在“做數(shù)學(xué)”中培養(yǎng)學(xué)生的空間觀(guān)念
——以“體與面的碰撞”教學(xué)為例

江蘇南京市建鄴實(shí)驗(yàn)小學(xué)分校 （214421） 饒正凱

一、開(kāi)發(fā)背景

1.教材分析

空間觀(guān)念是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，主要是指一個(gè)人對(duì)物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)?？臻g觀(guān)念是主體自身通過(guò)大腦思維而產(chǎn)生的一種空間想象力，其中，空間想象起著至關(guān)重要的作用。

相應(yīng)地，蘇教版教材安排的“觀(guān)察物體”的內(nèi)容，重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同方向觀(guān)察活動(dòng)，更加透徹地理解物體的特征，初步感受二維圖形與三維物體的相互轉(zhuǎn)化，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生初步的空間觀(guān)念，為進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圖形、解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題提供支持。

蘇教版教材將“觀(guān)察物體”內(nèi)容分兩次編排。

第一次，“觀(guān)察物體”內(nèi)容出現(xiàn)在二年級(jí)上冊(cè)，側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生從不同角度觀(guān)察日常生活中的場(chǎng)景或?qū)嵨?，讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)辨認(rèn)從不同角度觀(guān)察到的場(chǎng)景圖片或?qū)嵨飯D片。

第二次，“觀(guān)察物體”內(nèi)容出現(xiàn)在四年級(jí)上冊(cè)，側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生從前面、側(cè)面、上面觀(guān)察一些簡(jiǎn)單的幾何圖形，初步感受三維物體與三視圖之間的轉(zhuǎn)換。值得一提的是，教材安排了三道例題之后，在單元末尾還安排了一次“動(dòng)手做”活動(dòng)，要求學(xué)生根據(jù)給出的三視圖用5 個(gè)同樣大的正方體擺出相應(yīng)的立體圖形，側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生從不同角度體會(huì)三維物體與二維圖形的轉(zhuǎn)換。

這有助于學(xué)生逐步掌握觀(guān)察方法、積累觀(guān)察經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)辨認(rèn)從不同方向看到的圖形。教材的編排由易到難、由具體到抽象，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。關(guān)于“觀(guān)察物體”的例題基本內(nèi)容見(jiàn)表1。

表1 “觀(guān)察物體”的例題基本內(nèi)容

2.學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)有關(guān)“觀(guān)察物體”的知識(shí)后，學(xué)生本應(yīng)該可以依據(jù)物體的形狀、大小及位置關(guān)系辨認(rèn)從不同角度看到的物體的圖片；能通過(guò)觀(guān)察一個(gè)物體的前面、側(cè)面、上面較為全面地描述該物體的幾何特征；能辨認(rèn)從不同方向看到的幾何圖形的形狀或從同一個(gè)方向看到的不同幾何圖形的形狀；能初步感知三維物體與二維圖形的轉(zhuǎn)換，體會(huì)物體與三視圖的聯(lián)系。

在日常教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對(duì)三維物體與二維圖形的轉(zhuǎn)換過(guò)程難以理解。筆者認(rèn)為，這是因?yàn)樵谄匠W(xué)習(xí)的過(guò)程中，這些學(xué)生僅僅停留于觀(guān)察層面，缺乏相應(yīng)的活動(dòng)和思考。培養(yǎng)學(xué)生的空間觀(guān)念是需要堅(jiān)持不懈的。在日常教學(xué)的過(guò)程中，筆者潛心研究，發(fā)現(xiàn)在培養(yǎng)學(xué)生空間觀(guān)念的過(guò)程中，直觀(guān)操作起到至關(guān)重要的作用?；谶@樣的思考，筆者在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中注重利用教材中的“動(dòng)手做”欄目設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)——體與面的碰撞，以發(fā)展學(xué)生的空間觀(guān)念。

二、案例透視

1.我回顧

師：圖1 是一個(gè)立體圖形，我們能從哪幾個(gè)方向觀(guān)察這個(gè)立體圖形？

生1：前面、上面、左面、右面。

師：從前面看到的圖叫主視圖，從上面看到的圖叫俯視圖，從左面看到的圖叫左視圖，從右面看到的圖叫右視圖。這是我們之前學(xué)過(guò)的知識(shí)，根據(jù)給出的立體圖形畫(huà)出它的三視圖，其實(shí)就是化立體為平面的過(guò)程（板書(shū)：立體→平面）。那我們研究這樣的立體圖形的哪些特征呢？

生2：個(gè)數(shù)、體積、表面積。

2.我還原

師：如果給你某個(gè)立體圖形的三視圖（如圖2），你能還原它原來(lái)的樣子嗎？

圖2

（四人為一組，進(jìn)行小組合作，還原圖形）

師：請(qǐng)這位同學(xué)介紹下自己擺放的過(guò)程。

生3：我是先確定俯視圖，再根據(jù)其他兩個(gè)角度的圖進(jìn)行調(diào)整得到的。

生4：我也是根據(jù)主視圖先擺放的，然后根據(jù)另外兩個(gè)圖進(jìn)行調(diào)整。

師：這兩名同學(xué)都是根據(jù)一個(gè)角度的圖先擺，再根據(jù)另外兩個(gè)角度的圖進(jìn)行調(diào)整。其他同學(xué)擺放的結(jié)果有沒(méi)有不一樣的呢？

生5：沒(méi)有。

師：看來(lái)根據(jù)三視圖，我們只能擺出唯一的、確定的立體圖形。

3.我探究

師：現(xiàn)在只給出兩個(gè)圖（如圖3），你還能還原這個(gè)立體圖形嗎？

圖3

師：剛才大家擺出的圖形肯定符合，還有沒(méi)有其他擺法？

（展示學(xué)生不同的作品，教師驗(yàn)證）

師：圖還是剛才的圖，為什么立體圖形的擺放方法不唯一了呢？

生6：因?yàn)樯倭艘粋€(gè)圖，所以有的地方可以多放，有的地方可以少放。

師：照這樣下去，如果只給大家一個(gè)圖呢？擺出的立體圖形會(huì)怎樣呢？

生7：會(huì)有很多種可能性。

師：欣欣找到了一個(gè)俯視圖（如圖4-1），悅悅在這幅圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行了加工（如圖4-2），兩者有什么區(qū)別嗎？

圖4-1

圖4-2

生8：悅悅在上面加了數(shù)字。

師：你知道這些數(shù)字代表什么嗎？標(biāo)記數(shù)字的好處是什么呢？還原的圖形是唯一的嗎？這些問(wèn)題都交給大家解決，開(kāi)始吧！

（學(xué)生自主嘗試，教師巡視，然后展示學(xué)生不同的作品，教師驗(yàn)證）

生9：其實(shí)，從標(biāo)有數(shù)字的俯視圖可以知道，從前面看（如圖5-1），可以看到1+2+1+1=5（個(gè)）正方體；從右面看（如圖5-2），可以看到1+2=3（個(gè)）正方體。

圖5-1

圖5-2

師：大家根據(jù)一個(gè)角度的圖，擺出了唯一的一個(gè)立體圖形。

師：欣欣又產(chǎn)生了這樣的疑問(wèn)——像這樣標(biāo)有數(shù)字的俯視圖，可以幫助我們解決個(gè)數(shù)、體積、表面積這些問(wèn)題嗎？

生10：個(gè)數(shù)只需要數(shù)就可以了。

生11：體積也只需要數(shù)就可以了。

師：為什么個(gè)數(shù)和體積只要數(shù)就可以了？

生12：都是看個(gè)數(shù)。

小結(jié)：個(gè)數(shù)和體積的本質(zhì)就是研究對(duì)象中包含多少個(gè)體積單位。

師：在解決表面積的過(guò)程中你有什么困惑嗎？生13：不好確定各個(gè)面的情況是什么。

4.我思考

師：看圖6（一個(gè)立體圖形的俯視圖），大家想想這個(gè)立體圖形的表面積是多少。

圖6

學(xué)生給出兩種答案：38 平方厘米和42 平方厘米。

師：我們來(lái)還原一下立體圖形。（課件演示）

5.我總結(jié)

師：回顧今天的學(xué)習(xí)，我們經(jīng)歷了哪些過(guò)程呢？在這些過(guò)程中你獲得了哪些體驗(yàn)？

生14：今天我們研究的過(guò)程很豐富，從探究立體圖形的三個(gè)過(guò)程（如圖7），明白了只需知道一個(gè)標(biāo)有數(shù)字的俯視圖就可以還原立體圖形。

圖7

三、設(shè)計(jì)意圖

1.矛盾初現(xiàn)，引發(fā)思維轉(zhuǎn)折

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)方法的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”，讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)活動(dòng)中通過(guò)自己的實(shí)踐和思考去創(chuàng)造，去獲取數(shù)學(xué)知識(shí)。在本課的開(kāi)始，通過(guò)經(jīng)歷根據(jù)三視圖、兩個(gè)圖和一個(gè)圖還原立體圖形的過(guò)程，學(xué)生理解了如果只有一個(gè)角度的圖是無(wú)法將立體圖形還原的，但教師將教材中常見(jiàn)的俯視圖與特殊的“標(biāo)有數(shù)字的俯視圖”同屏展示，引發(fā)學(xué)生思考兩者之間的區(qū)別，產(chǎn)生了思維的轉(zhuǎn)折。有了這樣的初始矛盾引發(fā)的思考，學(xué)生的思維出現(xiàn)了拐點(diǎn)，即只提供一個(gè)角度的圖，的確可以將立體圖形進(jìn)行還原，但前提是“標(biāo)有數(shù)字的俯視圖”。另外，學(xué)生將“標(biāo)有數(shù)字的俯視圖”和立體圖形的三維結(jié)構(gòu)之間建立對(duì)應(yīng)的聯(lián)系，最后通過(guò)擺一擺，進(jìn)一步體會(huì)“標(biāo)有數(shù)字的俯視圖”所蘊(yùn)含的深度信息，感受這樣的方式帶來(lái)的好處，為接下來(lái)的自主思考和解決問(wèn)題打下基礎(chǔ)。

2.矛盾深化，促使思維進(jìn)階

我國(guó)數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生認(rèn)為，數(shù)學(xué)中到處都是變與不變的矛盾統(tǒng)一，萬(wàn)變不離其宗，而我們之所以研究這些變化，最終的目的是找到共同的本質(zhì)特征。在學(xué)生理解了“標(biāo)有數(shù)字的俯視圖”的內(nèi)涵之后，讓學(xué)生用自己的方式計(jì)算立體圖形體積及表面積的大小，在對(duì)比中感受到求體積和表面積的方法不是唯一的。初步感受到使用數(shù)字俯視圖可以將平面轉(zhuǎn)化成立體，將體積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求和問(wèn)題，幫助學(xué)生完善空間圖像，切實(shí)發(fā)展空間觀(guān)念。特別是在研究立體圖形表面積問(wèn)題的過(guò)程中，明確只要知道上面、前面、右面3個(gè)面的面積再乘2就能計(jì)算圖形的表面積。在該過(guò)程中教師適時(shí)追問(wèn)，使學(xué)生在平面與立體之間、圖形與數(shù)字之間來(lái)回比較，經(jīng)歷這樣的過(guò)程后，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，從上面看，只要將看到的數(shù)字加起來(lái)，就得出組成立體圖形的小正方體的總個(gè)數(shù)，而從右面和前面看，不僅要明確方向，還要對(duì)數(shù)字進(jìn)行比較，這一列（行）的數(shù)字是幾，還要對(duì)從這一面看到的小正方體的個(gè)數(shù)進(jìn)行考究。通過(guò)這樣深化矛盾性的認(rèn)識(shí)，產(chǎn)生了思維的進(jìn)階。

3.矛盾再現(xiàn)，抵達(dá)思維巔峰

我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚認(rèn)為，新的數(shù)學(xué)方法和概念，常常比解決數(shù)學(xué)問(wèn)題更重要。在經(jīng)歷了利用“標(biāo)有數(shù)字的俯視圖”探究立體圖形表面積計(jì)算的過(guò)程后，學(xué)生已經(jīng)能熟練運(yùn)用這樣的方法進(jìn)行計(jì)算，隨即拋出“標(biāo)有數(shù)字的俯視圖”，這時(shí)大部分學(xué)生還是通過(guò)已有思路直接計(jì)算，計(jì)算的結(jié)果是38平方厘米，而少數(shù)學(xué)生想象出的結(jié)果是42 平方厘米，從而再次引發(fā)矛盾，到底哪個(gè)結(jié)果是對(duì)的呢？教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生還原立體圖形，經(jīng)過(guò)討論、觀(guān)察、對(duì)比不難發(fā)現(xiàn)，其實(shí)對(duì)于“標(biāo)有數(shù)字的俯視圖”，無(wú)論是采用直接計(jì)算的方法，還是觀(guān)察已有的立體圖形的三視圖，都無(wú)法準(zhǔn)確計(jì)算出立體圖形表面積。這與學(xué)生之前的總結(jié)又有了矛盾，在這樣的矛盾再現(xiàn)過(guò)程中，學(xué)生的空間想象力和空間觀(guān)念達(dá)到了巔峰。

教師要充分利用教材中的操作活動(dòng)素材，精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容和環(huán)節(jié)，以問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生深入思考問(wèn)題，放手讓學(xué)生動(dòng)手操作，學(xué)生才能深刻理解“觀(guān)察物體”的知識(shí)，從而發(fā)展空間觀(guān)念。