基于高斯展開(kāi)法的碟形聲學(xué)黑洞寬頻調(diào)諧減振機(jī)理研究

丁 媛, 施凱耀, 鄭 玲

(重慶大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院 機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400044)

聲學(xué)黑洞[1]是利用薄壁結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)或者材料特性參數(shù)的梯度變化,使波在結(jié)構(gòu)中的傳播速度逐漸減小,理想情況下波速減小至零從而不發(fā)生反射的現(xiàn)象。由于其在減振降噪[2-3]、能量回收[4-7]以及聲波調(diào)控[8-10]方面的應(yīng)用潛力,在過(guò)去的十幾年中一直倍受關(guān)注。

Zeng等[11]研究了不同截面形狀一維聲學(xué)黑洞梁的能量聚集效應(yīng),分析了激勵(lì)位置對(duì)聲學(xué)黑洞不同頻率段能量聚集的強(qiáng)化作用,提出了聲學(xué)黑洞梁寬頻振動(dòng)控制的影響因素。黃薇等[12]對(duì)嵌入二維聲學(xué)黑洞的薄板進(jìn)行了能量聚集效應(yīng)研究,試驗(yàn)證明了聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)對(duì)聚集波動(dòng)能量的科學(xué)性與有效性。Ji等[13]針對(duì)具有尖端截?cái)嗟姆峭昝酪痪S聲學(xué)黑洞梁,試驗(yàn)測(cè)試了聲學(xué)黑洞梁的反射系數(shù),通過(guò)在聲學(xué)黑洞能量聚集區(qū)域引入阻尼層,彌補(bǔ)了尖端截?cái)鄮?lái)的聚能效應(yīng)衰減問(wèn)題。但以上嵌入式聲學(xué)黑洞,存在局部結(jié)構(gòu)強(qiáng)度弱化問(wèn)題,影響其工程實(shí)用性。

Deng等[14-15]研究了帶加強(qiáng)肋的聲學(xué)黑洞(acoustic black holes,ABH)環(huán)型結(jié)構(gòu),研究表明,多個(gè)環(huán)形ABH可以有效降低中心激勵(lì)源的振動(dòng)傳遞,加強(qiáng)肋不僅改善了環(huán)形ABH的結(jié)構(gòu)弱化,對(duì)降低振動(dòng)傳遞也有顯著效果。Zhou等[16]將兩個(gè)ABH梁在ABH中心位置進(jìn)行正向或反向重合,構(gòu)建了復(fù)合ABH梁,有限元分析表明,復(fù)合ABH梁相比傳統(tǒng)的單個(gè)嵌入式ABH梁,其振動(dòng)抑制作用明顯增強(qiáng),且局部結(jié)構(gòu)弱化問(wèn)題得到有效改善。Gao等[17]在上述復(fù)合ABH梁基礎(chǔ)上,在聲學(xué)黑洞的兩端嵌入了乙烯-醋酸乙烯酯(ethylene-vingl acetate,EVA)材料,改善了其低頻振動(dòng)控制的效果。

為了克服嵌入式聲學(xué)黑洞存在的局部結(jié)構(gòu)強(qiáng)度弱化問(wèn)題,Ji等[18]設(shè)計(jì)了一種二維圓形ABH,將其附加在主體結(jié)構(gòu)上以抑制主體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。Comsol有限元分析和試驗(yàn)表明,由于ABH和主體結(jié)構(gòu)的耦合作用,其主體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)得以有效抑制。本文設(shè)計(jì)一種新的二維碟形聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)(dish-shaped acoustic black hole,DABH),將其附加在主體結(jié)構(gòu)上,以實(shí)現(xiàn)對(duì)主體結(jié)構(gòu)的減振?；诟咚拐归_(kāi)法,建立其半解析分析模型,分析碟形聲學(xué)黑洞與主體結(jié)構(gòu)的耦合作用,揭示其寬頻調(diào)諧減振機(jī)理,為拓展聲學(xué)黑洞在寬頻結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制上的應(yīng)用提供新的設(shè)計(jì)思路。

1 二維碟形聲學(xué)黑洞耦合系統(tǒng)建模

圖1 DABH附加結(jié)構(gòu)與耦合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 DABH and its coupling system structure

實(shí)際情況中,DABH是通過(guò)螺栓或焊接安裝到主結(jié)構(gòu)板上,因此兩個(gè)部件在連接點(diǎn)處具有相同的位移和旋轉(zhuǎn)角度。一般處理邊界條件的方法有人工彈簧法[19-20]和零空間法[21-22]。本文連接部分使用人工彈簧來(lái)模擬,平移彈簧剛度為k,旋轉(zhuǎn)彈簧剛度為p,如圖1(c)所示。

本文基于Rayleigh-Ritz法框架,選擇高斯函數(shù)作為基函數(shù),根據(jù)碟形聲學(xué)黑洞板的形狀確定高斯基函數(shù)的分布,建立碟形聲學(xué)黑洞與主結(jié)構(gòu)板耦合系統(tǒng)的半解析分析模型。采用Comsol軟件,建立其有限元模型,驗(yàn)證其正確性。

1.1 二維基函數(shù)的選取

DABH和主板結(jié)構(gòu)三個(gè)方向的位移可由一系列二維形函數(shù)線性疊加來(lái)表示

(1)

式中:w,u,v分別為z方向的面外位移以及x和y方向的面內(nèi)位移;φi,ξi,χi為形函數(shù)向量;Wi,Ui,Vi為權(quán)重向量;i=1為主結(jié)構(gòu)板;i=2為DABH。耦合系統(tǒng)的形函數(shù)向量ξ和權(quán)重系數(shù)向量q分別為

(2)

以面外位移w的形函數(shù)φi為例,描述其具體形式,面內(nèi)位移u,v與之類似。φi可由克羅內(nèi)克積表示

φi=φix(x)?φiy(y),i=1,2

(3)

式中:φix(x)為x方向的形函數(shù);φiy(y)為y方向的形函數(shù),即

(4)

(5)

式中:px,py分別為x方向和y方向的尺度因子,其決定了半解析模型的計(jì)算精度;qxj和qyk分別為x方向和y方向的平移因子;m為φix(x)中元素的個(gè)數(shù);n為φiy(y)中元素的個(gè)數(shù)。結(jié)合式(3)和式(4),可以得到

(6)

由式(6)可知,形函數(shù)向量φi的維度為mn。其中,尺度因子和平移因子的選取需滿足[23]

(7)

qxj=[-4+floor(-2px·a),ceil(2px·a)+4]

(8)

qyk=[-4+floor(-2py·b),ceil(2py·b)+4]

(9)

(10)

1.2 二維碟形聲學(xué)黑洞耦合系統(tǒng)半解析模型

在Rayleigh-Ritz框架下,可建立耦合系統(tǒng)的拉格朗日方程,導(dǎo)出耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。主結(jié)構(gòu)板和DABH的動(dòng)能為

式中:ρi(i=1,2)為兩者的密度;hi(x,y)(i=1,2)為兩者的厚度。系統(tǒng)總動(dòng)能為

(12)

式中,M為耦合系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣。

系統(tǒng)的勢(shì)能由三部分組成,主結(jié)構(gòu)板和DABH的勢(shì)能以及連接處的彈性勢(shì)能。主結(jié)構(gòu)板和DABH的勢(shì)能為

(13)

(14)

最終耦合系統(tǒng)的總勢(shì)能為

(15)

式中,K為耦合系統(tǒng)的剛度矩陣。

對(duì)主結(jié)構(gòu)板施加外力,系統(tǒng)的外力功可表示為

(16)

W=qTf

(17)

式中,f為外力在以高斯基函數(shù)為廣義坐標(biāo)下的力向量。

利用式(12)、式(15)和式(17),可建立拉格朗日函數(shù)

(18)

歐拉-拉格朗日方程為

(19)

由此得到耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

(20)

將q=Qexp(iωt)和f=Fexp(iωt)代入上式,可得運(yùn)動(dòng)方程的頻域表達(dá)式

(21)

進(jìn)一步,令F=0,式(21) 成為一個(gè)廣義特征值問(wèn)題,可求解出耦合系統(tǒng)的特征頻率ωn和特征向量Qn。

1.3 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所建立的半解析模型的準(zhǔn)確性,基于Comsol有限元分析軟件,建立DABH與主結(jié)構(gòu)板耦合系統(tǒng)的有限元分析模型,將半解析模型與有限元模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。二維碟形聲學(xué)黑洞耦合系統(tǒng)如圖1所示,主結(jié)構(gòu)板邊界條件為自由邊界,附加DABH與主結(jié)構(gòu)板在中心處連接,相關(guān)的材料和幾何參數(shù)如表1所示。主結(jié)構(gòu)板和DABH采用同種材料,表中:ρ,E,μ及η分別為該材料密度、彈性模量、泊松比和阻尼系數(shù);ρv,Ev,μv及ηv分別為鋪設(shè)的阻尼材料的密度、彈性模量、泊松比和阻尼系數(shù)。彎曲波和縱波的平移彈簧系數(shù)設(shè)置為kw=1×1011N/m、ku=1×1014N/m,旋轉(zhuǎn)彈簧系數(shù)為p=1×109N·m/rad。

表1 耦合系統(tǒng)的材料參數(shù)和幾何參數(shù)Tab.1 Material parameters and geometric parameters of the coupling system

1.3.1 模態(tài)收斂性驗(yàn)證

圖2為半解析模型與有限元模型的模態(tài)頻率對(duì)比結(jié)果及其相對(duì)誤差。半解析模型計(jì)算過(guò)程中,選取尺度因子為px=py=6。由圖2可知,本文建立的半解析模型,其計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確,與有限元模型結(jié)果的相對(duì)誤差均在2%以內(nèi)。

圖2 聲學(xué)黑洞板的模態(tài)分析結(jié)果Fig.2 The diagram of modal frequency error of the system

圖3是耦合系統(tǒng)的模態(tài)振型圖。其中:第一行為DABH高斯展開(kāi)法計(jì)算結(jié)果;第二行為DABH有限元計(jì)算結(jié)果;第三行為主結(jié)構(gòu)板高斯展開(kāi)法計(jì)算結(jié)果;第四行為主結(jié)構(gòu)板有限元計(jì)算結(jié)果?？梢钥闯?半解析模型的第 2、第19、第31、第41 階模態(tài)振型與有限元模態(tài)振型完全一致,驗(yàn)證了半解析建模方法的正確性。

圖3 DABH與主結(jié)構(gòu)板耦合系統(tǒng)的模態(tài)振型圖Fig.3 Modal mode shape diagram of the coupling system of DABH and the host plate

1.3.2 強(qiáng)迫響應(yīng)驗(yàn)證

對(duì)DABH與主結(jié)構(gòu)板耦合系統(tǒng)施加正弦載荷,其作用點(diǎn)的坐標(biāo)為(0.35,0.35),幅值為1 N(見(jiàn)圖1(b))。計(jì)算主結(jié)構(gòu)板的平均均方速度MSV

(22)

主結(jié)構(gòu)板的平均均方速度,如圖4所示。由圖4可知,在 2 000 Hz 以內(nèi),半解析模型計(jì)算的平均均方速度(mean square velocity,MSV)與有限元模型的MSV基本吻合。

圖4 耦合系統(tǒng)的平均均方速度Fig.4 Average mean squared velocity of the coupled system

1.3.3 計(jì)算效率驗(yàn)證

為了比較兩種方法的計(jì)算效率,分別測(cè)試了有限元模型和半解析模型固有頻率和強(qiáng)迫響應(yīng)的計(jì)算時(shí)間。有限元模型前200階固有頻率的計(jì)算時(shí)間為1 599 s,0～2 kHz強(qiáng)迫響應(yīng)計(jì)算時(shí)間為179 549 s,半解析模型前200階固有頻率的計(jì)算時(shí)間為427 s, 0～2 kHz強(qiáng)迫響應(yīng)計(jì)算時(shí)間為3 463 s。結(jié)果表明,本文建立的半解析模型具有更高的計(jì)算效率,這為進(jìn)一步參數(shù)優(yōu)化和耦合機(jī)理分析,提供了計(jì)算手段。

2 寬頻調(diào)諧減振機(jī)理

在DABH外緣粘貼阻尼層,有無(wú)DABH附加結(jié)構(gòu)的主結(jié)構(gòu)板強(qiáng)迫響應(yīng)對(duì)比,如圖5所示。由圖5可知,DABH附加結(jié)構(gòu)觸發(fā)了主結(jié)構(gòu)的寬頻振動(dòng)抑制。DABH作為一個(gè)動(dòng)態(tài)吸振器,在268 Hz和580 Hz引起了峰值分裂,共振峰數(shù)量增加,單個(gè)峰幅值下降,表現(xiàn)出更顯著的減振效果。對(duì)于其他共振峰,雖未出現(xiàn)峰值分裂,但出現(xiàn)了峰值偏移及幅值的明顯降低,如370 Hz和425 Hz。上述現(xiàn)象產(chǎn)生的原因:一是由于附加結(jié)構(gòu)的ABH能量聚集效應(yīng);二是DABH的動(dòng)態(tài)吸振器(dynamic vibration absorber,DVA)效應(yīng)。前者表現(xiàn)為某些共振峰值降低但未出現(xiàn)峰值分裂,后者表現(xiàn)為部分頻率發(fā)生峰值分裂。此外,聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)存在截止頻率[25]

圖5 有無(wú)DABH附加結(jié)構(gòu)的主結(jié)構(gòu)板的MSVFig.5 MSV of the host plate with or without DABH

(23)

聲學(xué)黑洞效應(yīng)不能被頻率低于frABH的波觸發(fā)。DABH的截止頻率在200 Hz附近,從圖5可以看到在200 Hz以下,DABH的減振效果并不明顯,附加DABH的主結(jié)構(gòu)板在高頻表現(xiàn)出更顯著的減振效果。

2.1 DABH結(jié)構(gòu)的能量損耗及影響因素

2.1.1 DABH結(jié)構(gòu)的減振作用

為了驗(yàn)證DABH的能量聚集效應(yīng),在DABH結(jié)構(gòu)的中心施加振幅為1 N的簡(jiǎn)諧力。采用振動(dòng)均方根速度(root mean square velocity,RMS velocity)對(duì)響應(yīng)進(jìn)行表征,RMS定義為

(24)

選取兩個(gè)測(cè)試點(diǎn),Rm1=0.17 m,位于冪律裁剪外圍的均勻平臺(tái)處,Rm2=0.025 m位于DABH中心的均勻平臺(tái)處,如圖6所示。此外,定義能量比為Γ=20lg(|vm1/vm2|),來(lái)表征聲學(xué)黑洞的聚能效應(yīng)。

圖6 點(diǎn)Rm1和Rm2位置示意圖Fig.6 Schematic diagram of the location of points Rm1 and Rm2

為了驗(yàn)證ABH效應(yīng),將具有與DABH尺寸相同的圓形均勻板(uniform circular plate,UCP)的結(jié)果作為參考。由于板結(jié)構(gòu)豐富的模態(tài)頻率,我們僅分析0～2 kHz的振動(dòng)響應(yīng)。圖7(a)和圖7(b)分別為Rm1和Rm2處的結(jié)果對(duì)比。從中可知,與UCP相比,DABH在Rm1處的響應(yīng)速度較大,毫無(wú)疑問(wèn)這是由于ABH厚度冪律裁剪導(dǎo)致的波傳播特性。理論上,Rm2處的速度響應(yīng)相比UCP,其速度響應(yīng)應(yīng)該較小,但圖7(b)表明,這種差異并不顯著。表明Rm2與Rm1距離不遠(yuǎn),僅靠彎曲波在ABH中的傳遞,并不能顯著降低Rm2的振動(dòng)響應(yīng),尚需通過(guò)某種耗散機(jī)制來(lái)進(jìn)一步減少?gòu)澢ㄔ谶吔绲姆瓷洹D7(c)為兩點(diǎn)的能量比,可以看出,DABH相較于UCP的能量集中效應(yīng)是十分明顯的。

圖7 DABH和UCP的振動(dòng)均方根速度及能量比Fig.7 Vibration RMS velocity and energy ratio of DABH and UCP

為了耗散ABH在尖端部分的振動(dòng)能量聚集,本文在尖端部分粘貼阻尼材料,以降低彎曲波在邊界的反射,UCP也做同樣處理。阻尼材料粘貼在DABH的r4區(qū)域,(見(jiàn)圖1(c))。阻尼材料的幾何和材料參數(shù)見(jiàn)表1。在DABH和UCP的中心施加振幅1 N的簡(jiǎn)諧力,比較兩者的強(qiáng)迫響應(yīng)MSV,圖8(a)為強(qiáng)迫響應(yīng)結(jié)果?？梢钥闯?粘貼阻尼材料以后,DABH邊緣的振動(dòng)能量被有效耗散,共振頻率處的幅值低于相同處理的UCP。圖8(b)為0～1 500 Hz的模態(tài)頻率和模態(tài)阻尼比,可見(jiàn)粘貼阻尼材料后,DABH的模態(tài)損耗因子遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)UCP,這是由于DABH優(yōu)越的能量聚集效應(yīng)帶來(lái)的高阻尼特性。此外,UCP僅有68個(gè)模態(tài),而DABH則有132個(gè)模態(tài),由于DABH模態(tài)密度增加,大大促進(jìn)了DABH與主結(jié)構(gòu)板耦合的幾率。

圖8 粘貼阻尼材料的DABH和UCP的MSV和模態(tài)阻尼比Fig.8 MSV and modal damping ratio of DABH and UCP with damping material

將粘貼阻尼材料的DABH及UCP安裝到相同的均勻方板上,連接位置與施加的激勵(lì)與前述一致。圖9為附加DABH及UCP的主結(jié)構(gòu)板表面的MSV。可以看出, DABH觸發(fā)了主結(jié)構(gòu)板的寬帶振動(dòng)抑制。盡管附加UCP的主結(jié)構(gòu)板,其部分共振峰也有所降低,但其作用與DABH相比是很小的。說(shuō)明DABH作為附加結(jié)構(gòu),通過(guò)與主結(jié)構(gòu)的耦合作用,利用其ABH效應(yīng)以及DVA效應(yīng),實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)能量從主結(jié)構(gòu)板到DABH的轉(zhuǎn)移以及在DABH邊緣尖端的振動(dòng)能量耗散,達(dá)到了更好的減振效果。

圖9 附加DABH和UCP的主結(jié)構(gòu)板的MSVFig.9 MSV of the host plate with DABH and UCP

2.1.2 DABH結(jié)構(gòu)參數(shù)影響

從圖1可知,影響DABH性能的主要參數(shù)有截?cái)嗪穸萮e、衰減指數(shù)m、ABH半徑rABH以及外延寬度r3-r2,不同參數(shù)的影響效果如圖10所示。

圖10 DABH結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)主結(jié)構(gòu)板振動(dòng)響應(yīng)的影響Fig.10 Influence of DABH structural parameters on vibration response of the host plate

在一維ABH梁的研究中,已證明截?cái)嗪穸葘?duì)于ABH效應(yīng)有較大的影響。非理想情況下,因?yàn)榻財(cái)嗪穸鹊拇嬖趯?dǎo)致彎曲波從尖端反射,從而影響ABH效應(yīng)。從圖10(a),也可以看到DABH具有類似的效果,即隨著截?cái)嗪穸鹊臏p小,MSV的峰值也在不斷降低,DABH的減振效果增強(qiáng)。

眾所周知,ABH效應(yīng)在剖面變化冪指數(shù)m≥2時(shí)成立。圖10(b)是不同m值下DABH在5 kHz內(nèi)的振動(dòng)響應(yīng)。可以看到,增加冪指數(shù)m對(duì)最終減振效果影響不大。

外延寬度是DABH邊緣外伸的一段均勻厚度部分的寬度,即r3-r2。在圖10(c)中,保持r2=0.15 m不變,通過(guò)改變r(jià)3,來(lái)獲取不同的外延寬度。一維ABH的研究表明,一定的外延部分對(duì)于ABH效應(yīng)的提升是有幫助的[26]。本文中DABH二維結(jié)構(gòu),也有類似的現(xiàn)象,即隨著外延平臺(tái)尺寸的增加,主結(jié)構(gòu)板MSV的峰值顯著降低,但降低的效果會(huì)隨外延寬度的增加逐漸減弱。

假設(shè)外延寬度為零,通過(guò)改變ABH半徑,來(lái)分析ABH半徑的影響規(guī)律。從圖10(d)中可以看到,隨著ABH半徑的增加,ABH減振效果增強(qiáng)。相比于最小的半徑尺寸rABH=0.13 m,最大的半徑尺寸rABH=0.17 m的主結(jié)構(gòu)板MSV峰值降低了8 dB。此外,隨著半徑的增加,ABH效應(yīng)也會(huì)向低頻拓展。

除了DABH本身的參數(shù)以外,DABH的安裝位置對(duì)主結(jié)構(gòu)的減振性能也有影響。圖11 是DABH不同安裝位置的模態(tài)振型。圖11(a)表明,當(dāng)DABH位置處于主結(jié)構(gòu)板節(jié)點(diǎn)位置時(shí),其主結(jié)構(gòu)板的MSV較高;圖11(b)表明,當(dāng)DABH處于主結(jié)構(gòu)板的非節(jié)點(diǎn)位置時(shí),其可以通過(guò)耦合,更多地從主結(jié)構(gòu)板中吸收振動(dòng)能量,并由阻尼材料進(jìn)行耗散。因此,DABH安裝在主結(jié)構(gòu)板幅值越大的地方,對(duì)主結(jié)構(gòu)板的有更好的減振效果。圖12是不同安裝位置的主結(jié)構(gòu)板MSV,也可以觀察到同樣的現(xiàn)象。除了安裝位置外,DABH的對(duì)稱性也會(huì)影響減振效果[27]。

圖11 DABH不同安裝位置的系統(tǒng)模態(tài)振型(751 Hz)Fig.11 Modal shapes with different mounting positions (751 Hz)

圖12 不同安裝位置的主結(jié)構(gòu)板的振動(dòng)響應(yīng)Fig.12 Vibration response of the host plate in different mounting positions

2.2 模態(tài)振型對(duì)動(dòng)態(tài)耦合效應(yīng)的影響

圖13是阻尼材料的阻尼系數(shù)設(shè)為0時(shí),有無(wú)DABH的強(qiáng)迫響應(yīng)結(jié)果。可以觀察到,如果沒(méi)有阻尼材料的耗散作用,其結(jié)構(gòu)板峰值分裂現(xiàn)象更為明顯,共振峰數(shù)量更多。相比圖5,在1 040 Hz附近出現(xiàn)了新的峰值分裂。分析峰值分裂對(duì)應(yīng)頻率的DABH模態(tài)振型發(fā)現(xiàn), DABH具有同心圓振型,如圖14所示。這與Ji等的發(fā)現(xiàn)規(guī)律一致,即附加結(jié)構(gòu)與主結(jié)構(gòu)的強(qiáng)耦合僅在特定DVA模態(tài)發(fā)生。

圖13 有無(wú)DABH附加結(jié)構(gòu)(ηv=0)的主結(jié)構(gòu)板的強(qiáng)迫響應(yīng)MSVFig.13 Forced response MSV of the host plate with or without DABH (ηv=0)

圖14 DABH的同心圓振型Fig.14 Concentric circle modal shape

分析DABH模態(tài)振型可知, 在1 500 Hz范圍內(nèi),共有四個(gè)同心圓模態(tài),分別對(duì)應(yīng)61.33 Hz,272.85 Hz,594.50 Hz,1 000.07 Hz。除最小的頻率61.33 Hz外,其他三個(gè)固有頻率均在圖13中出現(xiàn)了峰值分裂。

圖15是耦合系統(tǒng)以及組成部分的模態(tài)頻率和模態(tài)阻尼比。將耦合系統(tǒng)的模態(tài)分為三類:第一類是DABH主導(dǎo)的模態(tài),即耦合系統(tǒng)與DABH的模態(tài)頻率以及模態(tài)阻尼比基本一致;第二類是主結(jié)構(gòu)板主導(dǎo)的模態(tài),即耦合系統(tǒng)的模態(tài)頻率與主結(jié)構(gòu)板的模態(tài)頻率基本一致;第三類是產(chǎn)生明顯耦合作用的模態(tài),即耦合系統(tǒng)的模態(tài)頻率與DABH以及主結(jié)構(gòu)均不相同,出現(xiàn)了新的耦合模態(tài),其模態(tài)阻尼比比主結(jié)構(gòu)板的模態(tài)阻尼比要大。第三類的耦合模態(tài)頻率中,包含了268 Hz, 580 Hz以及1 040 Hz附近頻率,即圖15中綠色虛線圈出的模態(tài),它們分別對(duì)應(yīng)了DABH的同心圓振型模態(tài)頻率272.85 Hz, 594.50 Hz以及1 000.07 Hz, 實(shí)現(xiàn)了完美的DVA效應(yīng)。盡管DABH有豐富的模態(tài),但其與主結(jié)構(gòu)板發(fā)生耦合的模態(tài)并不多,第一類和第二類的系統(tǒng)模態(tài)并未發(fā)生耦合,DABH以及主結(jié)構(gòu)分別各自保持原有的模態(tài)特征,僅其中一個(gè)產(chǎn)生振動(dòng),另一個(gè)并不參與振動(dòng)。

圖15 耦合系統(tǒng)及其組成部分的模態(tài)阻尼比Fig.15 Modal damping ratios of coupled systems and different components

通過(guò)改變DABH結(jié)構(gòu)參數(shù),調(diào)整其模態(tài)頻率,可實(shí)現(xiàn)對(duì)主結(jié)構(gòu)板特定頻率的減振。為了驗(yàn)證這一推論,改變DABH的固有頻率,使之某階固有頻率與主結(jié)構(gòu)板相近。為避免阻尼材料的干擾,假設(shè)阻尼材料損耗因子為0,僅通過(guò)改變阻尼的厚度來(lái)改變DABH的固有頻率。當(dāng)阻尼層厚度為3.3 mm, DABH第24階固有頻率為272.85 Hz,其振型為同心圓振型,如圖16(b)所示,與主結(jié)構(gòu)板的第11階模態(tài)頻率267.85 Hz相近。當(dāng)阻尼層厚度為2.1 mm時(shí),由于阻尼厚度的降低引起附加質(zhì)量下降導(dǎo)致模態(tài)頻率向高頻移動(dòng),此時(shí)DABH的第3階固有頻率為66.67 Hz,其振型為同心圓振型,如圖16(a)所示,與主結(jié)構(gòu)的第2階模態(tài)頻率68.02 Hz相近,DABH的第33階固有頻率為371.03 Hz,其振型為非同心圓振型,如圖16(c)所示,與主結(jié)構(gòu)的第12階模態(tài)頻率366.04 Hz相近。圖17(a)、圖17(b)和圖17(c)分別是66.67 Hz、272.85 Hz和371.03 Hz的強(qiáng)迫響應(yīng)結(jié)果,可見(jiàn),兩個(gè)同心圓振型對(duì)應(yīng)頻率的峰值都發(fā)生了峰值分裂,展示了完美的DVA效應(yīng),而非同心圓振型對(duì)應(yīng)的頻率371.03 Hz,其峰值并未發(fā)生分裂。表明通過(guò)改變DABH結(jié)構(gòu)參數(shù),調(diào)整其模態(tài)頻率,可實(shí)現(xiàn)對(duì)主結(jié)構(gòu)板特定頻率的減振。

圖16 DABH的模態(tài)振型Fig.16 Modal Shapes of DABH

圖17 主結(jié)構(gòu)板的振動(dòng)響應(yīng)MSVFig.17 MSV of the coupled structure

3 結(jié) 論

本文針對(duì)碟形聲學(xué)黑洞與主結(jié)構(gòu)板的耦合系統(tǒng),在Rayleigh-Ritz法框架下,選擇高斯函數(shù)作為基函數(shù),建立了其半解析分析模型。研究了碟形聲學(xué)黑洞結(jié)構(gòu)參數(shù)以及連接位置對(duì)主結(jié)構(gòu)板振動(dòng)響應(yīng)的影響規(guī)律,揭示了DABH寬頻調(diào)諧減振機(jī)理。研究結(jié)論如下:

(1)利用Kirchhoff-Love薄板理論,考慮面內(nèi)外位移,通過(guò)高斯基函數(shù)的選擇、形函數(shù)篩選以及人工彈簧法,建立了基于高斯展開(kāi)法的半解析模型。結(jié)果表明,半解析建模方法準(zhǔn)確、高效,為機(jī)理分析和參數(shù)優(yōu)化提供了計(jì)算手段。

(2)DABH具有優(yōu)異的能量聚集效應(yīng)。減少截?cái)嗪穸?、增大聲學(xué)黑洞半徑以及擴(kuò)展延伸平臺(tái)長(zhǎng)度均能增強(qiáng)其ABH的能量聚集效應(yīng);在邊緣尖端處粘貼阻尼材料以及將DABH安裝在主結(jié)構(gòu)板的振幅較大處,均可提升DABH對(duì)主結(jié)構(gòu)板的減振作用。

(3)利用DABH豐富的模態(tài),通過(guò)調(diào)整DABH的固有頻率,可最大限度地實(shí)現(xiàn)DABH與主結(jié)構(gòu)的模態(tài)耦合,使DABH起到完美的DVA調(diào)諧減振作用,有效降低主結(jié)構(gòu)板某些特定頻率的振動(dòng)響應(yīng),達(dá)到寬頻調(diào)諧減振的目的。