基于定位法線的工件最少定位點(diǎn)布局規(guī)劃方法

王友利，張鐸，王曉慧

（太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山西太原 030024）

0 前言

機(jī)床夾具設(shè)計(jì)中，工件定位方案的確定是其首要內(nèi)容，建立定位點(diǎn)布局在定位方案規(guī)劃過程中起著承前啟后的作用，其不僅決定了定位方案實(shí)際限制的自由度，而且對(duì)定位基準(zhǔn)以及定位元件的選擇有一定的參考意義。王曉慧等［1-2］利用定位元件與工件接觸點(diǎn)的數(shù)量及其幾何關(guān)系，提出了定位法線幾何定理，用于判斷定位方案所限制的自由度。陳廣鋒等［3］利用規(guī)則推理與模糊評(píng)判的方式，根據(jù)工件信息確定定位方案。田韶鵬等［4］利用矩陣表示工件定位點(diǎn)到加工特征關(guān)鍵點(diǎn)處的誤差，以矩陣特征值建立目標(biāo)函數(shù)對(duì)6 個(gè)定位點(diǎn)位置進(jìn)行優(yōu)化，從而獲取定位點(diǎn)布局。秦國(guó)華等［5］將工件定位方案與齊次方程組解的性質(zhì)相結(jié)合，判斷定位方案的合理性。吳玉光［6］通過對(duì)于基準(zhǔn)定位能力的判斷，進(jìn)行定位方案的規(guī)劃。WU 等［7］利用模糊評(píng)判結(jié)合遺傳算法，實(shí)現(xiàn)對(duì)于定位點(diǎn)的布局與優(yōu)化。馬杰等人［8］利用有限元方法，引入帶有懲罰因子的彈簧接觸模型，對(duì)定位點(diǎn)布局進(jìn)行優(yōu)化。彭賀明、吳玉光［9］利用定位點(diǎn)的數(shù)量和布局表示基準(zhǔn)約束自由度的能力，從而確定定位方案。秦國(guó)華等［10-11］通過定位點(diǎn)處法向量信息，判斷定位方案的合理性并對(duì)其加以修正。韓霞等人［12］建立了組合定位中各定位元件限制自由度的分析準(zhǔn)則，便于進(jìn)行定位方案的設(shè)計(jì)與優(yōu)化。姜坤等人［13］以準(zhǔn)確性和定位穩(wěn)定性為指標(biāo)，針對(duì)3-2-1 約束對(duì)移動(dòng)點(diǎn)連續(xù)搜索，從而獲取定位點(diǎn)布局。秦國(guó)華等［14］建立了保證定位確定性的定位點(diǎn)總體數(shù)目條件，進(jìn)而根據(jù)工藝要求確定定位方案。IVANOV 等［15］通過工件的幾何參數(shù)，確定工件與定位元件之間的空間幾何關(guān)系，從而得出定位方案。

上述研究中所提出的方法對(duì)于工件定位方案規(guī)劃有著重要作用，但這些方法在規(guī)劃方案的過程中需進(jìn)行大量數(shù)學(xué)運(yùn)算或使用算法優(yōu)化，對(duì)使用者提出了較高的要求，在企業(yè)中大范圍推廣的難度較大。因此，一種簡(jiǎn)單、易行，且能夠針對(duì)工序需求自由度規(guī)劃定位點(diǎn)初始布局的方法，對(duì)于定位點(diǎn)布局建立的合理與否起著至關(guān)重要的作用。

本文作者以實(shí)現(xiàn)最少定位點(diǎn)限制工序所需限制自由度為目標(biāo)，以定位法線數(shù)量及其幾何關(guān)系的幾何定理為依據(jù)，建立定位法線與自由度約束的關(guān)系模型，由此規(guī)劃工件定位方案，從而建立工件最少定位點(diǎn)初始布局。

1 自由度約束與定位法線的關(guān)系

1.1 定位法線概述［1］

定位法線是指工件與定位元件接觸點(diǎn)處的法線，如圖1（a）所示，而定位法面則是由兩條或多條處于同一平面的定位法線組成，如圖1（b）所示。

圖1 定位法線原理Fig.1 Principle of location normal：（a）location normal line；（b）location normal plane

定位法線幾何定理，用于確定法線能夠限制的自由度：

定理1 一條法線能限制此法線方向的移動(dòng)自由度；

定理2 兩條同方向法線組成的定位法面，能限制該法面垂線方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度與法線方向的移動(dòng)自由度；

定理3 3 條同方向且不共面法線，可以組成2個(gè)定位法面，能限制2 個(gè)法面各自垂線方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度與法線方向的移動(dòng)自由度。

1.2 定位法線表示方式

本文作者將定位法線用字母L加下標(biāo)的方式表示，其中下標(biāo)為字母u、v和w，表示笛卡爾坐標(biāo)系的3 個(gè)方向；定位法面用字母P加下標(biāo)的方式表示，其中下標(biāo)為字母uv、uw和vw，表示空間坐標(biāo)系中3個(gè)相互正交的平面；若某一方向有兩條或者多條定位法線，則用定位法線加定位法面的組合表示，如LvPvw表示vw平面上v方向的法線。

1.3 自由度需求的定位法線數(shù)量及方向的確定

由工件定位的幾何定理可以得出推論，用于確定限制工件自由度所需的法線數(shù)量及其方向。

推論1 單移動(dòng)自由度：若需限制工件某一個(gè)方向的移動(dòng)自由度，所需定位法線數(shù)量為1 條，且法線方向?yàn)樵撘苿?dòng)自由度方向。

推論2 轉(zhuǎn)動(dòng)自由度：（1）若需限制工件某一個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，所需定位法線數(shù)量為2 條，且2條法線的起點(diǎn)連成的直線與該轉(zhuǎn)動(dòng)自由度方向垂直；（2）若需同時(shí)限制工件在一個(gè)平面內(nèi)的2 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，只需在限制其中一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度所需法線方向添加1 條法線，3 條法線不共面，且3 條法線的起點(diǎn)在該平面內(nèi)。

結(jié)合推論1 和推論2 可知，限制工件某一方向轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的2 條法線或限制平面內(nèi)的2 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的3 條法線必限制了法線方向的移動(dòng)自由度。

推論3 單移動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)自由度組合：（1）若需限制工件某一個(gè)方向的移動(dòng)自由度和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，所需定位法線數(shù)量為2 條，且2 條法線的起點(diǎn)連成的直線與該轉(zhuǎn)動(dòng)自由度方向垂直；（2）若需限制工件某一個(gè)方向的移動(dòng)自由度和與其正交的2 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，則需要3 條與移動(dòng)自由度同方向的不共面法線，且3條法線的起點(diǎn)在該平面內(nèi)。

由推論可知限制轉(zhuǎn)動(dòng)自由度所需的定位法線信息如表1 所示。

表1 限制轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的定位法線信息Tab.1 The location normal information with limiting the rotational freedom

2 定位法線規(guī)劃

2.1 設(shè)計(jì)過程

將工件加工時(shí)需要限制的自由度采用矩陣形式表達(dá)，矩陣的第一行元素代表自由度的類型及方向，第二行元素為其對(duì)應(yīng)的值，該數(shù)值類型為布爾型，采用b加下標(biāo)字母表示，下標(biāo)字母與第一行元素相對(duì)應(yīng)。當(dāng)工件加工要求需限制某一自由度時(shí)，bi＝1，此自由度稱為真值元素，否則bi＝0，稱為非真值元素。按照上述自由度模型的表達(dá)方式，工件加工要求應(yīng)限制自由度數(shù)學(xué)模型為

工件定位點(diǎn)布局的定位法線布置過程如下：

第一步，從自由度模型中獲取移動(dòng)自由度數(shù)學(xué)模型：

第二步，從自由度模型中獲取轉(zhuǎn)動(dòng)自由度數(shù)學(xué)模型：

第三步，為規(guī)劃最少定位點(diǎn)布局，定義一種邏輯減運(yùn)算：

運(yùn)算法則如表2 所示。

表2 邏輯減運(yùn)算法則Tab.2 The logical subtraction algorithm

第四步，確定定位法線數(shù)量及方向。

定位法線數(shù)量和方向的確定規(guī)則及過程如下：

使用字母N加下標(biāo)的方式表示自由度模型中真值元素的個(gè)數(shù)，下標(biāo)為δi（i＝r、s、t），表示不同類型的自由度模型，判斷Nδs、Nδt、Nδr執(zhí)行對(duì)應(yīng)操作：

（1）若δr＝0，只需限制移動(dòng)自由度，為δt中的真值元素提供一條對(duì)應(yīng)的法線，定位法線規(guī)劃結(jié)束。

（2）若Nδr≠0 但Nδs＝0 時(shí)，需要限制同一個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和移動(dòng)自由度，根據(jù)表1，依次利用δt中真值元素為δr中的真值元素提供對(duì)應(yīng)的法線，直到為δr中的真值元素提供全部的法線，獲得法線的數(shù)量和方向，定位法線規(guī)劃結(jié)束。

（3）若Nδr≠0 且Nδs≠0 時(shí)，需要限制的移動(dòng)自由度與轉(zhuǎn)動(dòng)自由度不全相同，根據(jù)表1，依次利用δs中真值元素為δr中的真值元素提供對(duì)應(yīng)的法線，并提供δt中真值元素對(duì)應(yīng)的法線，直到為δr和δt中的真值元素提供全部的法線后結(jié)束，獲得法線的數(shù)量和方向，定位法線規(guī)劃結(jié)束。

2.2 定位法線規(guī)劃結(jié)果

以第2.1 節(jié)的最少定位點(diǎn)布局規(guī)劃過程可以得到不同自由度模型的定位法線信息如表3 所示。

表3 不同類型自由度模型定位法線信息Tab.3 The location normal information with different types of degrees of freedom model

3 定位點(diǎn)初始布局與定位法線的關(guān)系

定位點(diǎn)初始布局包含：（1）定位點(diǎn)所處表面信息；（2）同一表面上多個(gè)定位點(diǎn)的位置關(guān)系。依據(jù)定位法線信息得出定位點(diǎn)布局的方式如下所示：

（1）搜索定位點(diǎn)所在表面

定位法線代表的定位點(diǎn)位于正交于此法線的表面上，根據(jù)定位法線的方向，可以確定該法線代表的定位所在表面的坐標(biāo)系信息。確定一個(gè)表面后，在定位法線集合中減去此表面所提供的定位法線，依據(jù)剩余的定位法線信息搜索下一表面。重復(fù)上述操作，直至定位法線集合為空，定位點(diǎn)所在表面搜索完畢。

（2）獲取同一表面上多個(gè)定位點(diǎn)位置關(guān)系

一個(gè)表面有多條定位法線時(shí)，定位法面表示同一平面內(nèi)定位點(diǎn)的位置關(guān)系。如2 條定位法線Lv組成的定位法面Puv，3 條定位法線Lw組成的2 個(gè)定位法面Puw、Pvw，可以得到定位點(diǎn)布局如圖2 所示。需要注意的是，當(dāng)3 條同一方向的法線組合為2 個(gè)法面時(shí)，定位點(diǎn)布局并不要求2 個(gè)法面正交，只需確保3條法線不在同一平面即可。

圖2 根據(jù)定位法線信息確定的定位點(diǎn)布局Fig.2 Location points layout determined by location normal information

4 實(shí)例分析

圖3 為某工件加工簡(jiǎn)圖，工件上的?16 mm 通孔為待加工表面，通過工序需求限制的自由度，獲取自由度數(shù)學(xué)模型

圖3 工件加工工序簡(jiǎn)圖Fig.3 Workpiece processing process diagram

對(duì)δt、δr進(jìn)行邏輯減運(yùn)算

根據(jù)自由度模型可得：Nδt＝2，Nδr＝3，Nδs＝0，依據(jù)表4 可知此自由度模型的定位點(diǎn)布局有兩種方式，定位法線信息為

（1）LuPuv×2、LuPuw、LvPvw×2；

（2）LuPuw×2、LvPuv×2、LvPvw。

按照表1 備注中的方式對(duì)下標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)換：u為模型中第一個(gè)真值元素，若u＝x，則δt中的另一個(gè)真值元素v＝z，剩余元素w＝y(tǒng)，可得定位法線信息為

（1）LxPxz×2、LxPxy、LzPyz×2；

（2）LxPxy×2、LzPxz×2、LzPyz。

根據(jù)定位法線信息獲取定位點(diǎn)布局：

兩套定位方案中，定位法線的方向均為x、z，首先根據(jù)Lx法線確定第一個(gè)定位表面，與x方向正交的平面為Pyz，則Lx法線所處平面為Pyz，在定位法線信息中刪除該表面所提供的法線。剩余法線信息為L(zhǎng)z，與z方向正交的平面為Pxy，則Lz法線位于Pxy平面，第二個(gè)定位表面確定，此時(shí)定位法線信息集合為空，定位表面的坐標(biāo)系信息搜索完畢。根據(jù)法面信息可得定位點(diǎn)位置關(guān)系。

由于定位法線信息僅提供了定位點(diǎn)所在表面的坐標(biāo)系信息，而此工件中與Pxy、Pyz平面平行的表面不止一個(gè)，所以結(jié)合定位基準(zhǔn)優(yōu)選方式，在平行于Pxy或Pyz的所有平面中選擇定位基準(zhǔn)，根據(jù)基準(zhǔn)重合原則，平行于Pxy平面的工件底面、平行于Pyz的工件左側(cè)表面，均與待加工特征有公差要求，故選擇這兩個(gè)表面作為定位基準(zhǔn)。圖4 為搜索定位表面及獲取定位點(diǎn)布局的過程與結(jié)果。

圖4 定位方案規(guī)劃Fig.4 Locating schemes planning：（a）the first set of scheme；（b）the second set of scheme

第一套定位點(diǎn)布局在Pxy平面上布置2 個(gè)定位點(diǎn)，第二套定位方案中在Pxy平面上布置3 個(gè)定位點(diǎn)。由于Pxy為工件底面，在實(shí)際生產(chǎn)過程中，底面布置2個(gè)定位點(diǎn)，即將底面作為第二基準(zhǔn)，并不能保證工件的穩(wěn)定性，且待加工特征與底面有公差要求，從定位的穩(wěn)定性以及減小定位誤差兩方面考慮，都應(yīng)將底面作為定位點(diǎn)數(shù)量最多的表面，即第一基準(zhǔn)，故選用第二套定位點(diǎn)布局。

5 結(jié)語

將工序需求限制自由度采用矩陣形式表達(dá)，通過邏輯減運(yùn)算法則建立工件的自由度與移動(dòng)自由度和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的關(guān)系，以此關(guān)系為準(zhǔn)則對(duì)自由度模型分類；基于定位法線的工件定位的幾何定理，推論出工件自由度與定位法線的集合關(guān)系，以此為基礎(chǔ)得出定位法線的布置方式。文中定位點(diǎn)布局是基于工序需求限制自由度建立的，每個(gè)定位點(diǎn)都承擔(dān)了限制工序需求自由度的任務(wù)，因此是最少定位點(diǎn)布局。

文中的定位點(diǎn)初始布局是基于定位法線信息獲取的，此方式提供的定位點(diǎn)所在表面為坐標(biāo)系信息，而不是某一個(gè)具體的表面。若工件在此方向存在多個(gè)平行的表面，或存在外圓柱面、孔等非平面特征，則需要通過文中所得出的結(jié)果作為參考，縮小定位基準(zhǔn)的選擇范圍，通過定位基準(zhǔn)優(yōu)選的方式，實(shí)現(xiàn)定位基準(zhǔn)與定位點(diǎn)布局的并行設(shè)計(jì)，從而獲得具體的定位點(diǎn)布局，這也是下一步研究的方向。