數(shù)學(xué)知識(shí)“源”與“流”的實(shí)踐探究
——例談小學(xué)數(shù)學(xué)前置性探究學(xué)習(xí)單的設(shè)計(jì)思路

☉呂 晶

“源”是指數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，數(shù)學(xué)學(xué)科有一套嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)體系，知識(shí)和知識(shí)之間存在關(guān)聯(lián)。學(xué)生從本質(zhì)上把握數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠找到解決問(wèn)題的方向；“流”是指延伸數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生需要從解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中延伸到新知識(shí)、新方法、新思維。將“源”和“流”整合在一起，學(xué)生就能夠有效地完成前置性的學(xué)習(xí)。

一、找準(zhǔn)知識(shí)的“源”與“流”，有利于知識(shí)的承前啟后

學(xué)生學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)知識(shí)是不斷擴(kuò)展的。如果教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合以往的知識(shí)，逐漸延伸學(xué)習(xí)，學(xué)生便會(huì)覺(jué)得新知識(shí)是可以理解的。以往學(xué)過(guò)相關(guān)的知識(shí)是數(shù)學(xué)知識(shí)的“源”，當(dāng)下學(xué)到的知識(shí)是新知識(shí)的“流”［1］。下面以學(xué)習(xí)《認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)》為例來(lái)具體闡述。

（一）初步感知

初步感知，就是讓學(xué)生結(jié)合自己的感覺(jué)來(lái)預(yù)判。部分學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)有一種錯(cuò)誤的認(rèn)知，他們認(rèn)為自己只有學(xué)習(xí)了新理論，才能解決新問(wèn)題；反之，沒(méi)有學(xué)習(xí)新理論就不能解決問(wèn)題。他們沒(méi)有意識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)科來(lái)源于生活，它與生活有相通之處。學(xué)生需要結(jié)合自己的直覺(jué)、生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單的預(yù)判。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以通過(guò)生活經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)完成預(yù)判后，他們會(huì)產(chǎn)生學(xué)習(xí)成就感。如此題：請(qǐng)觀察以下的數(shù)，分析哪些是正數(shù)、哪些是負(fù)數(shù)：-8、3.6、0、-5.5、+100、-90。引導(dǎo)學(xué)生遷移以前的知識(shí)來(lái)分析問(wèn)題，學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)自然數(shù)、正整數(shù)和0 相關(guān)知識(shí)，觀察數(shù)字的特征，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)前面帶著“-”的數(shù)都是陌生的數(shù)，它們都可能是負(fù)數(shù)。這是結(jié)合舊知發(fā)現(xiàn)新知的教學(xué)方法。

（二）歸納知識(shí)

學(xué)生可以結(jié)合具體的案例，來(lái)歸納案例中共同的特征，在歸納和總結(jié)的過(guò)程中，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)新知，并對(duì)新知的特征有一個(gè)簡(jiǎn)單的概念。教師引導(dǎo)學(xué)生從案例中歸納新知的過(guò)程，就是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維、提升思維水平的過(guò)程。學(xué)生在歸納知識(shí)的過(guò)程中，可以感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程可以不必是被動(dòng)接受新知的過(guò)程，而可以是主動(dòng)思考、獲得新知的過(guò)程。如：正數(shù)和負(fù)數(shù)在表示上有什么區(qū)別？引導(dǎo)學(xué)生觀察新知，歸納總結(jié)它們的共同特征。學(xué)生發(fā)現(xiàn)負(fù)數(shù)的特征就是在以前學(xué)過(guò)的自然數(shù)前增加一個(gè)“-”號(hào)。在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的思維能力，學(xué)生發(fā)現(xiàn)憑借思維就能夠發(fā)現(xiàn)及學(xué)習(xí)到新知，他們能夠產(chǎn)生學(xué)習(xí)自信心。

（三）聯(lián)系生活

如果學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解僅限于理論的層面，那么學(xué)生可能不能理解知識(shí)的實(shí)際意義。為了讓學(xué)生理解知識(shí)的內(nèi)涵，教師需要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知在生活中的應(yīng)用，然后結(jié)合生活問(wèn)題來(lái)理解新知。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活，學(xué)生也會(huì)發(fā)現(xiàn)新知在生活中的應(yīng)用，學(xué)習(xí)新知是有價(jià)值和意義的，學(xué)好新知能幫助自己優(yōu)化生活。如：結(jié)合你自己的生活談?wù)剬?duì)負(fù)數(shù)的理解，你生活中有負(fù)數(shù)嗎？從數(shù)感出發(fā)說(shuō)說(shuō)負(fù)數(shù)？剛開(kāi)始學(xué)生不知道如何聯(lián)想生活中的負(fù)數(shù)。教師引導(dǎo)學(xué)生從生活中常用的正數(shù)問(wèn)題出發(fā)，思考正數(shù)中有沒(méi)有負(fù)數(shù)的運(yùn)用。通過(guò)思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)在記帳本時(shí)有正數(shù)也有負(fù)數(shù)，在統(tǒng)計(jì)溫度時(shí)有正數(shù)也有負(fù)數(shù)。結(jié)合這些生活的案例，學(xué)生意識(shí)到負(fù)數(shù)一定比正數(shù)小。

（四）辨析概念

有時(shí)學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，沒(méi)有意識(shí)到一些易混淆的概念，教師需要讓學(xué)生從辨析這些概念出發(fā)，進(jìn)一步梳理概念的形成。對(duì)于部分學(xué)生而言，他們難以獨(dú)立完成概念的辨析，學(xué)生可以在學(xué)習(xí)時(shí)和同學(xué)探討，各自說(shuō)明自己的想法和意見(jiàn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了學(xué)習(xí)難點(diǎn)以后，他們可以在課堂上重點(diǎn)關(guān)注這一知識(shí)點(diǎn)，從而使教師的課堂教學(xué)能提高效率。

（五）規(guī)范知識(shí)

當(dāng)學(xué)生完成了知識(shí)探索以后，教師需要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用以往的知識(shí)框架來(lái)建立新知識(shí)的框架，學(xué)生通過(guò)遷移學(xué)習(xí)，能夠發(fā)現(xiàn)知識(shí)和知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，他們能夠從學(xué)習(xí)舊知識(shí)的基礎(chǔ)上理解新知識(shí)，從而降低了知識(shí)理解的難度。如：結(jié)合正數(shù)的定義、寫(xiě)法、讀法歸納出負(fù)數(shù)的定義、寫(xiě)法、讀法，引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)，結(jié)合以往學(xué)習(xí)的正數(shù)知識(shí)框架，來(lái)分析負(fù)數(shù)的定義、寫(xiě)法、讀法，將負(fù)數(shù)知識(shí)體系納入到數(shù)字分類的體系中。建立了全新的知識(shí)框架以后，學(xué)生就能應(yīng)用這套框架來(lái)詮釋與辨析數(shù)學(xué)問(wèn)題。

二、看準(zhǔn)知識(shí)的“源”與“流”，引導(dǎo)學(xué)生類化研究方法

以往的學(xué)習(xí)成果，就是學(xué)生的“源”，而結(jié)合以往的學(xué)習(xí)成果來(lái)探索新知，就是學(xué)生的“流”，做好“源”與“流”的銜接，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵是存在延伸性的，在學(xué)習(xí)時(shí)，只要發(fā)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)容就能做到“一理通、百理通”［2］。下面以學(xué)習(xí)《運(yùn)算律》為例。

（一）優(yōu)化問(wèn)題引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì)

在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新知以前，教師需要通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)以往學(xué)習(xí)的舊知本質(zhì)是什么。教師引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知，學(xué)生可以通過(guò)教師的引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)是否完善。幫助學(xué)生打好學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，是教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的重要環(huán)節(jié)。如下圖1：

圖1

問(wèn)1：看到圖1，你能不能說(shuō)說(shuō)這是個(gè)什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？你生活中有這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？

引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)問(wèn)題與生活聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生遷移以往學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，把數(shù)學(xué)問(wèn)題編寫(xiě)成應(yīng)用題。這是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的方法。

問(wèn)2：請(qǐng)分析應(yīng)用題中的已知條件和未知答案，畫(huà)出線段圖，列出算式。

教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、圖形、數(shù)學(xué)模型來(lái)分析生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，使數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)理解得更加深刻。

（二）借助探究經(jīng)驗(yàn)，鼓勵(lì)探究新知

在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生基于以往的舊知經(jīng)驗(yàn)來(lái)理解現(xiàn)在面對(duì)的是一個(gè)什么數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后在以往的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言完成新知的描述。過(guò)去學(xué)生在探究舊知時(shí)，曾經(jīng)完成過(guò)探究學(xué)習(xí)，積累過(guò)探究經(jīng)驗(yàn)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生基于以往的探究經(jīng)驗(yàn)來(lái)探究新知。如下圖2：

圖2

問(wèn)1：參看圖2，結(jié)合圖1 的學(xué)習(xí)，你能不能夠說(shuō)說(shuō)這圖2 中反映了什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？能探索出一個(gè)什么數(shù)學(xué)規(guī)律？

引導(dǎo)學(xué)生回顧圖1 中兩個(gè)問(wèn)題的學(xué)習(xí)，通過(guò)遷移學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)就是?＋25 ＝60；35 ＋?＝60。

問(wèn)2：請(qǐng)結(jié)合你的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)推測(cè)，將加法的兩個(gè)因子交換，和會(huì)不會(huì)發(fā)生變化呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生在理解數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行推測(cè)。學(xué)生應(yīng)用假設(shè)的方法，得出結(jié)果，學(xué)生在假設(shè)的過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生學(xué)習(xí)好奇心，自己的假設(shè)結(jié)果是對(duì)的嗎？學(xué)生的疑問(wèn)驅(qū)使學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)。

問(wèn)3：你能不能應(yīng)用生活中的教學(xué)用具來(lái)完成計(jì)算呢？請(qǐng)結(jié)合以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)用教學(xué)用具來(lái)說(shuō)明算理。

學(xué)生得到假設(shè)以后，教師要鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用教學(xué)用具探索。在教師的引導(dǎo)下遷移以往的實(shí)踐，以團(tuán)隊(duì)合作的方式開(kāi)展探索活動(dòng)，在探索的過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)實(shí)踐，從算理的角度理解了加法交換律。這一環(huán)節(jié)是引導(dǎo)學(xué)生在具象化的環(huán)境中，結(jié)合自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)解決具象化問(wèn)題的環(huán)節(jié)。

問(wèn)4：你覺(jué)得會(huì)出現(xiàn)以上規(guī)律，原因是什么呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生交流自己探索得到的規(guī)律，不同層次的學(xué)生發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可能不一樣。層次較低的學(xué)生只能夠應(yīng)用學(xué)到的算理說(shuō)明35 ＋25 ＝60 這個(gè)案例中，把加法因子交換以后，結(jié)果不變的原因。而層次較高的學(xué)生則可以結(jié)合算理總結(jié)出a ＋b ＝b ＋a背后的原理。還有一些學(xué)生甚至能結(jié)合自己的興趣及學(xué)習(xí)水平把它延伸到減法、乘法、除法探索中。學(xué)生回答的問(wèn)題反映出他們的學(xué)習(xí)層次，教師鼓勵(lì)學(xué)生取長(zhǎng)補(bǔ)短，共同提升學(xué)習(xí)層次。而教師可以從前置學(xué)習(xí)單中了解學(xué)生的層次，把它作為課堂上小組合作分層的依據(jù)，并針對(duì)學(xué)生的層次進(jìn)行有針對(duì)性的引導(dǎo)。

三、找準(zhǔn)知識(shí)的“源”與“流”，幫助學(xué)生開(kāi)展實(shí)踐活動(dòng)

教師在教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用以往的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，這是知識(shí)的“源”，來(lái)解決當(dāng)下的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這是學(xué)生需要延伸的“流”。學(xué)生在正式學(xué)習(xí)新知之前完成實(shí)踐學(xué)習(xí)，能夠探索出大量的新知［3］。下面以《長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)》教學(xué)為例來(lái)具體闡述。

（一）任務(wù)設(shè)計(jì)

教師需要緊扣教學(xué)要求設(shè)計(jì)任務(wù)，教師需要在設(shè)計(jì)任務(wù)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)分析任務(wù)的本質(zhì)。如：畫(huà)出學(xué)校操場(chǎng)的平面圖，請(qǐng)參看這個(gè)平面圖形是什么形狀，結(jié)合以往測(cè)三角形的經(jīng)驗(yàn)，你知道它的周長(zhǎng)計(jì)算方法嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的特征，分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的指象，雖然學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)解決問(wèn)題的理論，但是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)以往類似的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生可以借助以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)嘗試解決問(wèn)題。而學(xué)生的嘗試性學(xué)習(xí)可以成為后續(xù)學(xué)習(xí)知識(shí)的依據(jù)。

（二）質(zhì)量控制

以往學(xué)生在完成任務(wù)時(shí)，曾經(jīng)掌握過(guò)數(shù)據(jù)質(zhì)量控制的方法，教師需要在任務(wù)單中特別強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)質(zhì)量的控制。一方面是為了讓學(xué)生重視質(zhì)量控制這個(gè)問(wèn)題；另一方面也是為了讓學(xué)生從質(zhì)量控制的角度著手，發(fā)現(xiàn)多種測(cè)量方法，從而使他們能夠在學(xué)習(xí)的過(guò)程中發(fā)揮想象力，應(yīng)用多元視角來(lái)思考如何解決問(wèn)題。例如，在計(jì)算的過(guò)程中，你覺(jué)得你能精確地測(cè)量出較長(zhǎng)的直線距離嗎？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)看你控制測(cè)量精度的方法。引導(dǎo)學(xué)生在思考問(wèn)題的時(shí)候，從成本和精度兩個(gè)角度思考，自己能不能夠得到更多解決問(wèn)題的方法，這些解決問(wèn)題的方法和優(yōu)勢(shì)是什么。例如，有一些學(xué)生會(huì)提出應(yīng)用計(jì)步來(lái)估算操場(chǎng)的長(zhǎng)與寬，也有一些學(xué)生應(yīng)用在操場(chǎng)上插標(biāo)竿，然后疊加計(jì)算每段標(biāo)竿長(zhǎng)度的方法完成計(jì)算。

（三）促進(jìn)交流

學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，如果充分交流，取長(zhǎng)補(bǔ)短，那么他們的思維能力能夠得到提升，教師需要引導(dǎo)學(xué)生在完成任務(wù)的過(guò)程中，與他人交換任務(wù)完成的情況，發(fā)現(xiàn)自己的學(xué)習(xí)不足。例如，你與自己的同學(xué)交流過(guò)測(cè)量的結(jié)果嗎？你看到了幾種測(cè)量周長(zhǎng)的方法？能不能說(shuō)說(shuō)這些測(cè)量方法的優(yōu)勢(shì)和不足？在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生交換了測(cè)量的結(jié)果，學(xué)生在交換的過(guò)程中分析如何評(píng)價(jià)測(cè)量的質(zhì)量。學(xué)生從花費(fèi)的時(shí)間、使用的人力、需要的設(shè)備、數(shù)據(jù)的精度來(lái)評(píng)價(jià)。有些學(xué)生看到了自己的數(shù)據(jù)與真實(shí)的數(shù)據(jù)差距太大，即意味著自己的數(shù)據(jù)質(zhì)量控制存在著問(wèn)題，自己需要重新測(cè)量；有些學(xué)生則看到了自己的數(shù)據(jù)精度雖然很高，卻在學(xué)習(xí)中動(dòng)用了父母的力量，而假如沒(méi)有父母的力量介入，自己又如何完成任務(wù)，這些學(xué)生也開(kāi)始了反思。

（四）呈現(xiàn)成果

學(xué)生需要結(jié)合自己的實(shí)踐說(shuō)明理論。學(xué)生之間存在差異，有些學(xué)生只能夠結(jié)合具象化的實(shí)踐案例來(lái)簡(jiǎn)單說(shuō)明理論；而有些學(xué)生則通過(guò)發(fā)散聯(lián)想，思考下一步探索的方向。學(xué)生的實(shí)踐成果依然是教師調(diào)整教學(xué)方案、在課堂上予以針對(duì)性引導(dǎo)的依據(jù)。例如，結(jié)合你的實(shí)踐成果，說(shuō)明長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)如何計(jì)算？你還從實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)了什么其他的知識(shí)嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的探索步驟。引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用歸納總結(jié)的方法把具象化的數(shù)學(xué)式子變成抽象化的數(shù)學(xué)模式；引導(dǎo)學(xué)生遷移以往的學(xué)習(xí)框架，來(lái)形成新知的框架；引導(dǎo)學(xué)生辨析新知和舊知的聯(lián)系與不同。有一些學(xué)生通過(guò)這一次的實(shí)踐說(shuō)明了長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算方法就是測(cè)量出它的四條邊，然后讓長(zhǎng)和寬相加；有一些學(xué)生則應(yīng)用字母總結(jié)出測(cè)量公式：C ＝2（a＋b）；還有一些學(xué)生則發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)增長(zhǎng)與長(zhǎng)和寬的增長(zhǎng)是存在規(guī)律性的。此時(shí)學(xué)生開(kāi)始分析，周長(zhǎng)的增長(zhǎng)與長(zhǎng)和寬的增長(zhǎng)存在哪些關(guān)系。

四、總結(jié)

前置性學(xué)習(xí)任務(wù)單就是要在明確教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，借助學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、思維水平來(lái)嘗試性地完成新知學(xué)習(xí)，這是“源”與“流”的思考。結(jié)合這一前提，教師需要了解前置性學(xué)習(xí)單設(shè)計(jì)能否引導(dǎo)學(xué)生快速啟動(dòng)學(xué)習(xí)程序，能否在進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)后有方法、有步驟地完成學(xué)習(xí)，以便為課堂學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。