萬組儲(chǔ)能電池核心溫度進(jìn)行有效的實(shí)時(shí)監(jiān)控是電化學(xué)儲(chǔ)能行業(yè)的一大亟待解決的難題.

Debert 等[10]，Lin 等[11]和Sun 等[12]嘗試涉及使用自適應(yīng)算法根據(jù)數(shù)據(jù)和模型估計(jì)電池的核心溫度；Richardson 等[13]提出了一種基于電–熱的算法，將電化學(xué)阻抗譜(EIS)與表面溫度測量相結(jié)合，用于估計(jì)電池的核心溫度；其他文獻(xiàn)還提出使用高精度電化學(xué)產(chǎn)熱模型預(yù)測電池溫度分布[14-15]. 這些方法對電池核心溫度的估計(jì)具有重要的意義，但是其模型穩(wěn)定性較差，僅適合于一種或部分類型的電池，具有較強(qiáng)的局限性，并且需要使用者對電化學(xué)原理有深入的了解. 近些年隨著機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域的發(fā)展，人工智能被應(yīng)用于儲(chǔ)能電池狀態(tài)運(yùn)行狀態(tài)監(jiān)測，趙澤昆等[16]提出了一種基于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的儲(chǔ)能電池衰減容量預(yù)測方法,可以準(zhǔn)確地預(yù)測儲(chǔ)能電池的容量衰減情況,提高電池儲(chǔ)能系統(tǒng)的穩(wěn)定性；李昕光等[17]將BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和多目標(biāo)遺傳算法相結(jié)合設(shè)計(jì)儲(chǔ)能電池用換熱器并實(shí)時(shí)監(jiān)測系統(tǒng)運(yùn)行中的溫度狀態(tài)；陳實(shí)等[18]基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建了鋰離子電池表面溫度的預(yù)測模型. 機(jī)器學(xué)習(xí)等方法雖然在儲(chǔ)能電池溫度預(yù)測上具有較高的精度，但是其預(yù)測能力過于依賴訓(xùn)練數(shù)據(jù)庫的大小，較小的數(shù)據(jù)量往往會(huì)導(dǎo)致機(jī)器學(xué)習(xí)模型訓(xùn)練失敗，而獲取較大的數(shù)據(jù)量則需要較大的實(shí)驗(yàn)成本和代價(jià).

本征正交分解（Proper orthogonal decomposition,POD）是一種高階數(shù)據(jù)降維常用的方法，已被廣泛的應(yīng)用于流體力學(xué)[19-20]、結(jié)構(gòu)力學(xué)和振動(dòng)分析[21]、大氣科學(xué)[22]等領(lǐng)域中. 在POD 的基礎(chǔ)上Everson和Sirovich[23]提出了一種利用POD 模式進(jìn)行稀疏采樣重構(gòu)的方式——缺失POD（Gappy POD），該方法利用了稀疏和壓縮采樣算法的思想，通過少量樣本就能重構(gòu)完整場. 該方法具有計(jì)算速度快、數(shù)據(jù)庫依賴性小等優(yōu)勢. 李靜和張偉偉[24]利用Gappy POD 方法高效的重構(gòu)了參數(shù)范圍內(nèi)的任意完整流場數(shù)據(jù)；李天一等[25]研究了Gappy POD 算法在湍流重構(gòu)中的應(yīng)用，并分析了影響重構(gòu)精度的因素；羅蕓等[26]將Gappy POD 算法拓展至雙峰溫度場的重構(gòu)預(yù)測中. 本文嘗試將Gappy POD 算法引入儲(chǔ)能電池核心溫度重構(gòu)中以實(shí)現(xiàn)不依賴于電化學(xué)產(chǎn)熱模型，從數(shù)據(jù)層面實(shí)現(xiàn)基于較小容量的數(shù)據(jù)庫對電池核心溫度的有效重構(gòu)預(yù)測，并前瞻Gappy POD 算法在儲(chǔ)能電池?zé)峁芾碇械膽?yīng)用.通過搭建擬儲(chǔ)能電池發(fā)熱實(shí)驗(yàn)平臺(tái)獲取測試數(shù)據(jù)，構(gòu)建溫度數(shù)據(jù)庫用于算法訓(xùn)練，在穩(wěn)定和劇烈工況變化工況條件下分別測試算法的精度和穩(wěn)定性，并將Gappy POD 算法的重構(gòu)能力與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測能力進(jìn)行對比以顯示Gappy POD 算法的非線性重構(gòu)能力以及在小樣本數(shù)據(jù)庫條件下的溫度預(yù)測優(yōu)勢.

1 正交分解算法

1.1 本征正交分解（POD）

本征正交分解方法（POD）可以提供一組正交基底，這些基底包含了所描述的系統(tǒng)的主要特征信息，利用所選基底的線性組合可以近似系統(tǒng)，從而將一個(gè)高維問題轉(zhuǎn)化為低維問題. 為節(jié)省計(jì)算資源，通常使用Sirovich[27]提出的“快照”POD 方法（Snapshot POD method）對數(shù)據(jù)庫進(jìn)行降維處理.“快照”POD 方法對系統(tǒng)特征提取及降維的具體流程如下：

（1）構(gòu)建由M個(gè)系統(tǒng)參數(shù)組合、N個(gè)時(shí)刻瞬時(shí)流場或溫度場數(shù)據(jù)構(gòu)成的快照矩陣合集D. 假設(shè)系統(tǒng)參數(shù)用SP（System parameter）表示,時(shí)間變量用t表示，其中第i種系統(tǒng)參數(shù)組合方式，第q時(shí)刻的所有測點(diǎn)的快照數(shù)據(jù)列表示為D（SPi,tq）. 則集合了所有測點(diǎn)位置的樣本的矩陣形式可以表示為多個(gè)快照數(shù)據(jù)列的集合，如式（1）所示：

上式中t代表所有時(shí)刻，即t= （t1，t2，t3，···，tN）,SPi（i= 1，2，···，M）表示第i種系統(tǒng)參數(shù)的組合.

（2）對樣本矩陣形式的各行進(jìn)行歸一化處理，樣本矩陣D歸一化后形式為.

（3）計(jì)算歸一化樣本矩陣的相關(guān)矩陣R，并求其特征值和特征向量如式（2）和式（3）所示：

式中，λ為特征值矩陣，λj為特征值矩陣中對角線上第j個(gè)特征值，A為特征向量矩陣，Aj為特征向量矩陣的第j列. 通過式（4）和式（5）可計(jì)算各階POD 正交基底Φj和其對應(yīng)的模態(tài)系數(shù)aj(t)：

前n個(gè)POD 模態(tài)所捕獲的能量占全階模態(tài)的能量E為式（6）所示，其中k為最高階模態(tài)階數(shù)：

任意時(shí)刻場數(shù)據(jù)可以由場數(shù)據(jù)的時(shí)間平均值和一組模態(tài)系數(shù)和基底來重構(gòu)，即：

1.2 缺失本征正交分解（Gappy POD）

Gappy POD 方法被廣泛應(yīng)用于傳熱學(xué)等反問題的求解中. 已知某個(gè)系統(tǒng)的樣本矩陣為D，該樣本矩陣也即完整目標(biāo)場. 通過正交分解得到正交基底Φj以及模態(tài)系數(shù)aj(t). 任意時(shí)刻，任意系統(tǒng)參數(shù)組合條件下的部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失場可定義為一個(gè)掩碼向量和一個(gè)完整場D的點(diǎn)積，其中m為測點(diǎn)個(gè)數(shù)，xi為第i個(gè)測點(diǎn):

其中掩碼向量的構(gòu)成為：

bj(t)為一組待求模態(tài)系數(shù)：

重構(gòu)誤差可以表示為e:

利用最小二乘法最小化重構(gòu)誤差e可以得到一組最優(yōu)的模態(tài)系數(shù)bj(t)，利用該組模態(tài)系數(shù)和正交基底可以重構(gòu)出完整的目標(biāo)場. 重構(gòu)后的完整目標(biāo)場可以表示為， 則可由式（12）計(jì)算得：

2 模擬儲(chǔ)能電池發(fā)熱實(shí)驗(yàn)

儲(chǔ)能電池組模組中的電池單元的容量、電阻、壽命等有所差異，這些差異會(huì)導(dǎo)致電池組的電壓分布不均，部分電池的電壓可能會(huì)超過其承受的范圍，從而影響整個(gè)儲(chǔ)能電池組的性能和壽命. 因此在工業(yè)中，儲(chǔ)能電池組在充電之前均會(huì)通過電池管理系統(tǒng)（BMS）對電池組進(jìn)行均衡電壓處理，將電池組中每個(gè)電池單元的電壓調(diào)整至相等的水平. 本文模擬電池組恒壓放電過程中的溫度變化情況,設(shè)定工況用于模擬儲(chǔ)能電池中電池在電壓不均衡的較極端條件下的溫升情況. 因?yàn)閮?chǔ)能電池單體在電壓不均衡條件下的發(fā)熱實(shí)驗(yàn)熱失控風(fēng)險(xiǎn)較高，需要專業(yè)的防爆實(shí)驗(yàn)臺(tái)和復(fù)雜的安全措施.本文在不考慮電化學(xué)模型的情況下，利用含內(nèi)熱源的熱傳導(dǎo)模型近似模擬在無外部冷卻措施狀態(tài)下的儲(chǔ)能電池恒壓放電過程中的溫度變化曲線，以及電壓突變條件下的異常溫升狀況. 搭建擬儲(chǔ)能電池發(fā)熱實(shí)驗(yàn)臺(tái)如圖1 所示，用以模擬電池發(fā)熱及異常溫升情況、測試Gappy POD 算法的溫度場實(shí)時(shí)重構(gòu)預(yù)測能力，以及算法在工況參數(shù)變化條件下的穩(wěn)定性.

圖1 擬儲(chǔ)能電池發(fā)熱實(shí)驗(yàn)臺(tái)Fig.1 Simulated experimental bench for heating energy-storage batteries

2.1 實(shí)驗(yàn)材料

本實(shí)驗(yàn)主要材料及設(shè)備如表1 所示，包括可控直流加熱片、64 通道溫度采集卡、3 通道可編程控制電源、40 cm×30 cm 鋁板，利用Labview 和Matlab編制計(jì)算平臺(tái)通將數(shù)據(jù)采集卡得到的溫度數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)時(shí)重構(gòu)處理. 實(shí)驗(yàn)部分外罩玻璃箱以防止對流對于溫升的影響并模擬封閉電池箱箱體環(huán)境.實(shí)驗(yàn)前利用本地氣壓（997 hPa）下的沸騰蒸餾水對64 通道采集卡所連的熱電偶進(jìn)行統(tǒng)一溫度測試，絕對誤差小于0.1 ℃，為減少接觸熱阻的影響，熱電偶采用點(diǎn)焊的方式與待測物體相連接.

表1 實(shí)驗(yàn)設(shè)備及材料Table 1 Experimental equipment and materials

2.2 實(shí)驗(yàn)測點(diǎn)布置

實(shí)驗(yàn)中四個(gè)加熱片布置位置的俯視圖以及測點(diǎn)布放的位置如圖2 所示，其中共有13 個(gè)測點(diǎn)，4 個(gè)測點(diǎn)直接布置于加熱片上測量加熱片溫度，編號為1～4，用于監(jiān)測模擬電池核心溫度；其余9 個(gè)測點(diǎn)放置于鋁板下底面，編號為5～13，用于監(jiān)測模擬電池箱外部溫度；通過該9 個(gè)測點(diǎn)中的部分測點(diǎn)的溫度值并結(jié)合Gappy POD 算法重構(gòu)預(yù)測放置于加熱片上的4 個(gè)內(nèi)部測點(diǎn)溫度值，實(shí)現(xiàn)通過測量電池箱外殼部分測點(diǎn)的溫度預(yù)測電池組內(nèi)各電池核心溫度的實(shí)驗(yàn)?zāi)康?

圖2 溫度測點(diǎn)布放示意圖Fig.2 Schematic diagram illustrating the layout of temperature measurement points

2.3 實(shí)驗(yàn)變量

實(shí)驗(yàn)中將1 號和2 號測點(diǎn)所在的加熱片串聯(lián)后接入可編程控制電源通道1，3 號和4 號測點(diǎn)所在加熱片分別接入可編程控制電源通道2 和通道3，改變可編程控制電源的通道輸出電壓即可實(shí)現(xiàn)對于加熱片的溫度控制. 為了增加實(shí)驗(yàn)的非線性，在通道3 電壓的基礎(chǔ)上增加實(shí)時(shí)小幅波動(dòng)的隨機(jī)電壓，隨機(jī)電壓的波動(dòng)值在基礎(chǔ)值的1%范圍內(nèi)并符合時(shí)間序列上的正態(tài)分布.

2.4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)收集

令可編程電源通道1、2、3 輸出電壓值取值分別在（15、20 和25 V）三個(gè)電壓值中選取，其中通道2 和通道3 輸出電壓取值相同，通道3 中引入實(shí)時(shí)小幅波動(dòng)且滿足正態(tài)分布的隨機(jī)電壓. 在確定各通道輸出電壓后，進(jìn)行35 min 的溫升實(shí)驗(yàn)，間隔1 s 利用采集卡同時(shí)對13 通道的溫度數(shù)據(jù)進(jìn)行收集. 每次實(shí)驗(yàn)后待裝置各測點(diǎn)溫度自然冷卻至室溫后改變通道電壓進(jìn)行下一次實(shí)驗(yàn). 實(shí)驗(yàn)共收集9 組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)包含2200 個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的13 個(gè)測點(diǎn)的溫度值.

因?yàn)樵? s 的時(shí)間間隔內(nèi)測點(diǎn)的溫度變化并不明顯，且較小的采集溫度數(shù)據(jù)時(shí)間間隔會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)庫中存在較多的噪聲和異常數(shù)據(jù)值，并且數(shù)據(jù)庫的大小會(huì)顯著影響計(jì)算效率. 因此對收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步處理，將時(shí)間間隔擴(kuò)大至15 s，則處理后的9 組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)包含148 個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的13 個(gè)測點(diǎn)的溫度值.

3 工況變化劇烈程度對Gappy POD 算法的重構(gòu)能力影響

3.1 Gappy POD 算法在擬儲(chǔ)能電池溫升實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用

本實(shí)驗(yàn)?zāi)康脑谟诶脙?chǔ)能電池組箱體外測點(diǎn)（編號5～13）中的部分測點(diǎn)實(shí)時(shí)測溫?cái)?shù)據(jù)并結(jié)合Gappy POD 算法實(shí)時(shí)重構(gòu)電池箱體內(nèi)核心測點(diǎn)（編號1～4）溫度，從而實(shí)現(xiàn)核心溫度的間接預(yù)測，避免在儲(chǔ)能箱體內(nèi)置測點(diǎn)影響電池組結(jié)構(gòu)以及增加成本. Gappy POD 算法在儲(chǔ)能電池溫升實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用流程圖如圖3 所示.

圖3 Gappy POD 算法在擬儲(chǔ)能電池溫升實(shí)驗(yàn)中應(yīng)用流程Fig.3 Application process of the Gappy POD algorithm in temperature rise experiments for quasi-energy-storage batteries

3.2 傳感器數(shù)量和布放位置的確定

Gappy POD 算法的重構(gòu)預(yù)測能力與傳感器布放的數(shù)量和布放的位置密切相關(guān). 本文采用圖4所示的“遺傳–交叉驗(yàn)證”算法來確定傳感器布放的最佳位置和數(shù)量. 在“遺傳–交叉驗(yàn)證”算法中，適應(yīng)度函數(shù)是重構(gòu)數(shù)據(jù)和測量數(shù)據(jù)的均方根誤差的倒數(shù)，因此適應(yīng)度值越大，重構(gòu)誤差越小. 當(dāng)所選傳感器數(shù)量分別為2、3、4、5、6、7 和8 個(gè)時(shí)，對應(yīng)的最優(yōu)測點(diǎn)布置位置和適應(yīng)度值如表2 所示，其中測點(diǎn)編號對應(yīng)于圖2 所示.

表2 最優(yōu)測點(diǎn)數(shù)量和位置及其適應(yīng)度值表Table 2 Optimal number and location of measurement points, along with their corresponding fitness values

圖4 “遺傳–交叉驗(yàn)證算法”流程Fig.4 Flowchart of the “Genetic–Cross Validation” method

由圖5 可以看出，適應(yīng)度值隨著測點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加逐漸變大，即重構(gòu)誤差隨著測點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加逐漸減小. 但是較高的重構(gòu)精度意味著測點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加，實(shí)驗(yàn)或工程應(yīng)用中成本顯著增加，綜合衡量成本和重構(gòu)精度兩個(gè)因素，選擇測點(diǎn)數(shù)量為4，最優(yōu)測點(diǎn)位置編號如表2 所示.

圖5 適應(yīng)度值隨測點(diǎn)數(shù)量變化Fig.5 Relationship between fitness value and the number of measurement points

3.3 工況變化平穩(wěn)條件下數(shù)據(jù)的重構(gòu)

將傳感器布放在編號為8、10、12、13 四個(gè)測點(diǎn)上，利用數(shù)據(jù)庫數(shù)據(jù)和傳感器實(shí)時(shí)測量數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)重構(gòu)預(yù)測核心測點(diǎn)1、2、3、4 四個(gè)測點(diǎn)位置溫度. 可編程電源輸出電壓波動(dòng)較小時(shí)，加熱片的溫度波動(dòng)也相對較小. 首先探究利用Gappy POD 算法在工況變化平穩(wěn)條件（下文中簡稱為“弱工況”）下的重構(gòu)精度. 實(shí)驗(yàn)中工況（可編程控制電源電壓）變化情況如表3 所示，首先在22 V 和18 V 電源電壓下進(jìn)行360 s 溫升實(shí)驗(yàn)，隨后調(diào)整電壓至16 V和24 V 后再進(jìn)行480 s 溫升實(shí)驗(yàn)，最后在電壓20 V和23 V 條件下實(shí)驗(yàn)660 s 至實(shí)驗(yàn)結(jié)束.

表3 工況變化平穩(wěn)條件下可編程控制電源電壓設(shè)定Table 3 Programmable control power supply voltage setting understable working conditions

為避免系統(tǒng)開機(jī)時(shí)噪聲對初始數(shù)據(jù)產(chǎn)生較大的噪聲影響，從系統(tǒng)運(yùn)行的第50 s 開始利用Gappy POD 算法對1、2、3、4 號測點(diǎn)溫度進(jìn)行實(shí)時(shí)重構(gòu)，得到重構(gòu)值和實(shí)際值如圖6 所示.

圖6 工況變化平穩(wěn)條件下Gappy POD 算法重構(gòu)值與測量值對比.（a）1 號測點(diǎn); （b） 2 號測點(diǎn);（c）3 號測點(diǎn); （d）4 號測點(diǎn)Fig.6 Comparison of reconstructed and actual values using the Gappy POD algorithm under stable operating conditions at measurement points: (a) point 1; (b) point 2; (c) point 3; (d) point 4

3.4 工況變化較劇烈條件下數(shù)據(jù)的重構(gòu)

如3.3 節(jié)所示，保持傳感器數(shù)量和布置位置不變，改變實(shí)驗(yàn)中工況（可編程控制電源電壓）的變化情況如表4 所示. 相比表3 所示工況，表4 中工況變化更加復(fù)雜，具體表現(xiàn)為：電壓改變頻率更高（由3 次/1500 s 增加至6 次/1500 s）、電壓變化間隔更短（由480 s 縮短為120 s）、電壓值變化幅度更大（可編程控制電源1 輸出電壓范圍由16～22 V變?yōu)?5～23 V、可編程控制電源2 輸出電壓范圍由18～23 V 變?yōu)?6～25 V），因此將得到一組變化較劇烈的溫度數(shù)據(jù). 利用Gappy POD 算法得到對于工況變化較劇烈條件（下文簡稱為“強(qiáng)工況”）下的1 至4 號測點(diǎn)溫度的實(shí)時(shí)重構(gòu)值和實(shí)際值如圖7所示.

表4 工況變化劇烈條件下可編程控制電源電壓設(shè)定Table 4 Programmable control power supply voltage setting under drastic changes in operating conditions

圖7 工況變化較劇烈條件下Gappy POD 算法重構(gòu)值與測量值對比. （a）1 號測點(diǎn); （b）0 2 號測點(diǎn);（c）3 號測點(diǎn); （d）4 號測點(diǎn)Fig.7 Comparison of reconstructed and actual values using the Gappy POD algorithm under severe changes in operating conditions at measurement points: (a) point 1; (b) point 2; (c) point 3; (d) point 4

3.5 結(jié)果分析

選取均方根誤差RMSE（Root mean squared error）和相關(guān)系數(shù)CCOE（Correlation coefficient）兩個(gè)參數(shù)分別衡量重構(gòu)誤差大小和趨勢預(yù)測能力，其中RMSE和CCOE 的定義分別如式(13)和式(14)所示：

其中，y為一組真實(shí)值，y?為一組預(yù)測值，yi為第i個(gè)真實(shí)值，為第i個(gè)預(yù)測值，s為測點(diǎn)總數(shù)，Cov（y,y）表示協(xié)方差，Var [y]表示方差.

將工況較平穩(wěn)變化和工況劇烈變化條件下的1、2、3、4 號測點(diǎn)的溫度實(shí)時(shí)重構(gòu)值和測量值的均方根誤差、相關(guān)系數(shù)分別繪制在表5 中. 由表5 可知，Gappy POD 算法對于強(qiáng)工況條件下數(shù)據(jù)的重構(gòu)誤差要明顯高于弱工況條件下；但是二者的相關(guān)系數(shù)差異并不明顯且均在0.9 左右，說明無論是強(qiáng)工況條件下的數(shù)據(jù)還是弱工況條件下的數(shù)據(jù)，Gappy POD 算法都有較好的趨勢預(yù)測能力，并且由圖6 和圖7 可以看出，當(dāng)工況發(fā)生改變時(shí)，Gappy POD 算法的重構(gòu)值的變化趨勢可以較快的追隨測量值的變化趨勢，圖線的變化趨勢具有高度一致性.

表5 溫度實(shí)時(shí)重構(gòu)值和測量值的均方根誤差、相關(guān)系數(shù)表Table 5 RMSE and CCOE for real-time temperature reconstruction and measurement values

同時(shí)注意到，測點(diǎn)3 因?yàn)槿斯ひ肓穗S機(jī)波動(dòng)，溫度處于實(shí)時(shí)波動(dòng)變化中，而Gappy POD 算法對于測點(diǎn)3 的重構(gòu)誤差和相關(guān)系數(shù)相較于測點(diǎn)1、2 和4 并未發(fā)生顯著差異，說明Gappy POD 算法對于被隨機(jī)噪聲干擾的數(shù)據(jù)也具有較好的重構(gòu)能力，算法本身具有一定的濾波作用.

在圖7 中我們注意到，在某些時(shí)刻以及部分時(shí)間段內(nèi)的重構(gòu)誤差依然較大，為滿足算法的工程應(yīng)用，結(jié)合Gappy POD 算法重構(gòu)預(yù)測的全過程，本文提出了如下的改進(jìn)方法以進(jìn)一步提升算法的重構(gòu)精度：

（1）選用更高階的模態(tài)進(jìn)行本征正交分解（POD），以使模態(tài)系數(shù)和正交基底保留更多的數(shù)據(jù)庫特征；

（2）本文利用最小二乘法最小化重構(gòu)誤差e得到重構(gòu)模態(tài)系數(shù)，在數(shù)據(jù)量較小以及擬合工況較復(fù)雜的條件下最小二乘法易發(fā)生過擬合導(dǎo)致精度下降，可以通過L1 正則化最小二乘法以減小過擬合風(fēng)險(xiǎn).

4 Gappy POD 算法的重構(gòu)能力與BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測能力對比

4.1 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對于強(qiáng)波動(dòng)和弱波動(dòng)數(shù)據(jù)的預(yù)測能力

BP（Back propagation）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種按照誤差反向傳播算法訓(xùn)練的多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，常用于儲(chǔ)能電池溫度預(yù)測中，具有很強(qiáng)的非線性映射能力和柔性的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，適用于復(fù)雜的非線性問題，并且可以處理高維數(shù)據(jù)和含有噪聲的數(shù)據(jù). 為對比說明Gappy POD 算法的重構(gòu)預(yù)測能力以及算法具有一定的非線性預(yù)測能力，利用相同數(shù)據(jù)庫(間隔15 s)訓(xùn)練具有非線性預(yù)測能力的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)后，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對溫度變化進(jìn)行預(yù)測，并與Gappy POD 算法的重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行對比.

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)?shù)為測點(diǎn)8、10、12 和13 的實(shí)時(shí)溫度值，輸出參數(shù)為待預(yù)測測點(diǎn)1、2、3、4 溫度. 構(gòu)造具有4 個(gè)輸入節(jié)點(diǎn)，2 個(gè)隱含層每層各分布20 個(gè)神經(jīng)元和4 個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò). 訓(xùn)練結(jié)束后各項(xiàng)誤差如圖8 所示，設(shè)置學(xué)習(xí)率為0.0001，當(dāng)訓(xùn)練進(jìn)行至62 步時(shí)候，訓(xùn)練、校正和測試誤差均降至0.1 以下，達(dá)到精度要求，訓(xùn)練結(jié)束.

圖8 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練結(jié)果Fig.8 Training results of the BP neural network

利用訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對強(qiáng)工況條件下的測點(diǎn)1～4 溫度數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)候預(yù)測，并與Gappy POD算法實(shí)時(shí)重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行對比，繪制溫度變化曲線如圖9 所示. 可以看出BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也具有較好的溫升趨勢預(yù)測能力，并且BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測結(jié)果的波動(dòng)性更強(qiáng)，對于測點(diǎn)3 隨機(jī)波動(dòng)的溫度值具有更強(qiáng)的趨勢預(yù)測能力. 為定量說明Gappy POD算法和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對于溫度值預(yù)測的精度和趨勢預(yù)測能力，分別計(jì)算二者對于弱工況條件下和強(qiáng)工況條件下測點(diǎn)的預(yù)測值和實(shí)際測量值的均方根誤差（Root mean square error, RMSE）和相關(guān)系數(shù)（Correlation coefficient, CCOE），制成表6 和表7.

表6 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Gappy POD 算法對于工況平穩(wěn)變化條件下數(shù)據(jù)的重構(gòu)預(yù)測能力Table 6 The reconstruction and prediction ability of the BP neural network and Gappy POD algorithm for data under stable changes in operating conditions

表7 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Gappy POD 算法對于工況劇烈變化條件下數(shù)據(jù)的重構(gòu)預(yù)測能力Table 7 The reconstruction and prediction abilities of the BP neural network and Gappy POD algorithm for data under drastic changes in operating conditions

圖9 工況劇烈變化條件下神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、Gappy POD 重構(gòu)和測量值對比. （a）1 號測點(diǎn)；（b） 2 號測點(diǎn)；（c）3 號測點(diǎn)； （d）4 號測點(diǎn)Fig.9 Neural network, Gap POD reconstruction, and comparison of measured values under severe changes in operating conditions at measurement points: (a) point 1; (b) point 2; (c) point 3; (d) point 4

由表6 和表7 可以看出，在弱工況條件下，Gappy POD 算法的RMSE 值要明顯小于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的，表明Gappy POD 在弱工況條件下具有更高的重構(gòu)預(yù)測精度；而二者的CCOE 值均在0.9 左右，表明Gappy POD 算法和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)都具有良好的趨勢預(yù)測能力. 而在強(qiáng)工況條件下，Gappy POD 算法的重構(gòu)誤差要略高于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測誤差，且Gappy POD 算法對于測點(diǎn)4 的重構(gòu)溫度和實(shí)時(shí)測量值的相關(guān)系數(shù)（CCOE）低于0.8，表明在強(qiáng)波動(dòng)條件下Gappy POD 算法的趨勢預(yù)測能力有所降低.

4.2 數(shù) 據(jù) 庫 大 小 對 于Gappy POD 及 神 經(jīng) 網(wǎng) 絡(luò) 預(yù)測能力影響

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測能力依賴于數(shù)據(jù)庫的大小.為探究數(shù)據(jù)庫的大小對Gappy POD 算法的重構(gòu)能力和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測能力的影響，從未處理數(shù)據(jù)中分別間隔15、30、60、100、200 以及400 s 提取數(shù)據(jù)構(gòu)成不同大小的數(shù)據(jù)庫. 分別利用不同大小的數(shù)據(jù)庫訓(xùn)練Gappy POD 算法和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并對弱工況和強(qiáng)工況條件下溫度值實(shí)時(shí)重構(gòu)，得到實(shí)時(shí)重構(gòu)預(yù)測數(shù)據(jù)和測量數(shù)據(jù)的RMSE 和CCOE如圖10 和圖11 所示.

圖10 工況平穩(wěn)變化條件下，基于不同大小的數(shù)據(jù)庫訓(xùn)練的Gappy POD 算法和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)值與實(shí)際值的均方根誤差和相關(guān)系數(shù)變化.（a）均方根誤差變化; （b）相關(guān)系數(shù)變化Fig.10 Changes in RMSE and CCOE between reconstructed values and actual values for the Gappy POD algorithm and BP neural network trained on databases of different sizes under stable operating conditions: (a) root mean square error; (b) correlation coefficient

由圖10 和圖11 可知，隨著數(shù)據(jù)庫中數(shù)量的減小，弱工況條件下Gappy POD 算法和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測誤差均有所升高，對于趨勢的預(yù)測能力均有不同程度的降低；而在強(qiáng)工況條件下，Gappy POD 算法的重構(gòu)精度和趨勢能力受數(shù)據(jù)庫大小的影響較小，甚至隨著數(shù)據(jù)庫中數(shù)據(jù)的減小重構(gòu)能力有小幅度的提升. 綜合圖10 和圖11 分析知，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測能力受數(shù)據(jù)庫中數(shù)據(jù)量的大小影響較大，而Gappy POD 算法受數(shù)據(jù)庫大小影響較小，具體表現(xiàn)為圖中雙劃線的波動(dòng)幅度較大而實(shí)線幾乎沒有明顯的波動(dòng)；在弱工況條件下，Gappy POD 算法在重構(gòu)精度和趨勢預(yù)測能力方面均優(yōu)于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；在強(qiáng)工況條件下，當(dāng)數(shù)據(jù)庫中數(shù)據(jù)量較大時(shí)，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度和趨勢預(yù)測能力均優(yōu)于Gappy POD 算法，但隨著數(shù)據(jù)庫中數(shù)據(jù)量的減少，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測誤差顯著增大而趨勢預(yù)測能力也有較明顯的下降，而Gappy POD 算法的重構(gòu)能力受數(shù)據(jù)庫大小影響幾乎不發(fā)生變化，這也顯示了Gappy POD 算法在小樣本數(shù)據(jù)庫的條件下的預(yù)測重構(gòu)能力的優(yōu)越性.

5 結(jié)論

本文通過搭建擬儲(chǔ)能電池發(fā)熱實(shí)驗(yàn)臺(tái)，評估了Gappy POD 算法在儲(chǔ)能電池溫度場重構(gòu)中的效果. 研究分別在工況平穩(wěn)變化和工況劇烈變化條件下，測試了Gappy POD 算法的重構(gòu)能力，并與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了比較. 此外，還討論了數(shù)據(jù)庫大小對BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測能力和Gappy POD 算法重構(gòu)能力的影響，并得到以下結(jié)論：

(1) Gappy POD 算法在工況平穩(wěn)變化和工況劇烈變化條件下均有較好的重構(gòu)精度和趨勢預(yù)測能力，并且該算法對于被隨機(jī)噪聲干擾的數(shù)據(jù)也具有較好的重構(gòu)能力，算法的穩(wěn)定性較強(qiáng)；

(2) 相較于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，Gappy POD 算法在工況平穩(wěn)變化條件下具有更高的重構(gòu)精度，而工況變化劇烈條件下Gappy POD 算法的重構(gòu)精度有所降低；BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Gappy POD 算法均具有較強(qiáng)的趨勢預(yù)測能力，可以實(shí)時(shí)重構(gòu)溫度值并反映溫度值波動(dòng)和溫度變化趨勢；

(3) BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測能力對數(shù)據(jù)庫數(shù)據(jù)量的大小更為敏感，而Gappy POD 算法受數(shù)據(jù)庫中數(shù)據(jù)量大小影響較小，尤其在小樣本數(shù)據(jù)庫條件下，Gappy POD 算法的重構(gòu)能力相較于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有較大的優(yōu)勢.

本文用加熱棒代替儲(chǔ)能電池單體進(jìn)行發(fā)熱實(shí)驗(yàn)以測試Gappy POD 算法的重構(gòu)能力，盡管本文引入了隨機(jī)電壓波動(dòng)等增強(qiáng)系統(tǒng)的非線性度，但相比于真實(shí)的電池系統(tǒng)，該擬儲(chǔ)能電池溫升實(shí)驗(yàn)臺(tái)的非線性依然偏弱. 下一步將利用真實(shí)電池的HPPC 測試數(shù)據(jù)等以及電容器、電阻元件和控制芯片等器件制作數(shù)字?jǐn)M態(tài)電池電路板，配合加熱棒以更準(zhǔn)確的模擬儲(chǔ)能電池的充放電過程中的溫度變化情況，提高系統(tǒng)的非線性度并測試Gappy POD算法的重構(gòu)能力.