寬帶噪聲激勵下分數(shù)階黏彈性碰撞系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和隨機分岔

盛正大, 張建剛, 王 媛

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 蘭州 730070)

在實際工程應(yīng)用中, 由于存在摩擦、 形變和材料間隙等不同干擾因素, 使工程中的應(yīng)用材料經(jīng)常發(fā)生碰撞, 這些不可避免的碰撞導(dǎo)致工程系統(tǒng)不穩(wěn)定. 因此研究實際工程中存在的非線性碰撞動力學(xué)問題, 深入了解工程系統(tǒng)動態(tài)特性具有重要意義: 首先可避免碰撞現(xiàn)象導(dǎo)致的損失; 其次可提高工程系統(tǒng)的工作效率并延長其使用壽命等. 由材料間隙、 沖擊、 干摩擦和不可微剛度等非光滑因素導(dǎo)致的碰撞動力學(xué)問題具有強非線性[1-2]: 文獻[3-4]根據(jù)動力系統(tǒng)理論研究了碰撞振動系統(tǒng)的動力學(xué)行為; Nordmark[5-6]利用局部映射方法研究了碰撞系統(tǒng)特有的擦邊分岔現(xiàn)象; Luo等[7-8]采用數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)碰撞系統(tǒng)存在Torus分岔和Hopf分岔的動力學(xué)現(xiàn)象; 李群宏等[9-10]分析了碰撞系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件和判據(jù), 并得到有關(guān)單碰周期n次諧運動的存在性判據(jù)依據(jù)和穩(wěn)定性條件. 對于隨機激勵下的碰撞系統(tǒng), Dimentberg等[11-13]將碰撞系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為無碰撞的非光滑系統(tǒng), 分析了隨機碰撞系統(tǒng)的響應(yīng)問題; Jing等[14-15]研究了高斯白噪聲作用下的單自由度碰撞系統(tǒng), 并獲得了概率密度的解析解.

近年來, 黏彈性材料在汽車和航天等工程領(lǐng)域應(yīng)用廣泛, 根據(jù)其黏性和彈性兩種機理制成的阻尼器在減振儲能等方面具有優(yōu)良表現(xiàn). 因此研究基于黏彈性材料構(gòu)建的碰撞模型, 在減振和隔振等工程領(lǐng)域具有重大意義. 徐偉等[16]研究了黏彈性對系統(tǒng)的兩種效應(yīng): 經(jīng)典阻尼效應(yīng)和剛度效應(yīng); Xu等[17]從正弦輸入為起點, 推演出黏彈性阻尼器關(guān)于能量耗散的算法; Zhu等[18]介紹了隨機平均法與能量包絡(luò)平均法在黏彈性動力系統(tǒng)中的應(yīng)用.

實際工程應(yīng)用中黏彈性材料可將結(jié)構(gòu)間的振動轉(zhuǎn)化為熱能, 從而抑制結(jié)構(gòu)振動. 分數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有描述各種過程記憶和遺傳特性的優(yōu)越性, 分數(shù)階項可較好描述系統(tǒng)歷史發(fā)展的依賴過程, 在描述復(fù)雜的物理問題時配合非線性模型, 表述更簡潔且更貼近真實的物理本構(gòu)關(guān)系[19-21]. 目前對隨機激勵下基于分數(shù)階黏彈性材料構(gòu)造的約束碰撞系統(tǒng)的研究文獻報道較少, 基于此, 本文基于Kelvin-Voigt材料的分數(shù)階本構(gòu)模型構(gòu)造黏彈性Van der pol減振模型, 并分析在寬帶噪聲激勵下系統(tǒng)的隨機穩(wěn)定性和隨機分岔行為[22-24].

1 構(gòu)建模型

黏彈性材料Kelvin-Voigt的分數(shù)階本構(gòu)模型[21]為

(1)

將寬帶噪聲激勵下的具有黏彈性材料阻尼的單自由度非線性碰撞系統(tǒng)寫為

(2)

(3)

其中τ=η/E表示黏彈性參數(shù).通過非平滑Zhuravlev變換, 將系統(tǒng)(3)轉(zhuǎn)化為

2 隨機平均法

設(shè)φ(t)=ω0t+θ, 令式(4)的解為

(5)

可得

(6)

將式(6)和式(5)聯(lián)立, 可得

(7)

(8)

將式(5)和式(8)代入系統(tǒng)(4)中, 可得

(10)

其中

(11)

因此將Caputo形式的分數(shù)階微分Dαx(t)寫成雙積分形式

(12)

(13)

則式(13)滿足

(14)

將式(5)代入式(14)可得

(15)

解得

(16)

其中c根據(jù)初始條件ψ(y,0)=0決定.將式(16)代入式(13)可得

(17)

(18)

由于a(t)和θ(t)為時間慢變量,φ(t)為快變量, 因此經(jīng)隨機平均和確定性平均后, 所得漂移系數(shù)和擴散系數(shù)為

(19)

其平均振幅

(20)

是一維Markov過程, 其中

3 隨機穩(wěn)定性

3.1 局部穩(wěn)定性

討論U2=U3=U4=U5=0, 將式(20)變換為

(21)

其中m(0)=U1,σ(0)=(U3/8)1/2.可得線性It隨機微分方程Lyapunov指數(shù)近似解為

系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性分析列于表1.

表1 系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性分析

3.2 全局隨機穩(wěn)定性

討論當U2=U3=U4=U5=0時的線性It隨機微分方程, 將式(20)變?yōu)槭?21),a=0時是系統(tǒng)的第一類奇異邊界, 擴散指數(shù)αr=2, 漂移指數(shù)βr=1, 可得特征標值

(22)

a=+∞時是系統(tǒng)的第二類奇異邊界, 擴散指數(shù)αl=2, 漂移指數(shù)βl=1, 可得特征標值

表2 在線性It隨機微分方程條件下系統(tǒng)的全局隨機穩(wěn)定性

Table 2 Global stochastic stability of system under condition of linear It stochastic differential equation

表2 在線性It隨機微分方程條件下系統(tǒng)的全局隨機穩(wěn)定性

狀態(tài)條件類別狀態(tài)條件類別r=0cl>1, U1/U6>1/16排斥自然邊界r=+∞cl>-1, U1/U6<1/16排斥自然邊界cr=1, U1/U6=0嚴格自然邊界cl=1, U1/U6=0嚴格自然邊界cr<1, U1/U6<1/16吸引自然邊界cl<-1, U1/U6>1/16吸引自然邊界

討論Um不全為0的情況, 其中m=2,3,4,5.a=0時是系統(tǒng)的第一類奇異邊界, 擴散指數(shù)αr=2, 漂移指數(shù)βr=1, 可得特征標值為式(22).a=+∞時是系統(tǒng)的第二類奇異邊界, 擴散指數(shù)αl=2, 漂移指數(shù)βl為式(20)中所有Um≠0項幅值a的最高次數(shù), 可得特征標值為

Un為式(20)中系數(shù)不為0且有關(guān)幅值a最高次數(shù)項的系數(shù), 根據(jù)奇異邊界理論可得在非線性It隨機微分方程條件下系統(tǒng)的全局隨機穩(wěn)定性, 結(jié)果列于表3.

表3 在非線性It隨機微分方程條件下系統(tǒng)的全局隨機穩(wěn)定性

Table 3 Global stochastic stability of system under condition of nonlinear It stochastic differential equation

表3 在非線性It隨機微分方程條件下系統(tǒng)的全局隨機穩(wěn)定性

狀態(tài)條件類別狀態(tài)條件類別r=0cl<1, U1/U6<1/16吸引自然邊界r=+∞cl<-1, Un/U6>1/16吸引自然邊界cr=1, U1/U6=1/16嚴格自然邊界cl=-1, Un/U6=1/16嚴格自然邊界cr>1, U1/U6>1/16排斥自然邊界cl>-1, Un/U6<1/16排斥自然邊界

由表3可見, 當r=0為吸引自然邊界,r=+∞為進入邊界, 可理解為左邊界為吸引自然邊界, 而在右邊界未進入時, 平衡點處于全局穩(wěn)定.根據(jù)局部穩(wěn)定性條件可得, 在滿足U1/U6<1/16,Un/U6<1/16的條件下, 系統(tǒng)在平衡點處保持穩(wěn)定狀態(tài).

4 隨機分岔分析

4.1 D-分岔

(23)

當m(0)=0,σ(0)=0時, 0為φ的一個固定點, °dW為Stratonovich隨機過程的參激.設(shè)m(r)有界,a≠0系統(tǒng)有且只有一個穩(wěn)態(tài)概率密度, 幅值a(t)對應(yīng)的FPK(Fokker Planck Kolmogorov)方程為

(24)

(25)

得到式(23)存在不動點和非平凡平穩(wěn)運動兩種平穩(wěn)狀態(tài).δx為不動點的不變測度δ0, 式(25)為非平凡平穩(wěn)運動狀態(tài)的不變測度的密度.

(26)

φ關(guān)于測度μ的Lyapunov指數(shù)定義為

(27)

使α=U1-U6/16, 可得不動點不變測度δ0在α≤0處是穩(wěn)定的, 非平凡狀態(tài)不變測度在α>0處是穩(wěn)定的, 則α=0是一個D-分岔點.

將式(24)化簡為

pst(a)=ca2(8U1-U6)/U6=o(av)a→0,

其中c為歸一化常數(shù).設(shè)v=2(8U1-U6)/U6, 當v<-1時, 即16U1/U6<1,pst(a)為δ函數(shù); 當-11,a=0是pst(a)的最大值點; 當v=-1時, 即16U1/U6=1,a=0是系統(tǒng)發(fā)生D-分岔的臨界點.

4.2 P-分岔

W(t)是標準的Wiener過程, 且da不依賴于θ, 因此可得系統(tǒng)幅值的FPK方程為

其中

其中C為歸一化常數(shù).

穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的精確表達式為

4.2.1 分數(shù)階階次α對系統(tǒng)隨機分岔的影響

設(shè)添加的外部噪聲各系數(shù)值ζ=1,ω0=0.9,ω1=0.1和噪聲強度D=7, 固定系統(tǒng)的參數(shù)值α1=1.51,α2=2.85,α3=1.693,α4=0.312, 選取系統(tǒng)黏彈性參數(shù)τ=0.8和黏彈性材料的恢復(fù)系數(shù)r=0.9.改變系統(tǒng)(4)分數(shù)階次的數(shù)值, 繪制相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線.

固定噪聲和系統(tǒng)的其他參數(shù), 僅改變分數(shù)階階次, 乘性寬帶噪聲激勵下不同分數(shù)階次的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線如圖1所示.由圖1(A)可見, 在穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線上距離原點較遠處有一個明顯峰值, 系統(tǒng)是單穩(wěn)的, 僅存在大幅振動. 由圖1(B)可見, 當α=0.5時, 穩(wěn)態(tài)概率密度峰值發(fā)生變化, 在穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線上距離原點較遠處有一個明顯峰值, 但在原點附近為Dirac函數(shù)形式, 幅值的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為0, 此時系統(tǒng)存在兩種運動狀態(tài). 因此, 當分數(shù)階次改變時, 穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的定性也隨之改變, 系統(tǒng)產(chǎn)生隨機P-分岔.

圖1 乘性寬帶噪聲激勵下不同分數(shù)階次的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線Fig.1 Steady state probability density function curves of different fractional orders under multiplicative broadband noise excitation

4.2.2 寬帶噪聲強度變化對隨機分岔的影響

將分數(shù)階階次固定為α=0.5, 改變噪聲強度D值, 其他參數(shù)與圖1相同, 繪制相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線.

固定分數(shù)階次和系統(tǒng)的其他參數(shù), 僅改變外部寬帶噪聲的噪聲強度, 乘性寬帶噪聲激勵下不同噪聲強度的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線如圖2所示.由圖2(A)可見, 當D=3.1時, 穩(wěn)態(tài)概率密度曲線為Dirac形式, 系統(tǒng)幅值的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為0, 類似一個穩(wěn)定平衡點; 由圖2(B)可見, 當D=5.3時, 在穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線上距離原點較遠處有一個明顯峰值, 但在原點附近為Dirac形式, 此時系統(tǒng)存在兩種運動狀態(tài); 由圖2(C)可見, 當D=9.8時, 在穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線上距離原點較遠處有一個明顯峰值, 系統(tǒng)存在大幅振動. 因此, 當改變外部噪聲強度時, 穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的定性也隨之改變, 系統(tǒng)產(chǎn)生隨機P-分岔.

圖2 乘性寬帶噪聲激勵下不同噪聲強度的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線Fig.2 Steady state probability density function curves of different noise intensities under multiplicative broadband noise excitation

綜上, 本文研究了對外部寬帶噪聲激勵下的基于分數(shù)階黏彈性材料的Van der pol減振系統(tǒng), 通過隨機平均法求出了系統(tǒng)的It微分方程. 利用最大Lyapunov指數(shù)法和奇異邊界理論分類討論了系統(tǒng)的局部隨機穩(wěn)定性和全局隨機穩(wěn)定性. 通過擬Hamilton系統(tǒng)隨機平均法分析了系統(tǒng)在線性It微分方程情形下的D-分岔行為, 得到了系統(tǒng)產(chǎn)生D-分岔的臨界條件, 并對分數(shù)階階次α和寬帶噪聲強度D分別改變的情況進行數(shù)值模擬. 結(jié)果表明: 在寬帶噪聲的激勵下, 固定其他參數(shù)不變, 僅改變分數(shù)階階次α值, 穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線出現(xiàn)定性變化, 系統(tǒng)產(chǎn)生了隨機P-分岔行為; 改變寬帶的噪聲強度D, 穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線也出現(xiàn)定性變化, 系統(tǒng)隨強度值的變化產(chǎn)生P-分岔行為.