改進的Mertens第一定理估計及應用

苑金臣, 王軍霞, 郭艷鳳

(中國地質大學 數(shù)學與物理學院, 湖北 武漢 430074)

0 引言

眾所周知,Mertens公式是數(shù)論中研究素數(shù)分布理論的基本公式, 1874年由德國數(shù)學家Mertens首先用初等方法得到。Mertens公式具體表示為

定理1(Mertens第一定理[2-3]) 對x>2,p為素數(shù),有

式中:O(1)項取值在開區(qū)間(-1-ln 4,ln 4)中,(ln 4≈1.386 29)。

文獻[3]只討論了得到的上界:

文獻[4]研究了定理1的估計區(qū)間。 關于Mertens第一定理的研究還有很多,然而所得的結果還可以更進一步優(yōu)化相應的估計。

Mertens第一定理中的估計區(qū)間還沒有達到更好的臨界點。為了更進一步提高Mertens第一定理中估計區(qū)間的精度,對定理的應用有更好的結果,還需要不斷地對估計區(qū)間進行精細化。 本文在Mertens第一定理的基礎上,利用經(jīng)典定積分估計的主要思想及Stirling’s公式的應用[5-9],對Mertens第一定理中的估計不等式中的區(qū)間進行了改進。此改進的結果把文獻[3-4]中的估計區(qū)間進行了縮小,得到了更精細的Mertens第一定理中上界的估計。 這是對Mertens第一定理本質的改進,在應用方面利用該細致的估計會得到更加好的結果。

1 預備知識

本文的主要結果證明是從簡單的定積分思想和一些重要的不等式出發(fā),經(jīng)過精確地估計,得到更加精細的結果。眾所周知,定積分的思想可以應用在求解無窮級數(shù)的和。為了證明本文中的主要結果,就需要對所研究的計算進行估計,并應用定積分來估計。另外證明過程中還需要用到文獻[2]的主要關系式。 這些關系式為

(1)

(2)

2 主要結果

定理2(改進的Mertens第一定理) 設p為素數(shù),則有改進的Mertens估計不等式:

(3)

(4)

證明分別從左右兩側進行估計的證明。

1) 證明不等式(3)。

因為函數(shù)f(x)=lnx的圖形是上凸的,由其幾何意義可知,梯形面積小于曲邊梯形面積,于是可得

lnn!=ln 2+ln 3+ln 4+…+

ln (n-2)+ln (n-1)+lnn=

從而有

(5)

利用文獻[2]中的方法,可得

(6)

結合式(1)、式(5)和式(6),可得下面不等式:

(7)

又因為

所以

化簡式(7),可得

又由于

則有

這就證明了式(3)。

2) 證明不等式(4)。 根據(jù)已知Stirling’s公式,通過優(yōu)化的放縮估計得到。 由Stirling’s公式

兩邊取對數(shù),可得

從而有下面不等式

(8)

關于不等式(8)右端最后一項,有估計式[4]:

又因為

于是從式(8)可得

(9)

當n≤3時, lnn≤1。由式(9)可得

(10)

這就證明了不等式(4)。 證畢。

3 改進定理的應用

引理1令

于是,對x≥2,有

(11)

式中:θ=θ(x)∈(0,1)。

定理3存在常數(shù)c1,使得對x≥2有

(12)

證明由改進的Mertens第一定理(定理2),對t≥2有

此外,

這里對含有R(t)的積分是采用Abel求和法。

令

由改進的Mertens第一定理的上界估計,可得

于是可取常數(shù)

從而定理3得證。 證畢。

注1 在證明過程中可選Landau記號中的常數(shù)M為不大于1.285 6的數(shù)。

4 結束語

利用定積分的性質和一些重要的不等式,對Mertens第一定理的估計進行了細致的推導和估計,得到了更加精確的估計區(qū)間,給出了改進的Mertens第一定理。相比定理1中的估計區(qū)間有所縮小,對定理1進行了比較大的優(yōu)化估計,提高了估計精確度。根據(jù)改進的Mertens第一定理的結果,應用到一個漸近公式中,提高了證明過程中Landau記號M的精確范圍。然而,通過定理的證明過程可以看到,改進的Mertens第一定理得到的估計還沒有達到Mertens第一定理的臨界點,還可以進一步進行優(yōu)化。這就需要通過其他的方法來尋找其估計的臨界點狀態(tài),未來將進一步改善該估計區(qū)間,從而得到更好的應用。這是一個具有挑戰(zhàn)性的工作。