基于全反射原理的透明液體濃度測(cè)量方法研究

肖恩贊 李兆麒 徐佳利 鐘曉嬌 趙海超 王永康 秦海森

摘? 要：現(xiàn)如今有多種方法測(cè)量透明液體濃度，比重法、折射法（最小偏向角法）、超聲光柵法等，以上的方法均需建立濃度與密度、折射率、聲速及光損量之間的關(guān)系測(cè)量，從而得出測(cè)量濃度的一種表征。該文提出利用全反射原理中，即光從光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)時(shí)，當(dāng)入射角超過某一角度θc（臨界角）時(shí)，折射光完全消失，只剩下反射光線的現(xiàn)象叫做全反射，以NaCl溶液為例，通過測(cè)量不同濃度的溶液所引起的全反射現(xiàn)象，進(jìn)而引起入射光源的高度變化，通過實(shí)驗(yàn)探究得出“濃度-高度”呈線性的負(fù)相關(guān)，并利用此關(guān)系實(shí)現(xiàn)對(duì)透明液體濃度的測(cè)量。研究實(shí)驗(yàn)表明，擬合出相關(guān)系數(shù)R2=0.995 7，擬合效果好，測(cè)量精度達(dá)99%。

關(guān)鍵詞：透明溶液；濃度；全反射；測(cè)量；臨界角

中圖分類號(hào)：O435.1? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號(hào)：2095-2945（2024）05-0069-04

Abstract： Nowadays， there are various methods for measuring the concentration of transparent liquids， such as the specific gravity method， refractive index method （minimum deviation angle method）， ultrasonic grating method， etc. All of the above methods need to be used to establish the relationship among concentration and density， refractive index， sound velocity， and light loss， thus obtaining a characterization of the measured concentration. This paper proposes using the principle of total reflection， when the light is emitted from the light dense medium to the light sparse medium， and the incident angle exceeds a certain angle θc （critical angle）， the refracted light disappears completely， there only remains reflected light which is called total reflection. Taking NaCl solution as an example， by measuring the total reflection phenomenon caused by different concentrations of NaCl solution， the height change of the incident light source is caused. Through experimental exploration， it is found that the "concentration-height" shows a linear negative correlation， and this relationship is used to measure the concentration of transparent liquids. Research experiments have shown that the fitted correlation coefficient R2=0.995 7 has a good fitting effect and a measurement accuracy of 99%.

Keywords： transparent solution; concentration; total reflection; measurement; critical angle

透明液體濃度在食品、藥物、農(nóng)業(yè)和環(huán)境等領(lǐng)域中發(fā)揮重要作用，其與相應(yīng)產(chǎn)品的品質(zhì)、生產(chǎn)效率息息相關(guān)，且液體濃度也會(huì)影響著液體的一些物理性質(zhì)，測(cè)量透明液體的濃度具有重要意義[1-3]。目前，有關(guān)液體濃度測(cè)量方法有折射法[4]、超聲光柵法[5]、光柵衍射法[6]、光纖傳感器法[7]和旋光儀法[8]，上述方法都有各自的特點(diǎn)，其中折射法實(shí)現(xiàn)的測(cè)量產(chǎn)生誤差較大；超聲光柵法雖進(jìn)一步縮小了精度，但存在著一定的局限性；光柵衍射法和光纖傳感器法對(duì)儀器、成本的要求較高；旋光儀法受旋光性物質(zhì)的影響，只有在其含量盡可能少時(shí)，其靈敏度才滿足要求。上述方法主要建立濃度與折射率、密度、聲速等間接關(guān)系進(jìn)行測(cè)量。

因此，本文介紹了一種基于全反射原理的測(cè)量透明液體濃度的方法：將透明液體盛入透明水槽，用紅點(diǎn)激光源對(duì)透明水槽側(cè)面固定端發(fā)射光線，入射光線從較高折射率的介質(zhì)到較低折射率的介質(zhì)時(shí)，若入射角大于某一臨界角（光線遠(yuǎn)離法線）時(shí)，折射光線將會(huì)消失，所有入射光線將被反射而不進(jìn)入低折射率的介質(zhì)。測(cè)量光源的高度，無需找出間接關(guān)系，直接擬合出濃度與高度的函數(shù)關(guān)系，該方法有效降低了操作難度及對(duì)成本的要求，同時(shí)自制的實(shí)驗(yàn)器具融入高校實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，進(jìn)一步拓寬了全反射原理的場(chǎng)景應(yīng)用。

1? 實(shí)驗(yàn)原理

基于全反射原理，設(shè)計(jì)一種測(cè)量透明溶液濃度的裝置。該裝置利用了洛倫茲-朗伯定律和全反射現(xiàn)象之間的關(guān)系進(jìn)行測(cè)量。具體來說，當(dāng)光線從密集介質(zhì)射向稀薄介質(zhì)時(shí)，如果入射角大于臨界角，則光線會(huì)被完全反射回去。這個(gè)臨界角在2種介質(zhì)的折射率不同時(shí)是一個(gè)固定值。在實(shí)驗(yàn)中，將液體樣品放置在透明幾何儀器中，并調(diào)整入射角度，直到光線射出時(shí)發(fā)生全反射。此時(shí)測(cè)量出全反射的臨界角度，并記錄下來。已知該液體的折射率為n，入射光線從空氣中以一定角度θ1射入液體，當(dāng)入射角大于或等于臨界角時(shí)，光線將被完全反射并沿著液體表面?zhèn)鞑?。此時(shí)入射光源的高度h與入射角度θ1之間存在線性關(guān)系

h=k×θ1+b ， ? ? ?（1）

式中：k和b分別表示線性回歸方程的斜率和截距。液體的折射率n與其濃度C有一定的關(guān)系，假設(shè)該關(guān)系為

n=f（C） 。（2）

根據(jù)折射率定義，n與光在液體中的傳播速度ν和光在真空中的傳播速度c之比有關(guān)系

因此，液體的折射率n與光在液體中的傳播速度v之間存在反比例關(guān)系。由此推出，液體的濃度C與光在液體中的傳播速度ν之間也應(yīng)該存在反比例關(guān)系

C=g（ν） 。 （4）

將上式代入f（C）中，得到

n=f（g（ν）） 。 （5）

由于ν與θ1之間存在一定的關(guān)系，因此可將上式改寫為

n=f（g（θ1）） 。 （6）

綜上所述，液體的濃度C、折射率n和入射光源高度h之間應(yīng)該存在線性關(guān)系。也就是說，當(dāng)通過改變?nèi)肷涔庠吹母叨炔⒂^察其對(duì)應(yīng)的濃度時(shí)，會(huì)得到一條線性回歸直線，滿足上述關(guān)系式。根據(jù)上面的線性公式可得

C=k×h+b ， （7）

式中：C表示液體濃度，h表示入射光源的高度，k和b是常數(shù)。則需要推導(dǎo)出k和b的具體值。這個(gè)問題中，需要考慮2個(gè)變量：液體濃度和入射光源高度。因此，需要收集一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來進(jìn)行求解，可以通過在不同高度下測(cè)量液體的濃度得到這些數(shù)據(jù)。

假設(shè)已經(jīng)收集了n組數(shù)據(jù)，分別為（h1，c2），（h2，c2），...，（hn，cn）。根據(jù)線性回歸模型，可以使用最小二乘法來計(jì)算k和b的值，使得模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的誤差最小。具體來說，可以使用以下公式來計(jì)算k和b

式中：Σ代表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行求和運(yùn)算。通過測(cè)量獲得足夠數(shù)量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出k和b的值，最終得到一個(gè)具有一定準(zhǔn)確性的液體濃度與入射光源高度之間的線性關(guān)系式。

2? 實(shí)驗(yàn)方案

2.1? 實(shí)驗(yàn)儀器

實(shí)驗(yàn)使用到的主要儀器有點(diǎn)狀激光源（+5 V電源）、透明水槽（20 cm×10 cm×10 cm）、燒杯、電子秤（0.3～3 kg）、NaCl晶體、水槽架、鐵架臺(tái)和雙向轉(zhuǎn)換器等。

利用全反射原理的方法實(shí)現(xiàn)透明液體濃度測(cè)量，其裝置如圖1所示。

實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖如圖2所示。

2.2? 實(shí)驗(yàn)方法

如圖3所示為實(shí)驗(yàn)原理示意簡圖。

NaCl的溶解度是35.9 g（室溫25 ℃），即濃度在0%～26.416 4%，具體實(shí)驗(yàn)測(cè)量濃度范圍在1%～20%。首先搭建實(shí)驗(yàn)裝置，利用精度為0.1 mg的電子天平稱量NaCl和水，將燒杯置于電子秤上，配置1 000 g（1 L）水。在稱量紙上配置20 g NaCl。將20 g NaCl倒入配置好1 000 g水的燒杯。用玻璃棒攪拌均勻后靜置1 min，待溶液穩(wěn)定后倒入至透明水槽至已經(jīng)標(biāo)定好的1 L刻度線，打開紅點(diǎn)激光源，使光線進(jìn)入水槽右面圓孔固定處，此時(shí)透明水槽出現(xiàn)了折射光線和反射光線。通過調(diào)節(jié)雙向轉(zhuǎn)化器的旋轉(zhuǎn)鈕，使激光源射出的光線對(duì)準(zhǔn)透明水槽的側(cè)面圓孔，若白屏上出現(xiàn)光點(diǎn)或者無光點(diǎn)，則調(diào)節(jié)雙向轉(zhuǎn)化器的旋轉(zhuǎn)鈕來調(diào)節(jié)高度和角度，直至白屏剛好無光點(diǎn)的出現(xiàn)，記錄此時(shí)雙向轉(zhuǎn)化器在鐵架臺(tái)的高度位置為H1，重復(fù)測(cè)量5次刻度并記錄。依次按照上述實(shí)驗(yàn)步驟配置梯度差為10 g的NaCl和1 000 g水，并重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)步驟，記錄入射光源的高度位置。

通過多次測(cè)量不同濃度的定標(biāo)溶液，致使水槽剛好不產(chǎn)生折射光線時(shí)入射光源的高度，取高度的平均值，并對(duì)兩者進(jìn)行相關(guān)性數(shù)據(jù)擬合，可得到透明溶液濃度與入射光源高度的定標(biāo)方程，并繪制出定標(biāo)曲線。接著對(duì)不同待測(cè)溶液測(cè)量其剛好不產(chǎn)生折射光線的光源高度，將測(cè)量值代入定標(biāo)方程中計(jì)算得出透明溶液的濃度。

3? 定標(biāo)結(jié)果及實(shí)驗(yàn)分析

3.1? NaCl溶液的定標(biāo)

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理見表1。

將表1的數(shù)據(jù)用orign擬合，得到溶液濃度與光源高度的擬合曲線如圖4所示。

由圖中的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果可得：隨著NaCl溶液濃度的增加，入射光源的高度隨之減小，溶液濃度與光源高度呈線性的負(fù)相關(guān)。根據(jù)圖像可知，數(shù)據(jù)點(diǎn)與擬合得到的曲線偏離程度很小，R2=0.995 7，因?yàn)镽≈R2，且R∈（-1，1），得出線性曲線擬合的效果好。利用orign擬合出的線性關(guān)系如下

y=-0.031 8x+1.440 3 。 （10）

3.2? 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

隨機(jī)稱不同質(zhì)量的NaCl和1 000 g水，配置3組已知濃度的NaCl溶液。測(cè)量不同濃度溶液的光源高度，并將測(cè)得的高度值代入定標(biāo)公式（10）計(jì)算濃度大小。通過計(jì)算測(cè)量值與實(shí)際測(cè)得值的相對(duì)誤差，從而驗(yàn)證該實(shí)驗(yàn)方案的可行性，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)果見表2。

通過表2中的數(shù)據(jù)可看出：濃度C的相對(duì)誤差小于1%，實(shí)驗(yàn)定標(biāo)、測(cè)量結(jié)果與濃度標(biāo)準(zhǔn)值基本符合，說明采用該實(shí)驗(yàn)方案可行且可信度高。

3.3? 誤差分析

溫度的影響。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)前后的測(cè)量在不同時(shí)間下進(jìn)行，不同的溫度NaCl的溶解度不同，20 ℃ NaCl的溶解度為35.6 g，會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的測(cè)量結(jié)果造成偏差。

透明水槽厚壁的影響。因透明水槽的壁有0.2 cm厚度，對(duì)光線有一定的折射影響，造成結(jié)果都偏差。

溶液液面高度的影響。在進(jìn)行每組實(shí)驗(yàn)時(shí)，配置的溶液超過1 L再倒入透明水槽至1 L的液面刻度線，僅用肉眼觀察是否達(dá)到1 L的液面刻度線，造成了液面高度不夠或者過高，從而影響實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果的偏差。

4? 結(jié)論

本文以NaCl溶液為例，采用全反射原理，當(dāng)入射角超過某一角度θc（臨界角）時(shí)，折射光完全消失，只剩下反射光線的這一全反射現(xiàn)象，進(jìn)而提出一種基于全反射原理的透明液體濃度測(cè)量方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)：隨著透明溶液濃度的增加，入射光源的高度會(huì)隨之減小，即濃度與高度呈線性負(fù)相關(guān)。擬合出相關(guān)系數(shù)R2=0.995 7，擬合效果好。并分別對(duì)實(shí)際濃度為5.84%和10.55%的NaCl溶液進(jìn)行隨機(jī)測(cè)量，測(cè)量結(jié)果分別為5.86%和10.63%；證實(shí)了該實(shí)驗(yàn)方案的科學(xué)性和可行性。該方法進(jìn)一步拓寬了全反射原理的利用，有較大的應(yīng)用前景。

參考文獻(xiàn)：

[1] 杜晶輝，黃自坤，劉旻，等.液體培養(yǎng)基硝酸還原酶試驗(yàn)快速檢測(cè)臨床常用抗結(jié)核藥物最小抑菌濃度和臨界濃度效果評(píng)價(jià)[J].檢驗(yàn)醫(yī)學(xué)，2022，37（6）：568-576.

[2] 趙昕，時(shí)超，修鳳鳳.流動(dòng)注射氨氮通道檢測(cè)水中硫化物質(zhì)量濃度的研究[J].科技與創(chuàng)新，2023（14）：110-112，115.

[3] 韓輝.幾種液體硝酸銨濃度檢測(cè)方法[J].煤礦爆破，2016（1）：19-21.

[4] 郭山河，田云霞，喬亞力，等.折射法檢測(cè)透明液體濃度的研究[J].光學(xué)技術(shù)，1996（5）：36-37.

[5] 郭山河，高淑琴，何越.利用超聲光柵測(cè)透明液體的濃度[J].吉林工業(yè)大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2000（4）：34-36.

[6] 楊成，代偉.一種測(cè)量透明液體濃度的實(shí)驗(yàn)裝置[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2023，36（2）：95-99.

[7] 張偉剛，許兆文，開桂云，等.強(qiáng)度型光纖濃度傳感器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)[J].儀器儀表學(xué)報(bào)，2003（3）：272-274.

[8] 陳孝友，劉隆鑒，陳情.用旋光儀測(cè)量透明混合液體的體積濃度[J].四川工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2000（3）：79-80，83.