Yule-Furry經(jīng)典δ沖擊模型的壽命性質(zhì)

馬 明, 拉毛措, 彭 博, 馬 嵐, 黃 嬡

(西北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 蘭州 730030)

1 引言與預(yù)備知識

系統(tǒng)在運(yùn)行過程中隨機(jī)受某些外部因素的影響, 如環(huán)境溫度、 機(jī)械參數(shù)、 電流等, 這些因素可能導(dǎo)致某些硬件的性能降低從而引起系統(tǒng)故障. 為研究這類系統(tǒng)的可靠性, 本文把這些外部因素視為可能導(dǎo)致系統(tǒng)故障的隨機(jī)沖擊, 通過研究沖擊系統(tǒng)的可靠度、 平均壽命、 沖擊度等可靠性指標(biāo)和壽命性質(zhì), 預(yù)測該系統(tǒng)的壽命, 從而給出相關(guān)更換策略, 防止系統(tǒng)突發(fā)故障. 因此, 沖擊模型在可靠性理論中具有重要意義.δ沖擊模型是沖擊間隔引起系統(tǒng)失效的沖擊模型, 關(guān)于δ沖擊模型的基礎(chǔ)研究目前已有很多結(jié)果, 例如: Li等[1]和李澤慧等[2]研究了沖擊是按齊次Poisson過程到達(dá)的δ沖擊模型; 唐風(fēng)琴等[3]研究了基于時倚Poisson過程的δ沖擊模型; Li等[4]將齊次Poisson過程進(jìn)行一般化, 研究了非齊次Poissonδ沖擊模型; Eryilmaz[5]研究了沖擊過程為Polya過程的δ沖擊模型.關(guān)于δ沖擊模型的擴(kuò)展研究目前也有一些成果, 例如: Wang等[6]研究了間隔服從獨(dú)立同分布的δ沖擊模型與極端沖擊模型相結(jié)合的混合沖擊模型; Parvardeh等[7]分別討論了混合δ沖擊模型下模型Ⅰ(當(dāng)連續(xù)兩次沖擊之間的時間小于閾值δ, 或單個沖擊幅度大于閾值γ時, 系統(tǒng)失效)和模型Ⅱ(當(dāng)連續(xù)兩次沖擊之間的時間小于一個閾值δ, 或累積沖擊幅度大于一個固定的閾值γ時, 系統(tǒng)失效)的生存函數(shù)和壽命T的Laplace變換; Lorvand等[8]擴(kuò)展了Parvardeh等[7]的研究, 建立了混合δ沖擊模型下具有多狀態(tài)的系統(tǒng), 并推導(dǎo)了該系統(tǒng)在完全工作狀態(tài)下和部分工作狀態(tài)下的生存函數(shù)及相應(yīng)的前兩個矩; Jiang[9]研究了沖擊是按照Poisson過程到達(dá)的具有多失效閾值的廣義δ沖擊模型, 分析并推導(dǎo)了平均成本率和平穩(wěn)可用性, 在可用性約束下, 通過數(shù)值計(jì)算得到了最優(yōu)的訂貨替換策略; Kus等[10]研究了連續(xù)沖擊之間的到達(dá)間隔時間屬于一類矩陣指數(shù)分布的δ沖擊模型的混合δ沖擊模型, 得到了系統(tǒng)壽命的Laplace-Stieltjes變換的矩陣形式; Goyal等[11]研究了沖擊過程為Poisson廣義Gamma過程的δ沖擊模型, 推導(dǎo)了生存函數(shù)與平均壽命的關(guān)系, 并研究了一些相關(guān)的隨機(jī)性質(zhì).文獻(xiàn)[12-14]給出了相關(guān)δ沖擊模型的一些新成果.

上述結(jié)果都是在沖擊間隔服從獨(dú)立同分布或沖擊到達(dá)率不變的前提下研究的, 但在實(shí)際應(yīng)用中, 系統(tǒng)遭受的沖擊強(qiáng)度并非恒定. 本文將討論沖擊到達(dá)率線性變化的Yule-Furry經(jīng)典δ沖擊模型, 建立Yule-Furry經(jīng)典δ沖擊模型, 給出Yule-Furry經(jīng)典δ沖擊模型的系統(tǒng)沖擊度及平均沖擊度, 給出可靠度的顯式表達(dá)式及其性質(zhì), 并討論壽命T的矩母函數(shù)和Laplace函數(shù), 給出該模型的平均壽命r階矩, 最后給出該模型的一個實(shí)例. 下面給出一些相關(guān)定義和引理.

定義1[15]設(shè)計(jì)數(shù)過程{X(t),t≥0}是一個連續(xù)時間Markov鏈, 給定常數(shù)λ>0,m=1,2,….若對?t≥0,h>0,n=m,m+1,…, {X(t),t≥0}滿足:

1)X(0)=m;

2)P(X(t+h)-X(t)=1|X(t)=n)=nλh+ο(h);

3)P(X(t+h)-X(t)≥2|X(t)=n)=ο(h).

則稱{X(t),t≥0}是一個參數(shù)為(m,λ)的Yule-Furry過程, 也稱為線性純生過程, 記作{X(t),t≥0}～YFP(m,λ), 其中λ稱為生率系數(shù),mλ稱為初始生率.

定義2[16]事件點(diǎn)在時間軸上隨機(jī)分布的現(xiàn)象稱為隨機(jī)點(diǎn)過程, 簡稱點(diǎn)過程, 記作Ψ.

給定一個點(diǎn)過程Ψ, 對于?t>0,n=1,2,…, 用N(t)表示在[0,t)上發(fā)生的事件點(diǎn)個數(shù),Sn為第n個事件點(diǎn)發(fā)生的時刻,Zn表示第(n-1)個和第n個事件點(diǎn)的時間間隔, 其中Z1表示首次沖擊時刻, 則隨機(jī)過程{N(t),t≥0}, {Sn,n=1,2,…}, {Zn,n=1,2,…}分別稱為點(diǎn)過程Ψ的點(diǎn)數(shù)過程、 點(diǎn)時過程、 點(diǎn)距過程, 常用點(diǎn)過程的這3種隨機(jī)過程表征隨機(jī)點(diǎn)過程Ψ.

定義3[16]設(shè){N(t),t≥0}是點(diǎn)過程Ψ的點(diǎn)數(shù)過程, 給定正整數(shù)m, 對?t≥0, 令X(t)=N(t)+m, 如果{X(t),t≥0}～YFP(m,λ), 則稱Ψ是一個參數(shù)為(m,λ)的Yule-Furry點(diǎn)過程, 記作Ψ～[YFP(m,λ)].

引理1[15]設(shè)點(diǎn)過程Ψ～[YFP(m,λ)].{N(t),t≥0}, {Sn,n=1,2,…}, {Zn,n=1,2,…}分別是Ψ的點(diǎn)數(shù)過程、 點(diǎn)時過程、 點(diǎn)距過程, 則Ψ有以下性質(zhì)(其中規(guī)定00=1):

1) 對于t≥0, 點(diǎn)數(shù)N(t)服從參數(shù)為(m,e-λt)的非負(fù)值負(fù)二項(xiàng)分布, 其分布列為

2) 對于n=1,2,…, 點(diǎn)距Z1,Z2,…,Zn相互獨(dú)立且Zn服從參數(shù)為(n+m-1)λ的指數(shù)分布, 即Zn的生存函數(shù)為

3) 若m=1, 則對于n=1,2,…, 點(diǎn)時Sn的分布函數(shù)為

定義4[17]對于非負(fù)隨機(jī)變量X和Y, 若?t≥0, 有

P(X>t)≥P(Y>t),

則稱X隨機(jī)地大于Y, 記作X≥stY.

引理2[17]若X≥stY, 則EX≥EY.

2 Yule-Furry經(jīng)典δ沖擊模型

考慮一個在連續(xù)時間尺度上運(yùn)行的系統(tǒng), 該系統(tǒng)遭受外部隨機(jī)沖擊, 假設(shè)沖擊按一個參數(shù)為(m,λ)的Yule-Furry點(diǎn)過程到達(dá), 如果相鄰兩次沖擊間隔小于給定的正實(shí)數(shù)δ, 則系統(tǒng)失效(假設(shè)首次沖擊時刻小于δ, 系統(tǒng)也失效), 這樣的模型稱為Yule-Furry經(jīng)典δ沖擊模型.該模型定義如下:

3 沖擊度

首先討論點(diǎn)距Zi(i=1,2,…)與系統(tǒng)失效前總沖擊次數(shù)M之間的關(guān)系.M的分布列通常稱為沖擊度.

定理1在SM{YFP(1,λ),D(δ)}中, 系統(tǒng)的沖擊度和平均沖擊度分別為

P(M=n)=(1-e-nλδ)e-n(n-1)λδ/2,n=1,2,…

和

(1)

證明: 首先根據(jù)定義5, 可得

P(M=1)=P(Z1<δ)=1-e-λδ.

當(dāng)n≥2時, 由于

P(M>n)=P(Z1≥δ,Z2≥δ,…,Zn≥δ)=e-n(n+1)λδ/2,

(2)

P(M>n-1)=P(Z1≥δ,Z2≥δ,…,Zn-1≥δ)=e-n(n-1)λδ/2,

(3)

因此由式(2)和式(3)得

P(M=n)=P(M>n-1)-P(M>n)=e-n(n-1)λδ/2-e-n(n+1)λδ/2=(1-e-nλδ)e-n(n-1)λδ/2.

(4)

(5)

事實(shí)上, 一方面, 由于

在式(6)中, 由于

一般將式(2)中的P(M>n)稱為系統(tǒng)的累積沖擊度.

4 可靠度

下面給出SM{[YFP(1,λ)],D(δ)}系統(tǒng)可靠度的精確表達(dá)式.

定理2設(shè)T～SM{[YFP(1,λ)],D(δ)}, 則系統(tǒng)可靠度為

(7)

證明: 對于?t≥0, 有

(8)

其中{M=1}表示首次沖擊導(dǎo)致系統(tǒng)失效, 即T=Z1≤δ, 則

(9)

下面考慮n≥2的情形.由于{M=n}={n-1

由于點(diǎn)距Zi(i=1,2,…,n)服從參數(shù)為iλ的指數(shù)分布, 因此由指數(shù)分布無記憶性得

P(Sn>t|M>n-1)=P(Sn>t|Z1≥δ,Z2≥δ,…,Zn-1≥δ)=P(Sn>(t-(n-1)δ)),

根據(jù)引理1中3)可得

即

P(Sn>t|M>n-1)=1-(1-e-λ(t-(n-1)δ)+)n.

(11)

同理

P(Sn>t|M>n)=P(Sn>t-nδ)=1-(1-e-λ(t-nδ)+)n.

(12)

將式(11),(3),(12),(2)依次代入式(10), 得

P(T>t,M=n)=e-n(n-1)λδ/2[1-e-nλδ-(1-e-λ(t-(n-1)δ)+)n+e-nλδ(1-e-λ(t-nδ)+)n].

(13)

式(13)包含了式(9), 即n=1的情形.把式(13)代入式(8)得

(14)

由定理1注意到

e-n(n-1)λδ/2(1-e-nλδ)=P(M=n),

且

(15)

所以

當(dāng)n=0時, e-n(n+1)λδ/2(1-e-λ(t-nδ)+)n=1, 于是, 式(16)可寫為

(17)

對式(17)中的第二項(xiàng)變量替換再合并, 即

由于當(dāng)t≥0時, 對?n=1,2,…, 有

因此

證畢.

根據(jù)定理2易得如下推論.

推論1若對于0<δ1<δ2,Tδ1～SM{[YFP(1,λ)],D(δ1)},Tδ2～SM{[YFP(1,λ)],D(δ2)}, 則有Tδ1≥stTδ2.

證明: 由式(7)知, 對于?t≥0, 有

由于0<δ1<δ2, 故有以下關(guān)系:

e-n(n-1)λδ1/2≥e-n(n-1)λδ2/2>0, (1-e-λ(t-nδ1))n≥(1-e-λ(t-nδ2))n>0,

其中n=0時等號成立.從而

于是對于?t≥0有

故

P(Tδ1>t)≥P(Tδ2>t).

由定義4知,Tδ1隨機(jī)地大于Tδ2.證畢.

推論2對于t≥0,n=0,1,…, SM{[YFP(1,λ)],D(δ)}系統(tǒng)的存活概率為

證明: 由于{T>t,N(t)=n}?{N(t)=n,M>n}, 因此

由定義5及引理1中1)得

P(N(t)=0,M>0)=P(N(t)=0)=e-λt,

則

(18)

當(dāng)n=1,2,…時, 由于{N(t)=n,M>n}?{Sn≤tn}, 所以

P(N(t)=n,M>n)=P(Sn≤tn)=P(Sn≤tn)P(M>n).

(19)

由于點(diǎn)距Zi(i=1,2,…,n)服從參數(shù)為iλ的指數(shù)分布, 因此由指數(shù)分布無記憶性及引理1中1)得

將式(20)和式(2)代入式(19)可得

P(N(t)=n,M>n)=e-n(n+1)λδ/2e-λ(t-nδ)+(1-e-λ(t-nδ)+)n,

(21)

從而對于n=1,2,…, ?t≥0, 由式(21)和引理1中1)得

易見, 式(22)包含了式(18)即n=0的情形, 所以式(22)對n=0,1,…都滿足.證畢.

5 矩母函數(shù)

下面給出SM{[YFP(1,λ)],D(δ)}系統(tǒng)壽命T的矩母函數(shù).

定理3設(shè)T～SM{[YFP(1,λ)],D(δ)}, 則壽命T的矩母函數(shù)為

(23)

且在任意區(qū)間(-∞,a]上是一致收斂的, 其中0

證明: 由定義5可得

(24)

由于點(diǎn)距Zk(k=1,2,…)服從參數(shù)為kλ的指數(shù)分布, 因此當(dāng)n=1時,

(25)

當(dāng)n>1時,

(26)

由指數(shù)分布的無記憶性得

(27)

(28)

將式(27),(28)代入式(26)得

(29)

式(29)包含了式(25)即n=1的情形, 將式(29),(4)代入式(24)可得式(23).

e-(nλ-2t)(n-1)δ/2≤e-λ(n-2)(n-1)δ/2, 1-e-δ(nλ-t)<1.

而對?n≥2, 有

所以

由于壽命T的Laplace變換LT(t)和矩母函數(shù)φT(t)有以下關(guān)系:

LT(t)=φT(-t),

所以由定理3易得如下推論.

推論3壽命T的Laplace函數(shù)為

(30)

其中0

6 壽命的矩

定理3表明, 矩母函數(shù)φT(t)的級數(shù)形式在(-∞,a]上一致收斂, 由于矩母函數(shù)的存在域(-∞,a]包含0, 所以φT(t)在該存在域內(nèi)的各階導(dǎo)數(shù)存在, 且T的各階矩都存在.

定理4設(shè)T～SM{[YFP(1,λ)],D(δ)}, 則系統(tǒng)失效前平均壽命為

(31)

下面用3種方法證明式(31)成立.

(32)

設(shè)A>0, 式(32)等號右邊可寫成

(33)

0

(34)

ln|f(x)|=xln(1-e-λ(t-xδ)),

(35)

對式(35)兩邊求導(dǎo)可得

下面討論函數(shù)g(t)?e-λte-n(n-1)λδ/2(1-e-λ(t-nδ)+)n在[0,A]上的連續(xù)性.對于

首先, 在t∈(-∞,nδ)和t∈(nδ,∞)內(nèi),g(t)各段都是由初等函數(shù)構(gòu)成的, 所以在各自區(qū)間內(nèi)g(t)連續(xù); 然后, 考慮點(diǎn)t=nδ處的連續(xù)性, 對于?n≥1, 由于

即g(t)在點(diǎn)t=nδ處連續(xù), 因此g(t)在t∈(-∞,∞)上連續(xù).

(36)

對于n=0,1,…, 有

(37)

將式(37)代入式(36), 再代入式(33),(32)得

(38)

將其代入式(38)得

2) 取條件法.由雙期望公式得

易知

(40)

當(dāng)n>1時,

給定條件Zi≥δ(i=1,2,…,n-1)下點(diǎn)距Zi的條件期望為

則

于是

(41)

將式(41),(40),(4)代入式(39)得

由式(5)和式(1)易知,

則

(43)

則式(43)等價于

(44)

(在式(44)等號右邊級數(shù)也收斂的條件下).再由式(3),(4)易知

(45)

從而由式(43)～(45)易得

3) 矩母函數(shù)法.對式(23)表示的矩母函數(shù)φT(t)關(guān)于t逐項(xiàng)求導(dǎo), 可得

則

由于φT(t)的存在域包含0, 所以φT(t)在0點(diǎn)處可導(dǎo), 于是

這與式(42)等價.證畢.

由推論1和引理2易得平均壽命關(guān)于失效參數(shù)的單調(diào)性.

推論4設(shè)T～SM{[YFP(1,λ)],D(δ)}, 則ET關(guān)于δ單調(diào)遞減.

實(shí)際上, 設(shè)0<δ1<δ2, 則對?k=1,2,…, 有

其中k=1時等號成立.因此, 由定理4也可立得推論4.

下面討論壽命T的任意階矩.

推論5設(shè)T～SM{[YFP(1,λ)],D(δ)}, 則壽命T的r階矩為

(46)

|tr-1e-[n(n-1)δ+2t]λ/2|≤Ar-1e-n(n-1)δλ/2,

(47)

(48)

所以

將式(50)代入式(49)得

所以

又由于

證畢.

易知, 當(dāng)r=1時, 式(46)可約簡為

(51)

式(51)與式(31)一致.

7 實(shí) 例

本文結(jié)合SM{[YFP(1,λ)],D(δ)}模型的構(gòu)造, 給出了該模型系統(tǒng)的可靠度、 沖擊度、 平均壽命等可靠性指標(biāo). 下面給出該模型的一個應(yīng)用實(shí)例.

癌癥是一種常見的慢性病, 一般由內(nèi)源因素導(dǎo)致基因損傷, 使早期癌細(xì)胞生長并侵害正常細(xì)胞, 最終導(dǎo)致癌癥. Chen等[19]發(fā)現(xiàn)了另一種引發(fā)癌癥細(xì)胞的細(xì)胞機(jī)制——細(xì)胞分裂速度, 即細(xì)胞增殖速度過快會導(dǎo)致細(xì)胞癌變. 假設(shè)細(xì)胞增殖按Yule-Furry過程進(jìn)行分裂,Sn為細(xì)胞第n次分裂的時刻,Zn表示細(xì)胞第(n-1)次與第n次分裂的時間間隔, 常數(shù)δ為正常細(xì)胞分裂周期所需的最小時間.當(dāng)首次存在某個n, 使得Zn<δ(即該細(xì)胞分裂的第n個時間間隔小于δ)時細(xì)胞癌變.在細(xì)胞分裂過程中有許多酶參與, 而內(nèi)部因素會影響酶活性, 酶活性越強(qiáng), 細(xì)胞分裂速度越快.假設(shè)酶的活性為α(α>0), 則細(xì)胞分裂速率λ=f(α), 其中f(α)是單調(diào)遞增函數(shù), 設(shè)T表示直到癌變?yōu)橹辜?xì)胞的壽命, 則細(xì)胞壽命T服從一個Yule-Furry經(jīng)典δ沖擊模型, 由定理4知該細(xì)胞的平均壽命ET為

下面數(shù)值模擬f(α)=α?xí)r細(xì)胞的平均壽命.本文對酶的活性α和時間δ取幾個特殊值觀察平均壽命ET的變化情況, 結(jié)果分別如圖1和表1所示.由圖1和表1可見,ET關(guān)于參數(shù)α和δ都單調(diào)遞減.說明細(xì)胞分裂中參與的酶活性越強(qiáng), 細(xì)胞分裂周期所需的時間越長, 細(xì)胞分裂速度越快, 越容易癌變.

表1 參數(shù)α和δ取特殊值時ET的值

圖1 ET關(guān)于參數(shù)α和δ的變化趨勢Fig.1 Changing trend of ET with parameters α and δ

下面對Poisson經(jīng)典δ沖擊模型(SM{[HPP(0,λ)],D(δ)})與Yule-Furry經(jīng)典δ沖擊模型的壽命性質(zhì)進(jìn)行比較, 結(jié)果列于表2. 由表2可見, 這兩類模型的平均壽命都關(guān)于失效參數(shù)δ單調(diào)遞減, Poisson經(jīng)典δ沖擊模型的存活概率與沖擊到達(dá)率λ無關(guān), 而Yule-Furry經(jīng)典δ沖擊模型中, 沖擊到達(dá)率是線性變化的, 所以其壽命指標(biāo)均與沖擊到達(dá)率有關(guān).

表2 Poisson經(jīng)典δ沖擊模型與Yule-Furry經(jīng)典δ沖擊模型的壽命指標(biāo)

綜上所述, 本文研究了沖擊參數(shù)為(1,λ)的Yule-Furry經(jīng)典δ沖擊模型, 分別用取條件法、 概率法、 矩母函數(shù)法給出了系統(tǒng)可靠度、 平均壽命和矩母函數(shù)的顯式表達(dá)式, 驗(yàn)證了可靠度和平均壽命關(guān)于失效參數(shù)δ單調(diào)遞減的性質(zhì), 并證明了壽命的任意矩均存在且可以用級數(shù)形式顯式表示. 最后, 將該模型的平均壽命應(yīng)用于癌細(xì)胞的病例研究中, 發(fā)現(xiàn)酶的活性與細(xì)胞的平均壽命成反比關(guān)系, 即細(xì)胞分裂過程中參與酶的活性越強(qiáng), 細(xì)胞的平均壽命越短, 導(dǎo)致該細(xì)胞癌變.