非齊次邊界條件Rosenau-KdV 方程的有限差分格式

劉佳垚,王曉峰,羅詩(shī)棟

（閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建 漳州 363000）

0 引言

非線性波現(xiàn)象的研究是非線性研究中的一個(gè)重要課題，而非齊次邊界問(wèn)題一直是非線性波動(dòng)問(wèn)題研究中的一個(gè)難點(diǎn).對(duì)于非齊次邊界的處理有很多方法.Passonen V I[1]提出了由相鄰網(wǎng)格單元(包括邊界單元)組成的平衡單元和不使用方程本身的情況下近似邊界條件這兩種處理邊界條件的方法.Chen A 等人[2]將微分方程的定性理論應(yīng)用于滲透分散的K(2,2)方程，得到了滲透K(2,2)方程在非齊次邊界條件下的光滑、峰值和錐孤波解.除了上述方法，有限差分法也可應(yīng)用于非齊次邊界條件的處理.Esser H 等人[3]針對(duì)一類非齊次熱方程的初邊值問(wèn)題，研究了分別用Crank-Nicolson 差分格式和Saulyev 差分格式求得的近似解的誤差界的銳度.Wang X 等人[4]給出了求解邊界處具有時(shí)間周期的KdV 方程的有限差分格式，并驗(yàn)證了在時(shí)間和空間上分別達(dá)到二階和四階精度.鄧等人[5]將非齊次邊界KdV 方程轉(zhuǎn)化為齊次邊界，并利用有限差分法構(gòu)造一個(gè)三層線性有限差分格式.對(duì)于非齊次邊界條件Rosenau 方程，?zer S[7]提出了一種基于配置有限元方法的數(shù)值法，使用五次B 樣條函數(shù)來(lái)獲得由初始條件和邊界條件規(guī)定的非齊次Rosenau 型方程的近似解.

本文考慮將有限差分法應(yīng)用到非齊次邊界Rosenau-KdV方程：

其中：a1(t),a2(t),b1(t)和b2(t)是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)；u0(x)是已知光滑函數(shù).

1 輔助函數(shù)的引入與差分格式的構(gòu)造

引入輔助函數(shù)

其中，θ1(t),θ2(t),θ3(t),θ4(t)是四個(gè)待定的未知函數(shù)，且滿足v(x,t)=0.由（3）—（5）式可以得到以下關(guān)于θ1(t),θ2(t),θ3(t),θ4(t)的方程組:

可以求得方程組解為

其中，L=xr-xl.

將（5）式代入（1）—（4）式中，有

其中：

對(duì)問(wèn)題（6）—（8）考慮以下三層線性有限差分格式：

2 數(shù)值解的存在唯一性

引理1[8]對(duì)于任意網(wǎng)格函數(shù)vn∈，有

定理1差分格式（9）—（11）存在唯一解.

證明設(shè)

由初始條件可得存在唯一解v0.假設(shè)v0,v1,…,vn是唯一解，則考慮格式關(guān)于vn+1的齊次方程

將式（12）兩端與vn+1作內(nèi)積，根據(jù)引理1 得

由于

故有

取τ足夠小，使得

則‖vn+1‖=0，即（12）只有零解.

3 差分格式的無(wú)條件穩(wěn)定性

定理2差分格式（9）—（11）是無(wú)條件穩(wěn)定的.

證明取f(xj,tn)=0，考慮如下齊次方程

故可得|ε| ≤1，因此差分格式（9）—（11）滿足無(wú)條件穩(wěn)定性.

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

下面我們通過(guò)兩個(gè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)來(lái)證明所構(gòu)造格式的可行性，驗(yàn)證Rosenau-KdV 方程的齊次邊界下誤差和收斂精度以及Rosenau 方程在不同非齊次邊界條件下的圖像.

4.1 實(shí)驗(yàn)一——Rosenau-KdV 方程

取參數(shù)λkdv=1，我們可以得到方程

其初值條件為

精確解為

我們定義誤差范數(shù)和收斂階為

圖1 在T=10,τ= h=0.0625時(shí)不同時(shí)刻的數(shù)值解圖像

表1 在T=10時(shí)不同步長(zhǎng)下誤差和收斂階

4.2 實(shí)驗(yàn)二——Rosenau 方程

取參數(shù)λkdv=0，我們可以得到方程

我們無(wú)法得出方程(20)的精確解，因此，取xl=0,xr=3,u0(x)=0,τ=h=0.01,T=3 來(lái) 模擬出不同邊界條件下的數(shù)值解.其中圖2采用的是周期函數(shù)sin(5πt)來(lái)模擬出不同周期邊界下的數(shù)值解；類似的，圖3 采用兩個(gè)周期函數(shù)sin(5πt)和cos(5πt)來(lái)模擬數(shù)值解.

圖2 采用周期函數(shù)sin(5πt)模擬不同周期邊界下的數(shù)值解

圖3 采用兩個(gè)周期函數(shù)sin(5πt)和cos(5πt)模擬不同周期邊界下的數(shù)值解

從圖2 和圖3 中可以看出，數(shù)值解表現(xiàn)出的周期行為與邊界的周期行為相同.