融入數(shù)字圖像的“高等代數(shù)”案例分析

摘 要：為解決學(xué)生對“高等代數(shù)”中眾多抽象的定義、定理難以理解的情況，本文將數(shù)字圖像融入“高等代數(shù)”課程，旨在運用直觀生動的圖像改進(jìn)“高等代數(shù)”中對于概念的傳統(tǒng)教學(xué)模式，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)一步提升學(xué)生發(fā)散思維與創(chuàng)新能力。

關(guān)鍵詞：高等代數(shù)；數(shù)字圖像；抽象概念；課程融入

"Advanced Algebra" Case Analysis Combining Digital Images

Yang Tianji

Lianyungang Normal College JiangsuLianyungang 222000

Abstract：To solve the problem of students having difficulty understanding the numerous abstract definitions and theorems in "Advanced Algebra"，this article integrates digital images into the "Advanced Algebra" course，aiming to use intuitive and vivid images to improve the traditional teaching mode of concepts in "Advanced Algebra"，enhance students' interest in learning mathematics，and further enhance their divergent thinking and innovation abilities.

Keywords：Advanced Algebra；Digital images；Abstract definitions；Course integration

1 概述

Algebra（代數(shù)）這一詞匯，最早由清代傳入中國，并在1859年被著名數(shù)學(xué)家、翻譯家李善蘭正式翻譯為“代數(shù)”，一直沿用至今。“高等代數(shù)”作為數(shù)學(xué)系三大專業(yè)基礎(chǔ)課程之一，是“抽象代數(shù)”“離散數(shù)學(xué)”“微分方程”“泛函分析”“計算方法”等后繼課程的理論基礎(chǔ)，重要性不言而喻。

“高等代數(shù)”具有從初等代數(shù)向高等代數(shù)的過渡作用，其教學(xué)目的側(cè)重從概念、理論以及抽象的代數(shù)方法出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。對比“初等代數(shù)”側(cè)重學(xué)習(xí)數(shù)與數(shù)的運算性質(zhì)，高等代數(shù)的“數(shù)”上升到更廣泛的數(shù)學(xué)對象，例如：多項式、向量、矩陣、變換等。尤為重要的一點，“高等代數(shù)”教學(xué)的重心從代數(shù)系統(tǒng)的元素特性轉(zhuǎn)移到代數(shù)系統(tǒng)自身和相互之間的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)須證明給出新定義的運算法則和規(guī)律。

然而，“高等代數(shù)”究竟有什么用，對開設(shè)課程的大一學(xué)生來說卻是一個困擾的問題。學(xué)生學(xué)習(xí)“高等代數(shù)”課程談及最大作用只局限于解題、升學(xué)考試的需要，難以從抽象的概念中理解知識的銜接性、現(xiàn)實性。“數(shù)學(xué)是科學(xué)技術(shù)的本質(zhì)，高新技術(shù)的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)”這一論據(jù)，學(xué)生對此似懂非懂，很難憑借學(xué)習(xí)過的理論知識論證數(shù)學(xué)的重要性。

2 “高等代數(shù)”課程教學(xué)改革

隨著信息化時代的發(fā)展，現(xiàn)今的數(shù)學(xué)在生活中不再是買賣物品等計算的簡單工具，而是作為核心支撐，成為新時代重要競爭力學(xué)科，廣泛直接地在眾多技術(shù)領(lǐng)域滲透，比如金融風(fēng)險評估、人工智能機(jī)器人研發(fā)、醫(yī)學(xué)圖像分割、遙感監(jiān)控圖像的去模糊處理、人臉識別、航天飛船軌跡追蹤等。

以時代為契機(jī)，“高等代數(shù)”的課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)同步改革［12］，借助數(shù)字媒體工具和信息化軟件［3］結(jié)合教學(xué)也是大勢所趨。

2.1 可行性與必要性

1987年，錢天白教授發(fā)出我國第一封電子郵件“越過長城，通向世界”，揭開了中國人使用Internet的序幕，標(biāo)志著中國邁入互聯(lián)網(wǎng)時代。至今，信息化技術(shù)已日漸成熟，眾多行業(yè)都有一定的信息化需求，而數(shù)學(xué)與計算機(jī)的交叉學(xué)科更是受到社會的廣泛關(guān)注。雖然，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)是現(xiàn)代科學(xué)研究發(fā)展的基石，丘成桐院士也曾針對數(shù)學(xué)人才的培養(yǎng)目標(biāo)，指出基礎(chǔ)科學(xué)的基礎(chǔ)是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，政府應(yīng)當(dāng)將目標(biāo)從短期的經(jīng)濟(jì)效益，轉(zhuǎn)變?yōu)殚L遠(yuǎn)培養(yǎng)一流的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)人才。但同時，丘院士也表明，不是所有的年輕人都符合條件，需要集中精力培養(yǎng)一批特別有才華、又對數(shù)學(xué)有濃厚興趣的年輕人。針對這一狀況，普通高校數(shù)學(xué)專業(yè)的發(fā)展，更應(yīng)立足于應(yīng)用數(shù)學(xué)等方向的二級學(xué)科。

2.2 教學(xué)方法探討

“高等代數(shù)”的教學(xué)存在兩個重要且嚴(yán)肅的問題：（1）“高等代數(shù)”的學(xué)習(xí)對生活有著什么實際意義。（2）如何能夠教好“高等代數(shù)”課程，讓學(xué)生愿意學(xué)、喜歡學(xué)。針對上述兩個問題，眾多專家、教師深入一線教學(xué)并實踐教學(xué)，給出了許多不同的答案。

部分教師傾向于傳統(tǒng)教學(xué)方法，沿襲中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)模式，通過大量習(xí)題作業(yè)幫助學(xué)生鞏固知識。其初衷是將學(xué)習(xí)的重心放在應(yīng)試上，如果學(xué)生存在不理解的概念、定理等內(nèi)容，若不影響題目的解答，教師便選擇忽略。然而，“高等代數(shù)”作為高校數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課科目，其難度大、內(nèi)容多、授課時間短，很難做到新授課為輔、習(xí)題課為主的教學(xué)模式，且解題思路更加多元化，并非中學(xué)時期的“套路”模式，很多學(xué)生出現(xiàn)不理解知識點就無法形成體系，無法形成體系就難以聯(lián)系先驗知識解題的情況。

對此，有學(xué)者提出必須要給學(xué)生講解抽象概念和嚴(yán)謹(jǐn)證明，針對學(xué)生難以理解的情況，可以通過構(gòu)造反例來加以解決。數(shù)學(xué)學(xué)科具有嚴(yán)謹(jǐn)性，驗證一個命題的正確性需要給出嚴(yán)格的證明，可是驗證一個命題是錯誤的，僅僅需要構(gòu)造反例［4］。“高等代數(shù)”的課堂教學(xué)中，列舉具體的反例可以幫助學(xué)生解決許多抽象的數(shù)學(xué)問題。比如：判斷一個對應(yīng)關(guān)系是不是映射、一個變換是不是線性變換等問題，要證明不是，只要部分定義不滿足條件即可證明，往往數(shù)值代入法是一個簡單恰當(dāng)?shù)淖C明方法。確實，反例法體現(xiàn)了逆向思維的運用，可以與正向思維進(jìn)行互補(bǔ)，搭建橋梁，簡化問題難度，加深概念理解，強(qiáng)化學(xué)生信心，促進(jìn)課堂氛圍。

然而，反例法只是在教學(xué)方法中進(jìn)行改善，適當(dāng)減輕學(xué)生證明方面的壓力，讓學(xué)生愿意去學(xué)。要想讓學(xué)生喜歡學(xué)習(xí)“高等代數(shù)”課程，教師必須從根本出發(fā)，深化教學(xué)改革，融入恰當(dāng)?shù)膶W(xué)科知識，做到讓學(xué)生懂這門學(xué)科的現(xiàn)實意義。只有把抽象的概念轉(zhuǎn)化成直觀可見的內(nèi)容，把枯燥難解的定理運用到生活，才能真正讓學(xué)生喜歡學(xué)。事實上，解決本節(jié)提出的第二個問題只需要解決第一個問題便可水到渠成。

2.3 學(xué)生問卷反饋

針對“高等代數(shù)”怎么教學(xué)才能更受學(xué)生歡迎的問題，學(xué)生給出的答案比教師更有說服力。通過對連云港師范高等?？茖W(xué)校2020、2021、2022屆小學(xué)數(shù)學(xué)教育（師范類）學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（200名學(xué)生參與），其中，85%的學(xué)生認(rèn)為高等代數(shù)是一門越學(xué)越難的學(xué)科，認(rèn)可度最高的理由是課程知識從直觀的計算過渡到各種線性抽象概念的理解。作為一門只在大一教學(xué)的專業(yè)課程，60%的同學(xué)認(rèn)為真正學(xué)好“高等代數(shù)”這一門課程卻是在大二甚至大三，理由主要是學(xué)習(xí)過后續(xù)其他課程才更清晰“高等代數(shù)”的現(xiàn)實意義，只有面對轉(zhuǎn)本考試的壓力才有學(xué)習(xí)“高等代數(shù)”的動力。

3 教學(xué)案例分析

通過問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)學(xué)生更喜歡直觀可見的數(shù)學(xué)知識，且很多學(xué)生具有明確的學(xué)習(xí)性——為用而學(xué)。對此，考慮將數(shù)字圖像融入“高等代數(shù)”課程教學(xué)［5］中，用圖像聯(lián)系代數(shù)知識，用圖像吸引學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

3.1 教學(xué)案例

在高等代數(shù)線性變換的定義教學(xué)中，定義的給定非常簡單。但如何用定義判斷一個變換是否為線性變換，尤其與線性空間的同構(gòu)進(jìn)行對比時，不少學(xué)生容易出現(xiàn)混淆。為解決這一問題，幫助學(xué)生從概念上真正理解，可將數(shù)學(xué)矩陣用圖像適當(dāng)引入。

案例1：把V（實數(shù)域上n維向量空間）中每一向量繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)θ角，就是一個線性變換。已知旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)旋轉(zhuǎn)矩陣為：

cosθ-sinθ

sinθcosθ

一個向量可以看作是一個n階行矩陣或者n階列矩陣，而矩陣在計算機(jī)語言中可以看作一個圖像，這一點在“高等代數(shù)”的課程中卻很少會提及。本文結(jié)合MATLAB，將案例1的向量線性變換用圖像表示，如下圖所示。

其中，A表示原始圖像，B表示將原始圖片逆時針旋轉(zhuǎn)45°，C表示將原始圖片順時針旋轉(zhuǎn)45°。

案例2：對于實現(xiàn)圖像去噪、去模糊、分割等程序，其中數(shù)值求解的部分往往需要結(jié)合矩陣來推導(dǎo)數(shù)學(xué)算法。在課堂教學(xué)中，可以強(qiáng)調(diào)高等代數(shù)中Cramer法則和Laplace算法等重要性。同時適當(dāng)普及數(shù)字圖像中卷積的相關(guān)知識，并用程序?qū)崿F(xiàn)圖像，通過對圖像和矩陣數(shù)表的觀察，幫助學(xué)生了解“高等代數(shù)”在數(shù)字圖像的重要地位。

事實上，“高等代數(shù)”中矩陣的初等變換以及課程中許多的線性性質(zhì)都可以用圖像來實現(xiàn)。由于在MATLAB中，彩色圖像可以進(jìn)行通道分解，每個通道對應(yīng)的灰色圖像都有相應(yīng)的數(shù)值，將其進(jìn)行0—1分布，矩陣中的每一個數(shù)值便可以對應(yīng)黑白顏色，即從圖像的變化中也可以間接反映數(shù)字變化的大致結(jié)果。

3.2 效果分析與思考

相比于傳統(tǒng)“高等代數(shù)”課程的教學(xué)模式，結(jié)合數(shù)字圖像融入課程教學(xué)有著顯著優(yōu)勢。通過圖像，學(xué)生可以直觀感受“高等代數(shù)”在現(xiàn)實社會中的存在價值，并增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，同時能夠更好地理解“行列式是一個數(shù)值，矩陣是一個數(shù)表”這句話的意義。而實現(xiàn)這一效果，需要編寫的計算機(jī)程序相對較少，不必?fù)?dān)心學(xué)生的基礎(chǔ)薄弱。

通過與代課班級的學(xué)生交流，學(xué)生對新教學(xué)模式的感覺良好，不僅對抽象的代數(shù)概念有了更鮮明的了解，更有個別學(xué)生對數(shù)字圖像產(chǎn)生了一定的興趣，課后會從線上平臺觀看相關(guān)的課程視頻。當(dāng)然，教學(xué)模式的轉(zhuǎn)變也是一把雙刃劍，在“高等代數(shù)”中融入數(shù)字圖像知識，雖然可以豐富課程內(nèi)容，但仍有幾個問題需要考慮：

（1）新教學(xué)模式對師生的要求更高。教師需要有扎實的學(xué)術(shù)功底，對任教課程以及融合課程［67］都相當(dāng)熟悉；學(xué)生也需要具備一定的創(chuàng)新思維和發(fā)散思維，勇于突破，不能局限于教什么學(xué)什么的狀態(tài)。

（2）教材是學(xué)生學(xué)習(xí)知識的重要材料，其編寫具有規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶卣?。而《高等代?shù)》包含大量的定義、定理、數(shù)字符號，證明推導(dǎo)的內(nèi)容相對枯燥繁多，書本上的實例又往往需要結(jié)合一定的理論知識，存在例題陳舊、跟不上時代發(fā)展等情況，需要教師適當(dāng)把控改進(jìn)。

（3）不是所有的“高等代數(shù)”課程都可以或適合融入數(shù)字圖像。數(shù)字圖像只是一個巧妙的手段，輔助學(xué)生學(xué)習(xí)、理解“高等代數(shù)”課程?？紤]“高等代數(shù)”課程在大一開設(shè)的緣故，其初衷永遠(yuǎn)讓學(xué)生是學(xué)懂、學(xué)好當(dāng)下專業(yè)課程，同時為部分希望研究數(shù)學(xué)的學(xué)生提供一定的方向，因此，有合適的其他課程也可以融入教學(xué)。

（4）新模式教學(xué)要有一定的適應(yīng)周期，教師必須綜合所有因素（尤其學(xué)生情況）考慮是否開展或者如何把握數(shù)字圖像知識融入的度。

3.3 結(jié)合課程思政和勞動教育

新時代教學(xué)發(fā)展，離不開課程思政和勞動教育的主題［8］?！案叩却鷶?shù)”作為一門數(shù)學(xué)課程，與生活緊密聯(lián)系，課程思政和勞動教育兩大元素可以自然地融入。

案例3：“高等代數(shù)”有一節(jié)介紹集合與映射的預(yù)備知識，集合與映射這兩個概念非常有趣，體現(xiàn)了動靜結(jié)合的思想。五育并舉，即德、智、體、美、勞全面發(fā)展。通常，教室的智育學(xué)習(xí)和戶外的體育學(xué)習(xí)體現(xiàn)了一靜、一動，而集合體現(xiàn)了靜態(tài)關(guān)系（集合的元素具有確定性）；映射體現(xiàn)了動態(tài)特征（映射是一種對應(yīng)法則）；將集合的元素進(jìn)行映射（動靜結(jié)合）。

映射，有單射、滿射、雙射、非單非滿四種類型。對于社會而言，人才亦如此。每個人競選工作崗位，實現(xiàn)“滿射”，而且是非雙射的滿射，代表獲取心儀的工作。

結(jié)語

在信息化發(fā)展的時代背景下，“高等代數(shù)”的課程教學(xué)也需要與時俱進(jìn)。本文將矩陣與圖像相聯(lián)系，論述了數(shù)字圖像融入“高等代數(shù)”課程教學(xué)模式的實踐探索。針對高等代數(shù)概念抽象難以理解等問題，設(shè)計精巧適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)案例予以輔助，重視知識的與社會實踐相結(jié)合，旨在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升創(chuàng)新能力。

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作者簡介：楊天驥（1997— ），男，漢族，江蘇連云港人，碩士研究生，助教，研究方向：代數(shù)學(xué)、圖像處理等。