米字形填充正方形蜂窩異面平臺應(yīng)力

孫德強(qiáng)，常露，邢月卿，王倩，張藝行，駱澤龍，董成輝，王思宇

米字形填充正方形蜂窩異面平臺應(yīng)力

孫德強(qiáng)1，常露1，邢月卿1，王倩1，張藝行1，駱澤龍1，董成輝1，王思宇2

（1.陜西科技大學(xué) a.輕工科學(xué)與工程學(xué)院 b.輕化工程國家級實驗教學(xué)示范中心 c. 3S包裝新科技研究所，西安 710021；2.陜西省產(chǎn)品質(zhì)量監(jiān)督檢驗研究院，西安 710061）

研究沖擊速度和結(jié)構(gòu)參數(shù)對米字形填充正方形蜂窩異面平臺應(yīng)力的影響規(guī)律。利用ANSYS/LS-DYNA建立該蜂窩可靠的基于胞元陣列的異面沖擊分析有限元模型；基于簡化的超折疊單元理論推導(dǎo)該蜂窩的準(zhǔn)靜態(tài)平臺應(yīng)力理論公式，理論值與仿真值相吻合驗證理論公式的正確性。對不同壁厚邊長比的蜂窩，在不同沖擊速度下進(jìn)行異面沖擊仿真分析，利用LS-PrePost軟件處理得到相應(yīng)的接觸力-位移曲線，進(jìn)一步處理得到變形模式和平臺應(yīng)力，并以圖表的形式加以展示與分析。不同沖擊速度下結(jié)構(gòu)參數(shù)固定的蜂窩表現(xiàn)出LS、MS和HS等3種不同的異面沖擊變形模式，從LS模式轉(zhuǎn)變到MS模式再到HS模式的臨界速度分別約為20 m/s和150 m/s；壁厚邊長比對變形模式的影響可忽略。該蜂窩動態(tài)平臺應(yīng)力隨沖擊速度（或壁厚邊長比）的增加而增大，且增長速率不斷提高。當(dāng)其他參數(shù)固定時，LS模式和MS模式下該蜂窩的動態(tài)平臺應(yīng)力與沖擊速度呈二次函數(shù)關(guān)系，HS模式下動態(tài)平臺應(yīng)力與沖擊速度的平方呈線性關(guān)系；動態(tài)平臺應(yīng)力與壁厚邊長比呈冪函數(shù)關(guān)系。基于仿真計算結(jié)果，得到了該蜂窩動態(tài)平臺應(yīng)力的經(jīng)驗表達(dá)式。

米字形填充正方形蜂窩；異面沖擊；有限元模擬；變形模式；平臺應(yīng)力

蜂窩結(jié)構(gòu)可以通過較大的塑性變形吸收來自外界的沖擊動能，因其優(yōu)良的力學(xué)性能，廣泛應(yīng)用于許多工業(yè)領(lǐng)域，如航空航天、汽車、海洋、包裝等行業(yè)。蜂窩的抗沖擊性和能量吸收特性受基體材料性質(zhì)和胞元幾何形狀的影響[1–5]。多年來，眾多學(xué)者研究了不同胞元幾何形狀蜂窩（如方形、三角形、Kagome、圓形和六邊形）的能量吸收特性[6]。

由于單一構(gòu)型的蜂窩不能完全滿足市場需求，為了得到更多不同基材的蜂窩構(gòu)型形式，不斷提高蜂窩結(jié)構(gòu)的比強(qiáng)度，不斷追求材料使用效率的最大化，同時降低制造成本，學(xué)者們不斷探索和研究新構(gòu)型、不同材料及功能的蜂窩，豐富蜂窩材料種類，以解決過度防護(hù)和資源浪費(fèi)等問題。其中，采用輕質(zhì)材料填充蜂窩來提高其能量吸收特性的方法，引起了許多研究者關(guān)注。Mohamadi等[7]通過試驗研究在準(zhǔn)靜態(tài)壓縮和低速沖擊下彈性泡沫填充鋁蜂窩的能量吸收特性，在彈性體中填充玻璃微球顆粒極大提高了響應(yīng)的最大載荷、平均破碎載荷和總能量吸收，與傳統(tǒng)填充結(jié)構(gòu)相比其變形明顯較小，可以多次充當(dāng)能量吸收器來抵抗沖擊。Mozafari等[8]研究了面內(nèi)沖擊載荷下泡沫填充蜂窩夾層結(jié)構(gòu)的耐撞性，對比分析了填充3種不同聚氨酯泡沫的鋁蜂窩與空蜂窩板的吸能情況，與空蜂窩板相比泡沫填充蜂窩板具有更優(yōu)的吸能特性。此外，李響等[9]提出一種創(chuàng)新聚氨酯泡沫填充類蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)，研究了沖擊速度、胞元壁厚對其耐撞性和變形模式的影響規(guī)律。除了泡沫填充蜂窩結(jié)構(gòu)外，蜂窩自身也是一種優(yōu)質(zhì)填充材料，被廣泛用于填充薄壁管，以提高其性能。Yao等[10]通過壓縮試驗研究了規(guī)則蜂窩芯填充方管的壓縮能量吸收性能和變形模式。Xiong等[11]提出了圓形和多邊形組合結(jié)構(gòu)，研究了該結(jié)構(gòu)在多載荷工況下的力學(xué)性能。Chen等[12]提出了4種方形和圓形薄壁組合結(jié)構(gòu)，利用簡化的超折疊單元（SSFE）理論，建立了其平均載荷和比能量吸收的理論模型，并研究了該組合結(jié)構(gòu)的能量吸收特性和變形模式。Zhang等[13]構(gòu)建了圓柱管填充四邊形、六邊形和八邊形管的多胞元組合結(jié)構(gòu)，建立了可靠的軸向沖擊有限元（Finite Element，F(xiàn)E）分析模型，證明圓柱形管填充八邊形管的耐撞性能最好。上述研究表明，蜂窩填充可以極大地提高薄壁管的能量吸收與緩沖性能。泡沫填充蜂窩和蜂窩填充蜂窩兩者均能提高原本蜂窩結(jié)構(gòu)的能量吸收特性，兩者均屬于輕質(zhì)材料。然而與蜂窩填充蜂窩相比，泡沫填充蜂窩為達(dá)到相同的承載力，其質(zhì)量會更重，因此本文將研究一種新型蜂窩填充蜂窩結(jié)構(gòu)。

在上述研究基礎(chǔ)上，本文將米字形蜂窩填充到正方形蜂窩中，形成新型蜂窩結(jié)構(gòu)，建立其異面沖擊分析的有限元模型，同時推導(dǎo)米字形填充正方形蜂窩準(zhǔn)靜態(tài)下的平臺應(yīng)力公式。借助相關(guān)數(shù)據(jù)處理方法得到異面沖擊下的變形模式和平臺應(yīng)力?；诖搜芯繘_擊速度和結(jié)構(gòu)參數(shù)對米字形填充正方形蜂窩異面平臺應(yīng)力的影響規(guī)律。

1 有限元分析方法

1.1 蜂窩構(gòu)型

米字形填充正方形蜂窩的構(gòu)型如圖1所示，其中圖1a為該蜂窩異面方向（垂直于1-2平面的方向）上的主視圖，相應(yīng)左視圖如圖1b所示，圖1c為該蜂窩對應(yīng)圖1a周期性區(qū)域特征胞元的放大圖。該蜂窩所有胞元的邊長為，蜂窩孔深度為。對特征胞元來說，外側(cè)壁厚為/2，內(nèi)側(cè)壁厚為。

1.2 有限元模型

圖2為利用ANSYS/LS?DYNA建立的米字形填充正方形蜂窩異面沖擊有限元模型。該蜂窩樣品夾在2個剛性壓板之間，沖擊板P1沿異面方向以恒定速度向下均勻沖擊試樣致使樣品密實，下支撐板P2固定。利用5個積分點的Belystchko-Tsay殼單元SHELL163對樣品進(jìn)行網(wǎng)格劃分，通過收斂性模擬計算確定殼單元邊長為0.5 mm。整個模型的接觸定義為self-contact型，蜂窩體與上下2個剛性壓板之間定義為surface-to-surface型，靜動摩擦因數(shù)均設(shè)定為0.2。試樣基材采用雙線性硬化材料，典型的是某一鋁合金材料，其彈性模量=68.97 GPa，屈服應(yīng)力y=292 MPa，正切模量t=689.7 MPa，泊松比=0.35，密度=2 700 kg/m3。消除樣品的尺寸效應(yīng)，通過嘗試性計算確定樣品在1和2方向上胞元數(shù)量為11′11，=10 mm。所有模擬的=4 mm。

圖1 米字形填充正方形蜂窩的構(gòu)型及特征胞元

圖2 米字形填充正方形蜂窩異面沖擊有限元模型

1.3 數(shù)據(jù)處理方法

平臺應(yīng)力m是衡量異面沖擊下蜂窩材料吸能特性的一個關(guān)鍵指標(biāo)，它決定著蜂窩材料吸收能量的能力，因此本文將重點研究米字形填充正方形蜂窩異面沖擊下的平臺應(yīng)力。

假設(shè)上沖擊板P1與蜂窩體M之間的接觸力為，異面沖擊下蜂窩體承載面積為，蜂窩體的異面位移和初始深度分別為和，則應(yīng)力和應(yīng)變的計算式為：

平臺應(yīng)力m被定義為應(yīng)力-應(yīng)變曲線中平臺階段應(yīng)力的均值[14]，即：

式中：0為初始應(yīng)變；D為密實化應(yīng)變。

2 準(zhǔn)靜態(tài)平臺應(yīng)力

Zhang等[15]在研究異面壓縮載荷下正方形蜂窩的響應(yīng)時，利用超折疊單元理論，將其異面方向橫截面輪廓視為角單元、十字形和T形角單元3類折疊單元組成的，并推導(dǎo)了其可靠的異面壓縮載荷下平均載荷的理論公式。

本文也將基于簡化的超折疊單元（SSFE）理論對′的米字形填充正方形蜂窩的異面準(zhǔn)靜態(tài)平臺應(yīng)力進(jìn)行預(yù)測。為了分析米字形填充正方形蜂窩異面折曲坍塌時的能量耗散，該蜂窩截面內(nèi)的折疊單元分為5種：三面板、T形、十字形、五面板和米字形角單元，如圖3所示。

圖3 米字形填充正方形蜂窩的基本折疊單元

該蜂窩從開始被壓縮至一個基本折疊單元被壓平時，外力所做的功等于耗散的總彎曲能與總膜能之和，即：

式中：m、b和m分別為此時的異面平均載荷、總彎曲能和總膜能；2和分別為一個完整基本折疊單元的波長和有效壓縮距離系數(shù)。一般情況下，在壓縮時基本折疊單元并未完全壓縮，即小于1。的取值范圍為0.7～0.75[16]，在此取= 0.7。

圖4a為未折曲的單元面板，每個基本折疊單元的任一面板在折曲過程中有3條水平塑性鉸鏈（如圖4b所示），總彎曲能則是所有鉸鏈耗散能量之和，即：

假設(shè)基本折疊單元在波長2壓縮后完全折曲，則3條塑性鉸鏈的旋轉(zhuǎn)角度分別為p/2、p和p/2（如圖4c所示），因而式（4）可以寫作式（5）。

Tran等[18]給出了三面板、T形、十字形和五面板等折疊單元膜能的計算式，分別為：

對三面板角單元來說，板間夾角=45°。

由于米字形角單元的對稱性以及對稱結(jié)構(gòu)的相似作用，可以將其視為由2個五面板角單元組成，則其膜能計算式近似為：

因此，米字形填充正方形蜂窩的總膜能為：

式中：t、T、O、f和m分別為三面板、T形、十字形、五面板和米字形角單元的個數(shù)。對于′的米字形填充正方形蜂窩結(jié)構(gòu)，t=4、T=4、O=2(?1)、f=4(?1)和m=22?2+1。

將式（10）代入式（9），則平均載荷m為：

則米字形填充正方形蜂窩結(jié)構(gòu)準(zhǔn)靜態(tài)平臺應(yīng)力m0的理論公式為：

式中：0為異面沖擊下該蜂窩的橫截面積，0=22。

為了驗證該理論公式的可靠性，本文建立11′11的米字形填充正方形蜂窩異面準(zhǔn)靜態(tài)壓縮的有限元模型，此時m0理論公式由（12）可得：

3 結(jié)果與分析

3.1 模型可靠性驗證

圖5為不同壁厚的米字形填充正方形蜂窩準(zhǔn)靜態(tài)下的-曲線。圖5中虛線為準(zhǔn)靜態(tài)平臺應(yīng)力的理論值，可以直觀地看出仿真結(jié)果與理論結(jié)果之間具有較好的吻合度。表1給出了其仿真與理論的具體數(shù)值，可以看出，仿真值與理論值的相對誤差最大為8.31%。說明前述預(yù)測的米字形填充正方形蜂窩準(zhǔn)靜態(tài)平臺應(yīng)力的理論公式是可靠的，同時也說明了有限元模型的可靠性。

圖5 米字形填充正方形蜂窩準(zhǔn)靜態(tài)s-e曲線

表1 米字形填充正方形蜂窩準(zhǔn)靜態(tài)平臺應(yīng)力仿真與理論值

Tab.1 Simulation and theoretical values of quasi-static plateau stress with honeycombs filled with mix of squares and triangles

3.2 變形模式

蜂窩結(jié)構(gòu)在異面沖擊下的變形模式對其平臺應(yīng)力具有重要影響，因此研究該蜂窩的變形模式和臨界速度的關(guān)系是非常有必要的[19]。根據(jù)蜂窩結(jié)構(gòu)可能承受的沖擊速度，在=3～250 m/s內(nèi)通過大量仿真分析，利用LS-PrePost軟件處理得到相應(yīng)的變形模式。如圖6所示為蜂窩結(jié)構(gòu)在不同速度下隨應(yīng)變變化的變形圖。由圖6可知，不同沖擊速度下同一壁厚邊長比的該蜂窩主要變形模式大致有3種：起初蜂窩底部發(fā)生微小變形，隨后底部逐步產(chǎn)生漸進(jìn)折曲變形，當(dāng)?shù)撞空矍揭话霑r，樣品上半部分發(fā)生局部屈曲，頂部發(fā)生坍塌，最終頂部向下折曲變形直至密實化，把這種變形模式稱為LS模式[20]（見圖6a）；起初蜂窩頂部與底部均發(fā)生微小變形，隨后頂部逐步產(chǎn)生漸進(jìn)折曲變形，當(dāng)頂部折曲到一半時，底部發(fā)生1～2個折曲變形，樣品下半部分發(fā)生局部屈曲，最終底部和頂部同時向中間折曲變形直至密實化，把這種變形模式稱為MS模式（見圖6b）；起初蜂窩頂部與底部均產(chǎn)生微小變形，隨后頂部與底部同時產(chǎn)生1～2個折曲變形，頂部保持不變，底部向頂部逐漸產(chǎn)生漸進(jìn)折曲變形直至密實化，把這種變形模式稱為HS模式（見圖6c）。該蜂窩的變形模式從LS模式轉(zhuǎn)化到MS模式再到HS模式的臨界速度分別為c1≈20 m/s和c2≈150 m/s。即

3.3 動態(tài)平臺應(yīng)力

3.3.1 沖擊速度

在不同壁厚邊長比（/=0.007 5～0.062 5）和不同沖擊速度下（=3～250 m/s）得到米字形填充正方形蜂窩的m值。根據(jù)一維沖擊波理論[21]，蜂窩的m與2呈線性關(guān)系，即滿足式（14）。

式中：m0為準(zhǔn)靜態(tài)平臺應(yīng)力；為系數(shù)，由蜂窩基材和單元結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的。

圖6 不同速度下應(yīng)變變化的典型變形圖

Fig.6 Typical deformation diagrams of strain change at different velocities

表2 不同壁厚邊長比在不同沖擊速度下的變形模式

Tab.2 Deformation modes under different ratios of cell wall thickness to edge length and different impact velocities

依據(jù)仿真計算結(jié)果，基于式（14）通過最小二乘法進(jìn)行擬合發(fā)現(xiàn)，米字形填充正方形蜂窩m與的關(guān)系僅在HS模式下才滿足式（14），這與Reid等[21]的研究結(jié)果相一致；而LS模式和MS模式僅僅近似于式（14），如圖7所示。這是由于不同的變形模式導(dǎo)致的，HS模式下的變形整體上是集中在樣品的一端，隨著時間的推移，從樣品的一端逐漸漸進(jìn)折曲直至密實，而在這個過程中其余部分未發(fā)生局部變形；而在LS模式和MS模式下的變形是樣品各處局部有不同程度的變形，這些局部的變形最終累積，致使樣品密實，從而導(dǎo)致LS模式和MS模式下的m值偏高，即LS模式和MS模式下m值均在擬合曲線的上方。

表3 不同壁厚邊長比下系數(shù)的值

Tab.3 Values of A under different ratios of cell wall thickness to edge length

圖8 A-t/l的關(guān)系

因此有必要對動態(tài)平臺應(yīng)力進(jìn)行分段描述，對于HS模式，基于式（14）擬合得到的系數(shù)見表3。從表3中可以看出，系數(shù)與/有關(guān)。依照Ruan等[22]的研究，與/的關(guān)系可以用二次曲線來擬合，通過最小二乘法進(jìn)行擬合得到-/曲線，見圖8。與/滿足如下關(guān)系：

將式（13）和式（15）代入式（14）中，可以得到HS模式下米字形填充正方形蜂窩動態(tài)平臺應(yīng)力公式，見式（16）。

正如前面所述，LS模式和MS模式下的變形模式導(dǎo)致m值偏高。為了進(jìn)一步探究LS模式和MS模式下該蜂窩動態(tài)平臺應(yīng)力與速度的關(guān)系，這里在式（14）的基礎(chǔ)上增加一次項，即滿足式（17）。

式中：m0為準(zhǔn)靜態(tài)平臺應(yīng)力；、為系數(shù)，由蜂窩基材和單元結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的?；谑剑?7）通過最小二乘法進(jìn)行擬合得到m-曲線，見圖9。圖9中擬合曲線與仿真結(jié)果的誤差明顯小于圖7中LS模式和MS模式下的擬合曲線，因此可以說明式（17）能更好地表達(dá)LS模式和MS模式下的m。從圖9中可以看出，LS模式和MS模式下該蜂窩的動態(tài)平臺應(yīng)力與速度滿足二次函數(shù)關(guān)系。

表4為擬合得到的系數(shù)的值，從表4中可以看出，與/有著一一對應(yīng)的關(guān)系，且近似呈線性關(guān)系，利用最小二乘法進(jìn)行擬合得到-/曲線，見圖10。與/滿足如下關(guān)系：

表4 不同壁厚邊長比下關(guān)系系數(shù)的值

Tab.4 Values of B under different ratios of cell wall thickness to edge length

圖10 B-t/l的關(guān)系

將式（13）、式（15）和式（18）代入式（17）中，可得到LS模式和MS模式下米字形填充正方形蜂窩動態(tài)平臺應(yīng)力公式，見式（19）。

綜上所述，可得到米字形填充正方形蜂窩動態(tài)平臺應(yīng)力公式，見式（20）。

為了進(jìn)一步驗證式（20）的可靠性，對不同/下的該蜂窩再次進(jìn)行仿真模擬分析。圖11為米字形填充正方形蜂窩m的仿真值和理論值。從圖11中可以發(fā)現(xiàn)，其理論值和仿真值具有很好的一致性，表明上述得到的米字形填充正方形蜂窩動態(tài)平臺應(yīng)力公式是可靠的。

圖11 米字形填充正方形蜂窩sm的仿真值和理論值

3.3.2 壁厚邊長比

m對的影響與Sun等[23]的研究結(jié)果相一致。在給定的下，該蜂窩m與間的關(guān)系可以用冪函數(shù)曲線來擬合，滿足如下關(guān)系：

式中：y為蜂窩材料的屈服應(yīng)力；A為系數(shù)；為相應(yīng)的指數(shù)。

根據(jù)仿真計算結(jié)果，通過最小二乘法進(jìn)行擬合得到的m-/曲線，見圖12。從圖12中可以看出，當(dāng)沖擊速度一定時，蜂窩的m隨著的增大而增加，且增長速率也隨之加快。不同下擬合得到的系數(shù)A和指數(shù)的值見表5。

圖12 米字形填充正方形蜂窩sm-t/l曲線

表5 不同沖擊速度下A和的值

Tab.5 Values ofA* and k at different impact velocities

4 結(jié)語

本文通過理論和有限元分析的方法研究米字形填充正方形蜂窩異面沖擊下的平臺應(yīng)力，得出如下結(jié)論：

1）運(yùn)用簡化的超折疊單元（SSFE）理論推導(dǎo)出了′米字形填充正方形蜂窩準(zhǔn)靜態(tài)平臺應(yīng)力理論公式，并通過有限元進(jìn)行模擬計算，將仿真值與理論值對比，發(fā)現(xiàn)兩者之間具有較好的一致性，驗證了理論公式和有限元模型的可靠性。

2）不同沖擊速度下，同一壁厚邊長比的該蜂窩主要表現(xiàn)出3種不同的變形模式：LS模式、MS模式和HS模式。其變形模式從LS模式轉(zhuǎn)變到MS模式再到HS模式的臨界速度分別約為20 m/s和150 m/s；其變形模式受壁厚邊長比的影響可以忽略。

3）當(dāng)壁厚邊長比一定時，LS模式和MS模式下米字形填充正方形蜂窩的動態(tài)平臺應(yīng)力與沖擊速度呈二次函數(shù)關(guān)系，HS模式下該蜂窩動態(tài)平臺應(yīng)力與沖擊速度的平方呈線性關(guān)系；當(dāng)沖擊速度一定時，該蜂窩的動態(tài)平臺應(yīng)力與壁厚邊長比呈冪函數(shù)關(guān)系。

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Out-of-plane Plateau Stress of Honeycombs Filled with Mix of Squares and Triangles

SUN Deqiang1, CHANG Lu1, XING Yueqing1, WANG Qian1, ZHANG Yixing1, LUO Zelong1, DONG Chenghui1, WANG Siyu2

(1. a. College of Bioresources Chemical and Materials Engineering, b. National Demonstration Center for Experimental Light Chemistry Engineering Education, c. 3S Research Institute of Novel Packaging Science and Technology, Shaanxi University of Science and Technology, Xi'an 710021, China; 2. Shaanxi Provincial Institute of Product Quality Supervision and Inspection, Xi'an 710061, China)

The work aims to study the influences of impact velocity and configuration parameters on the out-of-plane plateau stress of honeycombs filled with mix of squares and triangles. A reliable finite element model was established based on array of cells using ANSYS/LS-DYNA for out-of-plane impact analysis. The theoretical formula of quasi-static plateau stress was derived based on the simplified super folded element theory for honeycombs filled with mix of squares and triangles. The theoretical results were consistent with the simulated ones, which verified the reliability of theoretical formula. For honeycombs with different ratios of cell wall thickness to edge length, simulations were carried out under different out-of-plane impact velocities. The corresponding deformation modes, contact force-displacement curves and plateau stresses were obtained through the LS-PrePost software, and presented and analyzed in the form of tables and diagrams. At different impact velocities, the honeycomb with fixed configuration parameters showed three different out-of-plane impact deformation modes: LS mode, MS mode and HS mode, and the critical velocities from LS mode to MS mode and then to HS mode were about 20 m/s and 150 m/s respectively. The influence of the ratio of cell wall thickness to edge length on the deformation mode could be ignored. The dynamic plateau stress of honeycombs filled with mix of squares and triangles increases with the increase of the impact velocity (or ratio of cell wall thickness to edge length), and the growth rate increases continuously. When other parameters are fixed, the relation between the dynamic plateau stress and the impact velocity of the honeycomb in LS mode and MS mode is quadratic, and the relation between the dynamic plateau stress and the square of the impact velocity in HS mode is linear. The relation between the dynamic plateau stress and the ratio of cell wall thickness to edge length is a power function. From the simulation results, the empirical formulas of its dynamic plateau stress are derived.

honeycombs filled with mix of squares and triangles; out-of-plane impact; finite element simulation; deformation mode; plateau stress

TB484

A

1001-3563(2024)01-0281-09

10.19554/j.cnki.1001-3563.2024.01.033

2023-06-22

國家自然科學(xué)基金（51575327）；國家級一流專業(yè)建設(shè)項目（包裝工程2022）；陜西科技大學(xué)課程思政建設(shè)項目（包裝技術(shù)基礎(chǔ)（雙語）2022）