RV 減速器擺線(xiàn)輪齒廓修形對(duì)溫度的影響

史瑞杰，鄭鵬，張宏毅

（1.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧沈陽(yáng) 110870；2.沈陽(yáng)航天三菱汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)制造有限公司，遼寧沈陽(yáng) 110179）

0 前言

隨著工業(yè)自動(dòng)化的不斷發(fā)展，機(jī)器人技術(shù)已成為現(xiàn)代制造業(yè)的重要支柱。RV 減速器作為機(jī)器人關(guān)節(jié)的關(guān)鍵部件，其性能和可靠性對(duì)機(jī)器人的工作效率具有重要影響。然而，由于RV 減速器的高輸入轉(zhuǎn)速和降速比，熱效應(yīng)問(wèn)題成為制約其性能的重要因素之一，因此對(duì)RV 減速器進(jìn)行熱分析具有重要的理論和工程實(shí)際意義。擺線(xiàn)齒輪是RV 減速器的核心部件之一，擺線(xiàn)齒輪的溫度場(chǎng)分析對(duì)于提高RV 減速器的傳動(dòng)效率和可靠性具有重要意義。

在實(shí)際生產(chǎn)中，為了補(bǔ)償擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)的制造誤差、便于拆卸和安裝，同時(shí)改善潤(rùn)滑情況和增加傳動(dòng)效率，需要對(duì)擺線(xiàn)齒輪進(jìn)行修形處理［1］。何衛(wèi)東等［2］分析了擺線(xiàn)輪齒廓修形對(duì)回差的影響，并建立數(shù)學(xué)模型；孫章棟等［3］研究了擺線(xiàn)輪組合修形方式對(duì)摩擦潤(rùn)滑特性規(guī)律的影響；陳馨雯等［4］研究了擺線(xiàn)輪修形對(duì)接觸受力和傳動(dòng)誤差的影響；喬雪濤等［5］對(duì)擺線(xiàn)輪修形對(duì)傳動(dòng)精度的影響進(jìn)行探討。目前對(duì)于擺線(xiàn)輪修形問(wèn)題的影響研究較為廣泛，但擺線(xiàn)輪修形方式對(duì)溫度影響的研究卻鮮有提及。因此，本文作者通過(guò)理論計(jì)算與仿真分析，探究擺線(xiàn)輪修形對(duì)溫度的影響規(guī)律，研究結(jié)果為擺線(xiàn)輪的溫度場(chǎng)問(wèn)題和修形設(shè)計(jì)提供一定的指導(dǎo)意義。

1 擺線(xiàn)輪瞬時(shí)摩擦熱

RV 減速器是二級(jí)減速器，結(jié)構(gòu)如圖1 所示。擺線(xiàn)齒輪與針齒嚙合過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生接觸壓力和相對(duì)滑動(dòng)，滑動(dòng)過(guò)程中因摩擦產(chǎn)生的熱量被擺線(xiàn)齒輪和針齒吸收形成相應(yīng)的升溫，有可能使傳動(dòng)機(jī)構(gòu)發(fā)生熱變形、產(chǎn)生熱膠合進(jìn)而降低傳動(dòng)精度。

圖1 RV-E 系列減速器結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of RV-E series reducer

擺線(xiàn)齒輪與針齒嚙合過(guò)程中產(chǎn)生的瞬時(shí)摩擦熱量計(jì)算公式為

式中：σH為齒面的接觸應(yīng)力；vr為輪齒和針齒之間的相對(duì)滑動(dòng)速度；f為輪齒和針齒間的摩擦因數(shù)［6］；γ為能量轉(zhuǎn)換系數(shù)，一般取0.9～0.95 之間。

1.1 平均接觸應(yīng)力的計(jì)算

擺線(xiàn)齒輪與針齒的接觸瞬間可以看作是兩圓柱體間的接觸，接觸情況符合赫茲接觸，且擺線(xiàn)齒輪和針齒的材料均為GCr15，因此可以使用簡(jiǎn)化后赫茲公式來(lái)計(jì)算最大接觸應(yīng)力，平均接觸應(yīng)力為其最大接觸應(yīng)力的π／4 倍［7］。計(jì)算公式如下：

式中：ρei為當(dāng)量曲率半徑；Fi為法向接觸壓力；b為齒寬；E為彈性模量，取2.06×105MPa。

1.1.1 當(dāng)量曲率半徑的計(jì)算

擺線(xiàn)齒輪曲率半徑可由以下公式求得：

式中：φi為嚙合相位角；K為短幅系數(shù)，按照下式計(jì)算：

針齒與擺線(xiàn)輪的嚙合點(diǎn)的當(dāng)量曲率半徑為

1.1.2 法向接觸壓力的計(jì)算

（1）標(biāo)準(zhǔn)齒廓接觸壓力的計(jì)算

擺線(xiàn)齒輪傳動(dòng)中受力情況如圖2 所示，齒輪在轉(zhuǎn)矩的驅(qū)動(dòng)下運(yùn)動(dòng)，有一半的輪齒參與嚙合，每個(gè)嚙合齒上的瞬時(shí)壓力的作用方向均為瞬心［8］。

圖2 擺線(xiàn)輪受力簡(jiǎn)圖Fig.2 Stress diagram of cycloid wheel

齒廓受力計(jì)算公式如下：

式中：Tc為單片擺線(xiàn)輪輸出轉(zhuǎn)矩，因減速器為兩片擺線(xiàn)輪，所以可以近似由Tc＝0.55T進(jìn)行計(jì)算。

（2）修形齒廓接觸壓力的計(jì)算

本文作者以某型號(hào)RV-E 系列減速器為研究對(duì)象，其相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 減速器相關(guān)參數(shù)Tab.1 Relevant parameters of reducer

在實(shí)際工作中，擺線(xiàn)輪齒廓修形一般采用等距＋移距的組合修形方式。因負(fù)等距＋負(fù)移距無(wú)法生成合理嚙合間隙，故修形多采用正等距＋負(fù)移距、負(fù)等距＋正移距、正等距＋正移距3 種組合修形方式［9］。給定相同的徑向間隙Δ＝0.006 mm，按照文獻(xiàn)［10］中的方法得到3 種修形方式的最佳修形量如表2 所示。

表2 最佳修形量Tab.2 Optimal modification amounts

修形齒廓與針齒嚙合時(shí)，不再是無(wú)間隙的嚙合，初始狀態(tài)下只有一對(duì)輪齒嚙合［11］，其余輪齒與針齒之間存在初始嚙合間隙，計(jì)算方式如下：

式中：Δrrp為等距修形量；Δrp為移距修形量。

3 種組合修形方式的初始嚙合間隙如圖3 所示。

圖3 初始嚙合間隙Fig.3 Initial engagement clearances

修形齒廓傳動(dòng)中第i個(gè)齒的受力可以表示為

式中：δi為各嚙合點(diǎn)的總變形量；δmax為受力最大的一對(duì)輪齒的變形量；Fmax為最大受力。各參數(shù)計(jì)算方式如下：

式中：fmax為受力最大齒與針齒銷(xiāo)的彎曲變形量，變形量小可以忽略［12］；wmax為受力最大齒與針齒的接觸變形量；m為第m齒開(kāi)始嚙合；n為第n齒結(jié)束嚙合；μ為泊松比0.3；E為彈性模量2.06×105MPa；rc為擺線(xiàn)輪的節(jié)圓半徑，rc＝azc。

當(dāng)傳遞轉(zhuǎn)矩時(shí)，輪齒與針齒之間的總變形量大于初始嚙合間隙時(shí)，輪齒與針齒發(fā)生嚙合［13］，否則不會(huì)嚙合，這兩條曲線(xiàn)產(chǎn)生兩個(gè)交點(diǎn)對(duì)應(yīng)兩個(gè)嚙合相位角，處于這兩個(gè)嚙合相位角之間的輪齒都處于嚙合狀態(tài)。

因?yàn)橛?jì)算Fmax時(shí)需要δmax的數(shù)值，而計(jì)算δmax時(shí)又需要Fmax的數(shù)值，所以需要給出一個(gè)初始的Fmax的數(shù)值，由Fmax0開(kāi)始迭代，計(jì)算公式如下：

綜上所述，F(xiàn)max的迭代流程如圖4 所示。

圖4 迭代流程Fig.4 Iteration flow

整合以上數(shù)據(jù)并代入公式（2）中可以得到標(biāo)準(zhǔn)齒廓與修形齒廓所受的應(yīng)力如圖5 所示。隨著嚙合范圍的減小，輪齒所受壓力與應(yīng)力增大，修形前后應(yīng)力最大位置隨嚙合范圍的減小而前移。

圖5 應(yīng)力對(duì)比Fig.5 Stress comparison

1.2 相對(duì)滑動(dòng)速度的計(jì)算

此次分析針齒固定且無(wú)針套的相對(duì)滑動(dòng)速度，計(jì)算公式［14］如下：

式中：ωH、nH分別為擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的輸入軸的角速度和轉(zhuǎn)速。

1.3 摩擦因數(shù)的計(jì)算

摩擦因數(shù)的數(shù)值與多種因素相關(guān)，可由下式計(jì)算不同嚙合位置的摩擦因數(shù)：

式中：x為嚙合處的粗糙度因子；η為潤(rùn)滑油動(dòng)力黏度；Fti為嚙合處的切向載荷；vn為切向速度；s1、s2為齒輪與針齒的表面粗糙度；d為擺線(xiàn)輪的分度圓直徑。

整合以上數(shù)據(jù)并代入公式（1）中進(jìn)行計(jì)算，得出擺線(xiàn)齒輪與針齒嚙合過(guò)程中的瞬時(shí)摩擦熱的計(jì)算結(jié)果如圖6 所示，擺線(xiàn)輪修形前后瞬時(shí)摩擦熱量的最大數(shù)值基本一致，但峰值的位置會(huì)隨著嚙合范圍的減小而發(fā)生前移。

圖6 瞬時(shí)熱量對(duì)比Fig.6 Instantaneous heat comparison

2 嚙合的周期性熱量

擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)工作過(guò)程中摩擦產(chǎn)生的熱量分別傳遞給針齒和擺線(xiàn)齒輪，引入一個(gè)分配因子β進(jìn)行熱量分配。齒輪的瞬時(shí)摩擦熱量可以表示為

擺線(xiàn)齒輪的輪齒與針齒的嚙合是周期性的，所以熱量在單個(gè)輪齒的產(chǎn)生也呈周期性變化，在計(jì)算擺線(xiàn)齒輪的穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)時(shí)還需要把計(jì)算得出的瞬時(shí)摩擦熱量平均分配到擺線(xiàn)齒輪輪齒的每一個(gè)嚙合周期內(nèi)。計(jì)算過(guò)程［7］如下：

式中：qi為不同嚙合位置的熱量；T為嚙合周期；aH為接觸面的半寬，由赫茲公式演化而來(lái)。

計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖7，周期熱量隨著嚙合范圍的減小而增大，峰值位置仍處于同一嚙合相位角上。

圖7 周期熱量對(duì)比Fig.7 Cycle heat comparison

3 齒輪表面對(duì)流換熱

在擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)工作過(guò)程中，產(chǎn)生的摩擦熱量會(huì)傳遞給擺線(xiàn)齒輪和針齒，剩下的熱量通過(guò)與潤(rùn)滑脂的對(duì)流散失。

齒輪齒面對(duì)流換熱系數(shù)計(jì)算公式［15］：

齒輪端面對(duì)流換熱系數(shù)計(jì)算公式：

式中：λ為導(dǎo)熱率；ω為擺線(xiàn)輪自轉(zhuǎn)角速度；ν為運(yùn)動(dòng)黏度；ρ為密度；c為比熱容。

4 穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)有限元分析

擺線(xiàn)齒輪在與針齒嚙合的過(guò)程中產(chǎn)生摩擦熱使得齒面齒輪溫度上升，上升的溫度傳遞給整個(gè)擺線(xiàn)齒輪和針齒，并通過(guò)對(duì)流散失一部分熱量，最終整個(gè)齒輪的溫度會(huì)趨于平衡達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)，稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)溫度。

在有限元分析軟件中設(shè)置材料熱傳導(dǎo)系數(shù)為44 W／（m·℃），施加邊界條件，設(shè)置環(huán)境溫度為22 ℃并求解，計(jì)算得到的結(jié)果如圖8 和圖9 所示。

圖8 標(biāo)準(zhǔn)齒廓整齒（a）及單齒（b）溫度場(chǎng)Fig.8 Temperature fields of whole tooth（a）and single tooth（b）with standard tooth profile

圖9 修形齒廓整齒及單齒溫度場(chǎng)Fig.9 Temperature fields of whole tooth and single tooth with modified tooth profile：（a）positive isometric＋negative displacement correction；（b）negative isometric＋positive displacement correction；（c）positive isometric＋positive displacement correction

從圖9 可以看出：熱量沿齒寬方向呈現(xiàn)對(duì)稱(chēng)分布，沿徑向分布梯度變化較大，嚙合區(qū)域溫度明顯高于非嚙合區(qū)域。達(dá)到穩(wěn)態(tài)以后齒輪的最高溫度為41.7 ℃。

修形齒廓溫度分布規(guī)律與標(biāo)準(zhǔn)齒廓大致相同，3種組合修形方式均可以使擺線(xiàn)輪穩(wěn)態(tài)溫度降低。降溫效果由小到大分別為正等距＋負(fù)移距、負(fù)等距＋正移距、正等距＋正移距。由于修形后齒輪的嚙合范圍減小，在溫度場(chǎng)的溫度分布相較于標(biāo)準(zhǔn)齒廓更加集中，嚙合處的溫度梯度的密集程度隨著嚙合范圍的減小而增加。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文作者在假定針齒與針齒套不產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)的前提下，通過(guò)對(duì)擺線(xiàn)齒輪的標(biāo)準(zhǔn)齒廓以及組合修形后的齒廓分別計(jì)算并進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)論如下：

（1）3 種組合修形方式產(chǎn)生的初始嚙合間隙中，正等距＋正移距修形產(chǎn)生的嚙合間隙遠(yuǎn)大于其余兩種修形方式，潤(rùn)滑空間更大。

（2）齒輪修形前后嚙合產(chǎn)生的瞬時(shí)摩擦熱量最大值基本保持不變，峰值位置會(huì)發(fā)生變化；周期熱量隨嚙合范圍的減小而增大，且熱量峰值集中于輪齒的相同嚙合相位角上。

（3）擺線(xiàn)齒輪達(dá)到穩(wěn)態(tài)溫度后，溫度沿齒寬方向呈對(duì)稱(chēng)分布。常用組合修形方式均可以減低齒輪溫度，在相同徑向間隙為0.006 mm 時(shí)，降溫效果最佳的修形方式為正等距＋正移距修形。修形齒廓單齒溫度的集中程度大于標(biāo)準(zhǔn)齒廓，且隨嚙合范圍的減小而增大。