基于改進(jìn)變結(jié)構(gòu)趨近律的機(jī)械臂滑?？刂葡到y(tǒng)

宋濤濤，李艷萍，李洪港，韓春雪

（山東建筑大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250101）

0 引 言

機(jī)械臂是一個(gè)典型的不穩(wěn)定、非線性、多變量且具有強(qiáng)耦合性的控制系統(tǒng)［1］，在各種場(chǎng)景都具有廣泛的應(yīng)用屬性。在裝配、鉆孔、打磨等各個(gè)領(lǐng)域，都需要機(jī)械臂高精度的軌跡跟蹤。但是作為一個(gè)復(fù)雜性的被控對(duì)象，機(jī)械臂本身具有模型難確定和易受干擾影響的缺點(diǎn)，使得標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)模型較難確定下來(lái)。常見(jiàn)的控制器如PID 控制在受到外部干擾時(shí)，其動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)定性難以控制。因此，為了保證機(jī)械臂的控制效果，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者提出了許多類型的控制算法，比如魯棒控制［2-4］、自適應(yīng)控制［5］、滑?？刂疲?-7］、模糊控制［8-9］、智能優(yōu)化算法控制［10-11］和多種控制策略結(jié)合［12-13］。其中滑?？刂疲⊿MC）以其抗干擾能力強(qiáng)、易實(shí)現(xiàn)和控制效果良好的特點(diǎn)得到了廣泛的應(yīng)用。但是，滑?？刂频那袚Q特性使得機(jī)械臂存在著抖振現(xiàn)象，造成控制精度下降，使系統(tǒng)的魯棒性下降。因此消除抖振現(xiàn)象勢(shì)必能夠提高系統(tǒng)的控制效果。

為了解決滑?？刂破鲀?nèi)部存在的抖振和收斂速度問(wèn)題，各領(lǐng)域的學(xué)者提出了各種優(yōu)化方法。文獻(xiàn)［14］使用改進(jìn)飽和函數(shù)來(lái)替代傳統(tǒng)切換函數(shù)，在保證飽和寬度下，調(diào)整指數(shù)因子削弱抖振，提高控制精度。但是由于誤差為非零值，系統(tǒng)的魯棒性減弱。文獻(xiàn)［15］利用冪次趨近律和反雙曲正弦函數(shù)設(shè)計(jì)了一種新型變結(jié)構(gòu)冪次趨近律，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)滑?？刂茰p弱了高頻震顫現(xiàn)象。但是收斂時(shí)間較長(zhǎng)，逼近效果降低。文獻(xiàn)［16］提出了一種功率指數(shù)趨近律降低了到達(dá)滑模面的抖振效應(yīng)，減少了到達(dá)時(shí)間，但未考慮非線性復(fù)雜系統(tǒng)的應(yīng)用。文獻(xiàn)［17］通過(guò)分塊RBF 逼近模型的滑模控制方式，針對(duì)不同階段的趨近律進(jìn)行設(shè)計(jì)，降低了跟蹤誤差。文獻(xiàn)［18］結(jié)合雙冪次趨近律和雙曲正切趨近律的特點(diǎn)，提出改進(jìn)趨近律對(duì)系統(tǒng)的抖振做出了有效控制，但收斂速度仍然存在一定的降低。

考慮到傳統(tǒng)滑?？刂频内吔汕袚Q函數(shù)會(huì)造成系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象，并且在趨近滑模面的過(guò)程是漸進(jìn)收斂的原因，本文在反雙曲正弦函數(shù)和快速冪次趨近律的特點(diǎn)上設(shè)計(jì)一種改進(jìn)變結(jié)構(gòu)趨近律來(lái)提高收斂速度和削弱系統(tǒng)的抖振。本文利用快速冪次趨近律的特點(diǎn)，在遠(yuǎn)離滑模態(tài)時(shí)以較大的速度趨近滑模態(tài)，同時(shí)在趨近滑模時(shí)以較小的控制增益趨近滑模態(tài)，以降低抖振。同時(shí)，當(dāng)趨近滑模態(tài)時(shí)，利用反雙曲正弦函數(shù)光滑連續(xù)的特性可使系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面，加快收斂速度。通過(guò)動(dòng)力學(xué)搭建機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的萬(wàn)能逼近特性，逼近線性系統(tǒng)的非線性部分、不確定項(xiàng)和未知擾動(dòng)，可以有效地補(bǔ)償控制器的干擾。通過(guò)Matlab/Simulink 對(duì)控制算法進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，對(duì)比其他控制方法，驗(yàn)證了該改進(jìn)趨近律在加快系統(tǒng)收斂速度和降低抖振方面具有有效性和可行性。

1 機(jī)械臂模型描述

拉格朗日法［19］通過(guò)計(jì)算控制系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能，分別對(duì)廣義坐標(biāo)和其導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)得標(biāo)準(zhǔn)公式為：

式中：L=K-P，K為系統(tǒng)的總動(dòng)能，P為系統(tǒng)的總勢(shì)能；θi和θ?i分別為各個(gè)關(guān)節(jié)的角度和角速度，τi為各個(gè)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩。

圖1 為二自由度的旋轉(zhuǎn)機(jī)械臂，圖中忽略了關(guān)節(jié)連接處質(zhì)量。令連桿1 和連桿2 的質(zhì)量分別為m1與m2，連桿的長(zhǎng)度分別為l1與l2，連桿1 與x面的夾角為θ1，連桿2與連桿1的夾角為θ2。設(shè)連桿的重心位于連桿中心處，通過(guò)拉格朗日方程建立數(shù)學(xué)模型為：

圖1 二自由度機(jī)械臂模型

其中，M（θ）為正定的質(zhì)量慣性矩陣［20］，C(θ，θ?)為哥氏力、離心力矩陣，G（θ）為重力矩陣，τd為阻力矩，μ為機(jī)械臂的輸入力矩。

性質(zhì)1慣性矩陣M（θ）為對(duì)稱的正定矩陣，存在正數(shù)m1、m2且滿足以下條件：

性質(zhì)2M?(θ) - 2C(θ，θ?)是一個(gè)斜對(duì)稱矩陣，滿足：

求解式（2）中參數(shù)為：

表1為本系統(tǒng)中進(jìn)行仿真時(shí)的參數(shù)表。

表1 機(jī)械臂參數(shù)

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 滑模函數(shù)

假設(shè)機(jī)械臂的期望軌跡角度為θd，實(shí)際角度為θ，定義期望軌跡與實(shí)際軌跡之間的誤差e和其導(dǎo)數(shù)e?為：

將滑模函數(shù)定義為線性滑模函數(shù)：

?。?/p>

2.2 趨近律設(shè)計(jì)

滑模控制的運(yùn)動(dòng)過(guò)程主要分為2個(gè)階段［21］：趨近運(yùn)動(dòng)和滑模運(yùn)動(dòng)。趨近運(yùn)動(dòng)過(guò)程是系統(tǒng)在任意的初始狀態(tài)逐漸逼近到滑模面的過(guò)程，而趨近律可以體現(xiàn)在趨近的速度。同時(shí)典型的趨近律有：

1）等速趨近律：

其中，系數(shù)δ表示趨近滑模面的速率。由式（12）可知，δ越大，則速率越低，δ越小，速率越高，但是抖振會(huì)有所增加。

2）指數(shù)趨近律：

指數(shù)趨近律具有較大的趨近速度，能夠快速到達(dá)滑模面，但是僅依靠指數(shù)項(xiàng)無(wú)法保證能在有限的時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面，因此需要增加等速趨近律項(xiàng)。在趨近滑模面速度不為零的前提下可以保證趨近過(guò)程在有限時(shí)間內(nèi)可達(dá)，并且可以增大ε的同時(shí)減小δ，降低消減系統(tǒng)的抖振。

3）冪次趨近律：

可以通過(guò)調(diào)整γ的值來(lái)調(diào)整系統(tǒng)趨近于滑膜面，當(dāng)接近滑模面的時(shí)候，可以保證具有較小的增益，以降低抖振。雖然比較平滑，但是趨近的速度會(huì)有所降低。同時(shí)指數(shù)趨近律的指數(shù)項(xiàng)具有快速趨近的特點(diǎn)，增加指數(shù)項(xiàng)能夠提升到達(dá)滑模態(tài)趨近速度。符號(hào)函數(shù)sgn（s）雖然具有較快的收斂速度，但是抖振的影響較為明顯。本文結(jié)合反雙曲正弦函數(shù)arsinh（s）的順滑特性和分段函數(shù)的精準(zhǔn)控制條件對(duì)趨近律進(jìn)行改進(jìn)，如下所示：

式中，α>1，β∈（0，1），δ1、δ2、ε1、ε2、k1、k2為趨近律的正系數(shù)參數(shù)。

收斂性證明：

當(dāng)在初始條件下，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)偏離滑模面較大時(shí)，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)會(huì)被 |s|> 1 項(xiàng)控制，α占據(jù)主導(dǎo)作用，同時(shí)冪次趨近律保證快速趨近滑模面。當(dāng) |s|≤1 時(shí)，β占據(jù)主導(dǎo)作用，仍然使靠近滑模面時(shí)依然有快速的趨近速度。同時(shí)反雙曲正弦函數(shù)arsinh（s）保證了趨近過(guò)程的順滑性，降低了抖振的影響。在相同條件下，本文對(duì)等速趨近律、冪次趨近律、快速冪次趨近律和改進(jìn)變結(jié)構(gòu)趨近律趨近過(guò)程進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，如圖2所示。

圖2 滑模相軌跡

由圖2 可以看出，改進(jìn)變結(jié)構(gòu)趨近律在遠(yuǎn)處和靠近滑模面都表現(xiàn)出了快速趨近的特性，在趨近的同時(shí)還能有效地降低系統(tǒng)抖振現(xiàn)象。

3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)

徑向基函數(shù)（RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［23］是一種基于生物神經(jīng)的數(shù)據(jù)處理模型，模擬神經(jīng)元的傳遞方式進(jìn)行不斷的學(xué)習(xí)，其中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包含節(jié)點(diǎn)和連接的閾值。RBF 是一種監(jiān)督學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)，具有收斂速度快、可以逼近非線性函數(shù)的特點(diǎn)。RBF的分層圖如圖3所示。

圖3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

由式（11）可知f代表模型信息，同時(shí)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，需要對(duì)其進(jìn)行非線性逼近。設(shè)置輸入為xk=[x1x2…xn]，k∈{1，2}，其中η為輸入變量x的維數(shù)。本文中的核函數(shù)選擇高斯函數(shù)hj，即式（17），其中，m為隱含層的個(gè)數(shù)。

其中，a為m×n的矩陣，b為標(biāo)準(zhǔn)化的常系數(shù)，W為閾值構(gòu)成的系數(shù)矩陣，f（x）為輸出矩陣。采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出來(lái)逼近機(jī)械臂的模型中的f，設(shè)得到輸出的逼近結(jié)果為f?(x)，則得式（19）：

代入式（18）得：

式中，Kv為正控制系數(shù)，v為用來(lái)補(bǔ)償RBF的誤差ε和干擾的力矩τd的魯棒項(xiàng)。取：

將式（20）與式（21）代入式（10）可得：

4 穩(wěn)定性分析

李雅普諾夫（Lyapunov）穩(wěn)定性［24］可以描述一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果該動(dòng)力系統(tǒng)在任意初始狀態(tài)下能夠回歸到平衡態(tài)，則稱為李雅普諾夫穩(wěn)定。本文定義李雅普諾夫（Lyapunov）函數(shù)L為：

其中，tr 為矩陣的求跡運(yùn)算；H為斜對(duì)稱矩陣diag（h1，h2，…，h2m），且hi>0。對(duì)兩邊求導(dǎo)得：

取自適應(yīng)律?為：

代入公式（26）和數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)1，可得到斜對(duì)稱物理特性，sT(M? - 2C)s= 0。

由于sT(ε+τd+v) ≤0 可得L?≤0。且L>0 屬于正定，L?≤0 屬于半負(fù)定，證明根據(jù)LaSalle 不變性定理，當(dāng)且僅當(dāng)s=0，L?=0，即閉環(huán)系統(tǒng)屬于漸進(jìn)穩(wěn)定。

5 仿真分析

本文設(shè)置2 桿角度的初始位置為θ=[3.0 2.0]T，而二自由度機(jī)械臂的目標(biāo)期望軌跡角度設(shè)置為：θd=[2 sin(0.2πt) 2 sin(0.2πt)]T；干擾項(xiàng)參數(shù)設(shè)置為：τd=[0.1 sin(t) 0.1 sin(t)]T，誤差項(xiàng)ε=[0.1 0.1]T和正常系數(shù)參數(shù)Κv= diag(100,100)。同時(shí)令RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入?。簒=[ed e?d θd θ?d θ?d]T，高斯函數(shù)的中心點(diǎn)c= 0.5[-2 -1 0 1 2]T，令標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)常數(shù)b=3，H=diag（100，100，…，100）。本文通過(guò)基于重力補(bǔ)償?shù)腜ID、等速趨近律、快速冪次趨近律與改進(jìn)變結(jié)構(gòu)趨近律之間進(jìn)行控制對(duì)比實(shí)驗(yàn)，針對(duì)2 軸機(jī)械臂模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真。機(jī)械臂的角度和角速度的跟蹤仿真結(jié)果如圖4~圖7所示。

圖4 關(guān)節(jié)1角度跟蹤

通過(guò)Simulink 搭建仿真模型，對(duì)模型進(jìn)行軌跡跟蹤分析。如圖4和圖5所示，針對(duì)角度跟蹤效果，基于改進(jìn)的趨近律相較于傳統(tǒng)PID 控制、等速趨近律控制和快速趨近律控制逼近速度更快，波動(dòng)性較低。

圖5 關(guān)節(jié)2角度跟蹤

由圖6 和圖7 可知，改進(jìn)分組趨近律對(duì)角速度的跟蹤效果良好。且由圖8 和圖9 的誤差效果比較可知，改進(jìn)型變結(jié)構(gòu)趨近律誤差收斂速度更快，保證在較短的時(shí)間內(nèi)快速回歸到誤差零點(diǎn)，能夠有效地降低抖振，而PID 和等速趨近律收斂速度較慢，快速冪次趨近律存在速度收斂較慢且具有一定的抖振現(xiàn)象。

圖6 關(guān)節(jié)1角速度跟蹤

圖7 關(guān)節(jié)2角速度跟蹤

圖8 關(guān)節(jié)1誤差曲線

圖9 關(guān)節(jié)2誤差曲線

6 結(jié)束語(yǔ)

本文建立了一種二自由度機(jī)械臂的模型，通過(guò)分析機(jī)械臂，代入已知參數(shù)，計(jì)算拉格朗日方程，得到機(jī)械臂的數(shù)學(xué)模型和狀態(tài)方程?；诘人仝吔珊蛢绱乌吔?，提出了改進(jìn)型變結(jié)構(gòu)趨近律方法。分析了其抖振特性和趨近速率，驗(yàn)證了其能夠有效地削弱系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象和提高趨近速度。基于Lyapunov 穩(wěn)定性理論證明了系統(tǒng)必然趨于穩(wěn)定，通過(guò)仿真結(jié)果表明改進(jìn)趨近律有著更快的趨近速度和降低抖振的特性。