模糊散布熵及其應(yīng)用

胡保華，朱宗俊，金飛翔，魯翠萍，修 磊，王 勇

1.合肥學(xué)院 先進(jìn)制造工程學(xué)院，合肥 230601

2.安徽省智能車(chē)輛控制與集成設(shè)計(jì)技術(shù)工程研究中心，合肥 230601

3.安徽中醫(yī)藥大學(xué)第一附屬醫(yī)院 針灸康復(fù)科，合肥 230031

4.合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，合肥 230009

熵是度量數(shù)據(jù)不規(guī)則性或不確定性的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)指標(biāo)[1]。大多數(shù)熵方法是基于香農(nóng)熵（Shannon entropy）、條件熵（conditional entropy），兩者分別表示時(shí)間序列中信息量和信息產(chǎn)生率[2-3]。

基于信息論方法，結(jié)合香農(nóng)熵和條件熵，樣本熵（sample entropy，SamPen）[4]、模糊熵（fuzzy entropy，F(xiàn)uzEn）[5]、散布熵（dispersion entropy，DispEn）[6]等非線(xiàn)性動(dòng)力方法得到了發(fā)展。SampEn在條件熵的基礎(chǔ)上量化了時(shí)間序列的不規(guī)則程度，已廣泛應(yīng)用于生理和非生理信號(hào)分析應(yīng)用領(lǐng)域[7-9]。SampEn[4]表示m個(gè)樣本點(diǎn)的兩相似序列在下一個(gè)樣本處保持相似的條件概率的負(fù)自然對(duì)數(shù)，與近似熵相比在計(jì)算概率時(shí)消除模板自匹配，因此在信號(hào)處理方面表現(xiàn)出更好的性能[10]。但是樣本熵仍存在一些問(wèn)題，如熵值不連續(xù)，對(duì)相似容差變化以及對(duì)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度較為敏感等[11]，有研究證實(shí)樣本熵對(duì)毛刺噪聲信號(hào)較敏感[12]。

為了解決SampEn值未定義的問(wèn)題，Xie等人[5]提出了模糊熵算法。FuzEn的計(jì)算采用模糊隸屬度函數(shù)，有效地避免SampEn算法中使用Heaviside函數(shù)來(lái)確定匹配的存在而產(chǎn)生的硬閾值。隸屬函數(shù)類(lèi)型包括有三角形函數(shù)、梯形函數(shù)及指數(shù)函數(shù)等[13-14]。然而對(duì)于短時(shí)信號(hào)來(lái)說(shuō)，F(xiàn)uzEn仍然可能導(dǎo)致不可靠的熵值。為解決SampEn和FuzEn的局限性，Rostaghi等人[6]結(jié)合Shannon熵和色散模式提出了散布熵。

與現(xiàn)有方法相比，DispEn具有以下優(yōu)點(diǎn)：（1）與樣本熵SampEn相比，DispEn處理短時(shí)信號(hào)不會(huì)有結(jié)果未定義的現(xiàn)象出現(xiàn)；（2）DispEn對(duì)噪聲較不敏感；（3）DispEn比SampEn快很多[15-17]。由于這些優(yōu)點(diǎn)，DispEn已被廣泛應(yīng)用于各種科學(xué)領(lǐng)域，包括生物醫(yī)學(xué)工程和神經(jīng)科學(xué)[18-20]，機(jī)械和工業(yè)工程[21-22]等。

DispEn計(jì)算步驟中初始時(shí)間序列經(jīng)過(guò)不同數(shù)學(xué)變換后最終被映射（量化）到一系列整數(shù)，命名為類(lèi)[6]。這個(gè)映射步驟（量化步驟）使用了取整函數(shù)，該方法類(lèi)似于樣本熵中的Heaviside函數(shù)，可能會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)中的一些有用信息被丟棄，使得DispEn與SampEn類(lèi)似，對(duì)參數(shù)選擇和信號(hào)長(zhǎng)度很敏感。此外，由于噪聲引起的時(shí)間序列振幅的微小變化也會(huì)改變量化序列，從而改變熵值。

為解決這些局限性，本文提出了一種新的模糊散布熵（fuzzy dispersion entropy，F(xiàn)uzzyDispEn）。該度量首先基于嵌入矩陣與散布模式的歐式距離確定閾值，在閾值范圍內(nèi)使用模糊隸屬函數(shù)取代DispEn中使用的取整函數(shù)來(lái)確定嵌入向量與散布模式的模糊隸屬度，根據(jù)模糊隸屬度確定每個(gè)散布模式出現(xiàn)的概率。使用模糊函數(shù)可以使信號(hào)信息在映射到色散模式時(shí)損失更小。

1 理論分析

1.1 標(biāo)準(zhǔn)散布熵

對(duì)于給定長(zhǎng)度N的時(shí)間序列x={x1,x2,…,xN}，散布熵計(jì)算步驟如下：

（1）首先，利用正態(tài)分布函數(shù)：

將xj(j=1,2,…,N)映射到y(tǒng)j(j=1,2,…,N),yj∈(0,1)。其中μ和σ2分別表示期望和方差。

（2）進(jìn)一步，通過(guò)線(xiàn)性變換：

將y再次映射到[1,2,…,c]的范圍內(nèi)。其中，R為取整函數(shù)，c為類(lèi)別個(gè)數(shù)。經(jīng)過(guò)步驟（1）和（2），時(shí)間序列x的每一個(gè)元素都被映射到[1,2,…,c]中。

（3）利用下式計(jì)算嵌入相量，其中m為嵌入維度，d為時(shí)延：

（5）計(jì)算每種散布模式的概率：

（6）最后，根據(jù)香農(nóng)熵定義，散布熵（DispEn）被定義為：

如果所有可能的散布模式具有相同的概率值，DispEn將達(dá)到最大值，其值為lncm，如噪聲信號(hào)。相反，當(dāng)只有一個(gè)不等于0的時(shí)，表明時(shí)間序列是完全確定或規(guī)則的，DispEn為最小值，如周期信號(hào)[6]。在本研究中，使用標(biāo)準(zhǔn)化的DispEn/lncm作為散布熵DispEn熵值。

1.2 模糊散布熵

從上述散布熵的定義可以看出，取整函數(shù)會(huì)將原始級(jí)數(shù)的每個(gè)成員賦給一個(gè)類(lèi)。這樣的處理方法與樣本熵的定義比較類(lèi)似，在定義相似容差r以后，樣本熵規(guī)定任何大于r的距離都被舍去，僅僅保留小于相似容差r的距離個(gè)數(shù)，因此散布熵和樣本熵都可以看作是基于單位階躍函數(shù)構(gòu)造的。但是，在現(xiàn)實(shí)物理世界中，很難明確地將一個(gè)輸入歸類(lèi)為某一個(gè)輸出，不同類(lèi)之間的邊界是模糊的，如果以單位階躍函數(shù)構(gòu)造樣本熵，實(shí)際時(shí)間序列的微小波動(dòng)也可能造成輸出熵值的劇烈波動(dòng)，傳統(tǒng)的定義散布熵的取整函數(shù)在處理時(shí)間序列時(shí)會(huì)呈現(xiàn)出不足。舉例來(lái)說(shuō)，若原始級(jí)數(shù)a=[1.5,1.5]，根據(jù)取整函數(shù)，a將被映射為[2，2]。如信號(hào)受到微弱干擾，a=[1.499，1.499]，則a將被映射為[1，1]，因此原始信號(hào)微小波動(dòng)也可能造成輸出熵值的劇烈波動(dòng)，從而造成散布熵對(duì)于參數(shù)選擇和噪聲值特別敏感。

因此，本文基于模糊熵，使用模糊隸屬度函數(shù)代替取整函數(shù)，定義每個(gè)相量對(duì)每個(gè)類(lèi)的隸屬度。根據(jù)模糊映射關(guān)系，一個(gè)給定的相量可以同時(shí)分配到多個(gè)類(lèi)，從而避免上述問(wèn)題。根據(jù)香農(nóng)熵定義，隸屬度函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足以下條件，首先不同類(lèi)的隸屬度之和等于1，其次要使一個(gè)隨機(jī)信號(hào)具有最大的熵值，理論上每個(gè)模式的概率應(yīng)該相等[5]。因此，所使用的模糊隸屬函數(shù)對(duì)隨機(jī)序列具有相等的相對(duì)基數(shù)，使得類(lèi)可以獲取相等的概率[23]。

鑒于上述規(guī)則，本文基于歐式距離采用如下規(guī)則的模糊函數(shù)。設(shè)定閾值r,yj不采用取整函數(shù)映射到[1,2,…,c]的范圍內(nèi)，而是利用歐式距離設(shè)定模糊隸屬度。對(duì)于步驟2，相比于散布熵通過(guò)取整函數(shù)將y再次映射到[1,2,…,c]的范圍內(nèi)，本研究不直接取整，而是采用如下步驟所示模糊映射函數(shù)：

（1）通過(guò)線(xiàn)性變換：將yj映射到c×yj+0.5。

（3）計(jì)算每種散布模式πv0v1…vm-1的概率，與散布熵取整后找尋數(shù)值均相等的散布模式不同，本研究首先定義嵌入相量，embd(i)=z(i:i+(m-1)×d),i=1:N-(m-1)×d；定義后計(jì)算嵌入相量與散布模式的歐式距離，選擇歐式距離小于設(shè)置閾值r的散布模式，根據(jù)歐氏距離的大小分配相對(duì)應(yīng)的散布模式出現(xiàn)的概率。

若對(duì)嵌入相量z(l:l+(m-1)×d)，有k個(gè)散布模式歐式距離小于r，距離矩陣為dis(k)，則每個(gè)散布模式的概率如下式所示：

（4）最后，基于香農(nóng)熵定義，模糊散布熵（FuzzyDispEn）被定義為：

同樣，在模糊散布熵的計(jì)算中，使用標(biāo)準(zhǔn)化的FuzzyDispEn/ln（cm）作為模糊散布熵熵值。

為進(jìn)一步說(shuō)明模糊散布熵的計(jì)算，取時(shí)間序列x={3.6，2.5，1.9，3.1，4.2，-2.3，3.1，4.6，8.3，6.8}，嵌入維度m=2，時(shí)延d=1，類(lèi)別c=3，則共有cm=32=9種散布模式，與文獻(xiàn)[13]一致。首先利用正態(tài)分布函數(shù)將時(shí)間序列映射到y(tǒng)={0.503，0.352，0.278，0.433，0.586，0.020，0.433，0.640，0.951，0.871}。如果是散布熵計(jì)算的話(huà)，對(duì)y進(jìn)一步處理后通過(guò)線(xiàn)性變換得到z3={2，2，1，2，2，1，2，2，3，3}，對(duì)應(yīng)[1，2]有2/9的出現(xiàn)概率，[2，1]有2/9的出現(xiàn)概率，[2，2]有3/9的出現(xiàn)概率，[2，3]有1/9的出現(xiàn)概率，[3，3]有1/9的出現(xiàn)概率，則相對(duì)應(yīng)的散布熵為DispEn=-((2/9)×ln(2/9)+(2/9)×ln(2/9)+(3/9)×ln(3/9)+(1/9)×ln(1/9)+(1/9)×ln(1/9))=1.735 1，標(biāo)準(zhǔn)化后熵值為0.693 1。

若是模糊散布熵計(jì)算，對(duì)y進(jìn)一步處理后通過(guò)線(xiàn)性變換得到z3={2.056 2，1.571 7，1.331 5，1.831 8，2.324 5，0.500，1.831 8，2.497 3，3.500，3.241 0}，對(duì)于嵌入向量[2.056 2，1.571 7]，其與散布模式的距離分別為{1.442 4，0.330 0，1.217 7，1.298 9，0.186 6，1.074 2，3.155 5，2.043 1，2.930 8}，根據(jù)上述算法，設(shè)置閾值r為1，[2，1]出現(xiàn)的概率為0.451 7，[2，2]出現(xiàn)的概率為0.548 3，以此類(lèi)推，最后得到相對(duì)應(yīng)的散布熵為FuzzyDispEn=-((0.055 7)×ln0.055 7+(0.168 6)×ln0.168 6+(0.034 8)×ln0.034 8+(0.195 3)×ln0.195 3+0.232 1×ln0.232 1+(0.003 9)×ln0.003 9+(0.143 2)×ln0.143 2+(0.166 4)×ln0.166 4)=1.834 2，標(biāo)準(zhǔn)化后熵值為0.834 8。

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與驗(yàn)證

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

2.1.1 高斯白噪聲

采用高斯白噪聲作為仿真信號(hào)，測(cè)試模糊散布熵與散布熵對(duì)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度和參數(shù)設(shè)置的敏感性。構(gòu)造序列長(zhǎng)度N=4 096的高斯白噪聲（white Gauss noise，WGN）序列，計(jì)算參數(shù)選擇為嵌入維數(shù)m=3、類(lèi)數(shù)c=4的DispEn和FuzzyDispEn，設(shè)置不同滑動(dòng)窗長(zhǎng)和幀移距離后計(jì)算每一幀信號(hào)熵值，以此為基礎(chǔ)測(cè)試DispEn和FuzzyDispEn的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度敏感性。對(duì)每個(gè)長(zhǎng)度為N=（512，1 024，2 048，4 096）的50個(gè)獨(dú)立的高斯白噪聲，分別計(jì)算嵌入維數(shù)m=3～5、類(lèi)數(shù)c=2～9的DispEn和FuzzyDispEn，參數(shù)m與c的增長(zhǎng)步長(zhǎng)均為1，以此驗(yàn)證算法數(shù)據(jù)長(zhǎng)度和參數(shù)敏感性。

2.1.2 Logistic混沌映射

Logistic混沌映射是最簡(jiǎn)單的一維混沌映射，經(jīng)典Logistic函數(shù)如下所示：

其中，參數(shù)μ∈(0,4]，x∈(0,1]。研究表明，當(dāng)μ∈[3.569 945 627,4]時(shí)，序列xn處于混沌狀態(tài)[24]。

本文利用如圖1所示的Logistic混沌測(cè)試模糊散布熵與散布熵對(duì)噪聲的敏感性。取μ為3.6～3.9，增長(zhǎng)步長(zhǎng)為0.1，對(duì)于每一個(gè)μ對(duì)應(yīng)的Logistic混沌序列，分別添加信噪比為10 dB～50 dB的高斯隨機(jī)白噪聲，噪聲增長(zhǎng)步長(zhǎng)為1 dB。

圖1 Logistic混沌映射圖Fig.1 Logistic map

基于不同信噪比噪聲下混合信號(hào)的熵值相對(duì)于50 dB信噪比混合信號(hào)熵值的變化率（change rate，CR）來(lái)度量模糊散布熵與散布熵的抗噪性能，變化率CR的定義可以寫(xiě)成：

其中，E為當(dāng)前熵值，E0為起始熵值，對(duì)應(yīng)為信噪比為50 dB時(shí)的熵值。變化率CR越大，算法對(duì)噪聲魯棒性越差，抗噪性越差；反之，變化率CR越小，算法對(duì)噪聲魯棒性越好，抗噪性越好。

2.1.3 Henon混沌映射

Henon混沌映射是一個(gè)基于排序的二維非線(xiàn)性系統(tǒng)，其方程公式如公式（12）所示：

當(dāng)a=1.4,b=0.3時(shí)，函數(shù)進(jìn)入混沌狀態(tài)，生成的混沌序列具有很強(qiáng)的隨機(jī)性[25]。

本文利用如圖2所示的Henon混沌測(cè)試模糊散布熵與散布熵的噪聲敏感性。

圖2 Henon混沌映射圖Fig.2 Henon map

與Logistics混沌系統(tǒng)一樣，對(duì)Henon混沌序列，分別添加信噪比為10 dB～50 dB的高斯白噪聲，步長(zhǎng)為1 dB。同樣基于不同信噪比噪聲下混合信號(hào)的熵值相對(duì)于50 dB信噪比混合信號(hào)熵值的變化率CR來(lái)度量模糊散布熵與散布熵的抗噪性能。變化率CR越大，算法對(duì)噪聲魯棒性越差，抗噪性越差；反之變化率CR越小，算法對(duì)噪聲魯棒性越好，抗噪性越好。

2.1.4 Chirp信號(hào)

前文提到，散布熵可以同時(shí)檢測(cè)信號(hào)幅值和頻率的變化。為進(jìn)一步研究FuzzyDispEn對(duì)頻率變化的依賴(lài)性，本文使用如圖3所示的對(duì)數(shù)調(diào)頻信號(hào)驗(yàn)證FuzzyDispEn與DispEn跟隨頻率變化的特性[26]。

圖3 對(duì)數(shù)調(diào)頻信號(hào)Fig.3 Chirp signal

調(diào)頻信號(hào)采樣頻率為1 000 Hz，長(zhǎng)度均為10 s。線(xiàn)性調(diào)頻信號(hào)的頻率在10 s內(nèi)以對(duì)數(shù)方式從5 Hz掃到100 Hz。沿信號(hào)移動(dòng)重疊度為99%的1 024數(shù)據(jù)點(diǎn)大小的滑動(dòng)窗口，相應(yīng)參數(shù)設(shè)置分別為(m=4,c=4)，F(xiàn)uzzy-DispEn計(jì)算中r設(shè)置為2.5。

2.1.5 真實(shí)腦電信號(hào)

腦電信號(hào)具有非線(xiàn)性、非平穩(wěn)性的特點(diǎn)，非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)混沌理論被廣泛運(yùn)用于腦電的分析研究中。因此，本研究選擇腦電數(shù)據(jù)驗(yàn)證新算法的分析能力。

研究使用來(lái)自波恩大學(xué)醫(yī)院癲癇科的真實(shí)腦電數(shù)據(jù)測(cè)試新算法性能表現(xiàn)，關(guān)于該數(shù)據(jù)庫(kù)的更多細(xì)節(jié)可參閱文獻(xiàn)[27]。

該數(shù)據(jù)庫(kù)共包含有5組數(shù)據(jù)，記為A～E，每組數(shù)據(jù)包含100個(gè)單通道EEG數(shù)據(jù)段，段長(zhǎng)為23.6 s。所有信號(hào)均用同一128通道放大系統(tǒng)記錄。經(jīng)過(guò)12位模數(shù)轉(zhuǎn)換后，以173.61 Hz的采樣速率寫(xiě)入數(shù)據(jù)。帶通濾波器設(shè)置為0.53～40 Hz[27]。這些數(shù)據(jù)片段是從連續(xù)的多通道腦電圖記錄中選擇的，并且每一段腦電數(shù)據(jù)都進(jìn)行了視覺(jué)偽影檢查，去除了如由于肌肉活動(dòng)或者眼球運(yùn)動(dòng)造成的含偽跡的腦電信號(hào)。

數(shù)據(jù)A和數(shù)據(jù)B為5位健康并且處于清醒狀態(tài)的志愿者分別在睜眼與閉眼狀態(tài)下的腦電數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)C和數(shù)據(jù)D來(lái)源于癲癇患者癲癇發(fā)作間期的腦電活動(dòng)數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)E來(lái)源于患者處于癲癇發(fā)作活動(dòng)狀態(tài)時(shí)的腦電活動(dòng)數(shù)據(jù)。正常人與癲癇患者發(fā)作期腦電數(shù)據(jù)如圖4所示。本研究選取數(shù)據(jù)A為對(duì)照組，數(shù)據(jù)E為實(shí)驗(yàn)組，分別基于DispEn和FuzzyDispEn測(cè)試正常受試者與癲癇患者癲癇發(fā)作期腦電信號(hào)之間的復(fù)雜度差異。

圖4 正常腦電信號(hào)與癲癇發(fā)作期腦電Fig.4 Normal EEG and epileptic EEG

2.1.6 真實(shí)滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)

考慮到工業(yè)環(huán)境的復(fù)雜多變，滾動(dòng)軸承工作環(huán)境往往同樣復(fù)雜多變，因此與腦電信號(hào)類(lèi)似，滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)通常也具有非平穩(wěn)、非線(xiàn)性的特性。為了進(jìn)一步驗(yàn)證新算法的性能，本研究在腦電信號(hào)的基礎(chǔ)上，選擇真實(shí)滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)做進(jìn)一步分析。

本研究使用如圖5所示的美國(guó)凱斯西儲(chǔ)大學(xué)的滾動(dòng)軸承故障數(shù)據(jù)進(jìn)行新算法性能測(cè)試。美國(guó)凱斯西儲(chǔ)大學(xué)滾動(dòng)軸承故障數(shù)據(jù)庫(kù)中滾動(dòng)軸承的型號(hào)為SKF6205，選擇實(shí)驗(yàn)采樣頻率為12 kHz，轉(zhuǎn)速為1 797 r/min[28]。通過(guò)滾動(dòng)軸承的不同類(lèi)型故障對(duì)算法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

圖5 正常軸承信號(hào)與異常軸承信號(hào)Fig.5 Normal bearing signal and abnormal bearing signal

本研究使用多尺度熵區(qū)分如表1所示的不同標(biāo)簽對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)。

表1 不同程度故障數(shù)據(jù)Table 1 Data of different degrees of failure

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

2.2.1 數(shù)據(jù)長(zhǎng)度敏感性

構(gòu)造序列長(zhǎng)度為N=4 096的高斯白噪聲，計(jì)算參數(shù)選擇為嵌入維數(shù)m=3、類(lèi)數(shù)c=4的DispEn和Fuzzy-DispEn，其中FuzzyDispEn參數(shù)r設(shè)置選擇為1。為驗(yàn)證信號(hào)長(zhǎng)度對(duì)于熵值結(jié)果的影響，設(shè)置滑動(dòng)窗長(zhǎng)l為64至4 096，滑動(dòng)窗增長(zhǎng)步長(zhǎng)為16，計(jì)算高斯白噪聲在不同信號(hào)長(zhǎng)度下的DispEn和FuzzyDispEn，算法流程如圖6所示。

圖6 滑動(dòng)窗口法流程圖Fig.6 Flow diagram of sliding window method

結(jié)果如圖7所示，對(duì)于所有的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度，在嵌入維數(shù)m=3、類(lèi)數(shù)c=4的參數(shù)選擇情況下，模糊散布熵FuzzyDispEn的值與散布熵DispEn的值相比都更接近白噪聲的最大熵值1?？傮w來(lái)看數(shù)據(jù)長(zhǎng)度越大，熵的穩(wěn)定性越好，模糊散布熵FuzzyDispEn的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度依賴(lài)性?xún)?yōu)于散布熵DispEn。因此，F(xiàn)uzzyDispEn在處理短時(shí)信號(hào)中的表現(xiàn)會(huì)更準(zhǔn)確。這種特性使得模糊散布熵同樣適用于特種條件下的生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理。一方面，短時(shí)信號(hào)處理可以提高處理速度；另一方面，在某些應(yīng)用中，如腦卒中痙攣患者的快速牽引實(shí)驗(yàn)[29]，所獲得肌電信號(hào)本身就很短，舉例來(lái)說(shuō)，若受試者活動(dòng)范圍為90°，牽引速度為360（°）/s，采樣頻率假設(shè)為1 000 Hz，則數(shù)據(jù)長(zhǎng)度僅為250數(shù)據(jù)點(diǎn)，這時(shí)如果采用大滑動(dòng)窗來(lái)處理信號(hào)就滿(mǎn)足不了處理需求。綜上，模糊散布熵在生物醫(yī)學(xué)處理等方面的潛在應(yīng)用要優(yōu)于散布熵。

圖7 數(shù)據(jù)長(zhǎng)度敏感性對(duì)比結(jié)果Fig.7 Comparison results of data length sensitivity

2.2.2 參數(shù)敏感性

構(gòu)造序列長(zhǎng)度為分別為N=（512，1 024，2 048，4 096）的高斯白噪聲，在每種長(zhǎng)度數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，分別計(jì)算不同參數(shù)所對(duì)應(yīng)的熵值從而驗(yàn)證FuzzyDispEn與DispEn的參數(shù)敏感性。

為了防止隨機(jī)干擾，每組數(shù)據(jù)長(zhǎng)度分別生成50組數(shù)據(jù)，最后計(jì)算平均值從而消除隨機(jī)干擾?；谏傻母咚拱自肼?，計(jì)算嵌入維數(shù)m=3～5、類(lèi)數(shù)c=2～9的DispEn和FuzzyDispEn，計(jì)算后取平均值。不同數(shù)據(jù)長(zhǎng)度、不同參數(shù)的結(jié)果對(duì)比如圖8～圖10所示。從圖可以看出，對(duì)于所有的N、m、c值，F(xiàn)uzzyDispEn與DispEn的值相比都更接近白噪聲的最大熵值1。對(duì)比結(jié)果驗(yàn)證了本研究提出的模糊散布熵FuzzyDispEn對(duì)參數(shù)選擇敏感性較低，具有較強(qiáng)的參數(shù)選擇魯棒性，為不同條件下生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理應(yīng)用提供了一種潛在的方法。

圖8 當(dāng)m=3時(shí)散布熵與模糊散布熵平均值Fig.8 FuzzyDispEn and DispEn mean values whenm=3

圖9 當(dāng)m=4時(shí)散布熵與模糊散布熵平均值Fig.9 FuzzyDispEn and DispEn mean values whenm=4

圖10 當(dāng)m=5時(shí)散布熵與模糊散布熵平均值Fig.10 FuzzyDispEn and DispEn mean values whenm=5

2.2.3 噪聲敏感性

為驗(yàn)證噪聲敏感性并減少噪聲隨機(jī)性對(duì)結(jié)果的干擾，對(duì)于不同μ對(duì)應(yīng)的Logistic混沌信號(hào)，分別添加20次高斯白噪聲進(jìn)行20次試驗(yàn)。對(duì)于Henon混沌信號(hào)，同樣分別添加20次高斯白噪聲進(jìn)行20次試驗(yàn)。

圖11、圖12分別給出了Logistic混沌信號(hào)與Henon混沌信號(hào)下散布熵與模糊散布熵的平均變化率CR。從圖可以看出模糊散布熵對(duì)應(yīng)的CR值小于散布熵，結(jié)果表明模糊散布熵方法相比散布熵方法具有較好的抗噪性。

圖11 不同R值的Logistic系統(tǒng)(R=3.6～3.9)不同信噪比下兩種熵對(duì)應(yīng)的CR值Fig.11 CR of two entropy methods under different SNR for Logistic systems with differentR values：R=3.6～3.9

圖12 Henon系統(tǒng)不同信噪比下兩種熵對(duì)應(yīng)的CR值Fig.12 CR of two entropy methods under different SNR for Henon systems

對(duì)比結(jié)果驗(yàn)證了模糊散布熵對(duì)噪聲干擾具有較強(qiáng)的魯棒性，噪聲變化（信噪比10 dB～50 dB）對(duì)熵值的變化影響相對(duì)于散布熵較小，模糊散布熵為噪聲條件下生物醫(yī)學(xué)信號(hào)復(fù)雜度測(cè)量等處理應(yīng)用提供了一種潛在的方法。

2.2.4 頻率跟隨結(jié)果

頻率跟隨結(jié)果如圖13所示。從圖可以看出，與DispEn相比，F(xiàn)uzzyDispEn可以更好地跟隨Chirp信號(hào)的頻率相關(guān)變化。此外，從圖13同樣可以清晰看出，與DispEn相比，F(xiàn)uzzyDispEn的結(jié)果更加穩(wěn)定。

圖13 頻率跟隨結(jié)果對(duì)比圖Fig.13 Comparison diagram of frequency following results

2.2.5 腦電信號(hào)處理結(jié)果

對(duì)正常人腦電A組和癲癇發(fā)作期腦電E組的20個(gè)腦電信號(hào)基于模糊散布熵進(jìn)行復(fù)雜度分析，其中FuzzyDispEn參數(shù)設(shè)置為(m=3,c=4,r=2)，DispEn參數(shù)設(shè)置為(m=3,c=4)，每組信號(hào)同樣采用圖5所示的滑動(dòng)窗計(jì)算方式驗(yàn)證所提出的方法在區(qū)分正常腦電和癲癇發(fā)作期腦電信號(hào)方面的有效性。結(jié)果如圖14和表2所示。

表2 癲癇期與正常人腦電信號(hào)對(duì)比Table 2 Comparison of seizure and normal EEG

從圖14和表2可看出，F(xiàn)uzzyDispEn與DispEn均可以有效區(qū)別正常腦電和癲癇發(fā)作期腦電(P<0.01)，但是如表2所示，F(xiàn)uzzyDispEn的變異系數(shù)更小，說(shuō)明FuzzyDispEn波動(dòng)較小，穩(wěn)定性較好，在后續(xù)實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)癲癇應(yīng)用中會(huì)有更好的表現(xiàn)。其中表2中FDispEn表示FuzzyDispEn。

2.2.6 軸承信號(hào)處理結(jié)果

本研究在模糊散布熵的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出基于多尺度熵[30]的軸承故障診斷方法，測(cè)試模糊散布熵在多尺度上的正常信號(hào)與故障信號(hào)的區(qū)分能力。

多尺度散布熵的計(jì)算步驟如下：

（1）對(duì)長(zhǎng)度為N的原始時(shí)間序列Xi={x1,x2,…,xN}，預(yù)先給定尺度τ=1,2,…,按照公式（13）對(duì)其進(jìn)行粗?；?/p>

（2）對(duì)于每個(gè)尺度τ，計(jì)算其粗粒化序列的散布熵值，進(jìn)而可得到所有尺度粗粒下序列的散布熵值（multi scale dispersion entropy，MDE）：

計(jì)算其粗粒化序列的模糊散布熵值，而后可以得到所有尺度相粗粒下序列的散布熵值（multi scale fuzzy dispersion entropy，MFDE）：

粗?；蛄械拈L(zhǎng)度為原序列長(zhǎng)度N除以尺度τ，隨著尺度τ的增加，粗?；蛄械拈L(zhǎng)度會(huì)越來(lái)越短，而序列越短，熵值的計(jì)算穩(wěn)定性就會(huì)變差。

選取不同種類(lèi)信號(hào)計(jì)算多尺度熵。選取數(shù)據(jù)段長(zhǎng)度為4 096，計(jì)算每段數(shù)據(jù)下的多尺度熵，尺度從1至30，增長(zhǎng)步長(zhǎng)為1。具體結(jié)果如圖15、16所示。

圖15 不同狀態(tài)軸承信號(hào)的MDEFig.15 MDE of bearing signals in different states

圖16 不同狀態(tài)軸承信號(hào)的MFDEFig.16 MFDE of bearing signals in different states

從圖15、16可以看出，正常狀態(tài)軸承信號(hào)在各個(gè)尺度下模糊散布熵均較小，一定程度上符合正常工作狀態(tài)下軸承信號(hào)沖擊性小、平穩(wěn)性高的振動(dòng)特性；不同故障信號(hào)在各個(gè)尺度下模糊散布熵均較大，表明多尺度模糊散布熵理論上能夠更好地表征軸承振動(dòng)信號(hào)狀態(tài)信息。后續(xù)將進(jìn)一步優(yōu)化算法，將模糊散布熵作為模式識(shí)別分類(lèi)器的輸入，實(shí)現(xiàn)更為精確的軸承信號(hào)分類(lèi)。

另一方面從圖15、16可以看出，多尺度模糊散布熵在區(qū)分正常軸承信號(hào)與故障軸承信號(hào)的能力強(qiáng)于多尺度散布熵。為進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)精細(xì)化軸承狀態(tài)識(shí)別，后續(xù)工作將集中在優(yōu)化參數(shù)和算法改進(jìn)，提出能夠更好區(qū)分軸承不同程度損傷的算法。

2.3 結(jié)果分析與討論

從上述分析可以得出，模糊散布熵在參數(shù)依賴(lài)性、數(shù)據(jù)長(zhǎng)度依賴(lài)性、抗噪性以及穩(wěn)定性上都表現(xiàn)出優(yōu)于散布熵的更好的效果，為后續(xù)生物醫(yī)學(xué)工程、機(jī)械工程領(lǐng)域中信號(hào)復(fù)雜度度量提供了一種新的方法。

熵是用來(lái)衡量信號(hào)復(fù)雜性的重要特征參數(shù)。近年來(lái)，各種基于熵的測(cè)量方法被用來(lái)量化和理解不同類(lèi)型信號(hào)的復(fù)雜性。Li等人[31]在散布熵的基礎(chǔ)上提出了細(xì)化復(fù)合多元多尺度散布熵，結(jié)果表明，精細(xì)復(fù)合多元多尺度散布熵在信號(hào)魯棒性方面具有一定的優(yōu)勢(shì)。本研究基于散布熵和模糊隸屬函數(shù)提出了一種新的模糊散布熵，證明了模糊散布熵相比于標(biāo)準(zhǔn)散布熵的優(yōu)勢(shì)，并且文章最后在模糊散布熵的基礎(chǔ)上提出了多尺度模糊散布熵，結(jié)果表明多尺度模糊散布熵在區(qū)分正常信號(hào)與故障信號(hào)的表現(xiàn)上優(yōu)于多尺度散布熵，后續(xù)研究將引入細(xì)化復(fù)合特性，進(jìn)一步驗(yàn)證模糊散布熵的性能表現(xiàn)。Song等人[32]在散布熵的基礎(chǔ)上提出了層次散布熵，相比于散布熵可以提取更多的有效信息。模糊散布熵與層次散布熵相比，優(yōu)勢(shì)仍然可以體現(xiàn)為參數(shù)選擇以及噪聲魯棒性上，因?yàn)閷哟紊⒉检厝允遣捎萌≌容^計(jì)算熵值，這種處理方式與標(biāo)準(zhǔn)散布熵類(lèi)似，仍然會(huì)導(dǎo)致噪聲與參數(shù)敏感性高的問(wèn)題，后續(xù)作者將進(jìn)一步分析模糊散布熵與層次散布熵在信號(hào)復(fù)雜度度量上的表現(xiàn)對(duì)比。關(guān)于模糊熵，有研究者提出了多種基于改進(jìn)模糊熵的軸承故障診斷方法[33-35]。散布熵相比樣本熵和模糊熵有對(duì)噪聲和數(shù)據(jù)長(zhǎng)度敏感度較低的優(yōu)點(diǎn)，當(dāng)分析數(shù)據(jù)長(zhǎng)度較小的時(shí)間序列時(shí)，散布熵不會(huì)出現(xiàn)沒(méi)有定義的熵值，并且熵值計(jì)算很好地兼顧了時(shí)間序列幅值的重要信息；可同時(shí)檢測(cè)幅值和頻率的變化，而且計(jì)算速度快，非常容易擴(kuò)展到實(shí)時(shí)應(yīng)用領(lǐng)域中。

Rostaghi在文獻(xiàn)[23]中第一次提出了模糊散布熵并且驗(yàn)證了其相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)散布熵的優(yōu)勢(shì)。進(jìn)一步，Li等人[36]在文獻(xiàn)[23]的基礎(chǔ)上結(jié)合分?jǐn)?shù)階微積分實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階模糊散布熵值計(jì)算，并驗(yàn)證了在信號(hào)復(fù)雜度上分析的優(yōu)勢(shì)。相比于上述參考文獻(xiàn)，本研究最大的優(yōu)勢(shì)是提出了閾值參數(shù)可調(diào)的模糊隸屬度函數(shù)：文章在熵值計(jì)算過(guò)程中，首先計(jì)算嵌入相量與散布模式的歐式距離，選擇歐式距離小于設(shè)置閾值r的散布模式，根據(jù)歐氏距離的大小分配相對(duì)應(yīng)的散布模式出現(xiàn)的概率。在實(shí)際應(yīng)用中，可以根據(jù)應(yīng)用場(chǎng)景設(shè)置不同的閾值r，來(lái)滿(mǎn)足不同的使用需求。舉例來(lái)說(shuō)，若應(yīng)用場(chǎng)景為肌肉活動(dòng)起始點(diǎn)檢測(cè)，則可以設(shè)置比較大的r值，從而抑制毛刺噪聲對(duì)熵值的影響，實(shí)現(xiàn)精確的肌肉活動(dòng)起始點(diǎn)檢測(cè)；若應(yīng)用場(chǎng)景為癲癇腦電尖波提取等突變信號(hào)檢測(cè)應(yīng)用，則可以設(shè)置比較小的r值，從而減小算法對(duì)尖波等突變信號(hào)的抑制。

綜上，相比散布熵、層次散布熵、模糊熵或多尺度熵等，本文方法具有一定優(yōu)越性。需要說(shuō)明的是，目前存在許多其他的關(guān)于熵值的先進(jìn)改進(jìn)算法，例如精細(xì)復(fù)合分層模糊熵[33]、基于歐氏距離的多尺度模糊熵[34]、自適應(yīng)分層[35]等。因此，在將來(lái)的工作中，本文方法中的熵值計(jì)算過(guò)程將根據(jù)算法優(yōu)勢(shì)，結(jié)合這些先進(jìn)的算法模式，進(jìn)一步完成更為精確的復(fù)雜度測(cè)量。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文在散布熵的基礎(chǔ)上，基于歐氏距離和模糊隸屬度函數(shù)提出了模糊散布熵（FuzzyDispEn）。在Fuzzy-DispEn算法中，使用基于歐式距離的模糊函數(shù)代替DispEn中基于取整函數(shù)（階躍函數(shù)）的統(tǒng)一量化步驟來(lái)定義每個(gè)嵌入向量相對(duì)于散布模式的隸屬度。考慮散布熵定義，散布熵值對(duì)于參數(shù)m與c的敏感性特別高，信號(hào)中微小的數(shù)值變化，會(huì)引起熵值的巨大變化，且數(shù)據(jù)長(zhǎng)度依賴(lài)性過(guò)大。上述問(wèn)題主要是由于散布熵是基于取整函數(shù)（階躍函數(shù)）定義的，取整函數(shù)將每一個(gè)嵌入向量映射到唯一的散布模式。如前所述現(xiàn)實(shí)世界中不同類(lèi)之間的邊界是模糊的，很難明確地將一個(gè)輸入歸類(lèi)為某一個(gè)輸出。針對(duì)這一問(wèn)題本文基于歐氏距離與模糊度隸屬函數(shù)提出了模糊散布熵?；跉W氏距離與模糊度隸屬函數(shù)，嵌入相量并不是簡(jiǎn)單地根據(jù)取整函數(shù)映射到一個(gè)固定的散布模式，而是根據(jù)嵌入向量與散布模式的歐式距離將一個(gè)嵌入向量映射到一個(gè)或多個(gè)散布模式，避免了熵值的劇烈波動(dòng)，因此模糊散布熵的參數(shù)依賴(lài)性表現(xiàn)更好，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度依賴(lài)性更好，抗噪性更好，而且穩(wěn)定性更好?；诤铣尚盘?hào)的分析表明FuzzyDispEn對(duì)信號(hào)長(zhǎng)度、參數(shù)選擇和噪聲的敏感性表現(xiàn)均優(yōu)于DispEn。

本研究選擇腦電數(shù)據(jù)和滾動(dòng)軸承故障數(shù)據(jù)進(jìn)行新算法性能測(cè)試。一方面，大腦是一個(gè)復(fù)雜的混沌動(dòng)力系統(tǒng)，腦電信號(hào)具有復(fù)雜的非線(xiàn)性特性。另一方面，由于滾動(dòng)軸承所處工況運(yùn)行的復(fù)雜性，通常情況下采集的軸承信號(hào)是也是復(fù)雜不平穩(wěn)的，同樣具有非線(xiàn)性特性，不同工況下的軸承振動(dòng)信號(hào)表現(xiàn)的信號(hào)復(fù)雜程度是不盡相同的。分析結(jié)果顯示，與DispEn相比，F(xiàn)uzzyDispEn在檢測(cè)頻率變化過(guò)程的動(dòng)態(tài)變化方面表現(xiàn)得更好。基于真實(shí)腦電數(shù)據(jù)集的結(jié)果表明，F(xiàn)uzzyDispEn在癲癇檢測(cè)方面性能表現(xiàn)同樣優(yōu)于DispEn。

另一方面，模糊散布熵是基于歐氏距離和模糊隸屬函數(shù)建立的，因而，如果腦電或者表面肌電等信號(hào)中含有毛刺噪聲，那么在模糊散布熵算法下毛刺噪聲導(dǎo)致的熵值變化相對(duì)比散布熵會(huì)更加平緩平滑，因此相對(duì)于散布熵，模糊散布熵可以更好消除毛刺噪聲影響。但具體選擇何種處理方法應(yīng)根據(jù)信號(hào)類(lèi)型。模糊散布熵因?yàn)樵黾恿诉\(yùn)算步驟，因此算法耗時(shí)相比于標(biāo)準(zhǔn)散布熵更多，因此若在信號(hào)質(zhì)量良好的實(shí)時(shí)應(yīng)用場(chǎng)景中，標(biāo)準(zhǔn)散布熵就可以滿(mǎn)足處理要求。最后，算法中參數(shù)r是可調(diào)的，可以根據(jù)應(yīng)用場(chǎng)景設(shè)置不同的閾值r從而滿(mǎn)足不同的信號(hào)處理需求。具體r值的確定可根據(jù)使用需求做具體分析。如前述肌肉起始點(diǎn)檢測(cè)和腦電尖波提取，需要分析不同的r值對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，從而選取最優(yōu)的r值。

本研究不足之處是對(duì)模糊散布熵的參數(shù)選擇討論較少，而且基于真實(shí)神經(jīng)電生理信號(hào)等的研究較少。后續(xù)將基于新算法分析在帕金森腦電、腦卒中肌電等信號(hào)分析中的性能表現(xiàn)，并進(jìn)一步研究不同參數(shù)設(shè)置對(duì)分析結(jié)果的影響。

此外，后續(xù)研究將進(jìn)一步分析本文所提出的模糊散布熵與精細(xì)復(fù)合多元多尺度、分?jǐn)?shù)階微積分等其他算法模式結(jié)合的優(yōu)勢(shì)，在參數(shù)可調(diào)的基礎(chǔ)上，挖掘算法在復(fù)雜度測(cè)量上進(jìn)一步提升的空間。同時(shí)將進(jìn)一步優(yōu)化算法，提高算法實(shí)時(shí)性。