偽目標迭代生成的機器人誤差補償算法

葉伯生 金雄程 黎晗 邵柏巖 李曉昆 李思澳

摘要：針對機器人誤差模型建立后的誤差補償問題，提出一種改進的偽目標迭代算法。該算法用每次迭代中生成新的偽目標來修正關節(jié)角，從而不斷減小機器人實際誤差。完善了偽目標迭代算法流程，提出了5種新的不同的偽目標生成方法，分析了各種方法的特點和適用場景。結合多種偽目標生成方法提出了一種集成算法，進一步提高誤差補償精度。使用HSR-JR612機器人進行仿真實驗，仿真結果表明，算法耗時在毫秒級別，補償效果好，集成算法能進一步提高位姿補償效果。最后使用UR10機器人與激光跟蹤儀進行實驗，實驗結果表明，補償后機器人末端位置誤差可以減小到0.06 mm以內，姿態(tài)誤差可以減小到0.025°以內。

關鍵詞：機器人；誤差補償；定位精度；偽目標

中圖分類號：TP242.2

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.01.013

Robot Error Compensation Algorithm by Pseudo Target Iterative Generation

YE Bosheng JIN Xiongcheng LI Han SHAO Baiyan LI Xiaokun LI Siao

School of Mechanical Science and Engineering，Huazhong University of Science and Technology，

Wuhan，430074

Abstract： Aiming at the problems of error compensation after robot error modeling， an improved algorithm was proposed based on pseudo target iteration. This algorithm generated a new pseudo target in each iteration to correct the joint angles， thereby continuously reducing the actual errors of the robot. The pseudo target iterative algorithmic process was improved to mature the algorithm flow， 5 new and different false target generation methods were proposed， and the characteristics and applicable scenarios of each method were analyzed. An ensemble algorithm was proposed combining multiple false target generation methods to further improve the accuracy of error compensation. Using the HSR-JR612 robot to carry out simulation experiments， the simulation results show that the algorithm takes milliseconds and the compensation effectiveness is good， and the integrated algorithm may further improve the pose compensation effect. Finally， the UR10 robot and the laser tracker were used for experiments. The experimental results show that after compensation， the position errors of the robot end may be reduced to less than 0.06 mm， and the attitude errors may be reduced to less than 0.025°.

Key words： robot； error compensation； positioning accuracy； pseudo target

0 引言

工業(yè)機器人末端位置誤差主要分為幾何參數誤差和非幾何參數誤差［1］，幾何參數包括關節(jié)角、連桿長度、連桿偏置等［2］，可以先進行幾何參數辨識，再直接修正控制器內部的對應參數來補償幾何參數誤差。ZENG等［3］和CHEN等［4］在計算合理的位置誤差后，直接修改機器人控制命令中的位置坐標來實現補償。但是許多機器人的控制器沒有開放底層修改權限，而且非幾何參數誤差不能通過直接修改控制器參數來補償。

為了提高機器人末端精度，需要準確的補償技術對辨識出來的誤差進行補償。ANGELIDIS等［5］設計了一種能夠直接預測指令位置的神經網絡，在此指令位置下機器人實際輸出的位置接近期望位置。但這類算法沒有直接計算實際誤差然后補償，對數據集的依賴性大，即數據采集成本高。倪華康等［6］采用微分誤差補償法來補償幾何參數誤差和基坐標系誤差造成的末端誤差。此類方法較為常用，但這種方法只進行一次補償，補償效果有進一步的提高空間。陳宵燕［7］基于誤差模型提出了一種笛卡兒空間攝動補償算法，原理是基于最小二乘法最小化殘余誤差，補償效果較好，但算法運算量大。何慶稀等［8］將激光跟蹤儀測出的位姿偏差直接附加到指令位姿實現在線位姿補償，此類方法原理簡單但補償精度有限。預測補償法是一種輸入運動規(guī)劃法［9］，能將笛卡兒空間的位置誤差映射到關節(jié)空間中，通過修正關節(jié)角來實現末端誤差補償。NGUYEN等［10］使用逆雅可比矩陣將位置誤差轉換為關節(jié)角補償值，但可能存在矩陣奇異性問題。奚陶［11］基于Newton-Raphson法根據末端位置誤差來修正關節(jié)角。DEVLIEG等［12］提出采用關節(jié)空間補償法對關節(jié)間隙引起的位置誤差進行在線補償。上述幾種預測補償算法補償精度高，但沒有對算法耗時進行具體的量化討論。尹仕斌［13］提出了一種基于偽目標位姿迭代的算法來補償實際輸入的關節(jié)角，該算法每個位置點的平均迭代次數在3～5次，效率較高。

針對建立誤差辨識模型后的誤差補償環(huán)節(jié)，本文提出一種改進的基于偽目標迭代的誤差補償算法，通過修正關節(jié)角實現位置或位姿的誤差補償。關于算法中的逆運動學，提出使用數值迭代法來代替解析法，另外提出5種新的偽目標生成方法，并綜合多種生成方式來提高補償精度。最后使用HSR-JR612機器人進行仿真實驗，驗證算法的有效性。

1 誤差補償算法介紹

如果不考慮機器人實際存在的幾何誤差及非幾何誤差，在每次作業(yè)中，機器人會通過逆運動學由目標位姿Td（相對于機器人基坐標系）得到機器人的理論輸入關節(jié)角θd，并將其輸入控制器，二者關系如下：

θd=IK（Td）（1）

其中，目標位姿Td∈SE（3），SE（3）表示三維特殊歐氏群（special Euclidean group），IK（·）為機器人的逆運動學函數。本文的討論對象是六自由度關節(jié)機器人，因此關節(jié)角向量θd∈R6。

實際上機器人受幾何誤差、關節(jié)柔性誤差等各種因素影響，其末端存在一定的誤差，為此，需要準確的誤差辨識模型（或稱誤差預測模型）去預測不同關節(jié)角下的末端誤差。本文的算法根據預測或測量得到的誤差，對輸入關節(jié)角進行修正，得到修正的關節(jié)角θa，使得實際機器人末端位置在關節(jié)角為θa時盡可能地逼近目標位置。

建立誤差辨識模型后，將預測實際末端位姿的函數（actual pose predictor）設為AP（θ），輸入為一組關節(jié)角，輸出為預測的實際末端位姿。該函數可針對不同機器人選用準確的誤差預測模型進行實現，比如可以使用分級誤差預測模型［2，10］或其他誤差預測模型［5］。

將修正關節(jié)角度θa通過理論正運動學得到的位姿定義為偽目標（pseudo target，PT）位姿點Tp。算法的最終目的是使該修正關節(jié)角θa對應的實際末端位姿Ta逼近目標位姿Td。綜上，有如下關系成立：

Tp=FK（θa）（2）

θa=IK（Tp）（3）

Ta=AP（θa）（4）

其中，FK（·）為機器人理想模型的正運動學函數，修正關節(jié)角θa∈R6，位姿Ta、Tp均屬于SE（3）。

基于文獻［13］提出的“偽目標位姿”迭代補償算法，本文進一步拓展和改進，采用不同的逆運動學函數，提出多種新的偽目標生成方式。改進的偽目標生成迭代算法主要流程如圖1所示。

主要過程描述如下：

（1）迭代開始。迭代次數k=0，將修正關節(jié)角的初始值θ（0）a設為θd，將初始偽目標T（0）p設為目標位姿Td，二者關系如式（1）所示。設置變量Ebest來記錄最小的末端誤差，變量θbest記錄最小誤差對應的修正關節(jié)角，Ebest的初始值設為一個較大數即可，如圖1中將其設為100。

（2）根據式（4）計算θ（k）a對應的末端實際位姿：

T（k）a=AP（θ（k）a）（5）

（3）計算第k次迭代中θ（k）a對應的末端實際位姿及其與目標位姿Td間的誤差：

E=ε（T（k）a，Td）（6）

式中，函數ε（·）用來計算兩個位姿之間的誤差，根據不同的需求，可以用不同的誤差計算函數。

當只關心末端位置精度時，誤差計算可以使用下式所示的笛卡兒空間位置誤差公式：

式中，P（k）ax、P（k）ay、P（k）az為T（k）a在3個笛卡兒坐標軸上的位置分量；Pdx、Pdy、Pdz為Td在3個笛卡兒坐標軸上的位置分量。

同時考慮位置精度和姿態(tài)精度時，誤差計算可以采用文獻［13-14］中所使用的位姿誤差計算公式：

其中，E的計算結果單位為mm，xe、ye、ze、r（1）e1、r（2）e2、r（3）e3由下式求得：

（4）計算誤差E后，若E＜Ebest，則更新Ebest和θbest；否則繼續(xù)迭代，更新迭代次數k←k+1。若更新了Ebest，同時Ebest小于閾值或迭代次數k大于預設值，則停止迭代，輸出θbest作為最終修正關節(jié)角輸出；否則繼續(xù)迭代，更新迭代次數k←k+1。

（5）根據上一次迭代生成第k（k>0）次迭代的偽目標位姿：

T（k）p=PT（T（k－1）p，T（k－1）a，Td）（10）

式中，PT（·）為偽目標生成函數。

（6）通過迭代逆運動學（iterative inverse kinematics，IIK）算法計算偽目標對應的關節(jié)角：

θ（k）a=IIK（T（k）p，θ（k－1）a，ΘIIK）（11）

其中，IIK（·）為迭代法逆運動學函數，這類算法除了要輸入姿態(tài)，一般還需要輸入一組關節(jié)角初值和標志迭代結束的誤差閾值；ΘIIK為標志迭代結束的誤差閾值。

如式（11）所示，迭代逆運動學將上一個偽目標對應的關節(jié)角θ（k－1）a作為迭代初始值，由于每次生成的偽目標和上一次迭代生成的偽目標比較接近，所以選用該初值能夠提高逆運動學算法效率，同時保證算法穩(wěn)定性。經過比較，本文以及后續(xù)的仿真中將使用文獻［15］中的迭代算法，該算法在迭代后期有較好的穩(wěn)定性。

（7）返回步驟（2）并重復之后的步驟。

2 多種偽目標生成方式

偽目標生成的原則為：偽目標加上其對應誤差后的末端實際位姿能夠逼近目標位姿Td，下面將討論式（10）中偽目標生成函數PT（·）的具體實現。文獻［13］提出的偽目標生成函數已經被驗證有較好的補償效果，其具體實現如下式所示：

T（k）p=T（k－1）p（T（k－1）a）－1Td（12）

由于算法思想是類似的，因此偽目標生成方式的流程應該為：參考目標位姿Td和實際位姿T（k－1）a間的偏差，在上一個偽目標位姿T（k－1）p的基礎上生成下一個偽目標。機器人末端位姿可以表示為

其中，姿態(tài)部分R∈SO（3），SO（3）為三維特殊正交群（special orthogonal group），位置部分P∈R3。

在偽目標生成方法中，本文將位置和姿態(tài)分別進行處理。

2.1 位置部分生成方法

偽目標生成的重點在于找到合適的方法去衡量偽目標位姿與目標位姿間的偏差，并靠生成新的偽目標來補償這個偏差，其中位置部分的差距使用坐標相減的差來衡量。本文提出的偽目標生成算法中，位置部分均采用下式進行計算：

P（k）p=P（k－1）p－ΔP=P（k－1）p－（P（k－1）a－Pd）=

P（k－1）p+Pd－P（k－1）a（14）

其中，P（k）p為第k次迭代生成的偽目標的位置，P（k－1）a為上一次迭代中關節(jié)角θ（k－1）a對應的實際位置，Pd為目標位置。三者均屬于R3。

2.2 姿態(tài)部分生成方法

偽目標生成算法的姿態(tài)部分可采用多種方式處理，本文將對比討論這幾種方法。下文提到的R（k）p表示第k次生成的偽目標的姿態(tài)，R（k－1）a為第k－1次迭代中關節(jié)角對應的實際位置，Rd為目標位姿的姿態(tài)部分，三者均屬于SO（3）。

（1）固定姿態(tài)法。若只考慮位置誤差而不關心姿態(tài)誤差，則可以一直選擇目標姿態(tài)Rd作為偽目標的姿態(tài)，即選擇如下策略更新偽目標的姿態(tài)部分：

R（k）p=Rd（15）

式（15）的優(yōu)點在于運算量小，效率高，缺點在于沒有考慮位姿部分的誤差，最終可能會出現末端位置誤差小但姿態(tài)誤差大的補償結果，所以不適用于對位姿精度要求高的情況。

（2）直接加減法。將姿態(tài)誤差定義為相減，通過加減來實現偽目標更新，此時更新策略如下：

R（k）p=R（k－1）p+Rd－R（k－1）a（16）

式（16）明顯的缺點在于不能保證R（k）p∈SO（3），所以生成的偽目標不一定是有效的姿態(tài)矩陣，在逆運動學求解時可能會無解。但本文提出使用的迭代逆運動學屬于數值求解法，能在一定程度上緩解這種情況，只要設置合適的迭代結束閾值ΘIIK，也能夠使整體算法迭代收斂，并使結果有效。式（16）的優(yōu)點在于運算簡單，相比于固定姿態(tài)法多考慮了姿態(tài)誤差，理論上能夠進一于步提高姿態(tài)精度。

（3）直接相乘法。為了保證生成的偽目標的姿態(tài)R（k）p∈SO（3），定義如下的姿態(tài)更新策略：

R（k）p=Rd（R（k－1）a）－1R（k－1）p=Rd（R（k－1）a）TR（k－1）p（17）

文獻［13］提出的式（12）中的矩陣相乘需要進行128次實數乘法，而式（17）與式（14）總共只需54次實數乘法，同時基于SO（3）的性質，矩陣逆運算轉變成了運算簡單的矩陣轉置運算，所以直接相乘法理論上有更高的運算效率。

（4）三角度轉換法。機器人軌跡插補領域中有一種經典方法是先將姿態(tài)轉換成三角度表示法（如歐拉角形式、導航角形式）進行處理，再將姿態(tài)轉換回SO（3）的形式。所以可以考慮在歐拉角空間或導航角空間進行如同式（16）的操作，更新策略如下：

R（k）p=EtoR（RtoE（R（k－1）p）+RtoE（Rd）－RtoE（R（k－1）a））（18）

其中，EtoR（·）是將姿態(tài)從SO（3）形式轉換為三角度表示法形式的變換函數，RtoE（·）是其逆變換，可調用現有的相關函數實現。

三角度表示法可以采用Z-Y-Z序列形式（即歐拉角形式），也可采用X-Y-Z序列形式（即導航角形式）。三角度轉換法提出了一種新的處理角度方法，但缺點是這類姿態(tài)表示方法可能存在萬向節(jié)死鎖問題，雖然是極少數情況，但這可能會導致算法無法求解。

（5）單位四元數轉換法。姿態(tài)還可以使用單位四元數（unit quaternion）描述，四元數不存在萬向節(jié)死鎖問題，同時四元數、SO（3）矩陣和歐拉角之間能進行無信息損失轉換［16-17］。一個單位四元數q滿足：q∈Q且其模|q|=1，其中，Q為四元數集合。

在本方法中，首先將姿態(tài)R（k）p、R（k－1）a、Rd轉換為對應的單位四元數形式q（k）p、q（k－1）a、qd，可以使用文獻［16］中的方法或直接調用相關函數實現。根據單位四元數性質，得到如下更新偽目標公式：

q（k）p=q（k－1）p（q－1dq（k－1）a）－1=q（k－1）p（q（k－1）a）*qd（19）

式中，（q（k－1）p）*表示q（k－1）p的共軛四元數，共軛運算即四元數所有虛部取反。

最后需要將q（k）p轉換為SO（3）形式。本方法的創(chuàng)新在于效仿了球面線性插補（spherical linear interpolation）算法［17］的思想，提出在單位四元數空間中生成偽目標的姿態(tài)，優(yōu)點在于沒有萬向節(jié)死鎖問題，缺點是有兩次形式轉換的過程，運算成本會稍微高一些。

3 多算法集成

基于上述多種偽目標生成算法以及文獻［13］的算法，結合其各自的優(yōu)缺點，本文提出對多個算法進行集成使用的思路，即對于某個待補償的目標點，使用多個算法求解補償后的關節(jié)角，最后對比各自的補償效果，選擇效果最好的關節(jié)角作為最終輸出關節(jié)角，流程如圖2所示。

考慮到不同生成算法對不同目標點的誤差補償效果不同，采用這種有效的策略可發(fā)揮各個生成算法的優(yōu)勢。

4 算法驗證

4.1 仿真驗證

本節(jié)將使用HSR-JR612機器人及文獻［2］中的誤差模型進行仿真實驗，通過補償仿真出來的誤差來驗證所述算法的有效性，并計算各個算法的耗時。機器人運動學模型的D-H參數如表1所示。

機器人通過D-H建模得到的正運動學模型用f（a，d，α，θ）來表示，其中，a為包含各連桿長度的向量，d為包含各連桿偏置的向量，α為包含各連桿扭曲的向量，θ為各關節(jié)角角度向量。上述變量均屬于R6。

參考文獻［2］，本次仿真實驗中主要對幾何參數誤差以及受機器人自重等影響造成的關節(jié)柔性誤差進行仿真。此時式（5）中計算實際位姿的AP（·）函數應該是根據正運動學模型進行修正后得到的模型，可以表示為

AP（θ）=f（a+Δa，d+Δd，α+Δα，θ+Δθ+δθ）（20）

δθ=（δθ1，δθ2，δθ3，δθ4，δθ5，δθ6）T

式中，Δa、Δd、Δα、Δθ為機械臂的幾何參數誤差；δθ為關節(jié)柔性誤差，即機械臂自重等原因造成的額外關節(jié)角誤差。

本次仿真中，機器人幾何參數誤差的取值如表2所示。

關節(jié)柔性誤差主要考慮受機械臂自重影響明顯的關節(jié)2和關節(jié)3，其他柔性誤差視為0，即δθ1=δθ4=δθ5=δθ6=0。δθ2和δθ3的計算如下式所示：

δθ2=k1sin θ2+k2sin（θ2+θ3）+k3cos（θ2+θ3）（21）

δθ3=k4sin（θ2+θ3）+k5cos（θ2+θ3）（22）

其中，θi（i=1，2，…，6）為第i個關節(jié)的關節(jié)角；本次仿真中其他常數選取較小值k1=1×10－3，k2=k3=k4=k5=5×10－4。

偽目標生成算法的迭代過程中誤差計算函數使用式（7），該公式用于計算末端位置誤差，表示優(yōu)先以最小化位置誤差為補償目標。本文還將計算位姿誤差來方便對比，位姿誤差使用式（8）進行計算。

逆運動學函數IIK（·）選用文獻［15］中改進的Levenberg-Marquardt（LM）算法，該逆運動學算法需要如下幾個參數：標志迭代結束的閾值參數ΘIIK、最大迭代次數、防止計算過程中雅可比矩陣出現奇異值的極小偏置值ω-N。本次仿真中的相關參數取值和關節(jié)角數據采集范圍選取如表3所示。

在關節(jié)角范圍內隨機選取1000組關節(jié)角，使用本文算法求解修正后的關節(jié)角，并記錄對應的誤差，結果如表4所示。

結果表明，本文提出的算法均能夠有效地通過修正關節(jié)角來補償位置誤差，并且耗時短，算法效率高。其中，值得注意的是：

（1）固定姿態(tài)法的耗時最短，因為其運算量最小，同時該算法的位置誤差補償效果也最好。不足之處在于位姿誤差的補償效果相對較差。

（2）其他方法的補償效果和耗時都相近。由于歐拉角法和導航角法有兩次轉換過程，故耗時相對較長。考慮到第2節(jié)關于直接加減法、三角度法的局限性分析，建議優(yōu)先使用直接相乘法和單位四元數法這兩種方法。

（3）雖然幾種方法的誤差補償效果的整體平均值相近，但各種方法在各個位置點上的補償效果并不相同，所以為了發(fā)揮各種方法的補償優(yōu)勢，需要考慮使用集成算法。

現比較文獻［13］方法、單位四元數法以及綜合以上兩種方法的集成算法三者的補償效果，結果如圖3所示。

經過統(tǒng)計，集成算法在1000組修正關節(jié)角的選擇中，有521組選用的是單位四元數的修正結果。結果表明，集成算法能非常有效地提高位姿誤差補償效果，所以在需要位姿補償的場景可以優(yōu)先考慮使用集成算法。

為了驗證本文算法的軌跡修正效果，在工作空間內指定一條如圖4所示的圓周軌跡，末端姿態(tài)是固定值，軌跡規(guī)劃使用梯形速度法，共使用2000個采樣點。

首先對期望軌跡上每個末端點進行逆運動學運算，得到一組關節(jié)角序列，并將其代入式（20）得到修正前的軌跡；然后使用基于直接相乘法和單位四元數法的集成算法對每個軌跡點對應的關節(jié)角進行修正，將修正后的關節(jié)角代入式（20）得到修正后的軌跡，效果如圖4所示，軌跡上每隔80個采樣點作一個標記。

仿真結果中，修正前軌跡的平均位置誤差為14.21 mm，修正后軌跡的平均位置誤差為0.002 mm。結果表明，本文所提算法能很好地通過修正關節(jié)角對連續(xù)的軌跡點進行修正，修正后的軌跡表現穩(wěn)定且貼近期望軌跡。

4.2 實驗驗證

本節(jié)通過實驗來驗證算法的有效性，實驗中直接使用實際采集到的末端位姿數據作為第1節(jié)誤差補償算法步驟（2）中的實際末端位姿，即該步驟變?yōu)槊看螌㈥P節(jié)角θ（k）a輸入機器人，測量得到實際末端位姿T（k）a。本次實驗的操作對象為UR10機器人（重復定位精度為±0.03 mm），測量設備使用Leica AT901-MR激光跟蹤儀系統(tǒng)（測量精度為±15 μm+6 μm/m），在機器人末端安裝3個靶球用于位姿測量，實驗現場如圖5所示。

在機器人工作空間內隨機選擇若干位姿作為目標位姿Td，實驗過程按照第1節(jié)補償算法流程進行，并測量記錄實際位姿誤差。圖6展示了某個目標位姿的誤差補償過程，姿態(tài)表示使用Z-Y-Z序列歐拉角，偽目標生成方式選用歐拉角法。

由圖6可知，第一次補償已經能夠大幅度降低誤差，多次補償后位姿精度得到明顯提高。位置誤差從0.8756 mm降低到0.0359 mm，姿態(tài)誤差從0.3930°減小到0.0084°（取三個分量平方和的開方）。下面選取多組不同目標位姿進行實驗，每次實驗進行2次補償，偽目標生成法使用歐拉角法，記錄補償前后的誤差，結果如圖7所示。為了更好地觀察補償效果，圖中補償前誤差均取絕對值。

經過統(tǒng)計，平均位置誤差從1.1257 mm減小到0.0262 mm，最大位置誤差減小到0.0577 mm。平均姿態(tài)誤差從0.3155°減小到0.012°，最大姿態(tài)誤差減小到0.0247°。實驗結果表明本文提出的誤差補償算法能夠有效地補償機器人末端位姿誤差，并且補償效率高。

5 結論

本文提出的誤差補償算法能夠通過修正關節(jié)角來補償辨識出的誤差，誤差補償仿真和實驗結果表明：

（1）算法誤差補償效果很好，實驗中能使機器人的末端位置誤差最大值保持在0.06 mm以內，并且算法耗時短、效率高。仿真結果表明算法能有效減小軌跡的平均位置誤差，且修正后的軌跡表現穩(wěn)定。

（2）本文算法可以用于任何形式的誤差辨識后的誤差補償步驟，有較廣的應用前景。不同的偽目標生成算法各有特點，可以根據實際應用場景和具體需求來進行選擇。在只考慮位置誤差的情況下，應該優(yōu)先考慮使用計算量少的固定姿態(tài)法；在考慮位姿誤差的情況下，可以優(yōu)先使用單位四元數法和直接相乘法；在時間允許的情況下，可以選擇集成多種算法進一步提高補償效果。

（3）如果機器人在點位控制中可以實時測量反饋末端實際位姿并允許迭代補償，那么可以將實際測量的位姿替換算法中通過函數預測的實際位姿，實現更精確的實時補償功能。

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