1+1中Maxwell-Chern-Simons-Higgs模型解的L∞估計(jì)

金廣輝, 周 羽

(延邊大學(xué) 理學(xué)院, 吉林 延吉 133002)

1 引言與預(yù)備知識(shí)

在規(guī)范場(chǎng)理論下研究帶有Chern-Simons項(xiàng)的偏微分方程對(duì)解決實(shí)際的物理問(wèn)題有很大幫助. 在(1+2)維規(guī)范場(chǎng)模型中, 關(guān)于降維模型的研究是一類重要問(wèn)題. 即可通過(guò)假設(shè)模型相關(guān)的物理場(chǎng)與第二維空間坐標(biāo)無(wú)關(guān), 從而將二維空間降為一維空間. 賦予不同的空間維度會(huì)展現(xiàn)出方程在其維度所固有的物理特征, 一維模型的研究在理論與實(shí)際上均有一定價(jià)值. 基于一系列降維模型[1-6]的研究, 本文考慮在(1+1)維Minkowski空間上的Maxwell-Chern-Simons-Higgs(MCSH)模型[7]. 該模型由一個(gè)規(guī)范場(chǎng)(電磁場(chǎng))A=(A0,A1,A2)、 一個(gè)復(fù)標(biāo)量場(chǎng)(Higgs場(chǎng))φ和一個(gè)中性實(shí)標(biāo)量場(chǎng)N組成, 它是通過(guò)(1+2)維MCSH模型[8]降維得到的. 首先, 通過(guò)變分法求得(1+1)維MCSH模型對(duì)應(yīng)的Euler-Lagrange方程:

其次, 構(gòu)造模型的守恒能量函數(shù)

(6)

其中

Fμν??μAν-?νAμ,Dμ??μ-ieAμ.

模型(1)～(5)在如下的規(guī)范變換下保持不變:

其中χ:1+1→1+1是光滑函數(shù).賦予(1+1)維MCSH模型Lorenz規(guī)范條件?0A0-?1A1=0, 并引入記號(hào)□=?μ?μ.模型(1)～(5)的Cauchy問(wèn)題為

(7)

對(duì)應(yīng)的初始數(shù)據(jù)為

(8)

對(duì)應(yīng)的約束方程為

(9)

2 主要結(jié)果

記I=max{‖F(xiàn)10(0,·)‖L∞,‖B(0,·)‖L∞,‖N(0,·)‖L∞,‖φ(0,·)‖L∞,‖?μB(0,·)‖L∞,‖?μN(yùn)(0,·)‖L∞,‖Dμφ(0,·)‖L∞},E(0)=E0.用AB表示估計(jì)A≤CB, 其中C為常量.

定理1設(shè)(φ,N,Aμ,B)∈C([0,∞);H2())∩C1([0,∞);H1())是(1+1)維MCSH系統(tǒng)(1)～(5)在初始條件(φ0,n0,a0μ,b0)∈H2(), (φ1,n1,a1μ,b1)∈H1()下的整體解, 則

證明: 為方便, 對(duì)?φ,ψ∈引入記號(hào)于是可得如下計(jì)算性質(zhì):

(10)

根據(jù)式(2)～(5)可得如下等式:

對(duì)t0>0,x0∈, 定義三角形區(qū)域Δ(x0,t0)如下:

Δ(x0,t0)?{(x,t)|0

在區(qū)域Δ(x0,t0)上使用格林公式可得

根據(jù)式(12)在區(qū)域Δ(x0,t0)上對(duì)式(11)進(jìn)行積分, 可得如下估計(jì):

1) 關(guān)于F10.首先根據(jù)式(1)和(2)可得關(guān)于F10的輸運(yùn)方程:

(14)

沿特征線對(duì)式(14)進(jìn)行積分可得

(15)

應(yīng)用H?lder不等式, 考慮關(guān)于φ的L2范數(shù)估計(jì), 有

(16)

根據(jù)估計(jì)(13)和(16)并應(yīng)用H?lder不等式, 由式(15)可得關(guān)于F10的估計(jì)如下:

2) 關(guān)于?μB和?μN(yùn).可將式(3)按如下兩種方式表示:

(17)

沿特征線對(duì)式(17)積分, 并應(yīng)用估計(jì)(13)和H?lder不等式可得

從而可得關(guān)于?μB的估計(jì)為

類似地, 通過(guò)式(4)可得關(guān)于?μN(yùn)的估計(jì)為

3) 關(guān)于Dμφ.定義符號(hào)Φ+?D0φ+D1φ,Φ-?D0φ-D1φ.由式(15)和性質(zhì)(10)可得

(18)

從而得到估計(jì)

(19)

沿特征線對(duì)式(19)進(jìn)行積分可得

(20)

下面對(duì)式(20)第一個(gè)不等式右側(cè)項(xiàng)進(jìn)行估計(jì):

其中

這里利用了

類似可對(duì)式(20)第二個(gè)不等式的右側(cè)項(xiàng)進(jìn)行估計(jì).由式(20)可得

(21)

根據(jù)式(21)可得關(guān)于Dμφ的估計(jì)為

證畢.

注1定理1對(duì)(1+1)維MCSH模型的解進(jìn)行了一階導(dǎo)數(shù)L∞估計(jì).

定理2設(shè)(φ,N,Aμ,B)∈C([0,∞);H2())∩C1([0,∞);H1())是(1+1)維MCSH系統(tǒng)(1)～(5)在初始條件(φ0,n0,a0μ,b0)∈H2(),(φ1,n1,a1μ,b1)∈H1()下的整體解, 則

由式(23)可得

于是得到如下估計(jì):

其中

這里利用了定理1.于是, 得到關(guān)于DDφ的L2范數(shù)估計(jì):

證畢.

注2定理2對(duì)(1+1)維MCSH模型的解進(jìn)行了H2范數(shù)的多項(xiàng)式增長(zhǎng)估計(jì).