基于Zernike多項(xiàng)式的光機(jī)耦合數(shù)值仿真研究

陳灝 張志剛 孫瑤 吳駿 李岳峰 王振 王野 劉樂璠

摘? 要：光學(xué)系統(tǒng)的研制包括光學(xué)、結(jié)構(gòu)、熱學(xué)等不同學(xué)科的內(nèi)容，且各學(xué)科之間相互影響，因此這是一個(gè)多學(xué)科協(xié)同研發(fā)的過程。在初期設(shè)計(jì)階段，綜合考慮光機(jī)熱之間的耦合關(guān)系顯得尤為重要。該文對(duì)光機(jī)熱集成分析過程中的光機(jī)耦合分析方法進(jìn)行數(shù)值仿真研究，重點(diǎn)介紹Zernike多項(xiàng)式擬合方法，并以雙鏡片目鏡為例，通過自研軟件Somap，獲得變形后的光學(xué)系統(tǒng)鏡面面形數(shù)據(jù)，將獲得的光學(xué)宏文件加載至光學(xué)設(shè)計(jì)軟件中，分析變形后的光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量，光學(xué)系統(tǒng)在外載荷作用下，成像質(zhì)量顯著下降。

關(guān)鍵詞：Zernike多項(xiàng)式；光機(jī)耦合；光機(jī)熱集成分析；熱變形；數(shù)值仿真

中圖分類號(hào)：TN248? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號(hào)：2095-2945（2024）05-0024-04

Abstract： The development of optical systems involves different disciplines such as optics， structure， and thermodynamics， and these disciplines interact with each other. Therefore， this is a multidisciplinary collaborative research and development process. In the initial design stage， it is particularly important to comprehensively consider the coupling relationship among optics， mechanics， and heat. This paper makes a numerical simulation study on the optical-mechanical coupling analysis method in the process of opto-mechanical-thermal integration analysis， focusing on the Zernike polynomial fitting method， and taking the double-lens eyepiece as an example， through the self-developed software Somap， the mirror shape data of the deformed optical system is obtained， and the optical macro file is loaded into the optical design software to analyze the imaging quality of the deformed optical system under external load. The imaging quality decreased significantly.

Keywords： Zernike polynomial; opto-mechanical coupling; opto-mechanical-thermal integration analysis; thermal deformation; numerical simulation

隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)和仿真技術(shù)的不斷發(fā)展，以及有限元分析軟件和光學(xué)設(shè)計(jì)軟件的進(jìn)一步完善，光機(jī)熱集成分析技術(shù)也得到了迅猛發(fā)展[1-2]。利用光機(jī)熱集成分析技術(shù)，可以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜工況環(huán)境下的模擬，通過仿真的方式，在設(shè)計(jì)階段就全面考慮光機(jī)熱對(duì)系統(tǒng)的影響，大大減少了試驗(yàn)成本。光機(jī)熱集成分析是涉及光學(xué)、熱學(xué)、機(jī)械結(jié)構(gòu)等不同學(xué)科的具有交叉性、綜合性的分析技術(shù)，是一個(gè)閉環(huán)反饋的過程，光機(jī)耦合則是光機(jī)熱集成分析技術(shù)中不可或缺的一個(gè)中間環(huán)節(jié)。當(dāng)光機(jī)系統(tǒng)在內(nèi)外載荷的作用下，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生形變，光學(xué)鏡面形狀也隨之發(fā)生變化。通常情況下，采用有限元分析軟件對(duì)光機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析和熱分析，再將結(jié)構(gòu)分析和熱分析的結(jié)果反饋至光學(xué)設(shè)計(jì)軟件，查看結(jié)構(gòu)變形和熱變形對(duì)光機(jī)系統(tǒng)成像質(zhì)量的影響，分析光學(xué)調(diào)制傳遞函數(shù)和點(diǎn)列圖的變化，指導(dǎo)光機(jī)系統(tǒng)的進(jìn)一步優(yōu)化。

目前，常用的光機(jī)耦合方法包括多項(xiàng)式擬合法[3-4]和干涉圖插值法[5]。多項(xiàng)式擬合法是實(shí)現(xiàn)光機(jī)熱集成分析時(shí)重要的數(shù)據(jù)傳遞工具，該方法計(jì)算方便且相對(duì)成熟。其中，Zernike多項(xiàng)式由于其在單位圓內(nèi)的正交性及與光學(xué)像差的對(duì)應(yīng)關(guān)系，非常適合用于擬合圓形鏡面面形數(shù)據(jù)，因此其在工程項(xiàng)目、光機(jī)系統(tǒng)設(shè)計(jì)、干涉檢查方面被廣泛應(yīng)用。

本文重點(diǎn)介紹了實(shí)現(xiàn)光機(jī)耦合過程的Zernike多項(xiàng)式擬合方法，并以雙鏡片目鏡為案例模型進(jìn)行了仿真計(jì)算，分析了目鏡系統(tǒng)光學(xué)像質(zhì)的變化情況，為光機(jī)熱集成分析過程提供參考依據(jù)。

1? Zernike多項(xiàng)式

Zernike多項(xiàng)式的擬合方法很多，如最小二乘法、Gram-Schimdt正交法、Householder變換等。最小二乘法通用簡潔，Gram-Schimdt正交法和Householder變換穩(wěn)定性較好，如果擬合數(shù)據(jù)量不大，三者的擬合結(jié)果基本相近。具體的擬合求解步驟如下所示。

對(duì)采樣點(diǎn)進(jìn)行歸一化處理。歸一化后，采樣點(diǎn)坐標(biāo)為

式中：（x0，y0）為采樣點(diǎn)中心坐標(biāo)，ρi為極坐標(biāo)半徑。

將Zernike多項(xiàng)式函數(shù)U，作為基底函數(shù)，將式（1）中歸一化的采樣點(diǎn)坐標(biāo)帶入Zernike多項(xiàng)式，得到作為基底函數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)矩陣U。

利用Gram-Schimidt標(biāo)準(zhǔn)正交法將Zernike多項(xiàng)式函數(shù)矩陣U單位正交化，得到單位正交矩陣V。

求Zernike多項(xiàng)式擬合系數(shù)Q。

鏡面節(jié)點(diǎn)的形變矩陣Φ由Zernike多項(xiàng)式表示為

UQ=Φ 。 （2）

進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，可得

ΦV=B ，

VB=Z ， （3）

Q=V+Z ，

式中：B、Z為中間變換矩陣，由上式可求得Zernike多項(xiàng)式系數(shù)Q。

2? 仿真分析

2.1? 案例模型

此案例是一個(gè)雙鏡片目鏡模型，約束面如圖1（a）所示，約束為全約束。此模型含有雙鏡片，有4個(gè)鏡面需要進(jìn)行處理，如圖1（b）所示。

鏡架材料選擇6061鋁合金，鏡片材料采用鍺玻璃，材料屬性見表1。

本案例模型處于70 ℃的溫度環(huán)境中，默認(rèn)溫度25 ℃。利用有限元分析軟件將溫度載荷引起的變化以位移場的形式輸出，獲得有限元模型文件和有限元結(jié)果文件。采用自研軟件Somap進(jìn)行面型擬合計(jì)算，其最大形變量為0.112 6 mm。

2.2? Zernike擬合流程及結(jié)果

通過Somap進(jìn)行Zernike擬合的具體流程如下。

1）添加有限元網(wǎng)格文件、有限元結(jié)果文件、光學(xué)模型文件。

2）選擇多項(xiàng)式擬合求解器，設(shè)置輸出文件名稱、光學(xué)軟件類型等參數(shù)。

3）設(shè)置局部坐標(biāo)系來源，此案例使用光學(xué)模型進(jìn)行局部坐標(biāo)系推導(dǎo)，初始坐標(biāo)系名稱為 EMT_CYS_SYSCOR，位于第一個(gè)鏡面上。

4）設(shè)置分析鏡面，依次設(shè)置每個(gè)面的基本信息。

5）設(shè)置面型參數(shù)，其中第一個(gè)鏡面為非球面鏡，面型類型選擇 Asphere，曲率半徑為 69.375 mm，二次曲面常數(shù)k=0，其余3個(gè)鏡面為 Conic 類型，如圖2所示。

擬合參數(shù)設(shè)置，采用去除剛體位移中的旋轉(zhuǎn)和平移項(xiàng)及曲率半徑的軸向修正結(jié)果。擬合多項(xiàng)式選擇標(biāo)準(zhǔn)Zernike多項(xiàng)式，由于擬合文件需要用在光學(xué)設(shè)計(jì)軟件中，因此Norm Type選擇Amplitude。歸一化半徑采用與鏡面尺寸一致的形式，由Somap自行進(jìn)行計(jì)算。Max R Wave Number與Max Theta Wave Number分別對(duì)應(yīng)與Zernike多項(xiàng)式中的擬合項(xiàng)數(shù)n和m，取n為4，m為2。

6）擬合求解，生成光學(xué)宏文件、擬合結(jié)果文件及擬合云圖文件。

擬合結(jié)果如圖3所示，從左至右、從上至下分別代表鏡面1、鏡面2、鏡面3、鏡面4?？梢钥闯觯R面1的擬合結(jié)果最大正向形變量為9.82 e-05 mm，最大負(fù)向形變量為1.15e-04 mm，鏡面中心負(fù)向形變量大。鏡面2的擬合結(jié)果最大正向形變量為1.68e-04 mm，最大負(fù)向形變量為2.42e-04 mm，鏡面中部環(huán)形區(qū)域有最大正向形變。鏡面3的擬合結(jié)果最大正向形變量為2.58e-04 mm，最大負(fù)向形變量為4.94e-04 mm，鏡面3擬合結(jié)果形狀與鏡面2類似。鏡面4的擬合結(jié)果最大正向形變量為1.11e-04 mm，最大負(fù)向形變量為9.13e-05 mm。

圖4給出了在m=2、n=4的擬合參數(shù)情況下4個(gè)鏡面的擬合殘差。

可以看出，擬合效果并不理想，尤其是前3個(gè)鏡面，為進(jìn)一步提升擬合效果，增大擬合項(xiàng)數(shù)n和m的值，取n=8、m=6，擬合殘差如圖5所示，可以看出，4個(gè)鏡面的擬合殘差整體變小，擬合效果變好。

2.3? 光學(xué)評(píng)價(jià)

利用Somap軟件進(jìn)行光機(jī)耦合處理，多項(xiàng)式擬合求解生成帶有Zernike系數(shù)的光學(xué)宏文件。擬合求解所生成的光學(xué)宏文件可直接加載至光學(xué)設(shè)計(jì)軟件中。在光學(xué)設(shè)計(jì)軟件中，查看形變后光學(xué)系統(tǒng)的像質(zhì)情況。原始光學(xué)系統(tǒng)在（0.00，0.00）視場點(diǎn)的RMS值為0.006 126 mm，在外載荷作用下，光學(xué)面形發(fā)生變化，光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量顯著下降。通過Zernike擬合面形的光學(xué)系統(tǒng)在（0.00，0.00）視場點(diǎn)的RMS值變?yōu)?.016 158 mm，相對(duì)原始光學(xué)系統(tǒng)，RMS明顯變大。

3? 結(jié)束語

以光機(jī)熱集成分析技術(shù)為基礎(chǔ)，本文重點(diǎn)介紹了Zernike多項(xiàng)式擬合技術(shù)，Zernike多項(xiàng)式可作為光機(jī)熱集成分析的數(shù)據(jù)接口，由于同像差多項(xiàng)式形式一致，常用于擬合波面并對(duì)波前特性作分析，適合于擬合圓對(duì)稱的鏡面形狀。本文以雙鏡片目鏡模型為例，通過自研軟件Somap進(jìn)行Zernike擬合計(jì)算，將離散的變形數(shù)據(jù)擬合為面形，并將處理后的光學(xué)宏文件加載至光學(xué)設(shè)計(jì)軟件中，發(fā)現(xiàn)光學(xué)系統(tǒng)在外載荷作用下，成像質(zhì)量顯著下降，為光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供理論參考。

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