基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試模型及其應(yīng)用

鄭 瓊，許晴媛

(1.閩南師范大學(xué)a.教育與心理學(xué)院；b.計算機(jī)學(xué)院，福建漳州 363000)

0 引言

目前，對課業(yè)的評估大多采用所有學(xué)習(xí)者考同一張試卷的傳統(tǒng)方式.學(xué)習(xí)者獲得的評估結(jié)果僅是分?jǐn)?shù)或排名，對獲得自身當(dāng)前的知識狀態(tài)及缺失的知識點顯得無能為力，僅有少數(shù)學(xué)習(xí)者有機(jī)會獲得有經(jīng)驗的教師人工診斷每道錯題背后缺失的知識點.若利用計算機(jī)模擬這個過程，可讓所有學(xué)習(xí)者隨時隨地獲得這方面的幫助，有利于教育資源公平化，也能減輕教師負(fù)擔(dān).要實現(xiàn)不僅能給出測試的分?jǐn)?shù)、還能給出學(xué)習(xí)者當(dāng)前的知識狀態(tài)及缺失的知識點的計算機(jī)自適應(yīng)測試(Computer adaptive testing，CAT)，需要引入新的理論做基礎(chǔ).而知識空間理論(Knowledge Space Theory，簡稱“KST”)[1]在評估學(xué)習(xí)者知識結(jié)構(gòu)和能力水平方面極具優(yōu)勢.本文以知識空間理論為基礎(chǔ)，建立基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試模型.KST是由美國數(shù)學(xué)心理學(xué)家Falmagne 和比利時數(shù)學(xué)心理學(xué)家Doignon 于1985 年提出的用數(shù)學(xué)的方法對學(xué)習(xí)者進(jìn)行知識評價和指導(dǎo)學(xué)習(xí)的一種數(shù)學(xué)心理模型.國外已有大量對知識空間理論的研究，并成功將其理論應(yīng)用于自適應(yīng)教學(xué)系統(tǒng)和測評系統(tǒng)[1-4].

近年來，國外的KST 研究持續(xù)有新成果涌現(xiàn)，如：Pasquale 等[5]將GaLo 模型擴(kuò)展到技能不獨立的情況，并通過一個良級的能力空間來描述技能之間的依賴關(guān)系；Heller 等[6]闡述了唯一技能評估的充要條件；Anselmi 等[7]在文中提出了技能評估測試開發(fā)的新方法——引入基于能力的測試開發(fā).

國內(nèi)學(xué)者對知識空間理論也開展了一些研究，如：周弦[8]基于傳統(tǒng)的知識空間理論，提出了從知識狀態(tài)邊界角度研究自適應(yīng)測試的選題方法；孫波等[9]將KST 延伸至技能層面，得到了擴(kuò)展KST 并采用二分法的選題策略；劉艷花等[10]把知識狀態(tài)邊界推廣到擴(kuò)展知識空間理論；周銀鳳等[11]運用形式概念分析的方法尋找學(xué)習(xí)路徑并進(jìn)行技能評估；其勒格爾[12]利用KST 的學(xué)習(xí)診斷模型在“大學(xué)計算機(jī)基礎(chǔ)”課程中進(jìn)行實踐研究；楊桃麗等[13-16]對技能背景下的知識空間理論做許多研究.

從國內(nèi)外文獻(xiàn)研究來看，知識空間理論的研究經(jīng)過30 多年的發(fā)展已趨于成熟，利用知識空間理論實現(xiàn)自適應(yīng)測試是一種很好的方式，但在應(yīng)用上還有很多值得探討的方面.首先，現(xiàn)有研究在測試實施前，大多采用先從問題出發(fā)建立知識結(jié)構(gòu)再測試的方式.這樣做的弊端是隨著試題數(shù)量的增加，試題間關(guān)系確定難度大.從學(xué)科的角度看，特定學(xué)科的試題數(shù)量往往繁多，甚至海量.且先由問題建立知識結(jié)構(gòu)，當(dāng)問題改變時，初始步驟就要重建，這將帶來麻煩.其次，現(xiàn)有研究在測試過程中，通常采用二分法選題的選題策略，該方法偏程序化，不能真正根據(jù)測試對象的特征實現(xiàn)個性化.再次，選題方式會影響測試效率.根據(jù)受測者當(dāng)前的知識狀態(tài)的選題方法，能符合受測者的特征出題，真正實現(xiàn)個性化.

為了解決以上問題，本文利用知識空間理論，提出了一種基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試模型，設(shè)計了該模型的詳細(xì)實施步驟.在測試中，選題策略采取了在知識基中找邊界的方法，提升了選題效率.依據(jù)該模型，以“數(shù)據(jù)庫原理與應(yīng)用”課程中的“SQL 單表查詢”內(nèi)容為對象，編寫了自適應(yīng)測試程序，用程序模擬實現(xiàn)了受測者對該領(lǐng)域知識的個性化診斷，并給出其知識結(jié)構(gòu)和能力水平.

1 預(yù)備知識

1.1 知識空間理論

知識空間理論的核心概念包括：問題域、知識狀態(tài)、知識結(jié)構(gòu)、知識空間和問題之間的推測關(guān)系.

問題域是指由一系列問題組成的一個非空有限集Q.

定義1[3]若K是由非空問題域Q的子集構(gòu)成的集族，且K至少包含?和Q，則稱（Q，K）為知識結(jié)構(gòu).若K滿足并封閉，即對任意Ki,Kj∈K，有Ki?Kj∈K，則稱（Q，K）為知識空間.K中的元素被稱為知識狀態(tài).

知識狀態(tài)是在非空問題域Q={q1,q2,q3,…,qn}中，受測者在理想狀態(tài)下所能正確解決的問題的集合，用K表示，其中K?Q.理想狀態(tài)是指受測者在沒有受到外界壓力或情緒干擾的情況下，沒有粗心導(dǎo)致的錯誤和僥幸猜對的情況.

在問題域Q明確的情況下，可直接用K表示知識結(jié)構(gòu).受測者的知識狀態(tài)為空集?，表示其對所測問題域的知識一無所知.受測者的知識狀態(tài)為全集Q，表示其已全部掌握所測問題域的知識.

定義2[3]（Q，K）是一個知識結(jié)構(gòu)，?是定義在Q上的關(guān)系：r?q?Kr?Kq，其中r,q∈Q，Kr,Kq?K分別表示包含問題r和q的知識狀態(tài)的集合.當(dāng)滿足r?q時，稱r是q的前提，對應(yīng)的關(guān)系“ ?”稱為推測關(guān)系或前提關(guān)系.

不與推測關(guān)系相沖突的問題集合構(gòu)成了K的成員.r?q在語義上可以理解為：解決r是解決q的前提；或者說受測者可以正確回答q，那么就能正確回答r.

定義3[8]設(shè)問題域Q是非空有限問題集，K是問題域Q上的知識空間.對任意知識狀態(tài)K∈K，知識狀態(tài)K的鄰居記作N(K)，且N(K)={K′∣K′ ∈K,d(K,K′)≤1}；知識狀態(tài)K與K′之間的距離記作d(K,K′)，且d(K,K′)=∣K△K′∣=∣(KK′) ?(K′K)∣；知識狀態(tài)K的邊界記作F(K)，且F(K)

定義4[2]設(shè)F是問題域Q的非空子集族，q∈?F，F(xiàn)中包含q的極小集合稱為元素q的一個原子(atom)，知識基B就是Q中所有問題的原子構(gòu)成的集族.

例1 設(shè)有一知識結(jié)構(gòu)（Q，K），K={?,{a},{a,b},{b,c},{a,b,c}}中，知識狀態(tài){b,c} 是元素b的一個原子，同時也是元素c的一個原子;元素b有兩個原子：{a,b} 和{b,c} ;元素a只有一個原子{a} .

一個知識狀態(tài)可以是幾個問題的原子，一個問題也可以有多個原子.這些原子不能由其它知識狀態(tài)通過并操作來構(gòu)成，且有限的知識結(jié)構(gòu)中每個問題至少有一個原子.

文獻(xiàn)[17]介紹了知識空間中關(guān)于基的基本理論和方法.有限的知識空間必有一個基，且知識空間可由基唯一確定.由文獻(xiàn)[8]我們有如下定理.

定理1知識空間（Q，K）中，F(xiàn)(K)為知識狀態(tài)K在知識基B中的邊界，則有：

(1) 對任意問題q?K，如果q∈F(K)，當(dāng)且僅當(dāng)存在包含q的元素Bq∈B，Bq{q} ?K；

(2) 對任意問題q∈K，如果q∈F(K)，當(dāng)且僅當(dāng)存在不包含q的元素

例2 設(shè)有一知識空間（Q，K），Q={a,b,c}，K={?,{a},{c},{b,c},{a,c},{a,b,c}}，知識狀態(tài)K={a,c} .

由定義4，易求得其知識基B={{a},{c},{b,c}}，B中的元素分別為問題a，c，b的原子.由定理1，解得知識狀態(tài)K在知識基B中的邊界為：F(K)={a,b,c}.

1.2 基于技能的知識空間理論

基于技能的知識空間理論是知識空間理論引入了技能的擴(kuò)展[12]，原理論中的內(nèi)容依然有效.基于技能的知識空間理論中有技能域、技能狀態(tài)、技能結(jié)構(gòu)、技能空間和技能之間的推測關(guān)系等概念，這些概念與原理論類似，主要概念描述如下.

定義5[3]若T是由非空技能集S的子集構(gòu)成的集族，且T至少包含?和S，則稱(S,T)為技能結(jié)構(gòu);S稱為技能結(jié)構(gòu)的域(domain)，簡稱為技能域，T中的元素稱為技能狀態(tài);若T滿足并封閉，則稱(S,T)為技能空間.

定義6[3](S,T)是一個技能結(jié)構(gòu)，?是定義在S上的關(guān)系：s?t?Ts?Tt，其中s,t∈S，Ts,Tt?T分別表示包含問題s，t的技能狀態(tài)的集合.當(dāng)滿足s?t時，稱s是t的前提，對應(yīng)的關(guān)系“ ?”稱為推測關(guān)系或前提關(guān)系;T的成員是不與推測關(guān)系相沖突的技能集合.

知識結(jié)構(gòu)（Q，K）和技能結(jié)構(gòu)(S,T)之間通過技能函數(shù)和問題函數(shù)相互聯(lián)系.對于給定的知識結(jié)構(gòu)與技能結(jié)構(gòu)，以下定義描述了二者之間的聯(lián)系.

定義7[9]技能函數(shù)γ:Q→22S，γ(q) 表示解決問題q所需的極小技能集合的集族,γ(q) 中的元素也稱為極小技能狀態(tài).

若|γ(q)|=1，表示解決問題q的方法只有一種；若|γ(q)|>1，則表示解決問題q的方法有多種.在建立了技能函數(shù)γ的基礎(chǔ)上，再定義技能狀態(tài)函數(shù)η.

定義8[9]技能狀態(tài)函數(shù)η:Q→2T,η(q) 表示解決問題q可能的技能狀態(tài)集合.

由定義7 和定義8 可知，在給定的技能結(jié)構(gòu)(S,T)中，任意問題q，且| |γ(q)=1 時，η(q) 中所有元素的交集即是γ(q) .

定義9[9]問題函數(shù)δ:2S→2Q，并且要求滿足:δ(?)=?，δ(S)=Q.δ(t)表示技能集合t能解決問題的集合.

例3 設(shè)有一技能結(jié) 構(gòu)(S,T)，S={u,v,w}，T={?,{u},{v},{u,v},{u,w},{u,v,w}}，問題域Q={1,2,3}技能函數(shù)γ(q)的取值分別為γ(1)={{u}}，γ(2)={{v}}，γ(3)={{u,w}}.

根據(jù)定義8，可求得對應(yīng)的技能狀態(tài)函數(shù)值分別為

根據(jù)定義8，可以求得問題函數(shù)：

進(jìn)而得到知識結(jié)構(gòu)K={?,{1},{2},{1,2},{1,3},{1,2,3}}，從而實現(xiàn)了技能結(jié)構(gòu)與知識結(jié)構(gòu)的聯(lián)系.

下面闡述基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試模型，并以教育技術(shù)學(xué)專業(yè)課程“數(shù)據(jù)庫原理與應(yīng)用”中的“SQL 單表查詢”內(nèi)容為實驗對象，應(yīng)用該模型進(jìn)行自適應(yīng)測試.

2 基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試模型

基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試模型是對于某個具體的知識領(lǐng)域，利用知識空間理論，建立知識結(jié)構(gòu)并進(jìn)行自適應(yīng)測試，并把整個測試過程劃分成不同的步驟.基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試模型包括四個步驟.

2.1 建立技能結(jié)構(gòu)

本文統(tǒng)一把知識點當(dāng)作技能.對于特定學(xué)科領(lǐng)域，雖然題目眾多，但知識點的數(shù)量較固定且有限，故選擇從技能開始建立技能結(jié)構(gòu).學(xué)科專家根據(jù)測試目標(biāo)確定技能結(jié)構(gòu)的域，并根據(jù)經(jīng)驗確定技能間的推測關(guān)系，由推測關(guān)系，建立技能結(jié)構(gòu)(S,T).

2.2 構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)

學(xué)科專家根據(jù)技能結(jié)構(gòu)的域S，選擇問題構(gòu)成知識空間的問題域Q；根據(jù)經(jīng)驗和定義7，建立技能函數(shù)γ:Q→22S；根據(jù)定義8，計算得出技能狀態(tài)函數(shù)的值η:Q→2T；再根據(jù)定義9，求得問題函數(shù)δ:2S→2Q；進(jìn)而構(gòu)建用于測試的知識結(jié)構(gòu)（Q，K）.

下面給出構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)的算法.

算法1 構(gòu)建知識結(jié)構(gòu).

輸入：問題域Q，各問題和其前提問題的鍵值對preKps.

輸出: 知識結(jié)構(gòu)KStruct.

步驟1: 計算所有可能的知識狀態(tài)AllStateSet.

步驟2:構(gòu)建知識結(jié)構(gòu).

（1）KStruct=set()

（2）for KState in AllStateSet：

如果KState 中任意問題如果存在前提問題，且其前提問題都在KState 中，則將該問題加入到KStruct 中；

如果KState 中有問題不存在前提，則將該問題加入到KStruct 中.

步驟3:輸出KStruct.

2.3 實施基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試

建立技能結(jié)構(gòu)和知識結(jié)構(gòu)后就可以進(jìn)行測試.測試的重點是選題策略，即每次選出哪個問題進(jìn)行測試.根據(jù)受測者當(dāng)前已掌握知識狀態(tài)出題能真正實現(xiàn)個性化.更優(yōu)的選題策略能兼顧個性化又能盡快的診斷出結(jié)果，從而提升測試效率.常用的選題算法是二分法，如文獻(xiàn)[9]，該方法偏程序化，不能真正實現(xiàn)個性化.另一種方法是在知識狀態(tài)的邊界中選出下一測試問題，如文獻(xiàn)[10]，通過計算各當(dāng)前知識狀態(tài)的鄰居(距離≤1)，從而得到該知識狀態(tài)K的邊界F(K)，進(jìn)而按照規(guī)則在F(K)中選擇下一個要進(jìn)行測試的問題.此法較二分法更能實現(xiàn)“個性化”，但隨著問題數(shù)量增多，知識狀態(tài)的數(shù)量將會成指數(shù)增長，此法需要不斷的計算當(dāng)前知識狀態(tài)的鄰居和邊界，將消耗大量的時間和內(nèi)存，勢必會影響選題效率.而在一個知識空間中，知識基的數(shù)量遠(yuǎn)小于所有知識狀態(tài)的數(shù)量.故本文引入知識基的概念，采用在知識基的邊界進(jìn)行選題的策略來解決這個問題，以實現(xiàn)更高效的個性化測試.

在測試中，判斷受測者是否掌握了某個問題q或極小知識狀態(tài)B，B∈B，約定以下規(guī)則：

（Ⅰ）掌握了q，則一定掌握了q的至少一個極小知識狀態(tài)B；

（Ⅱ）掌握了某個極小知識狀態(tài)B，則一定掌握了B中所有的問題；

（Ⅲ）沒有掌握q，則沒有掌握q所有的極小知識狀態(tài)，反之亦然.

當(dāng)受測者正確回答某一問題r時，應(yīng)用規(guī)則（Ⅰ）確定其掌握了r的極小知識狀態(tài)K′(如果r有多個極小知識狀態(tài)，則隨機(jī)選擇一個)，反復(fù)應(yīng)用規(guī)則（Ⅰ）、（Ⅱ）可以確定受測者掌握了屬于K′的問題和包含于K′的極小知識狀態(tài)K″，并令該受測者已掌握問題的集合為當(dāng)前知識狀態(tài)K，進(jìn)而根據(jù)定理1，計算K的邊界F(K)，并從F(K)中選取還未掌握的問題出題.

如果受測者錯誤回答某一問題r時，應(yīng)用規(guī)則（Ⅲ）確定其沒有掌握r所有的極小知識狀態(tài)，則保持其當(dāng)前知識狀態(tài)K不變，并繼續(xù)從F(K)中選取還未掌握的問題出題.

測試結(jié)束條件：邊界F(K)中無題可選或F(K)為空.受測者的最終知識狀態(tài)為K，計算最終知識狀態(tài)K與Q之間的距離d(K,Q)可以確定受測者的能力水平，并轉(zhuǎn)換為技能狀態(tài).

下面給出基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試中，采用在知識基的邊界進(jìn)行選題的策略，由受測者某一時刻知識狀態(tài)，得到最終知識狀態(tài)的測試算法.

算法2 基于知識基邊界選題策略的測試算法.

輸入: 受測者在某時刻的知識狀態(tài)temp_KState.

輸出: 測受測者最終掌握的知識狀態(tài).

步驟1: 約定幾個變量.

令Q為問題域，Bk為知識基，KState 為受測者的知識狀態(tài)，YcT 為已出題的集合.

步驟2: 定義函數(shù)FK(tempKState)，其功能是在知識基中求知識狀態(tài)的邊界.

步驟3: 在知識基的邊界中選題.

（1）border=FK(temp_KState)#border 為知識狀態(tài)在知識基中的邊界.

（2）choicedTp=list(border-temp_KState)#choicedTp 為可選問題.

（3）while choicedTp:

步驟4: 當(dāng)無題可選或邊界為空時，return KState.

2.4 輸出測試結(jié)果

通過技能函數(shù)，把受測者的最終知識狀態(tài)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的技能狀態(tài)，計算其與技能域S 的差可得到受測者缺失的技能.自此，基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試已完成，實現(xiàn)了對測試對象能力的評估.

上述基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試模型可用圖1 描述.如圖1 所示，左圖是測試的主要步驟，右圖是選題過程的主要流程.

圖1 基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試模型

3 基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試模型應(yīng)用

通過“數(shù)據(jù)庫原理與應(yīng)用”課程的學(xué)習(xí)中可知，建立數(shù)據(jù)庫的目的是存儲數(shù)據(jù)、查詢和處理分析數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)庫查詢是數(shù)據(jù)庫的核心操作.在學(xué)習(xí)過程中，獲取學(xué)習(xí)者對查詢操作的掌握情況，可幫助學(xué)習(xí)者及時查漏補缺，有利于個性化學(xué)習(xí).下面以“SQL 單表查詢”內(nèi)容為例，闡述基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試模型進(jìn)行測試的具體實施過程.

3.1 建立技能結(jié)構(gòu)(S1,T1)

由學(xué)科專家確定“SQL 單表查詢”內(nèi)容的知識點，則技能結(jié)構(gòu)的域S1={a,b,c,d,e}中各技能編碼及描述如下：a為select 語句的一般格式，b為查詢表中的若干列，c為查詢表中的若干元組，d為對查詢結(jié)果進(jìn)行排序，e為對查詢結(jié)果進(jìn)行分組.

學(xué)科專家根據(jù)經(jīng)驗，定義技能域S1={a,b,c,d,e}中各技能之間如下語義:

（1）若受測者掌握了技能b，那么必掌握了其前提技能a；

（2）若受測者掌握了技能c，那么必掌握了其前提技能a；

（3）若受測者掌握了技能d，那么至少掌握了其前提b，c中的一個；

（4）若受測者掌握了技能e，那么必掌握了其前提技能b.

根據(jù)以上語義，由定義6 易得技能域S1={a,b,c,d,e}中各技能的推測關(guān)系為:a?b,a?c,b?c?d,b?e.如圖2 所示.

圖2 技能域S1={a,b,c,d,e}中各技能推測關(guān)系

根據(jù)定義6，符合以上推測關(guān)系的技能狀態(tài)有12 種，它們構(gòu)成了技能結(jié)構(gòu)T1={?,{a},{a,b},{a,c},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,c,d},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e},{a,b,c,d,e}}.自此，建立了技能結(jié)構(gòu)(S1,T1)，其哈斯圖如圖3所示.由定義5可知，T1在并上封閉，故(S1,T1)是一個技能空間.

圖3 技能結(jié)構(gòu)(S1,T1)哈斯圖

3.2 構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)(Q1,K1)

下面在“SQL 單表查詢”內(nèi)容建立技能結(jié)構(gòu)(S1,T1)基礎(chǔ)上構(gòu)建其對應(yīng)的知識結(jié)構(gòu)(Q1,K1)，具體步驟如下：

第1步 由學(xué)科專家根據(jù)技能結(jié)構(gòu)(S1,T1)，從教材《數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)原理教程(第2 版)》[18]中選出基于“學(xué)生-課程”數(shù)據(jù)庫的查詢題目，構(gòu)成一個關(guān)于“SQL 單表查詢”的問題域Q1={q1,q2,q3,q4,q5}，如表1 所示.開放性的問題可一定程度上避免僥幸猜對的情況.

表1 “SQL 單表查詢”的問題域Q1

學(xué)科專家根據(jù)經(jīng)驗，給出問題域Q1中各問題之間存在的如下語義：

(1) 若受測者能解決問題q2，那么一定能解決問題q1；

(2) 若受測者能解決問題q3，那么一定能解決問題q1；

(3) 若受測者能解決問題q4，那么至少能解決問題q2，q3中的一個；

(4) 若受測者能解決問題q5，那么一定能解決問題q2.

根據(jù)以上語義，由定義2 易得問題域Q1={q1,q2,q3,q4,q5}中各問題的推測關(guān)系為：q1?q2,q1?q3,q2?q3?q4,q2?q5..如圖4 所示.

圖4 問題域Q1 上的推測關(guān)系?

第2步 由定義7，學(xué)科專家依據(jù)經(jīng)驗，對“SQL 單表查詢”內(nèi)容，給出技能函數(shù)γ1:Q1→22S1，取值如下：

根據(jù)定義8，在技能函數(shù)的基礎(chǔ)上，計算技能狀態(tài)函數(shù)η1:Q1→2T1的值.由T1={?,{a},{a,b},{a,c},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,c,d},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e},{a,b,c,d,e}},可以求得對應(yīng)的技能狀態(tài)函數(shù)η1值為:

這里需要檢查技能狀態(tài)函數(shù)η1是否是單射.如果不是單射，即存在不同問題有相同的技能狀態(tài)函數(shù)值，則根據(jù)需要保留其中一個問題，從而保證每一個問題都是可辨識的，滿足|Q1|≤|T1-｛?｝|.因η1(q1)，η1(q2)，η1(q3)，η1(q4)，η1(q5)的值都不同，即問題域Q1中所有的問題是可辨識的.

第3步 由定義9，求解問題函數(shù)δ1:2S1→2Q1.我們僅須考慮有意義的元素，即縮小定義域為T1，因此問題函數(shù)δ1:T1→2Q1,T1?2S1.對技能結(jié)構(gòu)T1中的每一個技能狀態(tài)都進(jìn)行計算，結(jié)果如下：

根據(jù)以上計算得出所有問題函數(shù)的值，就是知識結(jié)構(gòu)K1的值.故有

由以上方法構(gòu)建的知識狀態(tài)與技能狀態(tài)是一一對應(yīng)的.自此，建立了測試用的知識結(jié)構(gòu)(Q1,K1)，其哈斯圖如圖5 所示.由定義1 可知，K1在并上封閉，故(Q1,K1)是一個基于能力的知識空間.

圖5 知識結(jié)構(gòu)(Q1,K1)的哈斯圖

3.3 實施“SQL 單表查詢”內(nèi)容的自適應(yīng)測試

由定義4，易得“SQL 單表查詢”內(nèi)容對應(yīng)的知識空間K1的知識基B1={q1},{q1,q2},{q1,q3},{q1,q2,q4},{q1,q3,q4},{q1,q2,q5}，即B1中各元素分別是問題q1，q2，q3，q4，q5(q4有2 個原子:{q1,q2,q4}，{q1,q3,q4})的極小知識狀態(tài).

“SQL 單表查詢”基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試過程闡述如下：

(1) 假定受測者初始知識狀態(tài)K=?，初始邊界為?.

(2) 隨機(jī)選擇問題域Q1中的一個問題作為初始測試問題.

若受測者對初始問題回答錯誤，則選擇該問題的前提問題再測試.如果一直回答錯誤，直到空集，表示受測者對這個領(lǐng)域的知識一無所知.如果回答正確，按照下述方法繼續(xù)測試.

假定初始測試問題是q2，且受測者回答正確，根據(jù)基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試規(guī)則（Ⅰ）可知其掌握了問題q2的極小知識狀態(tài){q1,q2}，分別根據(jù)規(guī)則（Ⅱ）、（Ⅰ）可知受測者掌握了問題q2，q1以及{q1}，此時受測者的知識狀態(tài)K1為已掌握問題的集合，即K1={q1,q2}.

(3) 由定理1，解得知識狀態(tài)K1={q1,q2}在知識基B1中的邊界為F(K1)={q2,q3,q4,q5}.因為q2已經(jīng)在其當(dāng)前知識狀態(tài)K1中，故從邊界中任選其它問題q3，q4，q5.不妨選擇q3，若受測者回答正確，根據(jù)規(guī)則（Ⅰ）可知其掌握了問題q3的極小知識狀態(tài){q1,q3}，根據(jù)規(guī)則（Ⅱ）可知其掌握了問題q1，q3，故受測者的知識狀態(tài)被更新為K2={q1,q2,q3}.

(4) 由定理1，解得知識狀態(tài)K2={q1,q2,q3}在知識基B1中的邊界為.由于q2q3已經(jīng)在受測者的知識狀態(tài)中，不必重復(fù)測試，故在q4，q5中隨機(jī)選擇q5，假定受測者回答正確，根據(jù)規(guī)則（Ⅰ）可知其掌握了問題q5的極小知識狀態(tài){q1,q2,q5}，根據(jù)規(guī)則（Ⅱ）可知其掌握了題目q1，q2，q5，受測者此刻的知識狀態(tài)被更新為K3={q1,q2,q3,q5}.

(5) 由定理1，解得知識狀態(tài)K3={q1,q2,q3,q5}在知識基B1中的邊界為由于q3已測試過，不必重復(fù)測試，故擇問題q4，假定受測者回答錯誤，根據(jù)規(guī)則（Ⅲ）可知，受測者對于問題q4的兩個極小知識狀態(tài)({q1,q2,q4}，{q1,q3,q4})均沒有掌握，受測者此刻的知識狀態(tài)保持不變，即K4=K3.繼續(xù)從F(K3)中選取沒有被掌握的問題出題，而F(K3)中已無題可選，故測試結(jié)束.該受測者最終知識狀態(tài)為K4={q1,q2,q3,q5}.

測試過程如圖6 所示，圖中描述了由初始試題q2沿箭頭方向依次出題q3，q5，q4的全過程，圓角矩形框內(nèi)為題目qi對應(yīng)的極小知識狀態(tài)；Ki為受測者在某一時刻的知識狀態(tài)；“q2+”表示受測者正確回答問題q2；“q4-”表示受測者錯誤回答問題q4.

圖6 基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試過程

3.4 輸出測試結(jié)果

通過技能函數(shù)γ1，把受測者最終的知識狀態(tài)K4={q1,q2,q3,q5}轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的技能狀態(tài){a,b,c,e}，于是，得到該受測者未掌握的技能是j5i0abt0b .至此，該受測者本次就“SQL 單表查詢”內(nèi)容基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試已經(jīng)完成，并得到了受測者知識結(jié)構(gòu)和能力水平.

4 實驗?zāi)M

下面依據(jù)基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試模型，使用Python 編程語言，在算法1、算法2 的基礎(chǔ)上編寫程序.該程序主要功能是實現(xiàn)對“SQL 單表查詢”的自適應(yīng)測試，受測者通過與程序交互，完成測試，實現(xiàn)對受測者能力水平的快速測試.運行環(huán)境為：Intel(R)Core(TM)i7-5500UCPU@2.40GHz 處理器，8GB 內(nèi)存，64 位Windows7操作系統(tǒng)，Anaconda3，Python3.8.

下面給出兩次模擬實驗演示的具體測試情況.

模擬實驗1 是運行自適應(yīng)測試程序并模擬受測者作答的一次測試過程，其具體過程如下：

首先，系統(tǒng)隨機(jī)出題q3，根據(jù)程序提示，模擬受測者輸入的正確答案“select sname，sage from student where sage<20”，程序立即給出作答正確反饋，并計算出當(dāng)前知識狀態(tài)為{q1,q3}，邊界為{q2,q3,q4}，可選問題為{q2,q4}.繼續(xù)出題q4，模擬輸入錯誤答案“>”，程序批改并保持知識狀態(tài)不變.繼續(xù)出題q2，模擬輸入正確答案“select sno，sname from student”，程序給出作答正確反饋且更新當(dāng)前知識狀態(tài)為{q1,q2,q3}，邊界為{q2,q3,q4,q5}，因q2，q3已掌握，q4已測試過，不必重新測試，故可選問題為{q5}.繼續(xù)出題q5，模擬輸入錯誤答案“<”，程序給出作答錯誤反饋，并保持知識狀態(tài)不變.此時，已無題可選，故測試結(jié)束.

最后，給出本次測試結(jié)果：受測者最終的知識狀態(tài)為{q1,q2,q3}，已掌握技能為{a,b,c}，缺失技能為{d,e}.模擬實驗1 的自適應(yīng)測試過程如圖7 所示.

圖7 基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試過程實驗?zāi)M1

模擬實驗2 是運行自適應(yīng)測試程序并模擬受測者作答的再一次的測試過程，如圖8 所示.程序運行后，進(jìn)入測試環(huán)節(jié)，依次出題q5，q4，q3，分別模擬受測者給予正確、錯誤、正確的回答，程序依次根據(jù)作答情況給出反饋，并迅速得出本次測試結(jié)果：測試者最終知識狀態(tài)為{q1,q2,q3,q5}，已掌握技能為{a,b,c,e}，缺失技能為j5i0abt0b.本次模擬測試結(jié)束.

以上兩次模擬實驗驗證了運用本文所提出的基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試模型就“SQL 單表查詢”內(nèi)容對受測者進(jìn)行診斷，其可行性、選題算法的有效性和測試的個性化.因此，該模型能夠?qū)崿F(xiàn)對受測者進(jìn)行個性化能力診斷.

綜上所述，基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試采用在知識基的邊界中選題的方式，縮小了搜索范圍.隨機(jī)選擇初始問題，增強了可操作性，之后每一次選題都取決于受測者當(dāng)前的知識狀態(tài)，且不同測試者其測試過程所需回答問題及其數(shù)量因人因時而異.從而實現(xiàn)了真正意義上的個性化測試.

5 總結(jié)與展望

本文主要探討了一種基于知識結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)測試模型，并把該模型應(yīng)用在“SQL 單表查詢”內(nèi)容，用程序模擬實現(xiàn)了受測者對這部分學(xué)習(xí)內(nèi)容的個性化診斷，并給出其知識結(jié)構(gòu)和能力水平.在已有方法的基礎(chǔ)上，本文主要進(jìn)行了兩個方面的改進(jìn)：提出從技能而不是從問題入手的順序更符合教學(xué)規(guī)律也便于實現(xiàn)，易于擴(kuò)展；采用知識基的邊界選題節(jié)省了大量計算鄰居的開銷，能更好地實現(xiàn)快速個性化診斷.除了測試功能，未來可以擴(kuò)展到個性化學(xué)習(xí)資源推送和生成可視化學(xué)習(xí)分析報告等方面.問題域Q 的各成員可以擴(kuò)展到一類問題，每一類由多個問題組成.每次抽取某一類中的一題組成問題域.這樣可以達(dá)到不同的受測者使用不同問題，或者同一測試者多次測試而問題不同.