從古老的方程說起

萬廣磊

在《楔形文字?jǐn)?shù)學(xué)文獻(xiàn)》中有一道數(shù)學(xué)題，圖1是用楔形文字解釋這道古巴比倫數(shù)學(xué)題的分析過程，刻在一塊泥板的正反兩面。

除了古代數(shù)學(xué)史家諾伊格鮑爾和數(shù)學(xué)家薩克斯的翻譯方法之外，我們用現(xiàn)代方法翻譯一下。這塊泥板上的數(shù)學(xué)問題大概就是：“一個(gè)數(shù)比它的倒數(shù)大7，這個(gè)數(shù)是多少？”

有些同學(xué)一看到這個(gè)問題，會立即寫出方程：x-1/x=7。

但是，我告訴你，你寫錯(cuò)了。為什么呢？

這是因?yàn)楣虐捅葌惖臄?shù)的進(jìn)位制與我們現(xiàn)在使用的不一樣。他們用的是“六十進(jìn)制”，而不是“十進(jìn)制”。比如，十進(jìn)制的26表示2個(gè)10加6個(gè)1，六十進(jìn)制的26則表示的是2個(gè)60加6個(gè)1，也就是126。事實(shí)上，x的“倒數(shù)”可能是60的任何次冪除以x的值，所以，這里x的“倒數(shù)”不是我們現(xiàn)在理解的[1/x]，而可能是[60/x]，[3600/x]，等等。不少學(xué)者從原作者的求解過程中分析得出，這里的“倒數(shù)”應(yīng)該是[60/x]。所以，正確方程應(yīng)該是x-60/x=7。

上述方程中，分母含有未知數(shù)，我們稱之為分式方程，然后利用等式的基本性質(zhì)，在方程的兩邊都乘x（x≠0），得到x2-60=7x，再整理，就得到新方程x2-7x-60=0。類比一元一次方程的定義，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，二次項(xiàng)的系數(shù)不是0。我們將這個(gè)方程叫作一元二次方程。

那么這個(gè)一元二次方程的x究竟等于多少？將來我們會學(xué)習(xí)專門的解法，可以得到x=12或x=-5。但是，古巴比倫人不知道負(fù)數(shù)的存在，所以，他們關(guān)心的解是x=12，則它的“倒數(shù)”[60/x]的值是5，12-5=7，滿足題意。

1500年前的《孫子算經(jīng)》中記載了一道數(shù)學(xué)名題——“雞兔同籠”問題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

這四句話的意思是：有若干只雞和兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳。請問籠中各有多少只雞和兔？

如果設(shè)有x只雞，則兔子有（35-x）只，根據(jù)題意，得2x+4（35-x）=94。這是列一元一次方程，同學(xué)們在本章已經(jīng)學(xué)習(xí)過。

如果設(shè)有x只雞，y只兔子，根據(jù)題意，得[x+y=35，2x+4y=94。]這是列二元一次方程組，在后續(xù)學(xué)習(xí)中，我們將會遇到。

萬丈高樓平地起。同學(xué)們，在初中階段，我們一定要先學(xué)好一元一次方程，這樣才可以順利解決其他幾種方程（組）的問題哦！

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué)）