n 比特隨機(jī)量子系統(tǒng)實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)及其反饋控制

張驕陽 叢 爽 匡 森

自Huang 等[1]于20 世紀(jì)80 年代研究雙線性量子系統(tǒng)能控性問題以來,量子控制這一交叉學(xué)科取得了快速發(fā)展,并受到了空前的關(guān)注,越來越多的專家學(xué)者開始從系統(tǒng)控制的角度審視量子系統(tǒng)控制,如早期廣泛研究的量子門的制備與操作、退相干抑制等都可以歸結(jié)為典型的開環(huán)控制問題[2-6].自21 世紀(jì)以來,宏觀系統(tǒng)控制理論更深入地滲透到量子系統(tǒng)的操縱之中,兩個(gè)突出特點(diǎn)是[7-12]: 1) 從建模的角度上,研究的模型從簡單的低維雙線性封閉量子系統(tǒng),逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)楦蠈?shí)際物理系統(tǒng)的開放量子系統(tǒng),如馬爾科夫(Markovian)開放量子系統(tǒng)、非馬爾科夫(Non-Markovian)開放量子系統(tǒng)以及隨機(jī)量子系統(tǒng);2) 從控制任務(wù)的角度上,研究的問題從分析量子系統(tǒng)的能控性、能觀性和可逆性以及針對某一特定的控制目標(biāo)設(shè)計(jì)開環(huán)控制律,逐漸深化為借助宏觀控制理論設(shè)計(jì)具有普適性的反饋控制律,以實(shí)現(xiàn)量子系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移、保持或跟蹤等復(fù)雜的控制目標(biāo).與Markovian 和Non-Markovian 開放量子系統(tǒng)不同的是,隨機(jī)量子系統(tǒng)在建模時(shí)還考慮了由連續(xù)弱測量(Continuous weak measurement,CWM) 引起的不可忽略的反向效應(yīng)(Back-action),這給實(shí)時(shí)量子狀態(tài)估計(jì)帶來了挑戰(zhàn).作為未來量子科技中不可或缺的基礎(chǔ)理論與關(guān)鍵技術(shù),隨機(jī)量子系統(tǒng)的實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)和高精度反饋控制逐漸成為了量子系統(tǒng)控制領(lǐng)域新的熱點(diǎn)問題.

量子狀態(tài)估計(jì)(Quantum state estimation,QSE)在量子物理領(lǐng)域又稱為量子狀態(tài)層析(Quantum state tomography,QST),分為測量和狀態(tài)重構(gòu)兩個(gè)主要步驟.傳統(tǒng)意義上的n比特量子系統(tǒng)的狀態(tài)層析指的是對d×d(d=2n) 密度矩陣ρ的大量全同副本進(jìn)行至少d2-1 次投影測量和多次算法迭代計(jì)算出滿足單位跡和半正定量子狀態(tài)約束的厄米(Hermitian) 矩陣基于大量全同副本的量子狀態(tài)估計(jì)只能離線完成,然而高精度量子反饋控制則要求實(shí)時(shí)估計(jì)隨時(shí)間變化的量子狀態(tài),這是實(shí)現(xiàn)基于測量的量子反饋控制必須解決的一個(gè)難點(diǎn)問題.Silberfarb 等[13-14]和Ralph 等[15]提出的CWM為實(shí)時(shí)量子狀態(tài)估計(jì)的物理實(shí)現(xiàn)提供了可能.2020 年,唐雅茹等[16]和Harraz 等[17]以CWM 為基礎(chǔ),基于MATLAB CVX 工具箱中的最小二乘法針對單比特隨機(jī)量子系統(tǒng)提出了一種密度矩陣實(shí)時(shí)重構(gòu)的方案,并研究了噪聲幅值等系統(tǒng)參數(shù)對于實(shí)時(shí)量子狀態(tài)估計(jì)算法性能的影響.Zhang 等[18]通過在凸優(yōu)化問題中引入布雷格曼(Bregman)散度使得不存在解析解的密度矩陣恢復(fù)子問題可以被求解,并提出了一種基于在線交替方向乘子法(Online alternating direction multiplier method,OADM) 的實(shí)時(shí)量子狀態(tài)層析算法QST-OADM.此外,Zhang 等[19]將實(shí)時(shí)量子狀態(tài)估計(jì)描述為一個(gè)稀疏促進(jìn)半定規(guī)劃問題,并結(jié)合在線鄰近梯度法(Online proximal gradient,OPG)和交替方向乘子法(Alternating direction method of multipliers,ADMM)設(shè)計(jì)出OPG-ADMM 算法求解該問題.

在量子系統(tǒng)控制領(lǐng)域,李雅普諾夫控制方法是一種常用的控制律設(shè)計(jì)方法,該方法的一大優(yōu)勢是能夠得到解析形式的控制律.Kuang 等[20]于2008年總結(jié)了非退化的封閉量子系統(tǒng)三種本征態(tài)制備方法.Sayrin等[21]于2011 年實(shí)現(xiàn)了超導(dǎo)腔中微波場中Fock 態(tài)的全局鎮(zhèn)定,進(jìn)而逆轉(zhuǎn)了退相干引發(fā)的量子躍遷效應(yīng).Qi 等[22-23]全面地比較了多種形式的量子主方程本征態(tài)反饋鎮(zhèn)定控制方案的性能,并指出CWM 過程造成的量子狀態(tài)隨機(jī)塌縮不僅在一定意義上有利于反饋控制的實(shí)現(xiàn),還能夠完成開環(huán)控制理論上無法實(shí)現(xiàn)的控制任務(wù).2019 年,Qamar等[24]針對具有馬爾科夫退相干的二能級隨機(jī)量子系統(tǒng)提出了一種基于非線性最優(yōu)觀測器的本征態(tài)反饋控制方案,但該方案難以推廣到高維量子系統(tǒng)中.同年,Harraz 等[25]在其提出的實(shí)時(shí)量子狀態(tài)估計(jì)方案的基礎(chǔ)上,針對一類特殊的n比特隨機(jī)量子系統(tǒng)設(shè)計(jì)出一種連續(xù)形式的本征態(tài)反饋控制律,不過沒有嚴(yán)格地給出關(guān)于控制律收斂性的數(shù)學(xué)證明.目前,狀態(tài)的實(shí)時(shí)獲取仍然是基于李雅普諾夫控制方法的隨機(jī)量子系統(tǒng)反饋控制中的瓶頸問題.對于一個(gè)d維的隨機(jī)量子系統(tǒng),在線求解其隨機(jī)主方程就相當(dāng)于在線求解d2-1 個(gè)隨機(jī)微分方程,如此龐大的計(jì)算量易導(dǎo)致反饋環(huán)路中存在延遲從而導(dǎo)致較差的控制效果.如能通過快速高效的算法進(jìn)行實(shí)時(shí)量子狀態(tài)估計(jì),則高性能的量子反饋控制就有可能實(shí)現(xiàn).

本文針對CWM 過程中存在高斯噪聲的n比特隨機(jī)量子系統(tǒng),提出一種基于OADM 的實(shí)時(shí)量子狀態(tài)估計(jì)算法 (簡稱QSE-OADM 算法),然后基于QSE-OADM 算法設(shè)計(jì)了一種反饋控制 (Feedback control,FC)方案 (簡稱QSE-OADM-FC 方案),實(shí)現(xiàn)了基于實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)的量子反饋控制.本文的貢獻(xiàn)在于: 1) 在實(shí)時(shí)量子狀態(tài)估計(jì)算法的推導(dǎo)過程中,將時(shí)變的密度矩陣實(shí)時(shí)重構(gòu)問題和最小化高斯測量噪聲問題分開求解,進(jìn)行狀態(tài)在線更新時(shí)無需求解一階隨機(jī)梯度信息,得到比文獻(xiàn)[18]中的QST-OADM 算法和文獻(xiàn)[19]中的OPG-ADMM 算法更快的收斂速度和更短的耗時(shí);2) 借鑒文獻(xiàn)[26]的思想,針對n比特隨機(jī)量子系統(tǒng),運(yùn)用李雅普諾夫控制方法設(shè)計(jì)出一種新穎的反饋控制律,并對控制律的漸近收斂性進(jìn)行了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明;3) 在2比特隨機(jī)量子系統(tǒng)本征態(tài)和疊加態(tài)的反饋控制數(shù)值實(shí)驗(yàn)中,通過與基于QST-OADM 算法和OPGADMM 算法的量子反饋控制方案進(jìn)行性能對比,展現(xiàn)所提量子反饋方案的優(yōu)越性.

本文的結(jié)構(gòu)安排如下: 第1 節(jié)為在CWM 作用下,本文所提出的測量值序列和采樣矩陣的構(gòu)造方法;第2 節(jié)為用于實(shí)時(shí)量子狀態(tài)估計(jì)的QSE-OADM算法的推導(dǎo)及其性能分析;第3 節(jié)為基于實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)的n比特隨機(jī)量子系統(tǒng)反饋控制律的設(shè)計(jì)及其性能對比分析;第4 節(jié)為結(jié)束語.

1 CWM 作用下測量值序列和采樣矩陣的構(gòu)造

在薛定諤(Schr?dinger)繪景下,一類典型的n比特隨機(jī)量子系統(tǒng)的主方程可以表示為[16-18,23]

其中,? 為約化普朗克常量(為方便,取 ?=1);ρt為t時(shí)刻的密度矩陣;H(t) 為系統(tǒng)哈密頓量;L為測量算符,上標(biāo)“?”代表共軛轉(zhuǎn)置;η∈(0,1] 為測量效率;dW為標(biāo)準(zhǔn)實(shí)值維納過程并滿足E[dW]=0 和 E [(dW)2]=Δt;D(L,ρt)Δt刻畫了測量過程帶來的確定性的退相干作用,而H(L,ρt)dW則刻畫了測量過程引起的隨機(jī)的量子狀態(tài)塌縮.

根據(jù)CWM 過程及其推導(dǎo),可以得到作用在單比特隨機(jī)量子系統(tǒng)狀態(tài)上的 2×2 的測量算符為[16]

其中,I為 2×2 的單位矩陣,H′(t)=H0+Hc(t)=H0+u1(t)H1,L′=ξσ,ξ為被測量子系統(tǒng)與探測系統(tǒng)之間的相互作用強(qiáng)度,σ可在Pauli 矩陣σx=[01;10],σ y=[0-i;i0] 和σz=[10;0-1]中選擇.綜合考慮測量效率及其反向效應(yīng)的影響,可得 2×2 密度矩陣的演化算符為[16-18,23]

更一般地,對于n比特隨機(jī)量子系統(tǒng),其2n×2n的測量算符、密度矩陣演化算符可以在單比特量子系統(tǒng)的基礎(chǔ)上借助Kronecker 積“?”構(gòu)造為

令t=k·Δt,k=1,2,···,N,可以得到與式(1) 等價(jià)的離散型n比特隨機(jī)量子系統(tǒng)的密度矩陣和測量算符的演化方程為

本文將k時(shí)刻及其之前的測量值共同組成一個(gè)測量值序列b k=[y1,···,yi,···,yk]T.測量值序列的具體構(gòu)造方法如表1 所示.

表1 測量值序列的構(gòu)造方法Table 1 Construction approach of the measurement record sequence

容易看出,隨著k取值的增大會加重實(shí)時(shí)量子狀態(tài)估計(jì)算法的計(jì)算負(fù)擔(dān),進(jìn)而導(dǎo)致較長的迭代時(shí)間.因此,本文借鑒遞推限定記憶最小二乘法的思想引入滑窗以便保證在充分利用測量值的歷史信息的同時(shí),不至于使得計(jì)算負(fù)擔(dān)過重.滑窗中的數(shù)據(jù)按照“先入先出”的策略進(jìn)行更新,即數(shù)據(jù)量達(dá)到滑窗長度l之后,每增加一個(gè)新數(shù)據(jù)信息的同時(shí),刪除一個(gè)老數(shù)據(jù)的信息,數(shù)據(jù)的長度維持不變.帶有滑窗的測量值序列為

與文獻(xiàn)[13-15]中在海森堡(Heisenberg)繪景下借助量子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)演化的模型獲取k時(shí)刻量子狀態(tài)的方法不同,本文提出的測量值序列構(gòu)造方法能夠?qū)崟r(shí)估計(jì)出k時(shí)刻的量子狀態(tài).

根據(jù)測量值與密度矩陣之間的關(guān)系式(6),可以得到與bk對應(yīng)的采樣矩陣Ak為

當(dāng)采樣次數(shù)大于等于l時(shí),Ak保持不變.考慮到CWM 過程額外引入的高斯噪聲,式(6)應(yīng)修正為

其中,e i∈R為高斯白噪聲.此時(shí),n比特隨機(jī)量子系統(tǒng)在CWM 作用下,bk與Ak的關(guān)系為

2 QSE-OADM 算法的推導(dǎo)及其性能分析

本節(jié)將推導(dǎo)一種基于OADM 的n比特隨機(jī)量子系統(tǒng)狀態(tài)實(shí)時(shí)估計(jì)的算法QSE-OADM,并以2比特量子系統(tǒng)為例進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn),研究相互作用強(qiáng)度ξ、測量算符的初始值M1及其與系統(tǒng)哈密頓量H′形成的夾角對所提算法性能的影響.

2.1 QSE-OADM 算法的推導(dǎo)

本文采用OADM 算法進(jìn)行實(shí)時(shí)量子狀態(tài)估計(jì).對于式(10)所示的可分離的雙目標(biāo)在線約束凸優(yōu)化問題,OADM 算法的基本思想是將其分解為兩個(gè)子問題并交替求解,其框架是依次最小化兩個(gè)原始變量對應(yīng)的增廣拉格朗日(Lagrangian)函數(shù),最后通過對偶梯度上升來更新拉格朗日乘子.此外,在每個(gè)采樣時(shí)刻k過后,該算法只需進(jìn)行一次更新即可計(jì)算原始變量和拉格朗日乘子.式(10)對應(yīng)的增廣拉格朗日函數(shù)為

其中,λ為拉格朗日乘子,α＞0 是懲罰參數(shù).

2.1.1 求解相關(guān)子問題

根據(jù)矩陣求逆引理[28],得到

因此,式(14)可以重寫為

式(21)對應(yīng)的拉格朗日函數(shù)為

2.1.2 求解相關(guān)子問題

所提出的QSE-OADM 算法的具體步驟如算法1 所示.

算法1.QSE-OADM 算法

下面討論QSE-OADM 算法的計(jì)算復(fù)雜度.對于QSE-OADM算法而言,其密度矩陣依據(jù)式(17)更新時(shí),的計(jì)算復(fù)雜度為由于采樣矩陣Ak在采樣次數(shù)達(dá)到l之后保持不變,因此這一部分總的計(jì)算復(fù)雜度為l×O(l2d2).另外,奇異值分解的計(jì)算復(fù)雜度為 O (d3),由于計(jì)算過程中待估計(jì)的密度矩陣始終嚴(yán)格滿足量子狀態(tài)約束,因此采樣次數(shù)為N時(shí)這一部分總的計(jì)算復(fù)雜度為N×O(d3).綜上可知,QSE-OADM 算法總的計(jì)算復(fù)雜度為l×O(l2d2)+N×O(d3).

2.2 QSE-OADM 算法的性能分析

采用保真度 (Fidelity) 來衡量量子狀態(tài)估計(jì)的精度,其定義為

2.2.1 不同外部控制場的作用對實(shí)時(shí)量子狀態(tài)估計(jì)性能的影響

外部控制量和控制哈密頓量的乘積u1H1分別選取為0,σx,σy和 10σx,固定H0=σz,M1=σz?σz,L′=0.7σz.不同方向的外部控制場對QSEOADM 算法實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1 所示,從中可以看出: 當(dāng)初始測量算符M1與H0平行時(shí),QSE-OADM 算法無法有效獲取到隨機(jī)量子系統(tǒng)狀態(tài)演化的信息,此時(shí)該算法失效.解決該問題的一種可行的方案是通過施加外部控制場來使M1與系統(tǒng)哈密頓量H′=H0+u1H1之間存在一定的夾角.

圖1 不同外部控制場的作用下的實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)性能Fig.1 Real-time state estimation performance under various external control fields

需要注意的是,外部控制場并非越強(qiáng)越好,過大的控制量(如圖1 中帶圓圈的曲線所示的情況)可能導(dǎo)致M1與H′之間的夾角接近 90°而呈現(xiàn)出二者近似正交的情況,此時(shí)CWM 同樣難以獲取到系統(tǒng)演化的信息而導(dǎo)致QSE-OADM 算法估計(jì)精度下降.

2.2.2 不同初始測量算符 M1 對實(shí)時(shí)量子狀態(tài)估計(jì)性能的影響

初始測量算符M1分別選取為σ x ?σx、σy ?σy和σ z ?σz三種情況,固定H′=H0+1·σx,L′=0.7σz.不同初始測量算符對QSE-OADM 算法估計(jì)狀態(tài)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2 所示.從圖2 中可以看出只要M1與系統(tǒng)哈密頓量H′不平行且不正交,三種情況均能實(shí)現(xiàn)有效的實(shí)時(shí)量子狀態(tài)估計(jì),不過每一種情況下QSE-OADM 算法的收斂速率不同.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明: 當(dāng)M1=σz ?σz時(shí)QSE-OADM 算法的實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)性能最好.

圖2 不同初始測量算符作用下的實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)性能Fig.2 Real-time state estimation performance under various initial measurement operators

2.2.3 不同相互作用強(qiáng)度 ξ 對實(shí)時(shí)量子狀態(tài)估計(jì)性能的影響

相互作用強(qiáng)度ξ分別取0.3,0.5,0.7,0.9,固定H′=H0+1·σx,M1=σz ?σz,測量算符選取σz.被測量子系統(tǒng)與探測系統(tǒng)之間不同的相互作用強(qiáng)度對于QSE-OADM 算法性能影響的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示,從中可以看出:ξ與保真度成正相關(guān),即ξ越大QSE-OADM 算法的收斂性越好.

圖3 不同的相互作用強(qiáng)度作用下的實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)性能Fig.3 Real-time state estimation performance under various interaction strengths

當(dāng)ξ ≥0.7 時(shí),QSE-OADM 算法已經(jīng)具有良好的實(shí)時(shí)量子狀態(tài)估計(jì)性能,第7 次采樣過后保真度高于95%,第30 次采樣時(shí)保真度高于99.95%.第30 次采樣時(shí)的估計(jì)狀態(tài)和真實(shí)狀態(tài)如圖4 所示,其中,x軸和y軸分別代表密度矩陣的行和列,z軸代表密度矩陣元素的實(shí)部數(shù)值.

圖4 第30 次采樣時(shí)2 比特量子系統(tǒng)估計(jì)狀態(tài)與真實(shí)狀態(tài)比較 (H′=H0+1·σx,M1=σz ?σz,L′=0.7σz)Fig.4 Comparison between the estimated state and the real state of a 2-qubit system at the 30th sampling time(H′=H0+1·σx,M1=σz ?σz,L′=0.7σz)

3 基于實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)的量子反饋控制律的設(shè)計(jì)及其性能對比分析

本節(jié)將采用基于李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的控制方法設(shè)計(jì)反饋控制律,結(jié)合所提出的實(shí)時(shí)量子狀態(tài)估計(jì)算法實(shí)現(xiàn)n比特隨機(jī)量子系統(tǒng)的反饋控制,并以2 比特隨機(jī)量子系統(tǒng)為例針對目標(biāo)態(tài)為本征態(tài)和疊加態(tài)的情況分別進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)及其性能對比分析.

3.1 反饋控制律的設(shè)計(jì)及其收斂性的證明

第2 節(jié)基于QSE-OADM 算法實(shí)現(xiàn)了n比特隨機(jī)量子系統(tǒng)的實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì),因此可將式(1)改寫為包含估計(jì)狀態(tài)的隨機(jī)主方程,即

其中,系統(tǒng)哈密頓量為H(t)=H0+Hc(t),內(nèi)部哈密頓量為H0,相互作用哈密頓量為Hc(t)=其中控制哈密頓量的個(gè)數(shù)r≥2,ui(t)表示控制場的第i個(gè)分量.

基于實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)的n比特隨機(jī)量子系統(tǒng)反饋控制系統(tǒng)的框圖如圖5 所示,其中,S,P,S ?P分別代表被測量子系統(tǒng)、探測系統(tǒng)和聯(lián)合系統(tǒng),|ψ(Δt)〉代表聯(lián)合系統(tǒng)的狀態(tài)矢量,|o〉 代表系統(tǒng)P在投影測量后隨機(jī)塌縮到的某個(gè)本征態(tài),M代表測量算符,它們一起組成CWM 過程.聯(lián)合系統(tǒng)y的輸出中包含測量過程引入的高斯噪聲,分別為在k時(shí)刻的密度矩陣ρ k和測量噪聲ek的估計(jì)值,u(k)為k時(shí)刻的控制場,q-1為單位延遲算子,ρf為目標(biāo)態(tài).

圖5 基于實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)的n 比特隨機(jī)量子系統(tǒng)反饋控制方案的框圖Fig.5 Real-time state estimation-based feedback control scheme for n-qubit stochastic quantum systems

定理 1.對于n比特隨機(jī)量子系統(tǒng)(28),當(dāng)滿足能控性條件L=L?和[H0,L]=0[29]時(shí),在式(29)和式(30)所示的反饋控制律的作用下,量子系統(tǒng)的狀態(tài)可以從任意初態(tài)ρ0以概率1 收斂到任意期望的目標(biāo)態(tài)ρf.控制律的表達(dá)式為

1) 當(dāng)采樣時(shí)刻k=1 時(shí)

2)當(dāng)采樣時(shí)刻k ≥2 時(shí)

1) 系統(tǒng)(28)存在多個(gè)平衡點(diǎn),如ρs1=diag{1,0}?n和ρ s2=diag{0,1}?n.當(dāng)初始估計(jì)狀態(tài)與目標(biāo)態(tài)ρf選取為同一個(gè)平衡點(diǎn)時(shí),有意味著式(30) 所示的控制律無法施加到該量子系統(tǒng)中.因此在k=1 時(shí),首先施加微擾形式的控制律驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)離開平衡點(diǎn);即便是系統(tǒng)初始狀態(tài)不是平衡點(diǎn),該微擾形式的控制律也不會對系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)產(chǎn)生較大的影響.

將式(33)和式(35) 代入式(31),可得

將式(30)所示控制律代入式(36),可得

基于QSE-OADM 算法進(jìn)行實(shí)時(shí)量子狀態(tài)估計(jì)的反饋控制方案QSE-OADM-FC 的具體步驟如算法2 所示.

算法2.QSE-OADM-FC 方案

3.2 量子反饋控制的數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)及其性能對比分析

本節(jié)仍以2 比特隨機(jī)量子系統(tǒng)為例進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn).仿真實(shí)驗(yàn)中,H0=σz ?I+I ?σz,4 個(gè)控制哈密頓量分別為H1=σx ?I+I ?σx;H2=σy ?I+I ?σy;H3=(σy+σz)?I+I ?(σy+σz);H4=(σx+σz)?I+I ?(σx+σz).除滑窗長度改為l=30 外,其他系統(tǒng)參數(shù)以及QSE-OADM 算法的參數(shù)均與第2 節(jié)相同.

為了驗(yàn)證本文所提方案性能的優(yōu)越性,將所提出的QSE-OADM-FC 方案與QST-OADM-FC 方案以及OPG-ADMM-FC 方案進(jìn)行比較,其中QSTOADM 算法和OPG-ADMM 算法的參數(shù)已分別依據(jù)文獻(xiàn)[18]和文獻(xiàn)[19]調(diào)整至最佳.除李雅普諾夫函數(shù)數(shù)值之外,本文還借助控制場能量這一指標(biāo)來衡量反饋控制方案的優(yōu)越性,其定義為

3.2.1 本征態(tài)的反饋控制

2 比特量子系統(tǒng)的初態(tài)為本征態(tài)ρ0=ρ00?ρ00,其中ρ00=[1 0;0 0];目標(biāo)態(tài)為本征態(tài)ρ f=ρf0?ρf0,其中ρ f0=[0 0;0 1],設(shè)計(jì)參數(shù)為g2=6,g3=1,g4=1.本征態(tài)反饋控制的仿真結(jié)果如圖6 所示,其中,圖6(a)和圖6(b)中的實(shí)線、虛線和點(diǎn)線分別代表QSE-OADM-FC、QST-OADM-FC 和OPGADMM-FC 方案中保真度和李雅普諾夫函數(shù)的變化曲線,圖6(c)中的實(shí)線、虛線、點(diǎn)劃線和帶“+”的曲線分別代表3 種方案中控制場分量u1,u2,u3和u4的變化曲線,圖6(d)中的實(shí)線、虛線、點(diǎn)劃線和帶“+”的曲線分別代表3 種方案中密度矩陣對角線元素ρ11,ρ22,ρ33和ρ44的變化曲線.

圖6 本征態(tài)反饋控制的仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results on feedback control of an eigenstate

在QSE-OADM-FC 方案中,第14 次采樣過后即可保證實(shí)時(shí)量子狀態(tài)估計(jì)的保真度高于95%;第15 次采樣過后即可保證李雅普諾夫函數(shù)數(shù)值小于0.01;第30 次采樣時(shí)保真度為99.84%,李雅普諾夫函數(shù)數(shù)值為 5.399×10-4.如采用QST-OADM-FC方案,則第18 次采樣過后才能保證實(shí)時(shí)量子狀態(tài)估計(jì)的保真度高于95%,李雅普諾夫函數(shù)數(shù)值小于0.01;第30 次采樣時(shí)保真度為99.40%,李雅普諾夫函數(shù)數(shù)值為 1.484×10-3.如采用OPG-ADMM-FC方案,則第25 次采樣過后才能保證實(shí)時(shí)量子狀態(tài)估計(jì)的保真度高于95%;第28 次采樣過后才能保證李雅普諾夫函數(shù)數(shù)值小于0.01;第30 次采樣時(shí)保真度為98.29%,李雅普諾夫函數(shù)數(shù)值為 6.312×10-3.此外,采用QSE-OADM-FC 方案在達(dá)到更好的本征態(tài)反饋控制效果的同時(shí)所需要的控制場能量更小,僅為QST-OADM-FC 方案的60%左右,為OPGADMM-FC 方案的35%左右.

3 種方案下,本征態(tài)反饋控制性能指標(biāo)的對比如表2 所示.其中,方案1 代表QSE-OADM-FC 方案;方案2 代表QST-OADM-FC 方案;方案3 代表OPG-ADMM-FC 方案.k s1代表使得保真度持續(xù)穩(wěn)定在95%以上的首個(gè)采樣時(shí)刻;k s2代表使得李雅普諾夫函數(shù)數(shù)值持續(xù)低于0.01 的首個(gè)采樣時(shí)刻.

表2 本征態(tài)反饋控制性能指標(biāo)的對比Table 2 Comparison of performance indicators of feedback control of an eigenstate

3.2.2 疊加態(tài)的反饋控制

圖7 疊加態(tài)反饋控制的仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results on feedback control of a superposition state

3 種方案下,疊加態(tài)反饋控制性能指標(biāo)的對比如表3 所示,其中k s1和k s2的含義與表2 相同.與本征態(tài)的反饋控制相比,疊加態(tài)的反饋控制實(shí)現(xiàn)起來難度更大,具體表現(xiàn)在其調(diào)節(jié)時(shí)間更長且所需的控制場能量更大上.

表3 疊加態(tài)反饋控制性能指標(biāo)的對比Table 3 Comparison of performance indicators of feedback control of a superposition state

4 結(jié)束語

本文解決了n比特隨機(jī)量子系統(tǒng)的實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)及其反饋控制的問題.針對 CWM 過程中存在高斯噪聲的n比特隨機(jī)量子系統(tǒng),通過測量序列和采樣矩陣的構(gòu)造、基于在線交替方向乘子法的實(shí)時(shí)量子狀態(tài)估計(jì)算法的設(shè)計(jì)以及借助李雅普諾夫方法的反饋控制律的設(shè)計(jì),提出了一種基于實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)的量子反饋控制方案.最后,與基于其他兩種不同的實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)算法的量子反饋控制方案進(jìn)行性能對比,展現(xiàn)了本文所提方案的優(yōu)越性.