帶阻尼項(xiàng)和時(shí)滯項(xiàng)的三維磁流體方程解的適定性

張明嬌, 宋小亞, 李曉軍

(河海大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 南京 211100)

磁流體方程是流體力學(xué)中Navier-Stokes方程和電動(dòng)力系統(tǒng)中Maxwell方程的耦合. 磁流體動(dòng)力學(xué)在等離子體物理、 天體物理及控?zé)岷司圩兒凸I(yè)新技術(shù)中應(yīng)用廣泛. 文獻(xiàn)[1-2]研究有界區(qū)域上磁流體方程的適定性, 證明了二維磁流體方程弱解和全局強(qiáng)解的存在唯一性, 并得到了三維磁流體方程局部強(qiáng)解的存在唯一性、 弱解的存在性和全局強(qiáng)解的唯一性.

三維不可壓磁流體方程弱解的唯一性和強(qiáng)解的全局存在性目前尚未得到證明. 因此, 帶阻尼項(xiàng)的三維磁流體方程受到研究者的廣泛關(guān)注, 并從不同角度進(jìn)行了研究. 阻尼項(xiàng)主要用于描述各種物理現(xiàn)象, 如阻力、 摩擦效應(yīng)、 多孔介質(zhì)流動(dòng)和一些耗散機(jī)制等[3-4]. 關(guān)于帶阻尼項(xiàng)的三維磁流體方程的研究已取得了豐富成果, 例如, 在滿足下列條件之一時(shí):

1)α≥4,β≥4;

文獻(xiàn)[5]證明了帶阻尼項(xiàng)的三維磁流體方程強(qiáng)解的適定性; 文獻(xiàn)[6-7]研究表明, 臨界指數(shù)3至關(guān)重要, 文獻(xiàn)[6]對(duì)上述條件進(jìn)行了優(yōu)化, 在滿足下列條件之一時(shí):

4)α≥4,β≥1.

得到了帶阻尼項(xiàng)的三維磁流體方程強(qiáng)解的適定性.上述結(jié)果表明, 帶阻尼項(xiàng)的三維磁流體方程強(qiáng)解適定性的臨界指數(shù)是α≥3, 而不是α>3.

為更真實(shí)描述物理學(xué)與生物學(xué)等領(lǐng)域內(nèi)的自然現(xiàn)象, 關(guān)于三維磁流體方程本文引入了時(shí)滯項(xiàng).時(shí)滯效應(yīng)主要用于描述物理和生物等領(lǐng)域內(nèi)的時(shí)間延遲效應(yīng), 時(shí)滯效應(yīng)的影響通常體現(xiàn)為: 當(dāng)想通過(guò)施加外力控制系統(tǒng)時(shí)不僅要考慮到系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)而且還要考慮系統(tǒng)的歷史狀態(tài).與不帶時(shí)滯項(xiàng)的三維磁流體方程相比, 該模型中g(shù)1(t,ut),g2(t,Bt)的非自治固有性會(huì)導(dǎo)致一些困難, 尤其是緊性方面的困難.例如: 文獻(xiàn)[8]證明了帶時(shí)滯項(xiàng)的二維磁流體方程強(qiáng)解的適定性; 當(dāng)B=0時(shí)帶時(shí)滯項(xiàng)的磁流體方程簡(jiǎn)化為帶時(shí)滯項(xiàng)的Navier-Stokes方程, 文獻(xiàn)[9]研究了帶時(shí)滯項(xiàng)的二維Navier-Stokes方程強(qiáng)解的適定性. 基于此, 本文主要考慮帶阻尼項(xiàng)與時(shí)滯項(xiàng)的三維磁流體方程, 證明其解的存在性和唯一性, 同時(shí)確定阻尼項(xiàng)中的最優(yōu)指數(shù). 所以本文的研究結(jié)果不僅豐富了無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)的內(nèi)容, 而且在流體動(dòng)力學(xué)模型后續(xù)的研究中具有促進(jìn)作用.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮有界域上具有非線性阻尼和時(shí)滯項(xiàng)的三維磁流體方程:

(1)

其中Ω?3為有界開集,α≥1,β≥1為正常數(shù),u(x,t),B(x,t)分別表示速度場(chǎng)和磁場(chǎng),p(x,t)表示壓力場(chǎng),f(x,t)表示外力,g1(t,ut),g2(t,Bt)表示時(shí)滯項(xiàng).

令1≤p≤∞, 下面引入一些函數(shù)空間和算子:

通過(guò)考慮通常的抽象空間, 可將系統(tǒng)(1)進(jìn)行簡(jiǎn)化, 令

定義H,V空間上的內(nèi)積如下:

并且

V=V×V, H=H×H,V*是V的對(duì)偶空間.

則有V?H=H*?V*, 并且其中的映射是連續(xù)且稠密的.

下面定義3個(gè)算子A1,A2∈L(V,V*),A∈L(V,V*):

可將A1,A2,A視為(H,H,H)上的無(wú)界算子, 定義域?yàn)?/p>

D(A1)={u∈V,A1u∈H},D(A2)={B∈V,A2B∈H},D(A)=D(A1)×D(A2).

由文獻(xiàn)[1]可得

D(A1)=H2(Ω)∩V,D(A2)=H2(Ω)∩V,D(A)=H2(Ω)∩V.

下面引入三線性形b:

可知三線性形b在空間(H1(Ω))3上是連續(xù)的, 且有

b(u,v,v)=0, ?u∈V, ?v∈H1(Ω),

b(u,v,w)=-b(u,w,v), ?u∈V, ?v,w∈H1(Ω).

引理1[10]對(duì)任意的u=(u1,u2,u3)∈3, 記F(u)=u, 則F(u)在3中連續(xù)可微, 并且

則F(u)是正定的, 且有

其中正常數(shù)c僅依賴于Ω.

引理2[10]以下事實(shí)成立:

下面對(duì)時(shí)滯項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)募僭O(shè)[9,11].設(shè)(X,Y)是Banach空間,g:×CX→Y且下列條件成立:

(i) 對(duì)所有的u∈CX, 映射t∈→g(t,u)∈Y是可測(cè)的;

(ii) 對(duì)于每個(gè)t∈,g(t,0)=0;

(iii) 存在Lg>0, 使得?t∈及?u,v∈CX, 有

‖g(t,u)-g(t,v)‖Y≤Lg‖u-v‖CX.

(iv) 存在θ0≥0,Cg>0, 使得對(duì)?θ∈[0,θ0], ?τ∈t及?u,v∈C0([τ-h,t];X), 有

下面針對(duì)時(shí)滯項(xiàng)引入一些空間:

其對(duì)應(yīng)的范數(shù)分別為

2 強(qiáng)解的存在性及唯一性

4)α≥7,β≥3.

則有

ξ=(u,B)是系統(tǒng)(1)的強(qiáng)解且唯一.

對(duì)每個(gè)固定的正整數(shù)m, 設(shè)

(2)

(3)

(4)

由常微分方程解的存在性和唯一性性質(zhì)可知, 對(duì)每個(gè)整數(shù)m=1,2,…, 均存在式(2)滿足式(3)定義在區(qū)間[τ,Tm](τ

下面給出解ξm(x,t)=(um(x,t),Bm(x,t))的一些先驗(yàn)估計(jì).

1) 對(duì)式(3)中第一式和第二式分別乘djm(τ),ejm(τ), 再對(duì)j=1,2,…,m進(jìn)行求和, 得

由于

b(um(t),um(t),um(t))=0,b(um(t),Bm(t),Bm(t))=0,

b(Bm(t),Bm(t),um(t))=-b(Bm(t),um(t),Bm(t)),

因此通過(guò)H?lder不等式、 Young不等式、 Poincaré不等式, 可得

在先秦儒家的敘事里，男女之別往往等同于內(nèi)外、公私與主從之別，主要體現(xiàn)于以下方面：一是生活空間上的隔離，二是社會(huì)活動(dòng)領(lǐng)域上的區(qū)分，三是社會(huì)角色與道德教化上主從關(guān)系的確立。

進(jìn)一步可得

‖um(t)‖2+‖Bm(t)‖2≤K1, ?t∈[τ,T].

(7)

利用式(4),(6),(7)可推出

綜上可得

(8)

2) 對(duì)式(3)中第一式和第二式分別乘δjdjm(t),κjejm(t), 再對(duì)j=1,2,…,m進(jìn)行求和, 得

其中

進(jìn)一步, 有

由H?lder不等式和Young不等式, 可得

(10)

下面分兩種情形討論.

情形① 由Young不等式和引理2, 可得

下面對(duì)其他項(xiàng)進(jìn)行估計(jì):

結(jié)合式(12)及H?lder不等式, 可得

由Gagliardo-Nirenberg不等式和Sobolev嵌入定理, 得

再由上述估計(jì)及Young不等式, 可得

將式(10),(11),(13)代入式(9), 可得

(15)

情形②

由H?lder不等式, 可得

由Gagliardo-Nirenberg不等式, 可得

‖um(t)‖L2(α+1)/(α-1)≤C‖um(t)‖(α-2)/(α+1)‖2um(t)‖3/(α+1),α≥2.

由上述估計(jì)及Young不等式, 可得

將式(10),(16)代入式(9), 可得

綜上可知, 當(dāng)α≥3, 4≤β≤5或α≥4,β≥1時(shí), 有式(15).

由Young不等式, 可得

由上述結(jié)果可得

對(duì)式(18)中t在區(qū)間[τ,t]上進(jìn)行積分, 可得

(19)

4) 由式(15),(19)以及文獻(xiàn)[12]中的一些插值結(jié)果, 得

ξm∈C0([τ,T];V).

(20)

5) 由式(4),(15),(19),(20)可知, 可找到序列ξm的子列ξmk(其中ξmk={umk,Bmk}), 具有以下性質(zhì):

①ξmk在空間L2(τ,T;D(A))中弱收斂到ξ;

②umk在空間L∞(τ,T;V)∩L∞(τ,T;Lα+1(Ω))中弱*收斂到u;

③Bmk在空間L∞(τ,T;V)∩L∞(τ,T;Lβ+1(Ω))中弱*收斂到B;

④ξmk在空間L2(τ-h,T;V)中強(qiáng)收斂到ξ.

由ξmk于空間L2(τ-h,T;H)強(qiáng)收斂到ξ及假設(shè)條件(iv)可知,g1(·,um)于空間L2(τ,T;H)強(qiáng)收斂到g1(·,u),g2(·,Bm)于空間L2(τ,T;H)強(qiáng)收斂到g2(·,B).

下面證明解的唯一性.

故有

由引理2可得