基于Geogebra行列式及其性質(zhì)的可視化教學研究

摘" 要： 在線性代數(shù)教學中，行列式是非常重要基礎的知識。傳統(tǒng)的教學采用灌輸式教學，直接介紹定義和計算。學生會覺得行列式知識抽象難以理解。Geogebra是一款強大的動態(tài)數(shù)學軟件，它可以直觀、動態(tài)、交互地演示數(shù)學知識。借助Geogebra動態(tài)教學軟件，對線性代數(shù)行列式的定義和性質(zhì)的幾何意義進行可視化教學設計。旨在通過直觀形象的教學，解決行列式抽象難懂的問題，加深學生對行列式的理解。為后續(xù)掌握矩陣、線性方程組和特征值的內(nèi)容打基礎。

關(guān)鍵詞： 線性代數(shù)" Geogebra軟件" 行列式" 可視化

中圖分類號：O151.22

Research on Visual Teaching Based on Geogebra Determinant and Their Properties

YANG Jieqin

Hongshan College， Nanjing University of Finance and Economics， Nanjing， Jiangsu Province， 210000 China

Abstract： In the teaching of linear algebra， determinant is a very important basic knowledge. Traditional teaching uses indoctrination to introduce definitions and calculations directly. Students may find the knowledge of determinants abstract and difficult to understand. Geogebra is a powerful， dynamic mathematical software that provides intuitive， dynamic and interactive demonstrations of mathematical knowledge. With the help of Geogebra dynamic teaching software， it visualizes the geometric significance of the definition and properties of determinant in linear-algebra for instructional design. It aims to solve the problem of abstract and difficult to understand determinant through the teaching of visual image， and deepen students' understanding of determinants， to lay the foundation for the subsequent mastery of matrices， systems of linear equations and eigenvalues.

Key Words： Linear algebra; Geogebra software; Determinant; Visualization

“線性代數(shù)”課程是高等院校理工科專業(yè)和經(jīng)管類專業(yè)學生必修的基礎課之一，在計算機圖形學、自然科學、社會科學、大數(shù)據(jù)處理[1]和人工智能領域有著廣泛地應用。但其課程具有理論性強、抽象程度高、邏輯推理性強的特點，部分學生抽象思維能力和邏輯推理能力偏弱，難以理解線性代數(shù)中概念的本質(zhì)。在教學過程中發(fā)現(xiàn)，學生對于行列式、矩陣運算以及特征值與特征向量的概念模糊，難以理解和掌握其定理，只會機械地計算。許多學生在枯燥的學習過程中，漸漸失去對線性代數(shù)學習的興趣。為此，許多學者將可視化[2-3]教學引入線性代數(shù)教學研究中。例如：王榮亮等人[4]將Matlab用于方程組的求解和教學，畫出了二元齊次非線性方程組的圖像。朱丹等人[5]利用Matlab可視化優(yōu)勢，從數(shù)字圖像處理的角度闡釋矩陣的相關(guān)概念及運算。楊曉丹等人[6]借助GeoGebra可視化功能，動態(tài)展示了矩陣旋轉(zhuǎn)變換的效果。但其研究使用的軟件Matlab操作復雜，學生需要花費一定時間學習。而基于GeoGebra的研究中，對本課程最基礎的知識行列式研究較少?；诖?，本文借助GeoGebra軟件，繪制行列式定義和性質(zhì)的幾何圖形，重新設計行列式定義和常見性質(zhì)的教學方案，利用圖形的直觀性，幫助學生真正理解行列式的本質(zhì)。

1" GeoGebra簡介

“GeoGebra”是一款集代數(shù)、幾何、微積分和概率統(tǒng)計功能為一體的動態(tài)數(shù)學軟件[5]，不僅可以處理函數(shù)，對函數(shù)做微分與積分、求極值等運算，還具有繪制點、向量、多面體等二維和三維圖形的功能。因其安裝方便、操作簡單、功能強大等特點在教師和學生中被廣泛應用。利用Geogebra可以將線性代數(shù)中晦澀難懂的定義可視化，讓學生學習知識更加直觀與形象。

2" 應用GeoGebra軟件進行行列式定義教學設計

行列式是大多數(shù)高校學生學習線性代數(shù)的第一個知識點。對于行列式的教學，不僅需要學生掌握求解方法，更重要的是理解其幾何意義。這樣有助于學習線性方程組解的結(jié)構(gòu)、向量組的秩、特征值與特征向量等后續(xù)內(nèi)容。

2.1" 二階行列式的定義

用消元法解二元線性方程組得

為了便于記憶，引入記號

式（1）中：為二階行列式，數(shù)稱為行列式的元素，表示該元素所在行，稱為行標，表示該元素所在列，稱為列標。

2.2" 用GeoGebra表示二階行列式的幾何意義

上面給出了二階行列式的數(shù)值定義，接下來介紹一個具體的例子。

設，以的列向量為邊張成平行四邊形，在GeoGebra命令欄輸入指令，畫出圖形如圖1所示。GeoGebra自動計算出平行四邊形的面積為7。由于的方向與基向量的方向相同，故該平行四邊形的有向面積為7。有向

面積指的是向量的方向與二維基向量的方向相同，行列式符號取“”，否則取“-”。此時，在輸入欄輸入行列式指令，得到的行列式為7，與平行四邊形的有向面積相同，因此，二階行列式的幾何含義表示的是行（列）向量所張成平行四邊形的有向面積。

2.3" 用GeoGebra表示三階行列式的幾何意義

定義1[7] 設有9個數(shù)排成3行3列的數(shù)表" " " " "，

式（2）即為3行3列的數(shù)表所確定的三階行列式。

事實上，二階行列式描述的是二維線性空間某個線性變換對空間面積的拉伸或壓縮倍數(shù)。三階行列式描述的則是三維空間中，線性變換對體積的拉伸或壓縮倍數(shù)。也就是空間幾何體在線性變換下體積的改變情況。

考慮一個具體的例子，設，取的列向量

為邊張成的平面六面體的有向體積則是的行列式，利用GeoGebra輸入三個向量，得到平行六面體（如圖2所示）。圖中所圍平行六面體體積用GeoGebra計算得27，而向量與三維空間中基向量方向相反。由此，平行六面體的有向面積是-27，即。

2.4" 階行列式的定義及幾何意義

2.4.1" 階行列式的定義

定義2" ，簡記為或。其中，為自然數(shù)的一個排列，為這個排列的逆序數(shù)。

2.4.2 階行列式的幾何意義

雖然四維及四維以上的線性空間無法畫出其實際的幾何圖像，但二維和三維行列式的幾何意義可以推廣到高維空間。三維空間中的平行六面體的概念推廣到中，引入定義如下：

定義3[8]" 中個行向量構(gòu)成的形式為的所有向量的集合稱為由向量張成的超平行多面體，記作。記矩陣，稱為超平行多面體的廣義體積（面積）。

假設階方陣，以列向量張成的超平行體，可以看成以標準基張成的單位超平行體在對應的線性變換的作用下得到的。假設變換之前超平行體的廣義體積用表示。在線性變換的作用下，其區(qū)域的“體積”變成，那么。

3" 利用GeoGebra探究行列式性質(zhì)的幾何意義

通過上述對行列式定義的幾何解釋，可以知道行列式表示空間幾何體在線性變換的作用下體積的改變情況。為了行列式性質(zhì)幾何解釋直觀，下述討論以二階行列式為例。

性質(zhì)1" 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。

設，則。

操作步驟如下。

（1）打開GeoGebra的代數(shù)區(qū)、數(shù)據(jù)區(qū)和繪圖區(qū)。

（2）點擊工具欄分別創(chuàng)建的滑動條，便于隨機改變矩陣元素的取值。

（3）指令欄輸入：，生成向量，同樣的操作生成向量。

（4）指令欄輸入：，生成點，同樣的操作生成點和。

（5）點擊的平行線工具，找到和的對邊，點擊交點工具，生成點。

（6）點擊多邊形工具，生成平行四邊形，GeoGebra會自動計算出四邊形的面積。

由二階行列式的幾何意義可知，四邊形的有向面積即是行列式的值。設的轉(zhuǎn)置矩陣為，，用同樣的方法畫出向量和向量圍成的平行四邊形，如圖3所示。GeoGebra自動計算出其面積為7.24，并且向量方向與基向量方向相同，所以有向面積仍為7.24，故的值為7.24。通過GeoGebra作圖得到。

為了驗證其一般性，可以移動滑動條改變元素的值，得到對應新的矩陣和其轉(zhuǎn)置矩陣，觀察其列向量分別圍成平行四邊形的有向面積，發(fā)現(xiàn)其有向面積相等，故。

性質(zhì)2 對換行列式的兩行（列），行列式變號。

同樣取，用GeoGebra畫出其列向量圍成的平行四邊形。軟件自動生成圖形面積，通過觀察，發(fā)現(xiàn)有向面積為-5.95，所以=-5.95。調(diào)換的兩行變成矩陣，用同樣的方法畫出圖，生成其有向面積為5.95，即，如圖5所示。

推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等于零。

行列式兩行完全相同，則，說明其矩陣的列向量成比例，那么在圖形上兩個向量共線，其面積為0（詳見圖6），故行列式為0。

性質(zhì)3" 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式。

設，則，的列向量和列向量圍成圖形如圖7所示，分別是平行四邊形和。創(chuàng)建的滑動條，取，從圖中可知，，。

所以得到結(jié)論。拉動滑動條，改變的取值，性質(zhì)仍然成立。

性質(zhì)4" 若行列式的某一行（列）中所有元素都是兩項和，則該行列式可表為兩個行列式相加。

設，，，在GeoGebra中輸入和的列向量值，作出圖形8。GeoGebra自動計算出平行四邊形、和的面積，從而得出其有向面積，分別對應矩陣行列式的值。

從下圖可知，，拖動滑動條，將向量移動到特殊的位置。

因取值特殊，線段，又，故很容易從圖形9中看出，平行四邊形、面積之和等于四邊形的面積，性質(zhì)4成立。

性質(zhì)5" 行列式的某一行（列）的各元素乘同一數(shù)然后加到另一行（列）對應的元素上去，行列式不變。

設，。Geogebra作圖如下，取任意實數(shù)，其終點落在直線上，所以平行四邊形和平行四邊形在邊上的高相等，即面積相等。另外，其向量方向與基向量方向相同，所以。

圖10" 行列式性質(zhì)5的幾何圖

4" 結(jié)語

線性代數(shù)涉及的概念及定理抽象程度高，學生理解困難，學習易產(chǎn)生畏懼感。本文以行列式為例利用Geogebra軟件輔助線性代數(shù)教學，不僅可以簡化計算過程，實現(xiàn)抽象定理及性質(zhì)的可視化教學，還能帶領學生參與到知識的探索過程，培養(yǎng)學生探索精神和創(chuàng)新思維。因此，將Geogebra等數(shù)學軟件應用到線性代數(shù)的可視化教學中具有重要的意義。

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