廣義矩陣代數(shù)上的一類非線性局部可導(dǎo)映射

侯習(xí)武, 張建華

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 西安 710119)

1 引言與預(yù)備知識

近年來, 關(guān)于環(huán)和代數(shù)上各類局部可導(dǎo)映射的研究備受關(guān)注[1-11]. 例如: Hou等[1]研究了素環(huán)上的冪等元處可導(dǎo)映射; 孟利花等[2]研究了三角代數(shù)上的冪等元處非線性可導(dǎo)映射; Wong等[3]證明了上三角矩陣代數(shù)上的零點(diǎn)非線性可導(dǎo)映射可以寫成內(nèi)導(dǎo)子和可加導(dǎo)子之和; Wang[4]在階數(shù)大于3的全矩陣代數(shù)上給出了零點(diǎn)非線性可導(dǎo)映射的具體結(jié)構(gòu); An等[5]對von Neumann代數(shù)上的Q點(diǎn)可導(dǎo)映射進(jìn)行了刻畫.受上述研究工作啟發(fā), 本文主要研究廣義矩陣代數(shù)上的一類非線性局部可導(dǎo)映射.

設(shè)R是一個交換幺環(huán),A是一個定義在R上含單位元的代數(shù),Q是A中的一固定元,φ是A上的映射.若對任意的X,Y∈A, 映射φ(無可加性假設(shè))滿足

φ(XY)=φ(X)Y+Xφ(Y),

(1)

則稱φ是A上的導(dǎo)子.進(jìn)一步, 如果φ還滿足可加性, 則稱φ是A上的可加導(dǎo)子.若對任意的X,Y∈A且XY=Q時, 映射φ(無可加性假設(shè))滿足式(1), 則稱φ是A上的Q點(diǎn)非線性可導(dǎo)映射.進(jìn)一步, 如果φ還滿足可加性, 則稱φ是A上的Q點(diǎn)可導(dǎo)映射.

記上述Morita context為(A,B,M,N,ξMN,ζNM).集合

按通常的矩陣加法和下述乘法運(yùn)算:

設(shè)1A,1B分別是A和B的單位元, 記

2 主要結(jié)果

引理1對任意的1≤i≠j≤2, 有:

1)φ(0)=0;

2)φ(Pi)=Piφ(Pi)Pj+Pjφ(Pi)Pi;

3)φ(Pi)+φ(Pj)=0.

證明: 取X=Y=0, 則φ(0)=0.取X=Pi,Y=Pj(1≤i≠j≤2), 則

0=φ(0)=φ(PiPj)=φ(Pi)Pj+Piφ(Pj)=Piφ(Pi)Pj+Pjφ(Pi)Pj+Piφ(Pj)Pi+Piφ(Pj)Pj.

從而

Piφ(Pj)Pi=0,Piφ(Pi)Pj+Piφ(Pj)Pj=0.

(2)

取X=Pi,Y=Pi(1≤i≤2), 則

φ(Pi)=φ(Pi)Pi+Piφ(Pi).

(3)

對式(3)等號兩邊同乘Pi, 可得

Piφ(Pi)Pi=0.

(4)

于是由式(2),(4), 有

φ(Pi)=Piφ(Pi)Pj+Pjφ(Pi)Pi,φ(Pi)+φ(Pj)=0.

證畢.

注1令U=P1φ(P1)P2-P2φ(P1)P1, 定義G到G的映射φ為φ(X)=φ(X)-[X,U].

由引理1可直接驗(yàn)證:

1)φ(0)=φ(P1)=φ(P2)=0;

2) 對任意的X,Y∈G, 且X,Y至少有一個是冪等元時,φ(XY)=φ(X)Y+Xφ(Y)成立.

引理2對任意的Xij∈Gij(1≤i,j≤2), 有φ(Xij)∈Gij.

證明: 對任意的Xii∈Gii, 一方面, 取X=Xii,Y=Pj(1≤i≠j≤2), 則

0=φ(XiiPj)=φ(Xii)Pj+Xiiφ(Pj)=φ(Xii)Pj.

(5)

另一方面, 取X=Pj,Y=XiiPi(1≤i≠j≤2), 則

于是由式(5),(6), 有φ(Xii)=Piφ(Xii)Pi∈Gii.

對任意的Xij∈Gij(1≤i≠j≤2), 一方面, 取X=Pi,Y=Xij, 則

φ(Xij)=φ(PiXij)=φ(Pi)Xij+Piφ(Xij)=Piφ(Xij).

另一方面, 取X=Xij,Y=Pj, 則

φ(Xij)=φ(XijPj)=φ(Xij)Pj+Xijφ(Pj)=φ(Xij)Pj.

于是有φ(Xij)=Piφ(Xij)Pj∈Gij.證畢.

引理3對任意的Xii∈Gii,Xjj∈Gjj,Xij∈Gij(1≤i≠j≤2), 有:

1)φ(Xii+Xij)=φ(Xii)+φ(Xij);

2)φ(Xii+Xji)=φ(Xii)+φ(Xji).

證明: 1) 對任意的Xii∈Gii,Xij∈Gij(1≤i≠j≤2), 一方面, 取X=Xii+Xij,Y=Pi, 則

φ(Xii)=φ((Xii+Xij)Pi)=φ(Xii+Xij)Pi+(Xii+Xij)φ(Pi)=φ(Xii+Xij)Pi.

(7)

另一方面, 取X=Xii+Xij,Y=Pj, 則

φ(Xij)=φ((Xii+Xij)Pj)=φ(Xii+Xij)Pj+(Xii+Xij)φ(Pj)=φ(Xii+Xij)Pj.

(8)

于是由式(7),(8), 有φ(Xii+Xij)=φ(Xii)+φ(Xij).

2) 對任意的Xii∈Gii,Xji∈Gji(1≤i≠j≤2), 一方面, 取X=Pi,Y=Xii+Xji, 則

φ(Xii)=φ(Pi(Xii+Xji))=φ(Pi)(Xii+Xji)+Piφ(Xii+Xji)=Piφ(Xii+Xji).

(9)

另一方面, 取X=Pj,Y=Xii+Xji, 則

φ(Xji)=φ(Pj(Xii+Xji))=φ(Pj)(Xii+Xji)+Pjφ(Xii+Xji)=Pjφ(Xii+Xji).

(10)

于是由式(9),(10), 有φ(Xii+Xji)=φ(Xii)+φ(Xji).證畢.

引理4對任意的Xii∈Gii,Xij∈Gij,Xjj∈Gjj(1≤i≠j≤2), 有:

1)φ(XiiXij)=φ(Xii)Xij+Xiiφ(Xij);

2)φ(XijXjj)=φ(Xij)Xjj+Xijφ(Xjj).

證明: 1) 對任意的Xii∈Gii,Xij∈Gij(1≤i≠j≤2), 取X=Xii,Y=Pj+Xij, 由引理2和引理3中2), 可得

2) 對任意的Xij∈Gij,Xjj∈Gjj(1≤i≠j≤2), 取X=Pi+Xij,Y=Xjj, 由引理2和引理3中1), 可得

引理5對任意的Xii∈Gii,Yii∈Gii,Xij∈Gij,Yij∈Gij(1≤i≠j≤2), 有:

1)φ(Xij+Yij)=φ(Xij)+φ(Yij);

2)φ(Xii+Yii)=φ(Xii)+φ(Yii).

證明: 1) 對任意的Xij∈Gij,Yij∈Gij(1≤i≠j≤2), 取X=Pi+Xij,Y=Pj+Xij, 由引理2和引理3中1), 可得

2) 對任意的X11∈G11,Y11∈G11,Y12∈G12, 由引理4中1)和引理5中1), 一方面有

φ(X11Y12+Y11Y12)=φ(X11Y12)+φ(Y11Y12)=φ(X11)Y12+X11φ(Y12)+φ(Y11)Y12+Y11φ(Y12).

(11)

另一方面, 有

于是由式(11),(12), 可得(φ(X11+Y11)-φ(X11)-φ(Y11))Y12=0.再由G12是G11的忠實(shí)左模和引理2知,

φ(X11+Y11)=φ(X11)+φ(Y11).

(13)

對任意的X12∈G12,X22∈G22,Y22∈G22, 由引理4中1)和引理5中1), 一方面有

另一方面, 有

于是由式(14),(15), 可得X12(φ(X22+Y22)-φ(X22)-φ(Y22))=0.再由G12是G22的忠實(shí)右模和引理2知,

φ(X22+Y22)=φ(X22)+φ(Y22).

(16)

于是由式(13),(16), 有φ(Xii+Yii)=φ(Xii)+φ(Yii)(1≤i≤2).證畢.

引理6對任意的Xij∈Gij(1≤i,j≤2), 有

φ(X11+X12+X21+X22)=φ(X11)+φ(X12)+φ(X21)+φ(X22).

證明: 對任意的Xij∈Gij(1≤i,j≤2), 一方面, 取X=P1,Y=X11+X12+X21+X22, 由引理3中1), 可得

另一方面, 取X=P2,Y=X11+X12+X21+X22, 由引理3中1), 可得

于是由式(17),(18), 有

φ(X11+X12+X21+X22)=φ(X11)+φ(X12)+φ(X21)+φ(X22).

證畢.

引理7對任意的Xii∈Gii,Yii∈Gii,Xij∈Gij,Xji∈Gji(1≤i≠j≤2), 有:

1)φ(XiiYii)=φ(Xii)Yii+Xiiφ(Yii);

2)φ(XijXji)=φ(Xij)Xji+Xijφ(Xji).

證明: 1) 對任意的X11∈G11,Y11∈G11,X12∈G12, 由引理4中1), 一方面有

φ(X11Y11X12)=φ(X11Y11)X12+X11Y11φ(X12).

(19)

另一方面, 有

于是由式(19),(20), 可得

(φ(X11Y11)-φ(X11)Y11-X11φ(Y11))X12=0.

再由G12是G11的忠實(shí)左模和引理2知,

φ(X11Y11)=φ(X11)Y11+X11φ(Y11).

(21)

對任意的X12∈G12,X22∈G22,Y22∈G22, 由引理4中2), 一方面有

φ(X12X22Y22)=φ(X12)X22Y22+X12φ(X22Y22).

(22)

另一方面, 有

于是由式(22),(23), 可得

X12(φ(X22Y22)-φ(X22)Y22-X22φ(Y22))=0.

再由G12是G22的忠實(shí)右模和引理2, 知

φ(X22Y22)=φ(X22)Y22+X22φ(Y22).

(24)

于是由式(21),(24), 有φ(XiiYii)=φ(Xii)Yii+Xiiφ(Yii)(1≤i≤2).

2) 對任意的Xii∈Gii(1≤i≤2), 由引理5中2), 可得

0=φ(Xii-Xii)=φ(Xii+(-Xii))=φ(Xii)+φ(-Xii),

進(jìn)而有φ(-Xii)=-φ(Xii).

對任意的Xij∈Gij,Yji∈Gij(1≤i≠j≤2), 由引理3和φ(-Xii)=-φ(Xii), 可得

于是有φ(XijYji)=φ(Xij)Yji+Xijφ(Yji).證畢.

下面給出本文的主要結(jié)果.

定理1設(shè)G=G(A,M,N,B)是一個廣義矩陣代數(shù),M是(A,B)的忠實(shí)雙邊模,N是(B,A)的雙邊模,φ是G上的一個映射(無可加性假設(shè)), 如果對任意的X,Y∈G, 且X,Y至少有一個是冪等元時, 式(1)成立, 則φ是G上的可加導(dǎo)子.

證明: 對任意的X,Y∈G, 有X=X11+X12+X21+X22,Y=Y11+Y12+Y21+Y22, 其中X11,Y11?A,X12,Y12?M,X21,Y21?N,X22,Y22?B.由引理5和引理6, 有

再由φ的定義可知,φ是廣義矩陣代數(shù)G上的可加映射.又對任意的X,Y∈G, 由注1、 引理4和引理7, 有

故φ是廣義矩陣代數(shù)G上的可加導(dǎo)子.進(jìn)而由φ的定義可知,φ是廣義矩陣代數(shù)G上的可加導(dǎo)子.證畢.

推論1設(shè)G=(A,M,N,B)是一個(n-1)-無擾的廣義矩陣代數(shù),M是(A,B)的忠實(shí)雙邊模,N是(B,A)的雙邊模,φ是G上的一個映射(無可加性假設(shè)), 如果對任意的X1,X2,…,Xn∈G, 且X1,X2,…,Xn(n≥2)至少有(n-1)個是冪等元時,

(25)

成立, 則φ是廣義矩陣代數(shù)G上的可加導(dǎo)子.

證明: 當(dāng)n=2時, 由定理1知結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n=i-1(i≥3)時結(jié)論成立, 下證當(dāng)n=i(i≥3)時結(jié)論成立.

因?yàn)閷θ我獾腦1,X2,…,Xi∈G且X1,X2,…,Xi至少有(i-1)個是冪等元時,

(26)

成立, 所以取X1=X2=…=Xi=I, 由(i-1)-無擾性可得φ(I)=0.再分別取X1=I和Xi=I, 有

(27)

(28)

于是由式(27),(28)知, 對任意的X1,X2,…,Xi∈G(其中X1=I或Xi=I), 如果X1,X2,…,Xi至少有(i-1)個是冪等元時, 式(26)成立, 則φ是廣義矩陣代數(shù)G上的可加導(dǎo)子.進(jìn)而可知當(dāng)n=i(i≥3)時結(jié)論成立.證畢.

設(shè)H是復(fù)數(shù)域上的Hilbert空間,B(H)表示H上的全體有界線性算子,V是一個作用在H上的von Neumann代數(shù),I∈B(H)是單位算子,Z表示V的中心,V′={T∈BH:TB=BT, ?B∈V}為V的換位子.若Z=V′∩V=I, 則稱V是因子von Neumann代數(shù).

推論2設(shè)V是一個因子von Neumann代數(shù),φ是V上的一個映射(無可加性假設(shè)), 如果對任意的X1,X2,…,Xn∈V, 且X1,X2,…,Xn(n≥ 2)至少有(n-1)個是冪等元時, 式(25)成立, 則φ是V上的可加導(dǎo)子.